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Full text of "Archiv der Mathematik und Physik"

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ARCHIV 



der 



MATHEMATIK und PHYSIK 

mit besonderer Rücksicht 

auf die Bedürfoisse der Lehrer an höheren 

Unterrichtsanstalten. 



Gegründet von 

J. A. G r u ■ e r t, 

fortgesetzt von 

K. Hoppe, 

Dr. ph. Prof. an d. üniT. Berlin. 



Zweite Reihe. 

Sechster Teil. 



' . • 



• . • ' *» 



Leipzig. 

G. A. Koch*8 Yerlagsbachhandlung, 

J. 8«Bgbaseh. 

1888. 



16*^504 



* 






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% * "• 



Inhalts- Verzeichnis 

des seehttei Teils. 



JUd^rAbhandlnng. Htft. S«iU. 

Arithmetik, Alirebra und reine Analysls 
ohne Integralrcehnunir* 

VII. Zur Theorie der harmonischen Reihe. Von 

Heinrich Simon I. 105 

XII. Fortsetzung II. 220 

XVII. Bemerkung zu der Formel fflr das Differential 

riner Function mehrerer Variabein. Von K. Hoppe III. 351 
XXII. Zur Lehre der quadratischen Formen. Von 

Julius Välyi IV. 445 

Integrrftlreehniinir* 

XVI. Uebcr die Entwickelung von e— l^Cl— «) in eine 
Potenzenreihc nebst einigen Anwendungen der- 
selben. Von Louis Saalschutz III. 305 

XXII. Zur Function Fix), Von W. Liska IV. 448 

Oeometrie der Ebene. 

V. Construction der den Bronnpunkten eines Kegel- 
schnitts entsprechenden Funkte im collinoaren 

System. Von Leopold Klug I. 88 

VII. lieber die Normalen der Kegelschnitte. Von 

Emil Oekinghaas I. 112 

VIII. lieber die Carven vierter Ordnung mit drei In- 

flezioniknoten. (Schluis). Von F. H. Schonte IL 113 
XI. Zur Theorie der Schliesanogsprobleme. Von 

Emil Oekinghaus IL 186 



IV 

JidarAbhandlnng. Haft. S#iU. 

XU. Zar Rectification der HjperbeU Von Emil 

Oekinghans IL SS3 

XIX. Eigenschaften gewisser Fankttripel auf der Cissoide. 

Von Karl Zahradnik IV. 392 

XX. lieber einige Winkel- und Lingenrelationen am 

Dreieck. Von Karl Zahradnik IV. 415 

XXII. Nener Pankt und Gerade in der Dreiecksebene. 

Von Johann Hermes IV. 437 

Geometrie des Baumes. 

III. Erweiterung sweier S&tze auf n Dimensionen. Von 

R. Hoppe I 69 

IV. lieber Triederschnitte und Minimaltetraeder. Von 

O. Bermann L 76 

XII. Bemerkung dazu. Von O. Bermann II. 219 

VI. lieber mehrfach perspective Tetraeder. Von 

Leopold Klug I. 93 

X. Prindpien der n dimensionalen Cunrentheorie. Von 

R. Hoppe IL 168 

XV. Mittelwerte, die Krflmmung ebener Gurren und 
krummer Fliehen betreffend. Von Emannel 
Csuber UL 294 

TriiTonometrie« 

I. Der Brocard'sche Winkel des Dreiecks. Von 

W. Fuhrmann I. I 

XIL Berichtigende Kotis dasu. Von W. Fuhrniaiin IL 218 

XIV. Determinanten bei wiederholter Halbimng des 

ganzen Winkels. Von Johann Hcrnies • • . UL 276 

Meeluuilk. 

IX. Beitrag lur Lehre ron der Bewegung «•€• Ätie« 
Körpers in einer incompressibeln FlfiMigkeik V«m 

FritE Kötter W- "** 

XIIL Potential einer elliptischen Walae (F^rtWÄimid- 

Von Ulrich Bigler lU- «* 

XXIL Momentaner BewegnngssusUnd ein« i» *» Ptwtis 
Tiel angewandteo Mechanismu. V<w A«(«at 
Bamisch *^'' *** 



Optik, Akustik und Elasttdtftt. 

II. Die Lissajons'schen Gurren. Von H. Ekama . I. 39 

Astronomie« 

XVIII. Die intermediäre Bahn des Planeten (17) Thetis 

nach Herrn Gjlddn's Theorie. Von Well mann IV. 353 

Litterarisehe Berichte. 

XXI. Boncompagni (Ball. XIX.) EnestrOm (Bibl. M. 1886 — 
f. Gesch. I.) Vogler (pr. Geom.) BOrsch (geod. Coord.) 
Israel-Holtswart (Astr.) Günther (Erdk. n. Math.) Kon- 
kolj (Hmlsphot.) Hann u. KOppen (met. Zschr. III). Ber- 
trand (Thermodyn.) Poske (Zschr. ph. Unt. I.) Teixeira 
(Jörn. VII.^ Newcomb (Am. J. IX.) Kikuchi (J. Coli. sc. 
I.) Upsala (Not. Act. XIII) Montsonris (Ann. 1887.) 

XXII. Hengel (Alg.) Enholtz (Ar.) Bretschnoider (Ar. Alg.) 
Seeger (Gcom.) Finger (Mech.) Jansen (Phys.) Wilder- 
mann (Natarl.) Lauteschlignr (Aufg.) Mertens (Rech.) 
Wittstein (48t. Log.) Paulas (Mondph.) Brfissel (Bull. IX~ 
XIII, — Ann. 1886 1887.) Toulouse (Ann. I.) Mittag- 
Leffler (A. M. X.) 

XXIII. Teixeira (anal, inf.) Stcgcroann (Kiepert) (Diff. Int.) 
Mansion (anal, inf.) Sickcnbcrger (Det.) Gauss (Simon) 
(G.'sche Rh.) Simonv (alg. Op.) Darboux (g^om.) Schmidle 
(Fl. 2. O.) Heger (Kegschn ). Hof mann (Riem. Fl.) Bejel 
Axon. Persp.) Simony (top. Tnts.) 

XXIV. Lagrange (Serrus) (Mech.) Poinsot (Seryus) (Stat.) 
Petroff (Wursel) (Reib.) Toepler (Luftwid.) Auerbach 
(el. Masch.) Glaser-De-Cew (Auerbach) (Constr. d. el. M.) 
Kareit (Zschr. Elektrot. IV.) Epstein (Geom.). Martus 
(astr. Geogr.) Grave (hjdr. Stud. I) Hagen (Wettertel.) 
ManojloTits (astr. Kai.) Hann u. KOppen (met Zschr. IV.) 
Hamb. math. Ges. (Mitt. 5. 7. 8.) Canad. Inst. (Proc. IV.) 
8oc M. de Fr. (Bull. XV.) Mansion u. Neuberg (Math. VII.) 
Bur. de Long. (Ann. 1888.) 



Berichti^ngen 

im 4. Teile 

fn fit 

Seite 434 Zeile 1 u. 3 v. ob. statt tg/3+^ BeUetgß+ —^tg^ß 

im 5. Teile 

Seite 201 Zeile 15 n. 16 v. ob. der Satz: „Alle etc^Mst zu streichen. 
203 7 V. unt statt wird u setze wird, da u 

206 14 V. ob. „ =a{l + *H-6* + ...} setze 

lim(l— Ä~)« — \ima\i + b+b*+...b*^'^ 
286 5 V. ob. statt oder: wo setze oder: 2) a wo 

288 5 V. ob. „ der „ die Anzahl der 

306 8 V. ob. 1, > „ ^ 

309 5 V. ob. am 2 ton, uten Reihenterm fehlt der 

Factor x, resp. ««^^ 

315 18 V. ob. statt 05' setze a^ 

9 V. unt „ o," „ (Bq" 

317 2 V. ob. „ bedingen sich „ bedingt 

3 „ 9, <'<! ond „ tf>l dass 

4 „ „ ^>1 und „ T<;i dass 

318 7 „ „ ör-p, n O r-pi 

8 „ „ «r-p, n ^ r^Pi 

320 5 „ „ p(z) „ pg)(«) 

321 12 „ „ r + 3 „ r-3 

328 1 V. unt. „ )* „ y 

329 3 V. ob. „ f(x)^nc)^-^ „ 



im 6. Teile 

Seite 87 Zeile 4 v. ob. u. folg. berichtigt Seite 219 Zeile 18 u. f. 

105 14 V. unt. statt Abhandlang setze Behandlang 

106 3 V. ob. „ e „ c — 

16 ,y „ K 1 ,, Ä? = 1 

14 „ vor Gl. (6*) schalte ein: 

deren zweite sich noch auf die Form 
bringen lässt: 



107 


2 V. 


unt. 


, statt 


tf2pH setze 


Öäim(») 


108 


1 V. 


ob. 


11 


p-2 


P-1 






8 


11 


» 


c 


"C- 


2p / 




10 


« 


11 


f 


Z 

1 






15 


11 


11 


Differentiation 


setze Dissertation 


109 


3 


11 


»» 


(•H-^-) 


11 


('+t)- 




9 


11 


i> 


2p— 2 


11 


2|>-1 




8 V. 


unt 


11 


2w+4 


11 


2mH-l 




5 


11 


11 


2m (im Zahler) 


11 


1 


110 


2 V. 


ob. 


11 


2 
2n 


11 


2n 
P 




2 V. 


unt. 


11 


2p— 1 
4 


11 


2p -1 

4 "" 


157 


1 V. 


ob. 


11 


VIM 


i> 


TX 


306 


2 


11 


vor zuvor 


11 


and 


310 


15 


11 


statt /?s = 2&, und - 


-1— 


— Äo setze 










- ft - 1 - ^0 






312 


2 


11 


ist hinzuzafQgen : 












Die Ol. (18) lehrt, dass ftür /9 — (Anfang 



d*ß 

and Ende einer Grappe) aach -^p = ist, 

dß 
also ^ sein Max. oder Min. erreicht 



317 


4 ,, statt A 


setze 


A« 


319 


* 11 11 * 


i> 


4 




7 v. nnt „ Vi 


11 


k 



8^4-^« 8»— Ä« 



u«u iiA: 


VUU O V. uuu 


DUIU. 


8z 


WSULV 


Ss^ 


328 


8 „ 


»< 


0,1719 


11 


0,2719 


347 


1 V. ob. 


»1 


0,0009 


11 


0,00009 


349 


8 „ 


1» 


1 

e 


11 


1 

e 






• • • 



Fukrmmnni Der BroearttBehe Winkel de» Dreieck», 



I. 

Der Brocard'sche Winkel des Dreiecks. 

Von 

W. Fuhrmann. 



Vorbemerknng. 

In neneBter Zeit sind Mathematiker verschiedeDer L&nder aa 
Eigenschaften des Dreiecks gestossen, welche, obwol die Unter- 
snchnngen verschiedene Aasgangspankte hatten, einen merkwürdigen 
Zusammenhang aseigten. Dieser Zusammenhang wurde durch einen 
merkwürdigen Punkt und einen merkwOrdigen Winkel des Dreiecks 
hergestellt. 

Wahrend der Punkt die 3 Namen: der Grebe'sche Punkt, le 
peint de Lemoine, the symmedian-point , erhalten hat, wird der 
Winkel wol allgemein nach dem Vorschlage der Miss C. A. Scott 
(Edncational Times) als der Brocard'sche Winkel bezeichnet Un- 
sweifelhaft gebflhrt Brocard das Verdienst, die genauem Unter- 
suchungen, die sich auf diesen Winkel beziehen, angeregt zu haben, 
doch Ist der Winkel schon von van Swinden (Grondbeginsels der 
Meetkonde door J. H. van Swinden c. 1816) angeführt Derselbe, 
hat nicht nur die Relationen 

cot^- — cot«-f-cot/}+co^7 
und 

_i 1_.j_4._L_ 

sin** sin*a "^ sin*/J ' sin*y 

aagegebes, londem auch die Punkte, welche mit diesem Winkel in 
iaiigem Zusammenhange stehen und die als Brocard'sche Punkte 




HB.- Der Bmeanfsclil W!«ktt dt, Di-titck,. 

bezeichuet werden. Ebenso giebt DesboveB in seiiiom Werke : Ques- 
tions de trigoaomätrio rectitigne die GrondrelatioDea an. Die Untcr- 
sucbnogen dagegen über den Kreis, der durch diese Punkte und den 
vorher angegebenen Grebe'schen Punkt geht, rühren von Urocard 
her, weshalb dieser Krois mit Recht als der Brocard'sdie bezcichuB 
wird. 



Nachdem Brocard schon 1880 in der ZuitBchrift Ton J. C. V, 
Hoffmann fUr mathematischen and naturwissenschartlicben Unterriebt 
einige merkwürdige Eigenschaften dieses Kreises angegeben balle, ver 
öffentücbte er eine darauf bezünliche Abbandlang: Etüde d'un uou- 
veau cercle du plan dn triangle (Association franjaise pour l'aven- 
cement des sciences; Congrea d'Alger 1881). Andere Abbandlangen, 
die mehr oder weniger mit den Punkten dieses Kreises zusammen- 
hangen, sind: Programmabhandlung von Kiehl in Uromberg: Zur 
Theorie der Transversaleu. 1881. Prograinmabbandlung von Artzt 
iu Eecklingbanseu : Untersnchangen über fthulicbe Punktreihen auf 
den Seiten eines Dreiecks etc. 1884. B. Tucker iu London: the 
tripUcate ratio-circlo im Quartt-rly Journal of niathematics. 1883, 
Denselben folgten andere von Brocard und R Tucker. Der letztere 
veröffentlichto dieselben in den proceodings of ilie London malhe- 
matical society, während Brocard seine Haujitabliaudlung noch iu der 
Association fran^aise ponr l'avauccment des Sciences, Congr^s de 
Ronen und eine andere im Journal de matbämatiiiues speciales er- 
schienen liess. Kleinere Sachen machte er noch iu der genannten 
Zeitschrift von J. C. V. Hoffmauu bekannt. In derselben Zeitschrift 
veröffentlichten noch mehrere andere Männer in Gestalt von Auf- 
gaben geometrische Lehrsätze, welche sich an den Brocard'schen 
Kreis anschlössen. Es waren dies ausser den schon genannten Brocard, 
Artzt und Kiuhl noch besouders Stoll in Bensheim, dann BOklen iu 
Reutlingen, Dewulf, G. Tnrry in Algier, Nouberg in Luttich und der 
unterzeichnete Verfasser, wobei an der Lüsung sieb noch auderu 
Manner (Stegemaun in Prcnzlau, Emmerich in Mühlheim a. R,, 
Godt in Lübeck, Capelle in Obcrbausen) beteiligten. Kleinere Sachen 
wurden uoch in den nouvelles annales de mathfmatiques von Le- 
moine und Maurice d'Ocogne angegeben ; dieselben bezogen sich be- 
sonders auf den Grebe'schen Punkt. Endlich ist noch eine Arbeit 
von Neuberg hervorzuheben, welche mir leider nicht zugänglich war, 
Nachdem derselbe in der belgischen Zeitschrift Mathusis mehrere 
Untersuchungen Über diesen Gegenstand veröffentlicht hatte, schrieb 
er in einer Zeitschrift, welche von der kfSnigl. belgischen Akadcmib 
herausgegeben wird, eine Abhandlung: Memoire sur le tetraSdre. Ich 
habe nur ersehen kOniien, doss der Grebe'sche und die Brocard'scbou 
Pnnkte hier eine grosse Holle spielen. 



Fuhrmann: Dtr Brocantsekß Winkäl dei Dnieeks. 3 

Ohne belumplen zo wollen, dass alle Pablicationen, die sich auf 
diesen Gegenstand beziehen > genannt sind, dürften doch di^ wesent* 
lichsten genannt sein, und diese Angaben durften die Mitlei angeben, 
an difi(jenigen Werke aasfindig zn machen, welche weitere Unter- 
snchongen darüber enthalten, so dass ich hoffsn könnte, dass die 
angegebene Uebersicht keine ganz flberflAssige Arbeit ist. 

Diese Untersnchnngen bieten besonders der elementaren Mathe- 
matik interessante Resaltate, so dass ich glaabe, dass die Sammlang 
derselben aach in weiterem Kreise Interesse einflössen wird. Da die Ab- 
leitong der Resaltate aaf elementar trigonometrischem Wege die 
leichteste ist, so schien es mir am vorteilhaftesten, die Eigenschaften, 
die sich anf den Brocard'schen Winkel beziehen, aanächst einheit- 
lich znsammenzastellen. Das Thema erhält dadnrch eine angemessene 
Beschränknng and fahrt am leichtesten in die weiter gehenden Eigen- 
schaften ein. 

Der Uebersicht halber teile ich die Eigenschaften in 2 Teile. 
Der erste bezieht sich anf symmetrische Relationen zwischen den 
Winkeln des Dreiecks and dem Brocard'schen Winkel. Der 2te giebt 
Längen and Grössen des Dreiecks, die sich darch diesen Winkel 
aasdrflcken hissen, sowie einige sich daran anschliessende Eigen- 
schaften, also immer nnr solche, welche mit dem Winkel in Yerbin- 
dnng stehen. 

A. Relationen zwischen den Winkeln des Dreiecks and dem 
Brocard'schen Winkel. 

Erklärnng. Das Dreieck werde mit ABC (Fig. 1.) bezeichnet, 
die Winkel mit a, /?, y; die Seiten entsprechend mit a, 6, c. Fällt 
man von einem Punkte P das Lot anf eine Seite a, so heisst der 
Fasspnnkt Pa, analog ist die Bedentang A, Fe. Der Mittelpunkt 
des amgeschriebenen Kreises ist H^ so dass die Mittelpunkte der 
Seiten Ha^ Hh, He sind. Liegen mehrere Paukte auf dem Lote, so 
erhält der einfachste und bekannteste den Vorzug. Der Höhen- 
Schnittpunkt sei H\ doch bezeichnen wir die Fusspunkte der Höhen 
mit Aa^ Bhj Ct, Der Schwerpunkt sei (?, und O' der Grebe'sche 
Pnnkt. Bildet eine Ecktransversale mit einer Seite einen Winkel 
9, so bezeichnen wir die durch dieselbe Ecke gehende Transversale, 
welche mit der andern Seite den Winkel 9 bildet, als Gegentrans- 
versale, so dass also diese Transversalen dieselbe Winkelhalbirungs- 
iinie ids die Dreieckswinkel haben. Schneiden sich 3 Ecktrans- 
versaien in einem Punkte, so bekanntlich auch die Gegentransver- 
sale. Diese so von einander abhängigen Punkte nennen wir Gegen- 
ponkte in Bezug auf das Dreieck. Dass H und H' solche Punkte 




mam Kinkel ^ taaröp- ^"^ ^ 



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'WnikBl lortluifaBd in Abb TSriww 
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'•^ <dl*«' »mt; -J^ «ft /• 



Fmhrmanni Der Broearttsehß Winkel dt» Dreiedcs» J 

_ 8iD«g + 8in«/?+ sin«y 2(8in«g + rin'g + sinV) 
2 810« sin /3 sin x 8iii2a-{-8iii2/3-|-iin2)f 

Es ist fenier: 

C08(a-|- /}-{-/) — coiacos/Ioosx— coiaiin/^Bin/— stnacos/^siiiy 

— linosin/^coi/ 
ist also 

so folgt: 

l+cosocos/icosy—cosasin /Isinx-t-sinocos/} silly-l-siiiasin/Icosf 

ftlso: 

l + COSfltCOS/'COSX ^ , ^_ , ^ 

«m«.in<?riny =<»ot«.f cot/?+coty 
Ferner 

si n»g+8in»H-sin«y ^ gi 4-^14,^1 ^ gi-j-^t^,^ 
28iiia8in/}8iii)f " 8r* sin asm/? sin/ "" 4^ 



3. Ans 2. folgt: 

cot^— coto — C0t/I-|~C0t)f 

gin(g— ^) _ sintf+y) 
sinasin^ ünßviny 

oder 

sin(g-"^) sin'g sin*« 

sin^ sin/Sstn/ sinasin/^sin)^ 

ebenso 

sintf— ») ^ sin«/? ^ sin»/? 

sin^ "" sin/sina "" sinasin/^sin/ 

sin (y — ^) sin'y sin^ 

sin^ sina sin/l "" sinasin/Ssiny 

Es ist also: 

8in(a— ^) : sin(/I— IT) : sin(y— ^) — sin'«: sin*/} : sinV 

4. Erhebt man die Gleichung: 

cot4> — cot«+cot/f+coty 
in's Quadrat und addirt 1, so findet man : 

1+cot«^ — cot»«+cotV+cotV+3 
da 

cot/?coty+ootycota-|-ootaoot/I — 1 
ist: also auch: 

stoV sm»« ^ tin*ß ^ 8iii«y 



fsirasaa: Dm BrmmtuAt Wwhi 



El 



Bnr. 1. Es ist 

•tan 

4(crt»-Ha*^H>rtr^ = «et J+oo» 1+ «»«1+ (oot ^— tf 1 — <t J) 

+K-*;-*!)+H-<»ä-«i) 

* 1 ^1 f * ß 7 

«« «+ OK ^ + O0l| sttHj - 081 1 • eit| 

* 9 7 m $ j 



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Bnc^ warM siK^ s&Vi nc^<£ nt^ 

€ ac.^2= a»K lavS rs« lät« ^S lia? 

111 111 






Fuhrmann: Der BrocartTsche Winkel dts DreUeks, 7 

Bm^acosß—nufißcosa — üaacoBß(l — cos'a) — 8iii/3co8a(l — cos'ß) 

— sinacos /I — cosarin/I— cos a C08/3(8inocos a — üi^ßcosß) 

— 8in(o — /I){1— cosaco8/Ico8(a-)-/3)} 

— 8ill(a — /))(l+C08OC08/)C0BX) 

sin'a smß— sin'/) sin a = sincr sin ß (sin'a — sin'/?) 

~ sinasin/Isin(a-|-/})sin(o — /I) 

— 8in(a— /9)8ina8in/Isin/ 
also 

sin'ttcos/?— sin'/? cos« l-{-costtc os/?cosy 

sin'« sin /? — sin'/J sin « "" sin a sin/Isin/ "" ^ 
Da, wenn ^ 

-- = — —■— aucn — 1 \ — -■ — 

ist, so folgt darans der Satz. 
7. Wir wollen einfbhren: 

sin'a + sm*ß + sin'y «=» »*, 

sin*/J sin'y + sin'y sin*a+ sin'a sin'/J — A* 
sina.sin/I.sin/ — fi 

Dann folgt ans der Gleichong in 4. 

rin«^=Jl, sin* = S 

Bo dass d* stets spitz ist Also 

sin* fi %* %* 

nnd 

»' — 2Acos^ — 2fiC0t^ 
Da anch 

cos«* — — jp^ 

Jst, so folgt noch 

4X'— 4fi«-»* 

also 

sin*«+sin*/»+8in*y - 2X«-.4|*« - 2(i«- 2^*) 

8. Ans den Formeln in 7. folgt noch leicht 

sin2^ — ^ 



/»i 



««— : 



CK»<— 



i* 



1 _i 



!• ^ 



Bft J BI7 • 1 



. 1 



1 t 



^ BIL^ tBC^ * SK^ MB J^ 



IL 



.c — t- 



= soE^~ cKcak'^ 



= fav^— 






IC — #^ —ins»-* 






SIt> 



-«* 



i.t— 4 









FmkrmmHH: Ihr Broearttsek« Winkel du Drtieeh». 

8iag k 

rin« A(rin«a + rin«/? + linV + 3A«) 

i»(3+2co82d) A(l4-4co8<») 

^^- ^^ ^^'* 

14. Xein«iiii(«+^) - ^ 

Bew. 8iBoBiii(o+^) "" lin^ooi^+BinocosoBiii^ 
also 

— 2f»cot^coi^4-2|»8in^ = g*~ 

^^- ^ Bin« " sin^ 

Bew. — . — cotacoB^+flin^ 

also 

^coi(«— ^) ^^ ^ I • i^^ l+2Biii«^ 
Bina ' sin^ 

C08(g+^) 2 cos 8» 
Bew. ^»(«+^) ,cot«cosl»-änl^ 

lUia 

also 

2coe^coB^--88iii«^) 
" Biii2^ 

Ebeaio abzuleiten ist: 

17. Xsin«cos(«— *) " 4/iC08^ 
1& X sin« C08(a+^) — 



10 Fuhrmann: Der Brocmrdmhm Wmkti it9 Drtittk». 



19. JI?co8acos(«-^) — dcof^— 



sin^ 



23. Xc08«C08(a + ^) «3C0S*— -r*^ 



Ist h dae ponthre oder negatnre ganze ZaU, so folgt ebenso 

nn« ' sm«^ 

z. B. 

_«iB(0+2») „ „^ , sinS» , , , „^ 
'^— S?i 2co82*+-^j^-l+4cos2» 

SlDtt COS^ 

sino sm^ 

^ ri,(/?-^),in(y-;^) _, 
nnpsiny 

8iii(|?-<> )gi n(y-^) 
siapsin/ 

91». I .i> . ^ «^ sin*«sin^C08^ 
- cos«^+cot/?cotysin«»^ sinasin/?iin 7 

also 

X ! »"«>- yy-») _ 3co8»;^+8in«<^-2cot;^»iii*co8* - 1 
sinpsiD)^ ' 

^ 8in(/?+^)8iD(y+^) 
sin/} sin y 

— 3co8«*+sin«ö^+2cot^8in^co8^ — l+4co8«^ 

sinpsin/ 

„. y co8(g+^)co8(y+^ ) _ cos3(» 
^^- ^ sin /J sin y "" cos* 

Diese Beweise sind ganz analog den vorigen. 

27. Xcosacos(/? — ^)cos(y— *) = 8cos*(oosacos/IcoBycos* 

4- sin aniaß sin y sin *) 

Bew. cosacos(/J — ^)cos(y — *) — cos«coB/Jcosycos«(^ 

4-cosoBin/}8inyBin^+CM**^*^B^^^^ 
Es ist aber 



Fukrmamm Der Broear^Mck§ Winkel du Drnuke, \\ 

2c08«8m/}8in/ * l-)-C08OC08/9C0l/= |»COt^ 

also 

Xcosaeo8(/}— ^)co8(y — 3-) «> 3co8oco8/)cosyco8'^-|-3ficosi9'8m^ 

Es macht keine Schwierigkeiten, anf analoge Weise folgende 
Belationen za beweisen. 

28. 2co8aeos(/)+^)«08(y+^) 

SS C08^(3co8aco8/Iooiycos^— fiiin^) 

Bin/gsiny 2j»coad 

^- * 8in(/»-^)rin(y-^)'" sin*^" 

30. XBln«(«-^)-3BinV-t-^^^ 
Xco8«(«-*) = 3co8V-?^|^ 

' 8in%r 

31. 2sin*(a4-») — 8sin>^+2|»oot4> 
JI?co8^a+^) = 3gob^— 2ficot^ 

32. 8in(«+*)8inO»+*)8in(y+*) - 2|»C08 »— sin«^ 

-8in^(««— 8inV) 

33. cos(« -^) C08(/l - 9) C0B(y - 4>) - ^ — co8»^ 

34. cos(«+*)coB(/J+*)co8(y+*) 

= co8acos/Ioos>^oo8V— 8in«rin/l6in/8in*^ 

cosV+ ^ (co8*^ - sin*^) 

35. XBln»aBin(«-^)-?*i^^-+8|»Bin^ 

36. Xsin«aBin(«+<^)-.?^^-3fiBinl^ 

Bew. sin'a 8in(o — ^) — sin^« cos ^ — sin^coB « rin^ 
also 

i:sinHrBfa(«— ^) == C08^(8in*«+8in*/»+8in*y) 

— Bin ^£ Bin'« cob u 
Es ist aber: 



12 Fuhrmann: Der Brocaritsehe Winkel des Drtueka. 

— Bin'ocoso — 8m*«co8(/I-|-x) "" sin^oeoi/^coi/— liii'asin/Inn/ 

— sinacoi/Scoiy — sinacosacos/Icoiy— Biiiosin/lsiByBiii'« 
also 

— XBiii'ac08a — fi — 2fiC08aC08/)c08y — f»«' 

— 3f» -2fi(l+co8aco8/Ico67)— ^* 

= 3|» — 2|»»s — 3fi— 4fi>cot» 
Somit 

X8in>osin(o— ^) = 4fi'(cot2^cot^co8^--oo6^)+3^8iiid^ 

4tt'C08^ 

Der folgende Satz bedarf zum Beweise nar einer kleinen Ver- 
ändemng. Man erhält zonächit 

4ii' C08 ^ 

sinVsin S» ^ ^' ^^ coi^+ 8in2^ sin^}— 3|» sin ^ 

Leicht ergeben sich femer noch folgende Relationen: 
37. X8ina8in^a+^^ - iXdn*a+iV32Bin2a 

2^008 (^--4^^ 



— f»cot^4-V3f* = 



sin^ 



3a ^C0B«riB(«+^) = |V3-5l!i!(Ll!) 

39. .in(.+f)rin(/»+3^)rin(y+f) - ^^^-^ 



4a »in(.-f).in(^-f).in(..j)-tV3-^fr:f) 
41. Z.to«co.(.+3-) ^^ 



Fuhrmanm: Dtr Brocant»ek4 Winktl d§9 Drueeks, 13 



42. i^sioocoB 






sind' 



43. co.(«+j)co8(/»+j)co8(r+j)-'^^^^^^ 

44. co8(«-3;co8(U-3Jco8(y-3) ^^-\ 

45. Die Schwerliniea eines Dreiecks ABC seien la, <i, <c und 
die Winkel eines Dreiecks, dessen Seiten <a, <», <c sind, seien cv^, /^o) 
Xo- Man findet dann: 

a» = J(<ft» 4-<c« + 2*6 <c cos «o) 
ea ist ferner: 



also 
oder da 
und 

so ist 
oder 

Femer 



4li<e8iDfi^ -■ •— Sfttfsina 

9a« = 4(<** 4-<c*) + 6ä<? cot «0 sin a 

4<6«+4<,« - 4a«+i«+c* 

&csino = 2^ 

5a« = i«+ c« 4- 12^1 cot «0 

6a« = a«4-Ä»+c«+12zfcotao 

a« — &«-|~^~~^^<^OSa 
2a« — a«+i« + c«— 4zfcota 

— 4^f(C0t^ — cota) 
also 

6a« = 12J(cot^ — cota) — 4^(cot^+3cotao) 
nnd 

3cot^ — Scot a — cot^+d<^to^ 
oder 

2oot^ = 3(cota + cotao) 
ebenso 

2cot(^ =: 3(cot/I+cot/l3) 

2cot^ — 8(coty+cotyo) 
also 

6cot^ — 3cot*+3(cotat + cot/»o + cotyo) 
ao dass anch 

cotao+cot/Jo+cot/o — cot^ 

Das Dreieck, dessen Seiten die Schwerlinien eines andern Drei- 
ecks sind, hat mit diesem denselben Brocard'schen Winkel. 



14 



l*it&rMafiii: Dtr Broeard'ad^ WmM de» Drtktka, 



B. Beflümmnng der Längen von Linien im Dreieck and damit 
znaammenhangende Eigenschaften des Dreiecks. 

1. Ans Dreieck ABC folgt leicht 

c8in(^--^ 2rsiny8in;(/g--») 
sinp sinp 

Mit Benntzang der Gleichungen in A. N. 3. findet man 

2rsini3sin^ 2r8inysin^ 

AO^ \,tl --, ähnlich AO' =: V" 

Ebenso 



sinn 



„^ 2rsinysind' 

BO — 7^-5 — 

smp 



BO'^ 



sin« 
2rsina8in^ 



CO- 



2r8intt8in ^ 
siny 



CO' 



sin/) 

2r sing sin ^ 
siny 



Hieraus folgt noch: 

BO. CO' — CO.AO* — AO. BO' — 4r«sin«^ 

-^ -^» 4r*sinÄsiny8in*^ 4r*siu'^ 

AO.AO ^ . , ^ = -T-7 5- 

sin'o sin(tt— ^) 



BO.BO' '^ 



CO. CO* — 



4r«^in»^ 
8in(/?— ^) 

4r>sina^ 



sin(y— 1^) 
AO.BO.CO — ^ O'.iJO'. CO'— 8r» sin V 

itOMO'sinaH-ÄO.ÄO'sin/J + CO.CO'8iny«4rV 
CO 8in(a — ^) ÄO' sin(a — ^) 



-2zi 



^O 



sin^ 



^O' 



sin» 



AO sin(/>— ») 
BO" sin^ ' 



CO' 8in(j) - ^) 



BO* 



sin^ 



2. 



ÄO sin(y • ») AO^ __ Bin(y ») 
CO^ sin^ ' CO' "^ sin^ 

iJC. CO — 4r« sin ^8in(a — ^), 
CO'.ilO - 4r«sin^sin(/J- ^), 
AO\BO^ 4r«sin^sin(y -^). 

Ans dem Dreieck ilOO' erhUt man: 



Off\ « ^l!l5^(iii|t/l4.iin«y — 28in/»sinycos(«-2ir)) 
setit man 



Fm Ar MO im: Der Brocarttaehe Winkel (Um Dreiecks, 15 

cos(a — 2*) — COS « 4- 2siii ^ 8iD(tt - &) 
so wird die Gleichang 

OO'^ ^ -^lj^-(sin'/94.sin*>r-2ftiii/}8iD/co8a~4Bin|3Binx8in^in(a-£r)) 

ir^sin** 
= I , — (sin*«— 48iii/38iDysin^in^a— d)) 



= 4r«8in«l^ (i-^y>i:^siD^sin(«^^)) 
= 4r«8iii«»*^(l— 48in«a) 



3. Es mOgen sich nun BO and C(y in A\ CO ond A& in B'y 
AO HBd 2^0' in C schneiden, dann bezeichnet man A'B'C als das 
Brocard'sche Dreieck. Ans der Construction folgt: 

^ ßOC « COM - 1800— y, COA — ^O'iT « 180«— o 

AOB = ÄOC « ISO"»- /J 

Wir nehmen der präcisen Yorstellnng halber ein spitzwinkliges Drei- 
eck «>/J>60»>y an). 

Dann ist ß'OA'=: B'O'A* — y^ also liegen A'B'OO' anf einem 
Kreise, von dem sich ebenso beweisen Iftsst, dass er dnrch C geht 

Der dnrch A'B'C bestimmte Kreis, welcher als Brocard'scher 

bezeichnet wird, geht also dnrch dio Punkte O nnd O'. Da die 

Winkel des Dreiecks a, ß, y sind, so ist es ABV ähnlich. Femer 

weil HC* senkr. anf AB nnd HA* senkr. anf BC^ A*HC* '^ 

A'B*C* = /}, also geht derselbe Kreis anch dnrch H. 

4. HA'0^90^-e, ebenso HB*0'=9(fi^^^ da über HO 
ond HO' gleiche Winkel im Kreise von Brocard gespannt sind, so 
ist ^O -= //O'. Auch ist OHO' « 2*. 

Dies lässt sich anch dnrch directe Berechnung finden. Aus 
AHO findet man: 

HO* — AO* + r*^2rAOcoslHAO) 

Z.HAO -«-a^ — 9O0+/» = 900-y — ^ 
also 

j 4r»8in«/g8in^^ , 4r^sin/gsin»8in(y+^) 
sm'a ' sina 

« -T-j- {48in'/3sin'^4-sin*a^4sin/38inAsinysin^cos^ 

— 46inasin/^cos/sin^} 



16 ß^uhrmann: Der Broearttsche WimM de» Dreiefk». 

Setzt man nim: 

Binocoi/ — lin/I— coso8iii)f 
so wird 

HO* = ^ip^ i gin<a — 4 lin /l sin ]f Bin ^ UD(a *- ^) } 
-r«(l-4ein«*) 

Berechnet man H(y ebenso, so findet sich: 

lfO't-r*(i— 4sin«^) 

5. Die Ecktransversalen, welche die Oegenseiten nach dem Ver- 
h&ltniss der Quadrate der anstossenden Seiten teilen , sind zugleich 
GegentiansYersalen der Schweriinien und schneiden sich im Orebe'- 
sehen Punkte G\ Wir bezeichnen diese Ecktransversalen mit AO^* 
BGf\ COy*. Denkt man sich nun Dreieck AGa'C durch BQp' 
geschnitten und wendet den Satz des Menelans an, so folgt: 

G'Gu' : AG,' - a« : (a«+i« f e») I 
also 

AG". AG,' - (i*+c*) : («*+**+«*) 
Daraus folgt: 

ABG'i ABGu'^ (** + «•) ' («•+** + <?•) 
femer 

ABGa' : ABC — c» : (*«+c») 
also 

ABG' : ABC — e^ : (a^ + b^ + <^) 
und 

Femer ist anch: 

c.G'Gc' 



also 
oder 

ebenso: 



ABG^ = 2 

2c.ö'öe'=C«tg^ 

ö'Öe'— |tg4> = rsinytg^ 

(7'Ga'— rsinotg^, 
G'Gk'^^rmßtg^ 



Es folgt aber aus BA'ffc sofort: 

A'He — rsinatg^, 

B'Hh — r8iaßtg& 
ebenso 

C'^Tc — rsinytg» 



Fuhrmann: Der Brocaretsche WinM de» Dreiecks, I7 

DarmoB folgt: Zieht man durch die Ecken A\ B'^ C des Bro- 
card'schen Dreiecks die Parallelen zn den entsprechenden Seiten des 
nrsprOnglichen Dreiecks, so schneiden sich dieselben im Grebe'schen 
Punkte O'. 

6. Nach Nr. 5. ist Zl HA'G' ein rechter Winkel, also geht der 
Aber HG' als Durchmesser beschriebene Kreis dnrch A'; ebenso 
geht er dnrch B' und durch C\ und dieser Kreis ist also der Bro- 
card'sche, von dem wir jetzt 7 Punkte haben. Da HG' ein Durch- 
messer ist, und H von O und O' gleich weit entfernt ist, so auch 
G\ Ist dann 8 der Mittelpunkt von 00', so liegen also HSG* 
maf einer Geraden. Es ist femer, da 

Z, OHO' - 2^, 

also 

OHS^& Ist, 



HS « HOCOB& — rcos^yi--4sin*^ 
G'O «= //Otg* « rtg^yi — 4sin*Ö^ 

G'S = Ö'Osin^ - r — - , Vi — 4sin«^ 

/ , sin*^\ /:; T--<ic. »•Vl-4sin«^ 

— r Vi — 3tg«^ 
alao erhält man fQr den Badius n des Brocard'schen Kreises 

n -^yi-3tg«(f 

7. Man f&lle von A' die Lote auf die Seiten, nämlich A'Hu^ 
A'Ah, A'Ae'\ dann ist: 

A'Ha : A'Ah — sin^ : sin(y - ^), 

ebenso 

if//a : ^'Ae' = sin^ : 8in(/J-^) 

also 

.4'i*' : A'Ac - 8in(y - ^) : sin(/» - ^) - -^(^r^j : slETF^ 

1 1 

Es teilt also i4^' den Winkel a so , dass sich die Sinus der Teile 
umgekehrt wie die Kuben der anstossenden Seiten verhalten. Analog 
werden BB' und CC die Winkel ß und y teilen, so dass sich AA'^ 
BB'j CC in einem Punkte D schneiden, dessen Entfernungen von 

Aick. 4. ÜMXk. m. Fliyi. % KeUe, T. VL % 



lg #*iiArMaftfi: Dw Brocar<t»dk€ Wimhei dt» Dreiecks. 

den Seiten sich amgekehrt wie die Kaben derselben verhalten. Wir 
schreiben dies Resultat in der Form: 



DDa : DDb : DDe 



8in*o ' sin*/J * sin*y 
1 1.1 



sin(a— ^) 'sin«»-^) ' sin(y— ») 

Hieraus lassen sich diese Längen leicht berechnen. Es ist nämlich 

aDDa+bDDh+eDDe — 2d 
also: 

2rJri -r-, rT4" '~^~Tä z^ + "^~7 — ax) — 4r*sin ttSinpsinv 

\sin(a — ^) *^ sin(p — ^) ' sin(y — o^)/ ff 

wo X noch ein unbestimmter Factor ist, es ist aber 

sina fA 



£ - 



also 

somit 
also 



sin(a — fr) sin*^ 
X-2rsin»(f 



2rBm^& ^^ 2rsm*» ^^ 2rsin»^ 



(sin(a— *)' — • sin(/J — ^y '"^' sin(y— *) 

8. Es schneide AD die Seite a in D«, lfl> die Seite b in Z>^, 
CD die Seite C in Dy. Es ist dann 

Dreieck ABDa : ADaC = i?Da : DaC 
femer anch 

ABDm : ^r>aC » csin(iri4Z)) : 6sin(DilC) 
also 

Z>a teilt also BC nach dem umgekehrten Verhältniss der Quadrate 
der anstossonden Seiten, während Ga dieselbe Seite nach dem Ver- 
hältniss der Quadrate teilt; daher ist 

BOa' — DaCy Ga'C — BDa 

also 

/3 #n ^ ^*! ^* — c* 8inasin(/? — y) 

^« ^« - « if ^^ - j,tj^^ - « i«^^ - « sin«|J+siHV' 



also 



FmkrmaMM: Der Brocard'schs Winkeides Dreiecks» 19 

Es Terbilt sich ferner: 



r 8ln(g — 0*) 8in(P— y) 
8inaco8^ 

Analog: 

^,^ ^ r8in(/g -^)8in(tt — y) 
"" sin ß cos ^ 

^,^,; _ r8ia(y-d)8 in>(tt~/» 

sinysind' 

9. Berechnongeu von ADa = r«, -ßZ>^ = tj,, CDy = tc 
Da DaC ^ ÄMiTyä ^^^ ^^ 8*^^^ ^^^ Dreieck ^IDaC leicht: 
« At -i_ <»*<^* 2q^c^C08y 

&«(&« + c»)» + o V — 2o&c>(^» + c») c os y 
&< + 2&V + &gc* + aV - 26» a<^ C08 y — 2 q&g* cos y 
_ 6<^ + 2& V(6 ~ g cos y) +g*(&2 +0^ — 20 cos y) 

Eb ist aber 

Ä = a cos y + c cos a, 

52^ii2_2a6co8y — c2 
also erhalten wir: 



.8 



i6^c6^26Vcoso 



»« - (6a+c2)2 

( 8inV+ sin^+^fliP^/^sin Vcos tt\ 
"^\ (Sintis + 8in2y)2 | 

Es ist femer: 

sin«/l+8in«y - (sin«/J+8in«y)» — 38in2i3sin?y(sin2j3 + 8in2y) 

Nach Nr. 12. in A. ist 

• 2« . • 8 8in(«r+^)A ^sin(tt+^) 
8in«^+8in2y ^-^ sin« sin ^ 

also 



20 /*aiArMaiiii: XMr ßrocar<t»ch€ Winkel des Dreiecks. 

'^ ^ ' 8111*4^ 810^ 

%\vfi6 8iii'y 
also 
^" "^ (8in«ff + 8mgy)g8m»» ^^^'^^^^ "^ ^^ -38m2d8iii(a+*)+2co8a8in»aj 

"" 8i^(ttff)8hi^ '®^°'^" "^ *^ "■ ^«^°*^^°(" + ^^ + 2co8«8in»^} 

Es i8t dann: 

8in'(o-f^)— 38in>98in(a+^)f 2co8a8in'»»8in(a+^){8inS(a | ^)-sinS^ 

- 28in2^(8in(«+^)— C08o8in^) 
= 8in(«-f ^}8inci8]n(o-f2^) ^ SsiL^sinocos^ 

=r8ina{sin(a+d^)8!n(o+2^)— 8in^in2»} 

— 8in2a8in(a+a^) 

Di68 giebt 



oder 



a ir^sin^asin/f siny . , , «^, 
'•' - rin»8in«(«+ ») '»°<''+^^ 

8in/f8iny 8in^a 



gesetzt, 



8in^ 8in(a — ^) 

j 4rg 8in*«8in(«+3^) 
*" "" 8in«(a+i^)8in(a— ^>) 

2r sin^tt Vsin(« + 3^) 8in(ä— O) 
*■ "" 8in(a + ^)8iu(a — Ö-) 

10. Um AD zn finden, betrachten wir Dreieck ACDa^ welches 
dnrch BDß geschnitten wird. Wir finden 

AD a^bß + a^iß 
DDa "" *2c2 
also 

AD _ cfl(lß+(ß ) 8itf«(8in»/g+8in«y) 

ADa "^ l^c^+e^a^+a^^ "" Ä» 

sin^g 8in(a + ^) .sin /? sin y 8in*g8in(<if4"^) 
"■ A^sin^ "" A28in(o — ^) 

sin(g+^)8in ^ 
"" sin I? sin y 



^ sin(«4 -^) sin(tt — ^) 



also 



sin^a 



FnArjiiafiii: Der BrocantBehB Wifdcel det Dreieeks, 21 

AD — 3r VsinCa + 3») 8iii(a — ») 
ebenso 

CD « 2r l/8m(y+3*)8iii(y— IT) 
Wir merken endlich noch: 

DDci sin»» 
i4Z)a "" rin^« 

11. Indem wir die Flftcheninhalte der Dreiecke AßDa nnd 
AA'Dm vergleichen, finden wir die Proportion: 



, esinß 2Bin/?gin y 28intt 



8in^ 



Bil'sin^ sinatg^ 8in(a— ^}tg^ 

28ingco8^ 

"■ 8in(«— ^) 
mlso 

AA* 28ingco8fr— 8in(tt — ^) 8in(g-H>) 

ADfa, 28inaco8^ "^ 28ina 008^ ' 

, r8ina 1 /8iiä[cH-3^) r 8intt V 8in(tt+3^)8ing-^) 

'^^^ ""coaö^r 8in(«-^) "" co8^in(«-<^) 

und 

AÄ 8in(tt+^) 

J'-Da^sinC« — ^) 
Femer iit 



A'D ^AD — AA'^ ry8in(a+3^)8in(«— ^) I2 — 



8ina 



C08^8in(a — 9) 



13. Berechnung von DB* 

Es i8t A'H^A'B^^'-HHa — rsinatg^— rC08o 

— >'C08(g+^) , 
"" C08^ * 

DB^^A'm+A'Iß^2A'H. A*DCM{A'H,AD) 

.^A*WÄ*n\ ^^« __ 2r8ini>8inygin(g-f^)8in(g-^) 
coiK^ H^ D)^^j^^ - 2r8inV8in(«-|^)8in(— 4^) 

8in^in ( g4^) 

"" VBin(«+3^)«in(«— d) 
nloo 



22 Fuhrmann: Dtr Broearffscke Winkel des Drtittka, 

_ ffcosVt^ ragiiiV-2^)gm(tt+3^) 
"■ cos^d^ "*" C082^8in(a-^) 

*" C08*^8iii(a— ^) 

+2co8(a-K)8iD(a— 2^)8in^!n(o-i-^^ 
Nun ist 

8in2(a — 2^) 8in(o + 3^) + sin(a[ — 29) sin » sia(2« + 2^) 
— 8in(« — 2^) { siii(a — 29) 8in( « + 3*) + 8in(2a + 2d)siii* } 
= 8iii(« — 2^)8in(a— ^)8iii(«+4«^) 

also 

nm - ^^^1 C08«(a+ 9) + 8in(a - 2^-) 8in(a + 4^) } 

= 2^|l+«>8(2« + 2^)+C086(^-C08(2a + 2(^)} 
r«C08»3 » 

cosd- ^ ' 

13. Es ist: 

^^ w,^ . o^ 2r8iny8in2d^ 

smp 

00,'- Ä)'8in(^-<^) - ?!^!?^«»»55fc^ 

^ sinp 

also 

2r sin 9 
OOa^O'Oa'^ ~~^~ß {sinysin^+siöttsin/Jeos^ — sinocos/Jsin^ 

= 2r8in^{sinocos^4~<^*tt8^ii^} 
— 2r8in^sin(« + ^) 

somit erbalten wir fttr den Mittelpunkt S von OO'i 

SSa — rsin^8in(a4-^), 
SSb - 8ln»8in(/)+^), 
5<Se — rsin^sin(>r4-^) 

SSmiSSbiSSg — sin(a+^):8in(/}+^):8in(r+^) 



Fui'manti: Dtr BreeariFiche fPinkrl dti Üttitcka. 



14. £b ist 



ai = 2rSlnpBin)' — vt.4a 



Teilt man nnn SD nach dem Verhältnis» 1:2 und Rillt vom Teil- 
pankte das Lot auf a, bo findet man f(lr dsBBolbe 



in^SBin,.— 



3 "3 



P/J,+2SSc CC 



Dieser Punkt hat also von den Seiten dieselben Abstände als der 
Schwcrpnnkt G des Dreiecks. Somit ist der Scbwerpniikt des Drei- 
ecks anch der des Dreiecks DOO". 

15. Fallt man von c das Lot auf A'B' nnd von A anf B'C\ 
BO mlLsgea diese Lote den Winkel ß einscb Hesse u , worans teicbt 
folgt, dasa sie sieb auf dem umscliriebenen Kreise schneiden müssen. 
Aach folgt leicbL. indem man von A auf B'C und von B anf C"A' 
Lote ^It, dasB sie sieb ebenfalls anf dem Kreise schneiden mUssea, 
und da der Punkt durch ein Lot und den Kreis bestimmt ist, so 
mtlssen also die Lote von A auf B'C, von B auf CA', von C anf 
A'B' sich in einemfPunkte iVdes amgeschriebeoen Kreises schneidon. 
Anch folgt leicht 

Wkl. (ANj, AB) = (A'H, A'B') = u 

nnd bierans, dass N in dem nmgcBchricbenen Kreise in Bezug auf 
die Ecken von ABC dieselbe Lage bat, als // im Brocard'schea 
Kreise in Bezug auf die Ecken des Brocard'schen Dreiecks A'B'C 
Daher ist 



BN' B'H~ 2: Vi— 3tg»» 
2B'H 2reoB(g + g) _ 



iß-\-») 



Weil aber 
ist, 80 ist 



Vi— 3tg"* ""coB^yi— 3tg»ff Vi— 4sina» 

NNa — BNsiaiBN.BC) = BNiin(a+a) 
{Ä'C, A'H)=tt-{-<a 




24 /uArmana: Der Brocae^sche. Wtnkel des Dreiecks. 

HC* = 2r6 8m(a+«) = rVl- 3tg2^8in(«+ ») 

also 

NN = ^^'^—— ^ — ^^o^(ß+^) rco8(y+^) 
rVl -.Stg»^""" yi-48m^ rVl-48ma^ 

_ 2r C08(i3 4- ^)C08(y +^) 
"" 1 — 48iii8d^ 

Verlängert man nun DH bis zum amgeschriebenen Kreise, so 
mag der Schnittpunkt mit dem Kreise mit P vorläufig bezeichnet 
werden. Da nach dem vorigen: 

Z)/f:ÄP— co83*:co8^ 

ist, so findet man: 

/ IL I n..x 2rsin'0^co8^ 
rcosa(cos^+cos3^) 8in(tt - ») 

setzt man hier 

sin»^ = 8in(a— ^)sin(|3--^)8in(y— ^), 

cos^+<^o8 3^ = 2 cos^cosS^ 
so wird 

PP«=^^^{co8«co82d^ -8in(|J-^)8in(y -^)} 

2rC08^ //. I -XX / I Av 

2rco8( />+» )co8(y+» ) _ „„ 
1-4 sin»» ~ •"■"• 

DaraoB folgt, dass P der Pankt N ist Es li^en also die Paukte 
DHU in einer Geraden. 

Vom Punkte N bemerken wir noch Folgendes: Es ist 

„„ 2rcos(|?+»)co»(y+» ) 

-"^« ■■ T^sin«» 

.^ 2rcos(tt+^) 

AN =s — — 7=====- 

y 1 —4 sin^d- 
also 



so dass 



A^j M 4rgco8(«+^)cos(i34-^) (C08(y +&) 

JiJS ,JSa "^ / ^ fl 

yi-Asin«** 



fmkrmaumi Dtr BiMurttAt WM»i eIm DrtiiJa. 

'Ali.ANa •= BN.NNb = CiV.iVJV, ist 

Bern. Bei unserer Annahmo liegt A in dem Bc 
Seite AC gehört. Mau findet im allgemeinen: 



KKa-.iiKi-.NNc ■ 



k 



coB(o+ 9)'co8(|3 + #)' cosly+S) 



so daas A in dem Bogen liegen wird, für wHcbcn das Zeichen be- 
treffenden Cosiuns abweichend ist; denn offenbar musa ein Cosinns 
ein anders Zeichen als die andern haben. Es folgt dies ans 

£BinttCoa(«+5-) = ü 

16 Sowol HH' als SD wird durch G nach dem Verhältniss 
1 : 2 geteilt, also ist SHl DH\ ausserdem 



DH'- 



2SH 



Man ist 
mlfio 



SR — HO cos9 = «A'cos^ 

S]I = rcos^sVl— 3tg»e = cos * Vi— 4Bin»ff, 

DU' = 2rcosdl/l — Bini«» = ir Vcos*coa3» 

17. Sind 4 Eck transversalen harmonisch, so müssen anch die 
Gegen transversalen harmouiscb sein. Man denke sich nun den Spie- 
gelpankt A,' von A' in Bozng auf a bestimmt, ziehe Ai'C nnd A,'B 
und betrachte A,' Bü' . Dasselbe iet dem Dreieck ABC ähnlich, 
weil es im Winkel fj und dem Terbältuiss der ei nachlies senden Seiten 
übereinstimmt. Da nun 



\ 



Ebenso ist 



EC' 



A,-C' = T i = AB' 

2cöstf 

A,'B' — AC 



alBQ AB'At'C' ein Parallelogramm, daher geht AA,' dnrch den Mit- 
telpunkt Ha' von B'C. 

Eb igt ferner AC'B' ^ AOO' in umgekehrter Lago; in AOO' 
ist non AS die Schwerlinie, also ist dio Schwerlinie ABa in AB'C 
die Gegentransversale vou .45 in Dreieck AOO', und da AO und 
AO' in ABC Gcgeutransvcrsalen sind, so ist die Linie AHa' oder 



I 



i Dtr Broearftekii Wi»]al dt» DrwiKlu. 

AA,' die Gegentransversale von AS in ABC. Bestimmt mau nan 
B,\ C' analog wie A,', ao ergiebt sich, dasH AA,\ BB,', CC,' aicb 
in einem Panklo S' schneiden, welcher der Gegeiipunkt von S ist. 

Es sind nan AA', AHa, AA,', AH' 4 harraoniBchc Strahlen, 
oder, was dasselbe sagt, AD, AG, AS\ AH', also auch die Gegen- 
transversalen derselben; nennen wir nun // den Gegenpunkt von D, 
Bo sind also AD', AG', -iS, ^7/4 harmonische Strahlen. Von diesen 
liegen //, S, G' auf einer Geraden, also geht AD' durch den 4ten 
harmonischen Pankt von //, S, G' . Da wir für Ecktran sversalcn 
ans B DDd C dasselbe folgern können, so ist also der Gegenpunkt 
von D der 4te harmonische von HSG', conjngirt zn S. Da ferne 
Oo' senkrecht zu HG' ist, so ist D' der Pol von 00' in Bezug auf 
den Brocard'schen Er eis. 

18. ABC und A'B'C haben denselben Schwerpnnkt. Wir be- 
weisen dies leicht, wenn wir uns erinnern, dass 2 Dreiecke den 
selben Schwerpunkt haben, falls sie nnr eine Scbwerlinie mit An- 
fangs- und Endpunkt gemein haben. 

Nun haben ABC nnd AA'A,' die Scbwerlinie Al/a gemeinsam; 
BA'A,' und A'B'C haben aber die Schwerlinie A'H,,' gemein, also 
hat ABC mit AA'A,' nnd dieses mit A'B'C" denselben Schwerpnnkt- 

19. Es ist: 

HS : SG' = HD' ■■ G'D', 
G'S - e'OsinS — 2r*sinäd 
HS = i/o cos & = aricosi'* 

Setzt mau nnn G'D' = x, so heisst die Proportion: 

also 

2n s iu"» 2rfcC0 B'» 

^ COSÜ.'h ' *T"-^ cos2^ ' 



DH- = 2rco89>l— 4wa*& 
DH'i a£)'=2c082*jl 



Da nun: 

so ist 

Ferner : 

coi* ° 
alBO 

NHz HD — HD' iDH' 



Fmkrmamnn: Der Brocartfsche Winkel des Dremek. 27 

Da die letzten Linien parallel sind, nnd NHD in einer Geraden 
IkgeD, 80 auch ND'H\ 

ao. Da i>' Gegenpnnkt von D ist, so folgt: 

DDm : D'Ih' : D'Dc = 8in(a — ^) :8in(/?— d) : 8in(y — ^) 
oder 

I^Dh' =a;8in(/l — ^), 

HDc*— «sinCy— ^) 
Aimerdem : 

oder 

«rj8inosin(a— ^)+8in/l8in(/l— ^H-8iny8in(y— ^)} = /f = 2r»f» 

oder nach A. N. 11. 

2^ C082d^ ^ 



r8in^ 

X = 



also 



Z)'D.' = 



co82{^ 

r8in^8in(g— ^) 
cos 2^ 



^^* ^ C082^ 

_ r8in»8in(y-») 
^^' " ^5S2ä^ 

21. Man lege nnn durch & die Parallelen zn den Seiten, 
welche dieselben dann in Xi, i^, Af„ M^ Nj^ N^ treffen mögen. Um 
den Index festzustellen, halten wir die cyklische Reihenfolge der 
Seiten abca ... fest; diejenige Seite, welche nach dieser Reihenfolge 
Toran g^t, erh&lt den Index 1. Es schneidet also die Parallele zn 
€ die Seite a in 2^ nnd b in M^, die Parallele zu a schneidet b in 
Hj nnd e in Nfj die Parallele zn b schneidet c in y^ und a in Z^. 

Die Symmediane AGa wird dnrch die andere in G' so ge- 
schnitten, dass 

ist, ebenso 

Gfl'G* : (?/-» - *2 : (a^+ia + c«), 



28 Fuhrmann: Der DrocartTseh« Winkel des Dreieeh$. 

Daraus folgt: 

■»^ - a»-H«-h>« 

Es folgt daraas: 

ebenso: 

also sind BL^N^ und BN^L^ ähnlich unter sich und dem Dreieck 
ABC, Durch I»!^,, N^I^ lässt sich also ein Kreis legen, für wel- 
chen L^N^ and L^N^ antiparallel sind, daher 

{L^B,L,N,)^a, (N,B,N^L,) = Y 
Da 

BLi ae_ 

BA "a^+^+i^ 
SO ist also 

L,N. ab 



/,XT, 



BA a^ + b^+€^ 
oder 

abc 2r sin« sin/ ? sin y 

S+P+^ "" sin2«+sin«/i+sin2y 



_ _, tMHJ ^rSlUHDlUK DIU/ . g. 



Es ist also anch 

ilf,L, = iVi3f, — rtg^ 

Die Entfemangen der so bestimmton Punkte auf je 2 anstossenden 
Seiten sind gleich, wobei der Index 1 dem letzten Buchstaben nach 
der cykliflchen Rdhenfolge gehört 

Die Stacke auf den Seiten selbst verhalten sich wie die Kuben 
der Seiten. Es ist 

cfi sin*g rsin(g — ^) 

^1^ ■= ^LfSä^p?— 2r. gia2„^gin9|3^ginay — cos^ ' 

^^ ^ _^ 8in»/g r8in(/?>-d) 

^t^ - a^^l^+^ - ^"^ sin««+sin«/l+sin»y " cos^ ' 



ukrmaKn: Drr hrecanfnJit Winkrl da IJ 
Ä L,LfN,Nf liegen auf e 



A'i A', - ■ 



f BJnCy — g) 



Kreise; da nun L,Mt\\Ali 
mi L,Mf = JV,3fj iat, so Hegen auch i, iV, A', A/, auf eiüem Kreise, 
der durch £^ A« A', schon! bestiutnit ist. Derselbe Kreis muss auch darcli 
A,A', Af, Afi gehen, so dass die 6 Punkte L, i, Af, A/, A', A', anf einem 
BDil demselben Kreise liegen, welcher von R. Tucker der triplicale- 
ntio-circle genannt wird (vielleicht mit Kreis der 3ten Potenz zu 
Bberaetzen). Er heisst jetzt der erste Kreis von Lemoine. 

Danus folgt noch sofort: 

L, A', = A/, iVa, A'i M, = A,Z,j, Af, L, = l^M, 

dass also die Dreiecke LjM,A\ und L^M^Nt einander congraent 
sind. Ei ist dabei 

Wkl. A'i A/.L, = JV.A/ji, = A/,iV,vl-y 

ans analogen Schlüssen folgt, dass die andern Winkel des Dreiecks 
L^MjN, ß und c sind, so dass die Dreiecke dem Dreieck ABC 
fthnlich sind. 

Es mögen sich ferner 

Li Ml and L^N^ in A^, 

Af, Ni „ Lt A/, in B^, 

NjL^ „ A/,A-g in C\ 

Bdneiden, dann folgt aus dem, was oben von A, Z« Af, Af^ 2i7, A^, ge- 
tagt iat, dass die Dreiecke A^L^l^, B^MiMf, C,A',^, gleich- 
■cheuklig sind, nud dass die Winkel an den Grundlinien immer die- 
■elben sein roUsseu, da sie als Peripheriewinkel anf denselben Bogen 
«eben, x. B. 

Wkl. L,L, Mi = L,M,JUi 

LjAf, geht dorcb G', also auch durch C". Nun ist 

,..r. '<«•-**) ,..,._»•■ "'' 



fl-\-l^-\-,^ 



l^V 



,^+b'+c' 



= ANi 



Da ferner JA', | LC^ ist, so dass .^A', i, C" ein Parallelogramm ist, 
da AC mit AB den Winkel & hildt-t, auch i.,A', mit A', B; die 
l^eif^achenkligen Dreiecke A^L,Lt, U^MiM,, C^A'iiVj haben i 
n der Gnudlinie den Winkel &. 



; Der Bfoearettthe WiiiM Sei Drtiiek: 



24. Fällt man das Lot G'Gi,' auf a 
Länge Li Gä offenbar: 



so ergiebt sich ftlr die 



-<^-\-h^-^c^ 



also 









!*+42_j_ci 



= ^e/, 



Es ist also der Mittelponkt von L, /^ auch der von HaQa. Er~1 
richtet man im Mittelpunkt von L^ Z, das Lot , so geht dasselbal 
durch den Mittelpunkt des Kreises der 'i ton Potenz , wShrendl 
das im Mitt{.'l punkte von HaGa errichtete Lot durch den Mittelpunkt^ 
des Brocard'scbeu Kreises geht. Da diese Schlussfolge für alle Seiten 
gilt, so folgt, dass die beiden Kreise deaselbcu Mittelpunkt haben. 

Dieser Mittelpunkt sei ^, der Radius des Kreises der 3teQ Po-, 
tenz ist ZL^. Ea ist nun: 

_ rcoB (o ~b) 
" 2 cos * ' 
I,,^_ rsin(o— 3 -) 
2 ~ 2cos* 

also, wenn n der Radius des Kreises der 3 ton Potenz ist, 

„ r^icOB'(a-») + Bin'(«- g)i 

rt* = — - - — 

oder 

*■'= 2cÖBtf 

25, Betrachten wir noch die Dreiecke L, Af, A", und LfM^li 
näher: LfM^Nf congr. LiM-^N^ äbnl. ABC. Die Seiten der e 
Dreiecke bilden mit den enisprechenden dos andern Winkel = & 
es ist ferner 

Wkl. A', M^ O- = M, NtA = » 
ebenso 

L^NfG'" N^LiB = 9 

also G' der erste Brocard'scho Punkt des Dreiecks Af^N^L,. Da« 
femer .Z der Mittelpunkt des dorn Dreieck M^N^L^ urascbriebenen 
Kreises ist, so liegt Z auf dem Brocnrd'schen Kreiso dieses Drei- 
ecks, nud dreht mau ZG' um*2d, so ist die dadurch bestimmte Lage 
von G' der 2te Brocard'sche Punkt, es ist nun 



4C08«ff 



" 4C08»» 



FttkrmauMi Der Brocax<t§cke WMtl de» DreMc», 31 

G'ZO' = 2^^ 

alBO O* der 2te Brocard'sche Pankt dieses Dreiecks. 

Im Dreieck N^LiM^ sind ebenso O and G' die beiden Brocard*- 
Bchen Punkte. 

Es sei endlich noch bemerkt, dass BOII^M^, CO\\M^N^, 
AO\\ N^Zi^ so dass die Seiten des Dreiecks L^M^ N^ den Ecktrans- 
TersaleB dnrch O, dagegen die Seiten des Dreiecks LfM^N^ den 
Ecktransrersalen durch O' parallel sind. 

26. Berechnung von NH\ 

Es treffe das Lot von N auf die Höhe AAa dieselbe in A', 
dann ist 

— NA^^lAX— H'J(}{AX+H'X) = NA*^AH\{AX+H'X)', 
AX = AA.^NNa = 2rsin/?siny+ '^^^^f If ^ " ^^ 

H'X = H'A.^ NN. - 2.C0S /»cosy+ ?r^?it±^^^±^ . 

AH' — 2rC0Sa, 

^^ 2rC0S(« + <») 

"* Vi - 4 sin«^ 
Es ist also: 

4r«C08*(a+^^ ^ . /^ X 8r»C0SaC08(jJ+^)C0S(yta^ 
^^ • - l.>4sinS -4r«cosacos(g^y) i,4ein4 

— ^_4g|at^ {co8»(a-f^)-co8ttC08(i3— y)(l -4sin«^) 

— 2C08aC08(/H-^)C08(y+^)} 

coa'CcH-^) "" ^^^'^'^^s'^H'Bii^'MiQ^^^^iii^^^sasin^cos^ 

2co6acoB(ß-H^)cos(]4'^) — 2cosacos/?cosycos'^ - 2co8a8inasin^cos^ 

-|-2cosasin/?sin/sin'^ 
also 



s 



|4r« 



iVÄ" « j3Tj^-j^{oos*«--2oosiicos/lco8y— cosaco8(/5---y) 

-f"Sin*3<8in*«— co8*«-|-4cosocos(/l- y) 
-)-2oosocos/}cosy— 2cosasin/}8iny )} 

— j^37^-|a|— ^os«cos/Jco8y4-(l4-8cosaco8/lcosy)sin*^ 



32 FuhrnaH»: Der Broearfurhr Winhrl tlrt Drriihtt. 

" f — 4 i '& i' -(I+8c09itc09l3coaj')cos28i 

= — ^j(l— ScosocosßcoB/jcoaS-— (1-|-8co3ocobjJcobj')cob3*| 

27. Es lasst nkb Qua aas dem Dreieck N/l'Hüf.r Wiuke) ^ 
berechneu, den die Euler'sche Linie HH' mit dfr Linie /W bildet. 
Setzt man 

COBttCOSßcOSY =ff 

so ist 
also 

Hieraas folgt nach einigen Uraformungcn : • 
l-6siu"»4-49 

cos Ol = 7^^=^. 

(1 — 48in»*)Vl— 8s 
Ebenso leicLt der Winkel if, den DM und DH' bilden. 
Uau liudet aus Dreieck DHH' 



. — cos 2& + 2 cos 4» + ■ig 
2cosöyi~l8in"#'' 



Ea war gefunden : 

I^N, = iV, 3f, = W,£, = rtg» 



Diese Laugen können angesehen werden als Diagonalen von Parallel) 
grammen &V,(?'£„ NjAM,G; MjCLiG. Zielit man also durch di 
gemeinschafiliuhen Eckpunkt G' die Parallelen zu den Linien 
sind die Stücke danu innerhalb der betrefTeuden Dreiecks winkel ß, 
a, Y doppelt so gross, also unter sich gleich, närolicb = 2rtg9. Be- 
schreibt man also mit rtgi^ als Radius deu Kreis, so worden Je '2 
Seiten immer unter dem Durchmesser geschnitten. Nennen wir die 
Schnittpunkte entsprechend L^, L, auf a, Af„ M^ auf £, iV^, N^ aaf 
e, 90 ist also z B. L^N^ ein Durchmesser, ebenso ^^L^, N^M^. 
Daraus ergiebt sich, dass die Seiten des Dreiecks L^M^N^, sowie 
die von LtMti\\ senkrecht zn deu Seiteu von AJSC stehen Diese 
Dreiecke sind also zu AUC\ ähnlicli, und da sie demselben Kreise^ 
einbeschnohen sind, so sind sie einander cougruent. 



I 



I 



Fmkrmunmi Dtr Brtmrdr9dk9 WmU iu Drmtekt, 8$ 

Da der Badiiu rtg^ ist, so ist tg3^ das Yerhältniss der Sdteo 
dieiei Dr^ecks sa den Seiten des nrsprtnglichen Dreiecks. 

Bern. Dies Resultat konnte direct ans den Eigenschaften des 
Grebe'schen Punktes G' abgeleitet werden, wenn man noch bemerkt, 
diM die resp. Durchmesser M^N^^ -^s A« ^^a ^^^ Seiten des HOhen- 
fosqwnktdreiecks parallel sind. 

29. Man lege fortlaufend an den Ecken eines Dreiecks Gerade 
AD, welche mit einer anstossenden Seite den Winkel ip bilden; es 
loli untersucht werden, wie sich das neu entstandene Dreieck A^B^Ci 
zum alten ABC verhftlt 

Es soll sein 

{Aß, A, B,) - (Ba B^ C^) - (CA, C, A,) - 9 (Fig. 2). 

Zunächst ist leicht einzusehen, dass die Winkel des neuen Drei- 
ecks denen des alten gleich sind, die Dreiecke sind also einander 
ähnlich • Es ist ferner 

ftsiny gsintf+y) 

^»'*"' sin«* ^'^ sin^ 
also 

hmnßAnip ^ csinasin(g-|- y ) 
sinosin/} 

2r\ßiu^ß^(p--{-^inai^afnnßeo%^p^^huiAn 

mamß 

r -<sinasin/MnfCOS9H|-(l-}-cos«cos/foosx)sin9) 



-*i^i- 



sinosin^ny 

I ^ *Äv gsin(qH^) 
= c(cos9+sinf«ota) jjjj^— 

Analog 

„ ^ asin(»+ a) ^sin(y+ ») 

^« ^ " rin* ' ^^1 - dn^ 

Das AdudichkeitsrarhlUaiss ist also ^ - 
Ist ^ — ^, so ist dies YerfcillBss 

— r-— =r2coi^ 
sm^ 

«beKiasthuMiri idt des Benital im B. N. tL 



Seist ata fmer ip - «F, so Ist eol# 



T.TL 



I Dtr-Broearttni» WmM dt» DrtüdcM, 



Ut <p = — 9, SO ist das neuß Dreieck 0, die 3 Liuen Bchnet 
1 sich sich in eioiMii Paukt«, wie bekannt. Ist noch 



Zeichnet mau endlich 2 Dreiecke, von denen das eine das be- 
stimmte A,BjC, ist, während die Seiten eines 2ten A^B^C^ zu den 
Seilen des Dreiecks A, Ü, C, senkrecht stehen, so ist 



A,B,C,=ABC.—^-—. 






also 

A,B,C + A,B.C,-^ 

3a Man fälle von G' die Lote aaf die Seiten, also O'Ga, G'Ot'^ 
G'G'c, wodurch man das Dreieck GaGi'Gc erhält. Dos Droieel 
zerftllt in die 3 Teile G'Gt'O/, G'Gt'G',, G'G^'Gt,'. Da 

Ga'G'— rslnertg» 



G'GiQt ^— tR'tfsinßsin yivaa 

denn der Winkel an G' ergänzt a zu 2 Rechten j also 

a'Qi'Q,'— OGt'Qa-^ G'Ga'Gi,'— lAt«** 
Dud 

Da durch CG»', ff'Ci', G'G^' das ganze Dreieck in 3 gleiche Teile^ 
geteilt wird, so ist G' der Schwerpaukt Ton Ga'Gb'G/. 

Man hat also auch nmgekchrt: Errichtet man in dcnEndponktaa-fl 
der Schwcrlinien eines Dreiecks die Lote zu denselben, so ist ii 
neu entstandenen Dreieck der Schwerpunkt des ersten Dreiecks der 
Grebe'sche Punkt des andern. Das Verhältniss der Flächeninhalte ist 
Jtg*#. Auch folgt leicht, dass die Seiten des Dreiecks Ga'Gi'Gi\ 
den Scbwerliuien des Dreiecks AliC proportional sind. 



Fuhrmann: Der Brorarfiehe Winkel des Dreiecks^ 35 

Fallt man vom Schwerpunkte G die Lote GGa^ GGh^ GGe auf 
die Seiten, so erhält man ein Dreieck, dessen Inhalt 

^ = f Asin a sin ßniny. cot ^ 

ist Die Seiten desselben sind proportional den Prodncten aus Seite 
ond zogehöriger Schwerlinie des ursprünglichen Dreiecks. 

31. Zieht man femer die Transversalen AGa\ BGß\ CGy durch 
0\ 80 bestimmen die Punkte Gd G^* Gy ein nenes Dreieck, dessen 
Inhalt sich leicht bestimmen lässt. 

Da GV die Seite a nach demVerhältniss <^\h^ teilt, so findet 
man leicht, indem man die Dreiecke ilCr/ö^y', BGyGa\ CGa'Gß' 
vom ganzen Dreieck abzieht, für das gesuchte Dreieck 

2/f8in ^ttsin^ffsin^y 

(sin*ß-f-8in*y)(sin*y+sin*a)(8in*a-f8in*/3) 

2^sin»j^ 

"~ sin(«+^)sin(/3+^)8in(y+^i 

Denselben Inhalt giebt das Dreieck DaD^Dy^ welches durch die 
Eektransversalen nach dem Punkte D erhalten wird, wie daraus 
leicht folgt, dass 

BGa'= DaC 

etc. ist 

32. Constmirt man Aber den Seiten eines Dreiecks (Fig. 2.) 
ABC die gleichseitigen Dreiecke BCA^^ CAB^^ ABC\^ so sind die 
Längen AA^^ BB^^ CC^ einander gleich. 

Man erhält: 

^V — CA^*+CA^'-2CA.CA^cos(eO^ + Y) 
— a*+b*—2abcos(eO^+y) 



non ist 



also 



a*+^ — ab cos y ^ „ 

absiny » 2J 



Ebenso also 



: D"- Brotard'iehr WMtl iln Driitcla. 



BB^i = CC,» = ^ .2 (1 + VStg») 

CoDStnirt man die gleichseitigen Dreiecke BCA„ CAB^, ABCg^M 
welche mit dem Dreieck in demselbeD Flächenteile liegen, so findeti 
man ebenso 

also 



a' + i' + e» 
AAj . AAt - BB, . BB, = CCj . CC^ 2"^ (1—3 1«'^) 

33. Diese Geraden AA„ BB^, CC, schneiden sich in einem 
Pankte P, was bekanut and leicht zd beweisen ist Die Winkel 
am Punkte P siud alle einander gleich und betrügen abo 120". Be- ■ 
kanntlich hat ferner Punkt P die Eigenschaft, daes PA + PB-^-POM 
ein Minimum ist, wenn kein Winkel grösser als 120" ist. ■ 

CoDstniirt man ferner durch A, ü, C die Lote zu den Linien 
AP, BP, CP, so schliessea dieselben ein gleichseitiges Dreieck ein, 
welches zugleich das grösstc ist, welches um ABC construirt werden 
kann. J 

Um dies zu beweisen, schicken wir folgenden Satz voran, derl 
leicht zu bcweiBCD ist. Von allen Secantcn , welche man durch dea I 
Schnittpunkt zweier Kreise legen kann, giebt diejenige die grOsstaa 
SehneDBumme, welche parallel der Centrale ist. Nun schneiden sicha 
die Kreise durch ABC\ und ACB^ in A und r, also ist AP diefl 
Cbordale jener Kreise, die Centrale ist also zu ^f senkrecht, andl 
die Secanto durch A senkrecht zu AP giebt die grCsste Summe I 
der Sehnen, d. h. die grössto Seite eines gleichseitigen Dreiecks ubI 
ABC. m 

Wir setzeu oun: H 

dann ist H 

APib = iia(AB,P) : siD 60" ■ 

ferner folgt aas dem Dreieck ABB^ V 

sin(.*B,/0:sin(6O»+o) = c: 1 I 

also V 

b.aia(AB,P) _ t ■eBin(60°+ tt) _ atcsiD(6Q ° +tt) I 

■^■^■^ sin60« -~ i.sinGO» " ai.sineü" I 

4rAsin(G0° + ii ) 2^Bin(60« + i.) M 

"■ ar.i.sinosineu" ■" iainosineo" M 



Fuhrmann: Der BroeanTMcke Winkel des Dreiecke. 37 

Ebenso 

^^_ 2^8in(60*+ft 



CP- 



Ann/^sineO» 

2i/8iii(60M-y) 
A8iny8in6C^ 



Bezeichnet man nan das grössto nmgesch riebene gleichseitige 
Dreieck mit AmBmCmy so ist zanftchst PBm ein Darchmesser des 
Kreises um ACB^ oder ACBm. Derselbe ist also 



sin6(y> 
Dfton ist 

^^"* ■" sin'eoiö""^^ 
wir können aber setzen 

i« — AP^+CP^+AP. CP 

also 

A Bm - i(^i'* + CP« + AP. CP) — ilP« 

- \{AP^+LAP. CP+ICP^ 
= J(,4P+2CP)« 

^i^- - Vi(XP+2CP) 

^Gh - Vi(ilP+2BP) 

BmCU = 2^^AP-\'BP+CP) = 2yiA 



abo 

ebenso 

also 



wo BmCm die Seite des umgeschriebenen gleichseitigen Dreiecks 
ist. Es Terhält sich AA^ zor Seite des gesuchten Dreiecks, wie 
Höhe und Seite im gleichseitigen Dreieck. 

Der Inhalt des Dreiecks ist also 

= 2^(1+^) -2^(l+cot^cot6O0) 

2i/cos(6(y— -») 
"■ sin^.sineo® 

Bemerkung. Da fftr AP = x, BP^y^ CP^» die Gleichungen 
beatehen: 

««+»«4-« - 6« 



Fuhrina an: Der ßracariT teilt Wioke! da JJreitdu. 

SO Bind diese Gleichungen hierdurch aufgelöst, da 

sin« -= 2°, BinJJ = ^^, Biny = -^ 
gesetzt werden kann, r aber ans der Gleichnng befitimmt 

34. Ist ein Dreieck zwischen 2 ühnlichen nnd ähnlich liegenden 

Dreiecken beschrieben, so dass es dem einen umgeschrieben, dem 
andern ei ngc sc b rieben ist, so ist es die mittlere Proportionale zwischen 
beiden. Ist daher ein Dreieck von bestimmter Gestalt das grösate, 
welches um ein anderes bcBehriebcn werdeu kann, so ist das, welches 
jenem ähnlich und ähnlieb gelegen und dem Dreieck ein geschrieben 
ist, das kleinste von jener Gestall. Das kleinste gleichseitige Drei- 
eck also, welches einem Dreieck eingeschrieben werden kann, mnss 
Selten haben, welche ebenfalls zn AA,, BÜ,, CC\ senkrecht stehen, 
2^cob(60»-&) 




sinSsintiO** 



der Inhalt des grössten umgeschriebenen ist, so 



'""" 2cos(600- d) 

ccks sein und die Seite desselben 



V-. 



costeo"— *) 



Qcmerknng. Das kleinste gleichseitige Dreieck sei Ag B^ 
Dann müssen sich die Kreise um AB^Ca, BCf,A^, CA^Bo in eineiB^ 
Punkte P' schneiden. Da AqSijCq das kleinste Dreieck mit den 
Wiakcln 60* ist, so ist ABC das grössto nm A^B^C^ mit den Winkeln 
n, ß, y, daher sind die Seiton den Centralen der genannten Kreise 
[larallel, also sind die Seiten resp. senkrecht zu B'At,, P'Bq, P'Ca- 
Vorbindet man also /" mit A^ B, C, so gehen diese Linien durch 
die butrcficndeu Mittelpunkte jener Kreise. Da nun die Höhen und 
die Durchmesser der nmgescbri ebenen Kreise an den Ecken eines 
Dreiecks Gogontrans Versal en sind , so folgt also , dass die hier be- 
stimmten Punkte F and P' Gegenpunktc des Dreiecks ABC sind. 



■ei- 

I 



Skmmai Ditldnajitai'uAtit Öurtf 



Die Lissajous'schen Curven. 



Herrn Dr H. Ekama 



Lissajous ') bat schon, als er diese Ciirvcn beschrieb, etwas über 
die analytiscben Eigensc harten publicirt, jedoch sehr unvallstäadig. 
Es scheint, dass nach ihm Über diese Sacbo wenig oder nichts ber- 
atiBgegebeD ist, bis lb84 an der Universität zu Göttingea eine 
Dissertation von A. Uimstedt erscbien, betitelt „UcberLissajous'scho 
Conen". In dieser wird noch genannt eine Dissertation von Wilhelm 
Brann, betiielt: „Die Singularitäten der Lissajons'scben Stimmgabel- 
duren." Nach Uitostedt's Andeutung ist es mir nicht gelnngen, diese 
Dissertation in einer Bibliothek zn Ünden, nnd ich weiss nicht, wie 
Braun die Liasajous'scben Curven behandelt bat. 

Himstedt betrachtet gleich wie Lissajous nur den Fall, wo dio 
beiden Schwingangsnchiungen senkrecht zu einander stehen -, ich habe 
versucht diese Curven so allgemein wie möglich zn behandeln bei 
der Annahme, dass die SchwinguQgsricbtungen einen Winkel u mit 
einander machen, so dass wir m ~ 90" oder w— Ü setzend die 
LissEyous'schen oder die Himstedt'scben Formeln bekommen. 

Die Amplituden der beiden Bewegungen seien a and l> nnd 
nehmen wir an , dass in der Zeit, in welcher die eine Bewegung n ' 
Schwingungen, die andere m Schwingungen macht, indem diese Zeit 
EO klein genommen wird, dass » und n ganze Zahlen sind, welche 
küoen gemein Bcbaftlichen Factor haben. 



1) Aon. d« Cbinie et de Phj'tiqae lU*"' Siüe LI. p. 47. 



: Die LitsajuMt' tektn Curv^K. 



Die beiden SchwingDagerichtnagea sollen die Coordinatenachseo 
Hein, dann haben wir ein schiefwinkliges Coordinatensystom, bei wel- 
chem der Winkel zwischen den Achsen w ist. 

Den Augenblick, von welchem wir die Zeit reebnen, können wir 
willkurlich wählen ; nehmen wir an, dass in diesem Augenblicke der 
Punkt sich auf der Y Achso befindet, so werden nach einiger Zeit i 
die Coordinaten des Fnuktes sein : 



, — aBin2n 



und 



£Bin2: 



\T'+i) 



(1) 



In dieser Formel ist p der Weg, welchen der Punkt in der Richtung 
der F Achse schon beim Anfang der Zeitrechnung zurückgelegt bat, also 
ist p Phasendifferenz der beiden Bewegungen. Weiter ist T die Schvio- 
gnngsKcit nnd k die Wellenlänge der Bewegung der Jf Achse entlang 
und T' und i.' die entsprechenden Grössen der y Achse entlang. 
Durch Elimination der t finden wir die Gleichung der Curve, doch 
erst werden wir die Formeln vereinfachen. Wir wissen, dass nT— mr' 
aad nl — ml' ist 



Wir < 



3n, dass nT^ mT' nnd nl — 
= asin3n ^ nnd y, — AsinSi 



nl' ist, also 



X, — asinSuS and y, = Asin(2ntd4-<f) 
Am diesen Formeln mnss 6 eliminirt werden; dies gibt: 



i 



!/, — Jsin J -arcsin- + V [ (3) 

Diese Formel ist die allgemeine Gleichung der Lissajons'schon Curven 
in dem oben gegebenen Coordinatensysteme. Vorläufig werden wir 
jedoch die Formeln (2) gebrauchen. 

Die Curve wird durch den Coordinabsnanfangspunkt gehen, für 
a;, = 0, y, — 0. also für 2n6 ^ kn nnd 2(i.e + i;; = In. 

Durch Elimination der 9 finden wir 



. XlMMtti ^w Lutvfvut'iditB QirBt». 



i und t' siud ganze Zablon; l kann alle Worto vod m bis 1 haben 
ud it tllc Werte ven n bis I. WeoD l grösser als m ist, bo ist 
die PhsMDdifFcrenz einige Wclleulängen und irgend ein Bruch 
saldier, so dass wir dioEoIbo Curvc finden, als wenu die Phasen- 
differeuz jenem Bruche gleich wÄre. i würde auch 'i Werte haben 
kADDen, allein ans der Formel geht hervor, dass wir nor vcrschiodcno 
Phuendifferenzen für t = nnd i- — 1 finden werden. Also gibt 
es 2m Pbasendifferenzen , bei welchen die Cnrve durch den Coordi- 
lateninTangBpankt geht. 

Der Z&bler kann alle Zahlen von 1 bis 2m sein, also muss sein 



■orin B alle Werte von 1 bis 2it hat. Die Curvo wird also immer 
bei einer Phasendiffereuz gleich oder gleich i^ oder ji' dnrch 
den CoordinatenanfaiigHpnnkt gehen. 

Ans den Formeln (2) folgt, dass xj nie grösser sein wird als a 
und nie kleiner als -o; obenfalls dass y, nicht grösser als b und 
nicht kleiner als — b sein wird. Die ganze Cnrve wird also in einem 
Parallelogramme, dessen Seiten 2a und '2b sind, und dessen Winkel 
« ist, eingeschloBsen sein. Wir werden jetzt untersuchen, wann die 
Corve durch die Ecken dieses Parallelogramms geht. Nennen wir 
die Ecke, wo a-, = a und Ji = ft ist, P; wo *i -= — a und y, — 6 
ist, Q; wo X, — — a und y, = — i ist, R, und wo xj = -\- a und 
tu =—6 iet, S. 



Soll die C nrve durch P gehen, so muse sein : 
f^^ nnd ,7^ + ,7i-^ 
ft nad I »od wieder ganze Zahlen. 



ler Weise gobrancht worden, j«dvcb bg- 
ind l'i keiuc Bczichang. 



42 



Ekama: DU LUsajaui* sehen Curvtn. 



oder 



* fiA n 4 4 



p-[—r 



n 
m 



4Z + 1\ , (i» Ak+1 

-4~] ^= \n ""4~ 



4 J* 



n kann sein 



4r+l 
4r+2 
4r+3 
4r 



und m — 



4«+l 
4«+2 
4*+3 
4« 



r and « sind ganze positive Zahlen. 



Diese verschiedenen Werte in ohiger Gleichung snbstitoiri geben 
die Phasendifferenzen, bei welchen die Curve dnrch P geht. In einer 
Tabelle znsammengesetzt: 

I m = 4H-1.| w* -= 4H-2 I m — 4H-3 | m — 4» 



n-4r+l 





ii' 


}r oder p 


JA 


n-4H-2 


i* 


out weg >) 


fi 


ftllt weg 


„ = 4r4-3 


ii oder iV 


K 





JA' 


u = 4r 


ii 


Mt weg 


ii 


fUlt weg 



In dieser Tabelle sind gleich wie in den folgenden nur die wich- 
tigsten Phasendifferenzen aufgenommen. 

Die Cnrve wird dnrch Q gehen fOr 

t _ 4A; + 3 _. nU mp il+1 



also 



(4Jfc+3 n 4/H-l 



m 



±1] i « (!?4*-M_4Z-MK, 

4 j \ n 4 4 ) 



Die Werte von n und m snbstituirt, gibt 

I m = 4*4-1 I m = 4«-|-2 1 m = 4»+3 ! m == 4# 



n — 4r-fl 


ii Oder il' 


ii' 





JA' 


n = 4r-\-2 


ii 


mit weg 


ii 


Mt weg 


„ = 4r-f3 





Ü' 


iA oder ^A' 


JA' 


n = 4r 


JA 


Mt weg 


JA 


Mt yieg 



1) Weil » ond m einen gemeinecbaiUichea Factor beben. 



Ekama: DU Lüsajotu* sehen Curven. 



43 



S^ll die Cmre durch R gehen, so mius sein 



also 






und Ü5i. Ü¥=!H:3 



' ) 4 ""i» 4 )*""U~~4 r~j * 



Dvrch Substitution der Werte von n und m finden wir: 

j m = 4«+l I 11» = 4H-2 I m = 4^-3 ! 



m = 4« 



j»=4r+l 
j» = 4r-f2 
»=4r+3 
» = 4r 



JA' 


iV oder iA 


ji' 


ii 


fiiut weg 


U 


fUlt weg 


oder ^A' 


Ji' 





{r 


H 


Mt weg 


n 


fällt weg 



Die Curve wird durch S gehen, wenn 

t 4*+l , m< , mp 4/+3 

_ = __ „od - + -f=__ 

'P- l"4 " n» 4 J * ~ U" 4 "" 4 J^ 
Dnrch Substitution bekommen wir: 

, m = 4#+l m = 4#+2 , m = 4*+S i m = 4« 



H = 4f4-l [ {k oder jX' 
« == 4r+2 j JA 
n = 4r+3 

1» = 4r I IX 



\k' 

Mt weg ! }X' 

ik' \k oder jX' ; 

ftUt weg ! JX • 

Die Garve wird darch P und Q gehen fdr 

» =- 4r+l und i» = 4H-2l , . .„du ^ ^wr 

... j o ( bei IX' Phasendiffercnz 



iX' 



fällt weg 



1* 



fällt weg 



•• = 4r+3 



n 



=!;}««•»*' 



m = 4« 
m 



Phasendifferenz. 



Sie geht durch R und S, wenn die Phasendifferenz \V grösser ist. 

Im aUgeaieiiien geht die Curve nur durch P und Q oder durch 
R md &i wem n ungerade und m gemäß ist 



SoD die Curve durch P und i2 gehen, so muss sein 



DU Liaajcut' leiten Cunttit. 

die PbaBeDdifforem = 

„ „ = )1 oder 41' 

„ „ = JA oder Ji' 

= 

Soll die Curve durch Q, uod S gehen, so üiUsbud die Phaseo- 
diffcrcuzcn in dcraelben Folge sein: {l oder \k' \ 0-, and \). oder 
\l'. Dass die Cnne darcli die gegen üborlitigoadcu Eckeo des Pa- 
rallelogramms geht, ist Dur möglieb, wenn n and m beide angerade 
sind. 



Ir+l 


iiDd 


m = 4,+l 


4H-3 


„ 


«-4H-1 


4r+l 


„ 


m = lH-3 


4r+3 


„ 


m = 4,+3 



Endlich wird die Cnrve darcb P nnd S geben für 
= 4H-2 nnd 






PbaBcndiiTorenz •■ 



Phascödifferonz = 



i 



n=4r „ m-4*+3/ 

Die Curvo wird darcb Q and R geben, wenn die Phasendifferenz 
jl grösser ist. Dieses ist nur möglich für n gerade und m nngerade. 

Uro die Schnittpnnkte der Corvo mit der Y^ Achso zn finden, 
mnsB jTi •" sein, also 



worin h alle ganze Zahlen von I bis 2n sein kann, wir finden also 
2n Scbnitlpunkte mit der r, Achse. Die Werte der jr, ffir diese 
sind 



= 6sini - tt + vl 



Bei den Scbnittpankten mit der X Achse rouss Vx " ^ "^^^^ ^^^'> 

2nie + \l> — In 

worin l alle ganzen Zahlen von 1 bis 2>n sein kann, also 2m Scboitt- 
paiikte mit der X, Achse: 



Oft fallen einige dieser Schnittpookto zasammen. Gebt die Corvo 
durch 2 Ecken des Parallelogramms, so ist die Zahl der Schnitt- 
punkte mit der X^ Achse m und mit der Y, Achse » , von 
kSnnen anch wieder einige zasammen fallen. 



Bkamat Die JjMHiyouM'Behen Curvn, 45 

Nun werden wir bestiinmeii , wenn a^ den Wert -fa hat; dazu 



sein, worin k alle Werte von 1 bis n haben kann, also berührt die 
Cnrre diese Seite des Parallelogramms n mal. Fttr diese Punkte ist: 

Xj wird gleich — a f&r 



und so ist 



4 



Soll yi = & sein, ao mnss 

om 2iii 



m 



r, — «8in-<— ^»-t| 



lÄr y, — — * ist 



und also 



2m9-\-i> - ^^^ » 

. « (4H-3 \ 
•«-"•"ml 4 «-l^! 

Z kann alle Werte Ton 1 bis m haben, also berührt die Gurve jede 
der Seiten des Parallelogramms, welche gleieh 2a sind, m mal 

Bei verschiedenen Phasendifferenzen werden wir jedoch dieselbe 
Gurve finden. Wir müssen zwei Fälle ^unterscheiden , das heisst, 
die Bichtung, in welcher die Gurve durchlaufen wird, bleibt die- 
sdbOy oder die Gurve ändert ihre Form zwar nicht, wird aber in 
einer Richtung entgegengesetzt jener im ersten Falle durchlaufen. 

Wir haben gefunden : 

ap|«asin2ff^ und yi — isin2wr y> + ^j 



46 Ekama: Die Lünajou»* sehen Curven^ 

Sei p -=• - — - 

Nach einigen ganzen Schwingnngszeiten T wird x^ wieder dasselbe 
sein, also genttgt t^ der Gleichnng 

asj — a8in29r — =— 

in welcher / eine ganze Zahl ist 



So ist in einem Zeitpunkte <+/7 

y, « bsm2n y — ^^ f- -jr- 

oder 

(t fk k*\ 

y^+ j^/+ l/öjj7J 



&sin2;s 



(m (-^)4 



Also ist die allgemeine Formel fttr die Phasendifferenzen , bei wel- 
chen die Cnrve dieselbe ist, und in derselben Richtong dorch- 

lanfen wird, (l/cH — fjk'^ in welcher n-^ f "T 1 ist, dieses ist in 

Wellenlängen der anderen Bewegung ausgedruckt (l/<^+-9 ) i, in 
welcher g eine ganze Zahl von 1 bis m ist 

Ist die ursprüngliche Phasendifferenz = 0, so wird diese Formel 
—gk^ was übereinstimmt mit der vorher gefundenen Bedingung, daas 

die Curve durch den Coordinatenanfangspunkt gehen soll, wenn in 
dieser X; -» ist. 

Wird die Curve in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, so 
hat man: 

t 2 
07] <« a8in29K'- «>■ asin27r j; 

und 

2/+1 
Substituiren wir in y^ für t den Wert J^ y— <; so hat man 



oder 



Ekama: Die LiMsajous^Mchen Curvtn, 47 



und also ist die erforderte Phasendifferenz gleich 

2fi 

*(2s'+l)-(2/-+l>»-7 

2« * 

in welcher g und /* wieder ganze Zahlen sind. 

In Wellenlängen der anderen Bewegung ansgedrackt findet man 
die Phaaendifferenz gleich 

m(2/4-l)-(2y+l)n-5^ 

2m ^ 

DIeae Formel wird fOr Ijd = 

m(2/+l)-n(2jy + l) 

2f» ^ 

oder 

r 2m r 

and weil / keinen Einflnss hat, 

g kann m Werte haben, also finden wir hier anch m Phasendiffe- 
renzen; diese kommen aberein mit den früher gefundenen, wenn 
it — 1 ist 

W^ Die Formel (3) gibt die Cnrye in einem schiefwinkligen Coor- 
dinatensysteme, wir werden sie jetzt anf ein rechtwinkeliges, von 
welchem die X Achse mit jener des ursprünglichen Systems zusammen 
flUlt, nnd also die Y Achse auf dieser senkrecht steht, abertragen. 

Nnn ist 

X « afi+yi cos w nnd y — y^ sin co 

. • . X=r a:j-|-yC0tgC9 

aber 

(T, — asin2n6 nnd y^ » 6sin(2m64~1f') 



48 Ehama: Die Lit*qfou**Mch€n Curuen, 

und also 

S =H~ (arcsinr-^^ ^] 

m « asin- I aresin rr^? ^ ? + ycotg« (4) 

Diese ist die allgemeine Formel der Lissajons'schen Curven in einem 

rechtwinkligen Coordinatensysteme. Nennen wir den Winkel, welchen 

die Tangente in einem Punkte der Gonre mit der JITAchse macht^ 

T, so ist: 

(5) 

dx na n / , y \ 1 , 

cotgT — — « — co8-(arc8inr-7- *)i77i?iT;:i irrcotg« 

Wir werden diese Formel gebrauchen, um die Richtung der Tangente 
für den Coordinatenanfangspunkt, wenn die Curve durch diesen Punkt 
geht, zu bestimmen. Dann muss, wie wir gefunden haben, p «0 

oder « i X oder \V sein, also ^ — oder — «. Diese sind 

die wichtigsten Phasendifferenzen, die abrigen hierzu geforderten 
Phasendifferenzen kann man nach den oben gegebenen Formeln finden. 
In dem Coordinatenanfangspunkt ist x » und y » 0. Substituiren 
wir dieses in der Formel (5), so finden wir t, allein auf diese Weise 
können wir nicht ttber das Zeichen der 2ten Seite urteilen, dafttr 
bringen wir die Gleichung in die Form: 

cos - ( aresin t-?- ^ | 

na m\ &sin m ^ j 
COtgT-COtg« « ^ ; 



cosarcsin 



^sin« 



y 

Ist y i» 0,80 kann aresin . f « oder = mit sein; also für 



^«0 finden wir im ersten Falle 



na 



cotgT — cotgao = —r-, — 
^ ^ md sin flo 

im zweiton Falle 

, , na cosfiiK 

COtgT — COtgW = -^— ; 

^ ^ mdsin« cosm^r 

Ist n oder m gerade und das andere ungerade, so wird die letzte 
Formel 

cotgr— cotg « =» 7— — 

die beiden Tangenten machen einen Winkel. 



Ehama: DU LuMajoui'sd^H Curv€n. 49 

Siid s und M beide nngerade, bo wird diese Formel: 



na 



die beiden Tangenten fallen zusammen. 



Iitf- )v, so ist im ersten Falle 

n 

na 
COtgT — COtgfl» — — 



fnösin 00 
im zweiten Falle 

^ , ^ na COS(n4-l)n 

eotgT -cotg« - ;^^^ cosm« 

bt n gerade und m ungerade oder umgekehrt, so wird die letzte 
GUeliiuig 

cotgT— cotg» — -T-: — 

IKeie Tangenten machen einen Winkel, aber sie fallen mit den 
SMnt gefundenen zusammen. 



Sad « und m beide ungerade, so ist: 



na 



COtgt'-COtg«=-^;;j^^ 

die beiden Tangenten £EÜlen wieder zusammen, allein sie machen 
^to Winkel mit denjenigen, welche wir fQr tf; = fanden. 

Bestimmen wir den Winkel J^ welchen die Tangenten mit ein- 
uder machen. 

tg^ - tg(T-T') = -J-J 



n'a* 



1.« . 1 cotg*« — 1 

2mb 



na 
— Sin» — 



^^ n*a* 



. '. tg^ = sinM tg { 2arctg — > 



2aretg — ist der Winkel, welchen die Tangenten machen, wenn 

* ^ 9(y^ ist. Verschiedene Teile der Gnrve werden einander schnei- 
et aof folgende Weise können wir diese Doppelpunkte finden. 

^^ itt Xstk. m. Pkjt. S. B«ik«. Teil TL i 



50 Ekamai DU LÜMofaus'seluH Curvßn. 

In einem Doppelpunkte mnss x^^ asla2nS '^ a%in2nS' und 

Dem genflgen: 

2nS « 2ne'+ 2qn nnd 2mö + V' — 2toö' + ^ + 2«» 

2ne — (2p — l)jf — 2»©' 2me+^ = (2p-l)jf — 2m©'— ^ 

oder; 

e-e* — ^jf. . . . (a) e— e*— ^jf . . . .(y) 

n m 

Ans (a) nnd (J) findet man ans (ß) nnd (d) 

® " 4m ''~2m~2n'' ) ^ 4»i ''2m'' ) 

Himstedt^) hat die Zahl der Doppelpnnkte der Lissajons'schen 
Cnrven bestimmt nnd er fand, dass diese Zahl im allgemeinen 
2mn — (m-f-n) ist, aber in dem speciellen Falle, dass die Gnrve dnrch 
die Ecken des Parallelogramms geht, ist die Zahl nnr ((m — l)(n— 1). 

Die Formel (5) können wir anch schreiben 

na cos 2nS 

cotgT-cotgio - ;;;^^^eos(2me+^) 

Setzen wir in diese Formel die Werte, welche S nnd S' in einem 
Doppelpnnkte haben, so finden wir für I: 



na ^^«{(^"-*)^+g''} 

cotgT.-cotg« - ^;itü^—i2^i „, . . 

C0SO»C0S-l -*-7i — » — iji) 
na ^ m\ 2 / 



m&sin CO . 2p — 1 , m 

8in^*-o — » sin - c[« 

46 n 



1) DIm. |Mig. 19. 



Ekama: Die Lusafoui' seien Curven. 51 

, - na \m\ 2 / ^ S 



fnösin 



in CO (20 — 1 m , ) 



cos qn COS 



na * m 



n / 2p— 1 
V 2 



n--^j 



fnösiil «I .20—1 . m 

sin-^-ä — «» Sin - 5» 

mr n: 

COS < Q » + - 4» f 

^ ^ na I 2 * m^ I 

COt^Trf — cotgw — ^ 



m^sinio 



cos{^2-%+3«+^j 



. 2p— 1 . n 

sin-*-^5 — n sin - an 
na 2 m^ 



fn& sin 10 /2p —1 m 
cos' 



/2p -1 m , \ 



f 2p — 1 n \ 

, . , na ^M"T-^-^m«^ 

cotgr/— cotgco ^ ' 



fli^sin«! 



na 



{2p— Im . \ 

Cö8( 2" n '*"■«* +^J 

. 2p -1 . n 
Sin ^2 ^^^m^^ 



mb Bin 



lin Ol /i» 2p — 1 , \ 
AIbo ist immer 

COtgTil+COtgT/ « 2C0tg CO (x) 

Wenn man in einem Doppelpunkte die beiden Tangenten zieht, 
lo ist die Summe der Cotangenten der Winkel, welche sie mit einer 
der Achsen machen, gleich zweimal Cotangens des Coordinaten- 
winkels. 

I8t M = 90^, so wird diese Formel 

tgT4 + tgT/-0 

welche mit der von Himstedt gefundenen Formel übereinstimmt 
Wdter folgt hieraas, dass die Linie, welche den Doppelpunkt ver- 
bindet mit der Mitte der Achsen- Strecke, die zwischen den beiden 
Tangenten 11^, der anderen Coordinatenachse parallel ist. 

Sei A der Doppelpunkt, in welchem AC und AB die Tangenten 
•eieiL Nehmen wir CD — BD und sei Wkl. ADB — {, so ist, weil 
WkL CAB — Trf'— T4 ist, in A ÄDB 



52 Ehama: DU lAtsajoui^sekem CWrvtn. 

oder 

CßiAB^ 2(8iiiT/cotg£ — C08T4') : 1 

Id ^ ABC ist 

CB: ilJ9 — %m(u' — Xd) : sihtii 

= SiDTif'COtgTil — COSTif' : 1 
. • . 26illTtf'C0tg|~2C08Tif' « Smtd'COtgtd — COBtd* 

2cotg$ — cotgTd-i-cotgtd' 
alBO nach (x) 

was zu beweisen war. Auf dieselbe Weise wie vorher ftr den Winkel, 
den die beiden Tangenten dnrch den Goordinatenanfiingspunkt ge- 
zogen mit einander machen, kann man jetzt im allgemeinen für jeden 
Doppelpunkt beweisen , dass der Tangens des Winkels , welchen die 
beiden Tangenten in diesem Punkte an die beiden Teile der Gnrve 
gezogen mit einander machen, dem Tangens des Winkels zwischen 
den Tangenten, wenn das Coordinatensystem rechtwinklig war, mit 
dem Sinus des Coordinatenwinkels multiplicirt, gleich ist 

Um die Wendepunkte zu bestimmen, mflssen wir (5) nochmals 
differentiiren, so finden wir: 

rf*a> na 

- ** y 6« sin* » — y* sin -( arc sin r-r- tI;)+yco8-(arc8ini-? ^'l 

Vi* sin* w -y* 

ffix 

Für einen Wendepunkt muss ti "** sein, also 



(6) 



oder 

«tg-larcsin £* — ♦)— / > — 

••mV h V y^* — yj« 

Aendert sich der Wert des a>, so wird der Wendepunkt einen 
Kreis mit dem Radius y^ beschreiben. (Fig. 2 und 3.) 

Führen wir in 61. (6) die 6 wieder ein, so wird sie: 

ntg2n6 » mtg(2m0 + ^) (7) 



£kamai DU Li8saiou$*seUm CWrv«fi. 53 

Durch BesümmoDg von S aus dieser Gleichung finden wir die 2ieit- 
pnnkte, in welchen der Pnnkt durch einen Wendepunkt geht. Diese 
Zeiten sind nnabhftngig von co. 

Dieser Gleichung werden unendlich viele Werte der S genflgen, 
unter welchen jedoch nur eine bestimmte Zahl verschiedene vor- 
kommen, die Zahl der verschiedenen reellen Werte der S muss man 
bestimmen, um die Zahl der Wendepunkte zu wissen. Wenn wir die 
Formel (7) in Potenzen des Sinus der S entwickeln und die irra- 
tionalen Functionen durch Quadrirung fortschaffen , so bekommen 
wir eine algebraische Gleichung höherer Ordnung in Bezug auf sin S, 
Die Zahl reeller Wurzeln zwischen -{-1 und —1 giebt die Zahl der 
Wendepunkte. Auf diese Weise werden wir es jedoch schwer finden, 
und durch die Quadrirung fuhren wir Werte fttr 6 ein, welche 
nicht der Formel (7) genflgen. 

Die Curve hat an jeder Seite der F, Achse n mal ihre grOsste 
Entfernung und an jeder Seite der X^ Achse m mal Geht die Curve 
von einem Punkte, wo sie ihre grOsste Entfernung von der F] Achse hat, 
nach ^nem solchen Punkte in Bezug auf die X^ Achse oder umgekehrt, 
so hat die Curve keinen Wendepunkt; dies ist zwar der Fall, wenn 
der Teil der Curve zwei Punkte, welche die grOsste Entfernung von 
derselben Achse haben, verbindet. Nun sei n grösser als m, so wird 
die Curve 2 (n—m) Teile, welche Punkte mit der grössten Entfernung 
von der Fj Achse verbinden, haben; demzufolge hat die Curve 2(n— m) 
Wendepui^te. Die Formel (7) hat dann auch 2(n— m) reelle Wur- 
zeln filr sin^. Geht die Curve durch zwei Ecken des Parallelogram- 
mes, so fallen die Wendepunkte, mit Ausnahme deijenigen, welche 
gerade in den Ecken liegen, je zwei und zwei zusammen, und ver- 

schwinden also 5 Punkte, dann hat die Curve in diesem 

specieUra Falle nur n— m-|-l Wendepunkte. 

Aus (4) und (5) folgt durch Dividirung: 

X — ycotgcs 



m -^««^("«•*"äÄ^-*y**«J«*— y* 



COtgT - COtg 

und wenn wir (6) gebrauchen: 

m — ifCOtgM m* _ flc/y— COtgM m* 

COtgT— COtgM n* ^ COtgT — COtgM n* 

Bringen wir die Curve auf Polarcoordinaten, so ist 

ds—rcos^ und y-^rsin^ 
und 



£ istirifV 



COtg <p — COtg M 

cotgt — cotgw 



Diese Formel Icbrt nas die Beziehung, welche in einem Wende- 
pnnkle zwischen dem Winkel, welchen die Tangente mit der J^ Achse 
macht, nnd der Anomalie besteht. 

Geht die Cuno durch den Coordinatenanrangspankt, so ist dieser 
Punkt auch ein WendepnnkC, jedoch dieser Punkt gcntlgt nicht der 
Formel (8); der Grund dafür wird später gegeben. 

Wir werden jetzt die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in 
jedem Punkte der Curve bestimmen. In dem schiefwinkligen Coor- 
dinatensystemo war 

I, =asin2n6 und y^ — i 8in(2ni8 + '*') 



dx, d9 ina 



'' d9 dt 

rfy, dß 2m b7\ 



C0S{2mB+^) 



die Geschwindigkeit ist 



Sei die Richtnug der Geschwindigkeit : 
80 ist: 



, Vj, 008 M } 

1 Bezug auf die X Achse F, 



V», siny miicosl2m6-\-\ii) ' 

Die Componenten der Beschleunigung sind: 



nnd also die Beichleanigung: 



Skmmal Dit LuMffeti^tAn Omm, 



I 



Sei tlie Ricbtnog der Bescbleunigang zor X Achse i, bo ist: 

pt, gJD (w — i) H* o e in 2ng _ w'g, 

p,, sin 3 in'iaill(2mÖ-|-^) ~ m"y, 



Diese Formel gibt die Bozichnng zwischen der Anomalie und der 
Richtnng der Bescbleunigang. 

Sollen die Richtungen der GcBcbwindigkeit und der Bcschlauni- 
gang lusammcn falten, also in einem Wendepunkte, eo mnas sein 

naC0B2.iÖ »*asiu2n0 



oder 

mtg(2me + V)=»tg2n« 

Diese Formel ist der Formel (7) ähnlich. 

Ist die Phasendifferenz so gewählt, dass die Curve durch den 
CoordinateDaufangspunkt geht, so iat in diesem Ponkte pt, nud 
Pf^ r= 0, folglich ist die BescbleuDigung iu diesem Pnnkto auch 0. 
lu allen abhgen Punkten ist die Beschlennigung grösser als Ü. Bio 
Geschwindigkeit ist in den Ecken des Parallelogramms 0. 

In < 



nem Doppelpnnkte iat: 




sind w.*y. 


8in(» — 6') 
Bind' 


a, =ii' and y, =y,' 


also anch 



was ans lehrt, dass in einem Doppelpunkte die Beschlettnigaagen io 
den beiden Teilen dieselbe Richtnng haben. 

Jetzt werden wir den geometriacben Ort der Wendepunkte aller 
Curven bestimmen, welche bei bestimmten n und ni vorkommen. 

Die Carve, welche diesen geometrischen Ort gibt, werde icb 
die Curve der Wendepunkte nennen. 

Ana (7) folgt dorch Substitution der Werte (2) 



Dieee Formel enthält nicht 



nVö'-m'yi'a» (9) 

lie V, also ist diese Gieichnng jene 



: DU Lut^eu^iduai Carvm. 

der gcsnchtcn Corve in dem schief winkligea Coordioatensysteme. 
Die Carve ist vom iten Grade ond Bymmetrisch za den Achsen. 
Sie gebt durch den GoordiaateiiEuifaDgBpuDkt niid durch die Ecken 
des Paralletogrammes. Fig. 2 und 3. 

Bringen wir die Cnrve anf Polarcoordinaten, so ist 



r* = -j-^^ — j(ii*i'cosec*9' — n>'a'cosec'(» — <p')\ 

Soll r reell aeio, so muss sein: 

ii*i'cosec'q)' > m*a'co8ec'(M— 9') 
oder 

n4siii{Hi — 9') > mosin^' 

■ ■ ^V < njcoa»+m« 

Sie Anomalie ist bei dieser Cnrve nnsteüg. 
FHT 

tew'-- 



nto-\-ma 

ist r '-O, also geht die Cnrve durch den Coordinatcnanfangspnukt. 

Sei der Winkel , welchen eine Tangente dieser Cnrve mit der 
X Achse macht, t,, so ist 

'''■.,■ ^^ ... 



r jZi = 13— j|nWcos9'cosec*flj'-j-^i'a*cos(» — 9')co8ec'(o» — ip')\ 

Durch Substitution dieses Wertes nnd des Wertes von r* in die 
Formel fOr tg Tj findet man 

j^^ m'fl*gin*T IcotgfM— 9')tgff'+l| ^^_^^^ 

* * ~ n*i*sin'(M-9')icOtg?p'+t«9'!-|-m'a'sinVlC0tg(0» — 9P')— tffi 
n*Ä* sin^(w~o') 

. ■ . CO«,, - coi« » = -^, jjr-.5^ (10) 



Ekama: Di§ LiiMafau9*sek€m Ourvmt. 57 

Nmch (8) ist 

giii(tti— y) »«^ gin(tt>— t) 
Billy "* n* sint 

also weil 10 diiem Wendepunkte «p — y' ist 



iin(ii» — T^) __ m*^* 8in*(«i — t) 
sinTj "" ii*a* sinH 



(11) 



Diese Formel gibt nns die Beziehung zwischen den Winkeln, 
welche die Tangenten in einem Wendepunkte an die Curve nnd an 
die Corve der Wendepunkte gezogen, machen. 

Formel (8) gilt nicht im Coordinatenanüangsponkt; hier ist 

cotgy — - — ' , = — ~ — hcotff M 

y yiSinw yisin» * ^ 

Xm a sin2»9 

Fflr 9—0 wird die rechte Seite — % durch Differentiation findet man 

2naCOB2nS 

alao für 6 — ist 

sin (uf — y ) iia 
siny "* ffih 

Nach (5) ist filr e — 

8in(«i— t) na 
siuT mb 

. * . im CoordinatenanfiEuigspunkt ist y = r. 

Bei der Gunre der Wendepunkte haben wir fttr r = gefunden 

sin(>» — y') ma 

siny' nb 

und nach (10; ist 

sin (w — t^) ma 

sinTj ^ ni" 
also 

Weiter folgt aus diesen Formeln 



Ekttmai Dk Liiuffout'ädun Qirttu. 



sin((i} 



m*6' ain'Qi — t] 
Bin T, ~" n*a' Bin** 

Formel (II) gilt also in dor Tat im CoordiDateoaiifaDgspiiDkt. 

Für r, — (i und yj = i oder y — isim« ist 

a : ft = sin (o) — ip') : sin g»' 

gm(w — T,) ««i» a' _n»^a 



also 



Aus (5) folgt 

COtgl - COtgm = % 

Die DifferentiatiOD der rechten Seite gibt: 



i{'"^b£^-'^)vP^r- 



ys* Bin»" — a' 



nnd dieses wird ftlr y = & sin u gleich ■ ■ 

also 

sinfr — m) n* o 



folglich haben wir in der Ecke des Parallelogramnis t '^ t, : dass die 
Formel in der rechten Seite "jg wird, ist nnr möglieb, wenn die Worte 
a;, = ±o nnd p, — ±6 der Formel (3) genügen. 

Die Formel (9) gibt nnr den Ort eines Wendepunktes, wenn 
o ■> I, > —a nnd 6 > ,Vj > — 6 ist. Die Cnrve dehnt sich jedoch 
weiter ans. Sie wird eine Asymptote haben, wenn x^ bei einem be- 
stimmten Werte der s, oder umgekehrt, aoondlich gross ist. 

Sei n, wie wir angenommen haben, grösser als m. 

Ans (9) folgt 



-y|ÄV-(n> 



»'VI 



Ekama: Di* Lüiajmiii' icim Curvtn. 59 

Für eine Asymptote mnsB r tinendlich gross werden bei einem 
Werte von ip', dieses wird der Fall bei ip' = (denn bei 
v'>» M wird r im^n&r), also ist: 

cotgti — cotgw — 50 nnd also r, =0 

Die Asymptoten sind der X Achse parallel und die Gleichang 
der Asymptotea wird also sein 



In Fig. (3) sind die Linico OO' und PP' die Asymptoten; hier 
ist ■ — 6 nnd m = 3, also y = + * (6sino». 

Um den Krflmmnngsradiiu jedes Punktes der Cnrve la findea, 
hftben wir die Formel 

KIHDl:-. {(|y±(|)P 



dt dt* ~di ^ 



dg ^ dx ^ 

rf» de* dS d»> 



n3*i0+i coB«nn(2i»0-)-i>} 



r = Asn>»B(2M64-ifr) and X - 
^ = »»i6siiiKoe(2rf + 1) = 2«iVi»Bin»«— j»= 2>t«iaM^ft»-f* 

^ = SiHicoa3-«^+2aibOM«OM(2M«+«) 



ds'- 






= 2«y«»-(« — »a>tg-)*+:*colgiiV*»m««— »» 



Ekai 



I JJU 



. ^ 1 !»»(a»-i,«)+2r»n C OS w V(o '2^i*Hft'-ft'')+ w'(a'-» i')l% 

FBr M = 90*' geht diese Formel Über in 

1 l»'(fli'-ar,') + ».^i'-y,')l'/» 



• = ™ 



' mffj 



v^ 



-»w,y 



I 

den 



Für u ~ siüd allo KrUmmimgBradien unendlich gross. In 
WeudcpunktcD tnues p unendlich gross sein; dieses ist auch der Fall, 
denn nach (5) ist daua 

m^iVa»— r,* -» nr, Vi*— y," 



FUr Punkte in den Seiten des Parallelogramms ist z, •- 

mnsin n 
and für 



±0, also 



.aVb*-- 



y, •= ± 6 ist p - 



Wir haben gefunden: daas i 
nsin2»6 



einem Wendepunkte 

C0s2n6 



I 



mBin{2m8-i-i(i) i:oB{'2m8-\-ii>) 
ist, nnabh&iigig vom Werte des w. 

Sehen wir was dieses bedeutet, wenn u^ ist. Der Punkt 
bewogt sich dann längs einer geraden Linie, und es kann dann nicht 
von einem Wendepunkte die Kede sein. Das VertajLllnifls der Gö- 
sch windigkeiten jeder der beiden Bewegungen ist in jedem Punkte: 

Vi, naC0B2n9 

»,, '^ mti:0S(2m8-l-l(>) 

nnd das Vcrhältniss der Beschleunigungen: 

Pxi »'a 8in2»Q 

p„ ■" m'fi8ia(iinlS-|-lC) 
stallen wir in die erste Formol den Wert, den & haben musa für 
einen Punkt, der Qhereinstimmen wird mit einem Wcndepunkti<, so ist: 

Vi, n»oBin 2nQ _ p^ 

v„ ^,«%sin(2«.» + t(.)-p„ 

Der Wendepunkt wird im Falle, dass m = iJ ist, ein Punkt, , 
das Verbältniss der Geschwindigkeiten dem Verhältnisse der Be- 



I 

ä für 
ist: 

J 



i?»l» 



; Die Llintjim'iekeii Oinwu. 



61 



scLleonigDiigea der boideii BewegDugen gleich tat. Wir werden aoch 
im »Ugemeinen 2(n— m) solche Punkte finden. Id Fig. 2 sind diese 
iSmkU durch B^ angegeben; die oscillirondo Bewegung findet Iftugs 
ikr .1 Achse statt. 

Die Cnrve der Wendepunkte achneidet die Cnrve in mehreren 
Pimliteii and zwar in 4n Punkten, denn 2n Teile der Curve liegen 
rwiichen den Seiten des Parallelograninies, welche der >', Achse 
pinUel sind, und jeder Teil schneidet die Cnrve in 2 Punkten. 
Sfa-f-m) von diesen Punkten sind Wendepunkte, da bleiben also 
noch 2 (n — ni) Schnittpunkte übrig, und im speciellen Falle, dosa die 
Cnrve darch zwei Ecken dea Parallel logrammes geht, gibt ea ntir 
B-l-"— I Schnittpunkte. Dasa wir diese Punkte auch finden, hat sei- 
Qen Grand darin, dass wir die Formel 

•nyiV«* — ii* — nxiVi*— y,' 

'loadrirt haben. Zieht man aus der Formel (9) die Wurzel, so 
bekommt man nach Einfllhrung der 8: 

mtg(2me + v)=±»tg2,.« 

du positive Zeichen giebt die Wendepunkte, das negative die Übrigen 

Sfhnitipankte. 

FUr i); ^ geuUgt 8 = iu beiden Beziehungen ; die Curve geht 
dann durch den Coordinatenanfangspunkt , folglich genügt dieser 
Poiikl der Bedingung eiues Weudepnnktes und der einca Schnitt- 
punktes. 

Wir finden für das negative Zeichen: 



me 



in2»0 



co8{2me+.C) main(2me+i(y) 

Kach Hnltiplicining niit-n- finden wir durch SnbatitntiOD: 



In den Schnittpunkten sind also aacb, wenn man das Zeichen nicht 
Khtet, das Verbältniss der Geschwindigkeiten und das der Beschlenni- 
einander gleich, jedoch hat eine dieser 4 Grossen das ent- 
Zeichen der 3 anderen. 
Nun ist 



gin(m— y) 
iiay 



und 



illaMai bit ^KM^ttTtaimt 



Cotgy + COlgi — 2c0tg(i> 

Diese Formel lehrt uns die BeziehuDg, welche 1d oinem Schnittpunkt« 
der beiden Curveo, der kein Wendepunkt ist, zwischen den Richtan- 
geu der Geschwindigkeit und der BescLlennigung bestehen muss. 



7 = 180"— a 

Die Litsajout'ichen Curpen untl itU goniomelrUektn Functionen 
vitlfacker Bogen. 

Wir haben gefunden, das» die Coordinaten eines Punktes einer 

LiHSAJous'schen Curve sind: 

X -^ atm^nS nnd y ■= bnü(2mß-\-^) 

Setzen wir 29 — i), so wird 

X — aaiDnii und y — b6ia(mij-{-ii>) 

Aus diesen Gleichungen mnss ^ eliminirt werden, um die Gleicbiug 
der Cnrre zu finden. 

in nnd n sind ganze Zahlen, welche keinen gemeinBch&ftticheii 
Factor haben, so dass wir also folgende Fälle unterscheiden können: 

I n gerade m ungerade 

II n ungerade m ungerade 

III 11 ungerade m gerade 
Sei die Phasendiffereuz gleich 0, so ist 

z — asinni; nnd j/ ^ isinni] 
8inm(ni)) = 8inn(nn;) 



Nun ist 



(1) 

Ist es mCglich Binm(ni)} in eine Reibe von Potenzen von sinitt) 
und sinti(nii)) in eine Reihe von Potenzen von sinntij zu entwickeln, 
Bo haben wir die gewünschte Gleichung der Curve gefunden. Nua 
ist jedoch die Kntwickeiung des Sinus eines vielfachen Bogeus in 
Potenzen des Sinus des einfucbou Bogens nur möglich , wenn das 
Vielfach ungerade ist.') 



I) SthlOmilch. Alg. Analjsis pag. IB9. 



Ekama: Di* Lüt^fout'tdktn Ourvtn. g3 

Nor im Uten Falle wird die Entwickelong möglich sein, and 
wir bekommen: 

r ^^^ i 2 ä — ... 3p-i «"*-'»'» 

«-M 

- J (-».-» "("'-^'Kn'-a«)... {n«-(2g-3)»} 

f ^ ' 1 2 3 ... 2a-l ""^ "»'' 

|. /_itf_i «(m» -l«)(w«— 3«)... {m'—(2p-3)*\ »=»-» 
1 '^ 1 2 3 ... 2p— 1 a2?-i 

~ 1 ' 1 2 8 ... 29 — 1 j>-i ^''^ 

Die Cnrve ist fttr x vom mten Grade and fttr y vom nten Grade. 

In den beiden andern Fällen ist eine der Seiten der Formel (1) 
nnentwickelbar. Erhebt man die Formel (1) in's Qnadrat, so be- 
kommen wir: 

8in'in(nii) — 8in'n(n»i}) 

Wir mfissen nnn nntersnchen, welche die Reihe sei, welche wir 
bekommen, so wir die 2 te Potenz eines Sinns eines vielfikchen Bogens 
entwickeln in eine Reihe von Potenzen des Sinns des einüEushen 
Bogens. 

sinni - itrin{cos«-'{— ^^"~^^^"~ -^sin»{cos«-»g 

,(n-l)(n-2)(«-3)(*-4) 
+ i~2 3 T 5— 8«'«C08" *£ 

_ n(n-l)(n -2)(n -3 )(n-4)(n-5)(«-6) 

12 3 4 6 6 7"" ««»* 5«"^ 

also 

•ln«< - ii»sin»«cos*-«|- "* ^" ~ ^^^3 ~ -^ 8in«t cos»«-« | 



34 ffcaaa.- Dit Xttj^Mu'tdUa riirvM. 

_ ..,.-.).,.-.,.(.-s„. ^.,„.,„..^,„ 

SetzeD wir l~sia*£ für cos'E, so können wir die Potenzen 
nach dem BinomiDtn Newton'» entwickeln, und weil in der Formel nar 
ganze positive Potenzen vorkommen, werden wir endliche Reihen finden. 

■in'-i = nisln'l- '^^^^^^' »in't+2 "''''~''"°'~''' sln'i 

_ .■(-■-l')K-ä-|(,.--3-) 

1 s- 6 , «n f . . . 

. (2 , . . 4.3n»(n«— 1«) . ., 
sin",S - i ( i » "» £ - [72 1 3. "'S 



6;5^ ,.'(.'-l'K,,'-2') 
"*"l.2.31 3' 



«in«£ 

e.7.6.ä »V— l'Kti'-2'|(«'-3') 
"1.2.3. 4 1 S* &* 7* 



■In'i ■,! 



8ei ä-j-" 

Ist n gei«de, so ist; 

Sin... = , i(-.-<v. r'-V"-;r"':::'1^^.;^''' °°«H 

Fflr n UDgerade ist 

cos«-« - i i(-l)P-i CA 1 ' y 5* ... (2p-l)' *^ 

oder 

.■(.■-l')^'-a')...|.'-(p-l)'| 



.io-™- 1-i £(-»»-' c,* ^' 3, " ^ 



>-!)■ 



Ekama: Die Lissajou8*8chen Curven. 65 

Wenden wir (3) anf die Gleichnng 

8in'm(ni}) «= sin* n(miy) 
an, so bekommen wir: 

*f <">' ^'^i P 5* ... (2p -1)*- '^"""^^ 

«i2:(-l)« iQ2«j p ______ ^^^_g,n8,^^ 

oder 

-£(-l)P ^Q,«Pj 35 p ... (^Jp^D* ^P 

- -2.(-i;* c,«^ 3, ^, (25-1)» Ä2y ^^^ 

Die Cnrve ist also für x vom 2fiiten Grade und für y vom 2nten 
Grade. In der Formel kommen nur gerade Potenzen der y und der 
X von deswegen wird die Cnrve symmetrisch in Bezug auf beide 
Achsen sein. 

Wir werden jetzt die speciellen Fälle untersuchen, dass tf; « 90^, 
180^ oder 270^ ist, was übereinstimmt mit einer Phasendifferenz 
gleich iü'; ^V und jr. 

Ist ^ = 9(y, so werden die Gleichungen, welche die Stelle des 
Punktes geben: 

x = a8inni; und y =» &8in(mi;-f-|7r) «= ^cosmi; 

Gebrauchen wir das Axiom 

cos m(ni;) = C0Sn(mi7) 

Der Cosinus des vielfachen Bogens kann nur in einer Reihe von 
Potenzen des Sinus des einfachen Bogens entwickelt werden, wenn 
das Vielfach gerade ist.^) Er kann immer in einer Reihe von Po- 
tenzen des Cosinus des einfachen Bogens entwickelt werden.^) Die 
Gleichung der Cnrve wird im III ten Falle, das ist wenn nungerade 
nnd m gerade ist: 

ip m« (m«- 2»)(m»- 4») . . . { m^~ (2p ^ 2)«} 



1) SchlGmilch. Alg. Analytis pag. 188. 

8} M »» M » 19*. 

Axck. 4er Math. «. PhjB. 8. Baihe, Teil VI. 



Ptamo: Dh Li"ajausWhen Carviit. 

- i |{2c08mn)"- j<2co8m.,)"-2+ J^- (2coBm.i)— • 

- Y ^ g — (2coamij)"-'> u. 8 w. 



l + £(-l)Py^ 



2 3 ... 2p t 



luv- « 2»- '^"-g , 



Dic Curve ist Tür x vom mi^M Grade, für y vom «ten Grade. 
a dieser Formol kommen uur gerade Poten^eD der z vor, also ist 
die Corvo symmetrisch zar K Achse. 

Im IIt«n Fatlo Bind m und n ungerade, also ist CQin(mri) hu- 
entwickelbar in eine Reihe von Potenzen von sinni], wir mQsaen 
wieder gebrauchen die Formel: 

8in«ni(N)i) — sin«n(mii) 

Werden diese Functionen eutwickcll nach den Formeln (3) und (6), 
so Anden wir: 



oder 



-(r-')'l ■ 



-l')(.,'^2')...|.'-(,-l )'| 



(25-1)' 

:'-(F- \)'\^ 
i!p-ii> O» 



|i- coa^mi) 



Diese Cnrve ist symmetrisch in Bezug auf beide Achsen und sie ist 
Tür X vom Smten und fOr n vom 2nten Grade. Sie geht nicht durch 
den Coordinatenaurangspuiikt. 

Ist nun im Itcn Falle n gerade und m ungemde, so linden wir- 
hei der Entwickelung: 



J.E(-I)i-iC,» j 



Eianai DU Z.iiita/ouii'ithtn Camtn. 
(m*-l'Hn,'-2»)...W-(p--l)' 






3» 5' ... (2p — l)' 

»T' *^' ^-»^ 1 3» 6» ... (25-1)' 

oder 

£, ,u-.p_^ "''f'*'-^'K"''-2')- t"' '-(p-l)'i '^ 
7* ir- »Vi 31 5t ... (2p — 1}* a^ 

~7" ^J' ^''l 3" h* ... (2<(-l)« i»» 

Diese Gleichung ist der Formel (6) gleich ; die Curvß wird in diesem ' 
Falle dieselbe sein, als wenn die PhascDdifferenz gleich wOrc. 
Ist if> = 180*, so wird 

I ^ ahiantj und y ~ iain(mjj-j- Ji) = — bsiamti 

Im ersten und dritten Falle finden wir tliesolbon Gleicimngoa 
fikr die Cnrven, als wenn die PliasendiiTprenz wäre-, im zweiten 
Falle wird die Gleichung 12) 

i w-t-1 

£ (_l)f-l^J 

2 .,„_. H(~'-l')C'*'-3*)...{n'-f2g-3)'| (-y)^'-' 

'","'' 1 2 3 ... 25 -1 i^«-' 

Die Potenzen, welcbo in dor rechten Scito vorkommen, sind un- 
gerade, also haben diese Glieder das entgegengestellte Zeichen wie ' 
in der Formel (2). Hieraus folgt, das» die Curven, welche bei den- 
eellion n niid m entstehen, bei einer Phase ndifferenz gleich oder J 
gleich ji' Spiegelbilder von einander sind. 

Zum Schlasso sei die Phasendifferenz J A', so finden wir im 
ersten und zweiten Falle dieselben Curven, als wenn die Pbasen- 
differenz ji' wäre. Im dritten Fallo finden wir jedoch, weil 



-3')...!,» 



= iisiunrf und y — fiBin(»ii)-}-ä/,7() — - 



liSiaia>l_ 



^1' '12 3 ... 2p oW 



Hl- 1 !■-! 

n(.-4)(.- 6) 2— (-»)- 



-+r 



(■i-3)a-'(->) - 



g8 Ekamai DU Lis8ajou»*ichen Curven. 

m 

Da n ungerade ist, so sind alle Potenzen, welche in der rechten Seite 
vorkommen, ungerade, also hahen diese Glieder das entgegengesetzte 
Zeichen derselben Glieder in der Formel (7), also sind die Cnrven, 
welche im 3ten Falle entstehen, bei der Phasendifferenz }il' wie bei i k\ 

Im ersten Falle bekommen wir also bei jeder der genannton 
Phasendifferenz dieselben Gurvcn. 

Wir könnten jetzt noch untersuchen die Fälle, dass di3 Phascif- 
differenzen J^A, ^ü und il waren, aber wir würden dasselbe finden, 
als wenn wir n und m mit einander wechselten. Fig. 4 zeigt die 
Richtigkeit des Abgeleiteten. Diese Betrachtungen gelten eben so 
gut fttr ein schiefwinkliges, wie fttr ein rechtwinkliges Coordinaten- 
system. 

Schiedam, Juli 1886. 



Uafpm: ErmtiUrUHg r. 



r sau» auf n DImtH'ientn 



Erweiterung zweier Sätze auf n Dimensionen. 

Von 

R. Hoppe. 



§. 1. Berm 



nn'scher Satz. 



In Suhlömilch's Zeitschrift f. MatU. u. Pliys. Bd- XXXI. S. 381 
eutb&lt fiu Aufsatz Oberschricbeu : „tlio Miniinuniproblem" Vou 
O. Bermann— uiuen Satz über die Beruh ruagscbone einer FlScbo 
der Debst EciDom Beweise nichts von seiner Einfachheit verliert, 
wenn man ihn sogleich anf beliebig viele Dimensionen erweitert Er 
lanlct alsdann : 

„Das ndelinigB (ii + l)eck begrenzt von n (« — Ijdehnigen n- 
ecken, deren eins eine feste kmmme (" — Ijdehnnng berührt, wäh- 
rend die abrigen in festen linearen (n — l)dehDungcn liegen, ist bei 
variirendem Berllbrnngspunkt ein Minimum, nur wenn der Berührungs- 
punkt Schwerpunkt jenes berUhrandon »ocks ist." 

Zorn Beweise bedarf es znnäclist eines passenden Ausdrucks fUr 
den Inhalt eines udebuigen (n-|-l)ecks V. Sind die von einer Ecke 
ansgehendeu » Kanten r,, r„ ... r„ sämtlich normal zu einander, so 
ist offenbar 

V = 'All^" 

Gibt man nun der Kante r^ gegen die Kante r„ dann der Kante r^ 
gegen die Ebene r, r, , dann der Kante f, gegen den Raum r, r^r^ 
11. B. f. eine Neigung, so raultiplicirt sieb jedesmal bei unveränderter 
Buis die Höhe von r, mithin auch V selbst mit dem Sinus des 
Keigongawinkels- Da alle diese Winkel von der Lage des (n-t-l)ten 



Bappt! ErviüiTHng t 



r Sältt auf u Dimtmioiit». 



necks, wolches den ÄnagangapaBkt der r nicht enthält, unabhängig 
sind, so kann man, gültig fUr beliebige Neigaugen, schreiben : 



wo C gegen alle Veränderungen der r und der durch ihre Eudpunkte 
bestimmten (;i — l)dehnaDg constant ist. 

Der Schnittpunkt der n festen linearen (n — ])dehnaDgen sei 
Anfang der orthogonalen Coordiuaten z, r^, i,, ... jih-i- Sind nun 
71, ;i,. ... p„—\ dicRichtongscosinaa der Normale der krummen (ti — 1)- 
dchnung Sl im Funkte (x, ...), €, £^, ... |„_] dio Coordinatcn eines 
Punkts der berührenden linearun (n — l)dohnung, und setzt man 



so ist die tileiebung der BerQhrenden; 
£pi — M 



m 



(3) 



Sind fornor »t, an, njrj, ... die Ricbtungscosinus der jtton Kante n, 
mithin ri, tu,, etc. die Coordinatou des Schnittpunkts mit der Berühren- 
den, so ist nach Gl. (3) 

Fi Epak = M (1) 



daher das Volum des 



idehnigcn (n + l)Gck3 
CM» 



lach G!. (1) 



= ist, so bat man nach Gl. (2) 

dM = Sxdp 



Dio Diiferentialo Sp, etc., welche jetzt ; 
bloss durch dio Relation 



vorkommen , bangen 



von cinandor ab. 
dingung: 



Soll also V ein Minimum s 



so ist erste i 



M~^ E^^n., -^P» 



— '^*"jvi: — ^ ^p* 



Iloppt: Eru 

Mnltiplicirt mao dioBe GIcichangOQ der Keihc naub mit p, ;>„ ... 
P..1, Bo ergibt ihre Stunmo: 

n — j; 1 ^ l oder A = 
QDd man iL&t : 

X — -i^t-y— , etc. 
Die Coordioatc der jtton Ecke der berlkbrcndoD »dchunng ist nach 

foWioli 

giltig Iti k — l, 2, ... n nnd fOr alle Coordiuatcn x. Die Werte 
befriedigen die Gleichungen: 

^t(h— a)=0; eto. 

folglicb iBt der Beruh rungspunkt Schwerpnokt der Eckoa des »ecks, 
milhia bekanntlich auch Schwerpunkt des x ecks selbst (vcrgl. T. V. 
8.i20). 

Hionnit ist die Notwendigkeit der Bedingung bewiesen; oh sio 
uureichend sei, bleibt auch im citirten Aufsätze für 3 Dimensionen 

Qoenucbieden. 

S. 2. Roath'scher Satz. 

Im Quarterly Journal of pure and applied Matheraatics, V. XXI, 
p. ^1. sind zu Anfang eines AufsaLzcs vou E. J. Ronth die Werte 
des Integrals /»"Br, wenn sich dasselbe über ein Dreieck, Viereck, 
Tetraeder und körperliches Fünfeck erstreckt, aufgestellt. 

Die bemerkenswerte, vom Verfasser weiterhin fruchtbar gemachte 
Eigenschaft dieser Ansdittckc, dass sie nämlich atiEser dem Factor 
K nur Coordinaten gewisser Punkte in der einen ^Richtung ent- 
halten, Hess vermuten, daas jene 4 speciellen Figuren aus einer am- 
litsouderea Claase von Figuren hergeleitet werden können. Be- 
trachtet man zunächst das Dreieck und Tetraeder als Anfang der Reibe 
der ndehnigen (»-|-l)ecke, so l&sst sich in der Tat das ebene Viereck 
lud körperliche Fünfeck durch Projection des dreidehni gen Vierecks 
auf die Ebene, des vierdehnigen Fünfecks auf den Raum gewinnen, 
eine zweite Reibe von Figuren aus der ersten herleiten. Die 
Berechnung der entsprechenden Formel ergibt sich jedoch einfacher 
derjenigen Beziehung der zweiten Reihe zur ersten, in welche 




; £rt»iHntnjr nneicr iSBUt auf 



sie an der citirtcn Stolle gesetzt wird, der gemäsa das 
(n+2)ock aus zwoi ndchnigctt (n-f l)ecken mit eiiicr gomoinsamen 
Soita besteht. Wir wollen daher zuerst die Formel für das 'idebnige 
(ii-f-l)eck berechaen, darans durch Addition die Formel für das 
ndcbnigu [>i~\-2)eck ableiten und schliesslich auf d^Q erstgeoanDte 
Beziehung näher eingehen. 



§. 3. Erweiterter Ronth'scher 

(H + l)eck. 



Satz tUr ndehnigcs 



Substituirt mau fUr die Absctsse x des Elements eines »dchnigen 
(ii-|-l)ecks r' auf beliebiger Aso mit beliebigem Anfang (nachT. V- 
S. 419) folgende Fnnction der Unabhängigen «,. «„ .., m, 



I 



£ {«— Kifi)u*m-fi ... Uh (jrB+8 = 0) 



4 



wo 3-t die Abscisse der Iten Ecke von r bezeichnet, und macht An- 
wendung auf » orthogonale Axen , so lautet die Fanctionsdetcrnai- 
nanto 

J =• n\ l'lt,u,|"tt^' ... Un«— ' 

und das Element 

BV— Jßu,Sas ..Sn„ 
erfüllt r, wenn alle u von bis 1 variiren. 

Sei nun x Abscisse von drin beliebiger Itichlung, in oder ausse 
der ndobnuug, so dass 



'", 1 


(«- 


s*+l)u»B*+l ... n« (««fs = 0) 


und man sollt 






>(!',») = (■,.-=.)«.- 


if*» . 


"" + '!?''"' ""+''"'■■■ "" 


SO «ird 







/- 



-J\'(^, . 






daher insbesondere (für /< = 1; v = 2, dann ft*- 1, 2; v = 3, & 



Hopp 91 Mrweiterung stoeier Sätze auf n DimenMionen. 73 



1 



«i'+i(l,3)-«H-i(2,3) 



P + l)(«l — »S)t4 ... Mn 



f«l'+2(l, 4)-al»+2(3^4) 





, si4-2(2,4)— gP-»-8(3,4 )| 1 

(«j— «i)(«8 — «s) M^s ••• «*»)* 
1 ( «P+2 (1,_4) 8y«-2(2,4) 

^-»-2(3,4) \ 1 

(«3 — «l)(«8— ««)H"3 ...t*w)* 

demnach, wie leicht zu ersehen, allgemein 

1 111 

/ uk^-^Suh / • • • / **a^ / «''^ = 





(/) + l) ... (p+^)("*+l ••• w 






*=1 («» — «i) .•• («* - «*-l) («* — »»! l) ... («k — 2a) 

woraus für ä = n: 

1 1 

n! F 



(/>+!).. .(/> + «) 



X 



jk=i («* — «i) . . . («* — Ä*-l) (»i — -ÄÄ+l) ...(«* — »») 



§. 4. Erweiterter Routh'scher Satz für ndehnigos 

(7i+2)eck. 

Nehmen wir nan das fn — 1) dehnige neck 

(2, 3, ... n+1) 
als gemeinsame Seite der zwei n dehnigen (n-f-l)ecke 

V = (1, 2, 3, ... n+1), V" = (2, 3, ... n+2) 



80 Stellt die Gcaamtfigur V~ V'-{- r" cia »dchnigcs (n+2)eck 
dar, für welches 



r^dv= rtp5v+ r=^5v" 



durch Addition zweier Werte der Fanction (6) erhalten wird n&mlich 

(*=« + ! K'«Pf» 






J,= li («-r») ...(.. 



-»»(-i) ) 



Die Summe der allgemciuen Terme beider Reihen ist, wcnu Nk den 
Gcuoralnooner bezeichnet, 

_ .^- F'C*-fc4a) + t^"(-*-'i) 

wo 

AT» = (», - J, ) . . . {j* - n-i) (« - n+i) . . . (=t - «»+2) (7) 

D- r.„+.. + K"ri (8) 

Dieser Wert bleibt auch für t = l und i = n + 2 richtig, folglich ist 



fy-'Bv^ 



(p+i) ... (p-H) 



Wird nun die gemeinBanio Seite von V und V" von der Dia- 
gonale (1, n-|-2} im Pnnkte (0) geschnitten, so verh&lt sich 



h — 'o-'o — »"+a ■ 



. V : V" 



also nach Gl. (Ü) 
und man hat: 



/ «rßf-. 



(jH-1) - (H-") 



g 5. SchluBsbemerknng. 

Die Projection eines ndobnigen (n-[-l)8ck8 auf eine lineare 
(u— l)dohnung ist entweder ein »eck oder (ii+l)cck (letzteres mit 
seinen Diagonalgobilden, cnteres mit einem Punkte und dessen Vor- 
faindongsgebilden im Innern). Alle t dehnigen linearen Grenzgebildo 



Hoppe: Erweiterung zweier Sätxe auf n Dimensionen, 73 

des iftdehnigen (n + l)eck8 sind nämlich (k-\-l)ecke^ als solche mithin 
sämtlich conveze Figuren, die von einer Geraden nur in 2 Punkten 
geschnitten werden können. Der Umfang (d. i. Seitensamme) des 
»dehnigen (n-f-l)ecks V sei Sl. Jede Seite von V ist ein (n— 1)- 
dehniges neck, daher ihre Projection auf eine lineare (n^l)dehnang 
gleichfalls. Nur die noch übrige Ecke von 7 kann sich in verschie- 
dener Lage projiciren. Entweder fällt ihre Projection in das Innere 
jenes necks oder nicht. Demnach sind nur die 2 Fälle zu unter- 
scheiden: Fällt die Projection irgend einer Ecke von 7 in das In- 
nere der Projection der Gegenseite, so ist die Projection von V und 
Sl ein neck, fällt die Projection keiner Ecke in das Innere der 
Projection der Gegenseite, ein (fi-f*l)eck. 

Bezeichnet Sl' die Projection von Sl^ so gibt im ersten Falle 
61. (6), im zweiten Gl. (10) den Wert von 

wenn man die » — 1 ersten Coordinatenaxen in die Projectionsbasis 
legt nnd n — 1 statt n setzt. 

Die Beziehung zwischen den verglichenen Projectionon ist fol- 
gende. Das (n -1) dehnige neck hat eine Ecke weniger als i2, daher 
fallen in A' alle Grenzgebilde weg, welche diese Ecke besitzen. Das 
(it — i)dehuige (n-f-l)eck hat eine Kante weniger als A, daher gehen 
in Sl' alle Grenzgebilde in Diagonalgebilde über, welche diese Kante 
besitzen. 

Ein allgemeines Kriterium der 2 Fälle lässt sich schwerlich 
geben. 




Ueber TritdtrickaiUt itiit Mniimalltlraadtr. 



IV. 



Ueber Triederschnitte und Minimaltetraoder. 



Dr. Bermann 



Vor längerer Zeit ') untcrsucbto icli in einer Programmarbeit 
die Oerler der ScLwerpnnkte sulclier Dreietke, iu wtjlciieu ein Tri- 
cder (Droikaut) voq einer Ebene gescliaitten wird. Ich bezeicbneto 
dieselben ala „Tnedorschuilte". Dabei nabln ich au, dasa die sebnei- 
deudeii Ebenen entweder durch einen festen Punkt oder eine feste 
Achse gehen oder Berührungaebeueü gegebener Flächen seien oder 
endlich ein Tetraeder von gegebauem Voiuoieu abscbueidenj auch 
betracbletc ich den Fall, wo der TriederBchuitt eine vorgeaehriebeiie 
Gestalt bat. Im Folgenden beabsichtige ich, hierzu noch Einzelnes 
nachzutragen. 

Die Kanten des Trieders seien die Achsen der x, y, >, uud es 
bedeute a den Winkel (j, i), ß (x, *), y (j, y). i, 'i, t mögen die 
Coordiuatou des Schwerpunkts eines Triederschuitts bezeichnen, (, 
u, V die Parameter der schneidenden Ebene auf den Achsen der «, 
p, I. Es ist dann i — 3^, u = '6t], v =• 3£. 

I. Zur Ermittelung der bei gegebenem Ort des Schwerpunkt» 
von den schneidenden Ebenen umhüllten Uebilde ist zwischen den 
üleichnngeu dieser Ebene , des gegebeneu Urtcti und ihren ersten 
Differentialgleichnugeu 4, jj, t, DX uud D,,S zu eliminiren. Es ist , 
aber erstere Gleichung 



I) Pragr. 18T1. iles Gymn. tii Lkgnitii 



B ermann: Ueber TViederachnitte und Mimnudtetraeder, 77 



t * u * V 



oder 



(1) f+!+;=3 



S ' v^t 



und hieraas 



(2) 



z 






Ist der Ort dos Schwerpunktes ein anf die Kanten des Trieders als 
seine zugeordneten Dnrehmesser bezogenes Ellipsoid 

(ir+(iy+(D*- 

so hat man 



ßft--v,-: 



(4) 



Ans (2) and (4) folgt 






r Dt ^- y 



• 



and dann aas (3) 






l/j/^+j^ 






Die Snbstitntion dieser Werte in (1) liefert dann nach einigen 
leichten Umformungen 

©'+©'+(0'=» 

als Gleichung der von den schneidenden Ebenen umhüllten Fläche ^), 

1) Die — am es so aaszudrOckcn — amgekchrtc AufgabOf d. h. die Bp- 
difi|riing, dass die schneid cndtcn Ebenen ein dem obigen gleiches Ellip- 
soid unhttUen sollen, führt zu der Fl&che 6. Ordnung 

•1t Ort des Schwerpunkts. 8. Proer. 74, 8. 11. 



78 B§rmamn: Dtber DriederschnitU und MinimalMraeder. 

Mit sechs Rückkebrpunkten erstreckt diese sich auf den Achsen bis 
±3a, 3&, 3c (vom Scheitel aas gerechnet); die Dreikantflächen ond 
die denselben (innerhalb leicht zu bcrcchneudcu Grenzen) parallelen 
Ebenen schneidet sie in Ellipsen-Evolnten ; nämlich die a^Ebene 
in der Evolute der Ellipse, deren zugeordnete Durchmesser auf den 

Achsen der x und y bezhw. TUlä» ~iZIh^ ®^°^' ^'® anderen Flächen 
in Evoluten von Ellipsen mit den zugeordneten Durchmessern: 

3&C« 3b^c 3ac2 3a«<? 



i^^c** 62~c2' aa-c«' a2~c2 

Hat man insbesondere ein rechtwinkliges Dreikant, um dessen 
Scheitel eine Kugelflächo vom Radius r gelegt ist, welche den Schwer- 
punktsort bilden soll, so reducirt sich Gl. (5) auf 

Es sei zweitens der Schwerpunkts-Ort die Ebene 



also 



Z>^-_£. D,f-.-| 



so hat man bei Zuziehung von (2) 
Hieraus durch Substitution in (G): 

: - [Vl+V'i+Vt) v-^ 

und endlich aus 61. (1): 

<'> i/l+V'+Vi-' 

als Gleichung der von den schneidenden Ebenen umhüllten Fläche. 
— Sie ist 4. Ordnung, die Reciprocale des Schwerpunkts-Ortes der 



; Veber 7\M, r-ehBlIlt und Minimahitraultr. 



gcbcudea TriedorschuiLte ■) uud 



durch den festen Punkt -. ^. 
•chneidet die Trtedertlächen i 

Es sei drilteus der Ort des Schwerpunktes UiG Gerade 



= 1 



1+1 



Ks 



SO ergibt sieb analog 
und dann 

'-*- (|/f+i/;r+v.) 

Durch SnbstitatioD in (S) ergibt sich endlich die Gleichung der 
Grfttliilie, deren Schmiegnugscbeuen die Ebenen der Trieder- 
scbnitte sind: 



<9) 



Die Division der einen dieser Gleichangen in die andere fQhrt za 



eVad Vx — aibeVy = (a — e)VbdV'> 



(10) 



der Gleichung eines Kegels zweiter Ordnung, der mit den Trieder 
den Scheitel gemeinschaftlich hat and mithin auch seine drei Flächen 
geradlinig schneidet, jede der beiden Flächen vierter Ordnung aber, 
«eiche durch eine der Gl. (9) ausgedrückt werden, in der obigen 
Graüinie- 



30 B ermann: Ueher TriederMcknüte und MinimalUlnuder, 

Durch Elimination je einer Variabeln zwischen den beiden 
Gleichungen (9), bezhw. Gleichung (10),gelangt man zn den Projections- 
gleichnngen der Gratlinie. So durch Elimination von und dann 
von y zu: 

+ 9(rt -c)*^rf2-0 

Die Gratlinie ist mithin eine Raumcurve 4. Ordnung, die gemein- 
schaftliche Durchdringungscurve dreier den Triederkanten paralleler 
hyperbolischer Cylinder. 

Die Fläche £i?J; = c?^ deren Tangentialebenen vom Trieder 
volumengleiche Tetraeder abschneiden, besitzt (S. Progr. 74 S. 13) 
auch die Eigenschaft, dass die Berührungspunkte ihrer Tangential- 
ebenen die Schwerpunkte der zugehörigen Tricderschnitte sind. Bei 
dem vorstehenden Verfahren muss sich bei ihr also wieder dieselbe 
Fläche ergeben (als von den schneidenden Ebenen umhüllt). 

In der Tat ist hier auch : 



also wegen (2): 


D^^-\, z>,: = -| 


1 « 


?-' und { = ;.t, V-l-i 


Durch Substitution 


in {lyj = o^ : 

• 


und dann: 


f xy 
3 3 


und dann aus (1): 

X 

oder: 


|/y+,|/p+.K?=^ 




8 

'}/xyz = o, xyz = a^ 



II. Sollen die Triederschnitte flächengleich werden, so bat 
man, wenn ihre in den Ebenen xy^ yz^ xz liegenden Seiten bzhw. 
«1, «j, «8 sind: 

und da wegen 



Btrmmum: ÜAer TrmdwMkmUU wd MinimaiUtraeder. 81 

»i*-9(P+i?*-2iijco8y) 

j^« = 9(?+£»-2ä:cof/D 

ist, 80 hat man, weDn 

cosa — coB^oos/ mit A 

cos/} — cosacos/ mit J9 

cos/ — cos a cos ^ mit C 
besdchnet wird: 



^ - •/,y?p8in«a+Pt«siii2/»+{«i;«8iii«y-2{iytME+^^+^ 

Der Ort der Schwerpunkte Ar die Triederschnitte vom Inhalt d 
ist daher: 

(1) y«*2sin«o+a:«j«sin2/»+a^S^sin«y--2acy«(iir+By + C«)=(-~j 
and insbesondere für das rechtwinklige Trieder: 

Die vorstehenden Gleichungen lassen sich auch schreiben: 
(^ Sin y+if» sin a + a*sin /?)« — 4 sin — ^^-^ ^« sin "^-^ — 

+ysin — ^-^ h«8in ^ — ) ^* "" 

bzhw. 

Für ^^ — geht diese Fläche Aber in eine der ton nnsem 
grossen Mathematikern Kummer und Weierstrass synthetisch erörter- 
ten (Monatsberichte der Kgl. Akad. d.W. 1863 p. 332 sqq.),^) Kegel- 
schnittsschaaren enthaltenden Steiner'schen Flächen. 

Da es an Modellen derselben nicht fehlt, so kann man sich auch 
von Fläche (1) eine Anschauung bilden, wenn man sich die tiefsten 
Stellen ihrer trichterförmigen Einsenkungen nicht zusammenstossend, 
sondern um eine leicht zu ermittelnde Strecke von einander ab- 




1) Cfr. Schroeter ibid. p. 580 iqq. und Grelle (Borchardt) Jahrg. 64 
p. 64 Q. 66 sqq. — Auch ibid. Jahrg. 63 p. 315 yon Cremona nebst Note 
von Cajley (Jahrg. 64 p. 78) und Salmon-Fiedler Analyt. Oeoni. d. Raums 
Th. S, & 356. 

AidL in Math. v. Plijs. 8. BeUie, TeU VL 6 



g2 Btrmanm [UUr TrinleraekmiiU und MimimalMra^dtr. 

Stehend denkt. Besonders einfach wird dies bei dem rechtwinkligen 
Trieder nnd der Fläche {y). Die innerhalb der letzteren befindlichen 
Strecken der Triederkanten sind die Achsen eines regulären Okta- 
eders. Legt man nnn durch den Triedcrscheitel die vier den Oktaeder- 
flächen parallelen Ebenen «±y±x = 0, so schneiden sie die Fläche 
(l*^) in Kreisen. Man erhält nämlich fftr die Schnittcorven: 



{ 



«V+(«±y)*(«'+»*) - (%^)* 

oder nach beiderseitiger Radicintng: 



{ 



Eine snccessive erfolgende Drehung der Achsen in ihrer Ebene um 
nl^ lässt dieselben übergehen in 






Die Flächen des Oktaeders sind aber gegen die des Trieders 
(hier gegen die xy-, bzhw. xs-Ebene) unter dem durch cos » — ± V\ 
gegebenen Winkel t geneigt. Die vorstehenden Ellipscngleichungen 
sind also die Projectionsgleichungen von vier Kreisen mit dem Radius 

2 

Fläche an.O 



2\/j 41 /^ 

ö 1/ -ö • und ö 1^ Q fi^^^ b^^^ ^'^^ Abstand der tiefsten Stellen der 



ni. Soll das Volumen des abgeschnittenen Tetra- 
eders ein Minimum sein, so hat man, wenn zugleich die Be- 
dingung /(<, tt, ti) — besteht: 

(1) y ^ k ^^ sin y 811^ * 

wo t oder Wkl. (s, wy) durch 



cos» — y ' 



co8?a-[-cos^/? — 2cosacos/?cosy 

siny 

gegeben ist, 



1) d. h« d« die Fliehe aas vier congruentoii Teilen besteht, den Abstand 
e tweier einander gegenüberstehender Teile. 



: Üihrr TriaderidimtU und MmimallttraeJfr. 



in, SO bat man, wenn 



bezeichnet wird: 



= 3i, «. = 311, •'-3£ 

„9(^2 + J2_2.j£C0EO) 

= H^-\-ii'-nico9ß) 

au — coBjScoB]' mit A 
)B ß — cos o coB y mit B 
jsj" — coflac08|J mit C 



^ — s/.Vq^ESsiu'o-l-P't^sin^lS-f J^fj^Bin*)- — 2J^j;(.45+ßiI+a» 

I>cr Ort der Schwerpnokte für dio Triederschnitt« vom Inhalt ^ 
lat daher: 

nad inahesondero für das rechtwinklige Trieder: 

Die vorstcbeudcn Gleichungen lassen sich ancb Bchreiben: 

+ 34-«/ I 8+y — R 
<iry8iny-|-yi8iiio-|-Msin^)2-.4Bin— !-y-~ Ixsin ^ — 



+ jBm ^3^^ + .8in— 2— ^j»^i<^-= (yj 



Für J ^ geht diese Fläche über in eine der von nnBern 
grosscii Mathematikern Kummer und Weierstrass synthetisch erürter- 
icn (Monatsbericbto der Kgl. Akad. d.W. 1863 p. 332 sqq.),') Kegel- 
schnitts seh aar on enthaltenden Steiner'schen Flächen. 

Da es an Modellen derselben nicht fehlt, so kann man sich auch 
¥on Fläche (1) eine Auscbauang bilden, wenn man sich die tiefsteu 
Stellen ihrer trichterförmigen Einsenkungcn nicht zusammenstossend, 
sondern um eine leicht zu ermittelnde Strecke von einander ab- 



1) Cfr. SchrocMr ibid. p. 5S0 tqq. nnd Crellc (Borchardl) Jnlirg. S4 
p. E4 D. 66 iqq. — Auch ibid. Jahrg. 63 p. 31 & von Crrmonn nebil Note 
Ton Cirl*r (Jahrg. 64 p. 72) uml Bnlmon-Ficdlrr An»1;t. O«oni. d. R«umi 

TK. s, 8. ase. 



t. a. njt. 2. B 



il ¥1. 



84 Btrmanni lM>er I\ried$rHkMiU§ mtd MinimaUttraeder, 

Mitbin 

^^^-*^tJ— [^'*'+2(m--p)^-m]8iliy8iii.- 

Wegen D/« 7 « hat man zur Bestimmung des dem Minimum ent- 
sprechenden II : 

woraus: 

ml/m« m 

dafttrfft— — 1 F— wird, entsprechend einem durch den Trieder- 
scheitel gehenden Schnitte, und da, weil durch die gegebene Gerade 
eine Ebene gelegt werden kann, die einer der Triederkanten parallel 
läuft, so dass 7 — OD wird, ein Maximum ausgeschlossen ist 

Nach einigen Reductionen folgt hieraus: 



< - ^ (2m ~p ± Vm^-mp+p«) 



tt-J(2p— miVma-mp+p«) 

Läuft die feste Gerade einer Triederfläche, etwa der xs-Ebene, pa- 
rallel, so wird p unendlich und es reducirt sich die Gleichung der 
schneidenden Ebene auf 

? . _y_ . 5_ « 1 

Kauf 

(1-f tt)3 

J — ^^-- mnq sin ^ sin t 
Z>^ V auf 

JtmfH[8in/8int — 3^- 

Es ist dann also ^ = 2, wie sich ja auch unmittelbar aus dem obigen 



P f P p 
fär p =00 ergibt Es wird dann: 

t -■ Jn, tt B 3g, t> — Jm 



B^rmamm: ÜA%r TrUdtr§€!mitU tmd Mmimak€ira«d^, 85 

woraus ersichtlich ist, dass in diesem Falle der Schwerpunkt des 
Triederschnitts in die Drehungsachse (feste Gerade) fUlt 

SoUen die Triederschnitte eine gegebene Fläche umhüllen, so 
ergibt sich die Bedingung fttr das Minimaltetraeder in folgender 
Weise: 

Die Gleichung der Fläche sei 9 (x, j^, n) — ; sind £, )/, i die 
Coordinaten des Berührungspunktes und bedeuten p, g, r bzhw. 
^^VÖ, 1?, J), D^q>, De 9, so ist: 

die Gleichung der Tangentialebene. Ihre Parameter t, u, o sind also 
bzhw. 

p g r 

Es ist somit V oder {iMosin/sint hier 

= i ^^ ' ^ ' srnysin» 



Die obige Minimalbedingung (2) wird demnach für diesen Fall: 



«ad dUforeatürt suoeessite nach E, if, {, so erhält man: 

^^^.i,^r=3PZ>,«-fiD,P 
Z>^5 - p+tD^+nD^q+tD^r 

DjÄ - r+tD^r+iD^p+nD^q 

D^P'^^D^p+prD^+pqD^r 
D^P '^ qrD^p+prD^q+pqDnr 
D^P^ qrD^p+prD.q+pqD^r 

M, SO erhäh awa aadi Eiasetiaag dieser Werte: 



Da aber 



+ pql2rt-pi-g,t)D^r 






-11 — ■ t) ■f'uP 4-p^ (Sgij — ;>{ — »-£1 D, g 
+pq{2rt — p£~qti)D^r 



+pg(2rJ~pJ-3i,)Djr 

Werden diese Werte in Ci") substituirt, so gehen diu beidon dortiguu 
GleichuDgeu scbliesslicb Ober in 



./r {2p£ — g»? — rf)(rZ>^p -pD^p) 

+prl2qri- pi-rtKrD^q-pD^q) 
+pq{2rt-pi~q^)(rD^r^pD^r) = 

qr(2pi — q^— rtXrD^p -qD^p) 

+pr(2gi)— p£ — r£)(rfl,g— «Djd) 

+ P'l(2rt-p^~qtl)(rD^r~qD T) = 



(^^) 



Unabhängig von den (partiellen) DiffereDtialqnotientcn wird diesen 
Gleichungen durch 

pE = 5^ = ,.J 

genügt, wodurch die obigen Werte der Parameter (, «, v in 35, 3?j, 3C 
Übergehen, nnd sich demnach als Ergebniss herausstellt, daas die 
Tangentialebene das M i ui malte trae der abEchncidet, deren Berah- 
rungspunkt zugleich der Schwerpunkt dos zugehörigen 
Triodürachuitles ist. 

Der Miuimalncrt von (' wird |£i]£siu]'siui. 

Beispiele: 

1) Für das Ellipsoid 

-"-{-^''-l-'"=.l 



ID^V 



„1 - fti - e, - i, £-y3' '/"ys- ^"ys 

wird. Vol. des Minimaltetraeders = ^oöcy^sin/ainf. 



Btrmann: ü^bw TrMgrtehniiU und MünmtüUtraeiUr. 87 

2) Ffkr die obige Fläche 

©♦+ (0'+ ro'- ' 

ist 

s s s 

also: 

«J»-i,t«^ oder i,-5j/?, :-{[/* 

in die FlftcheDgleichang eingesetzt, ergibt: 

* 1 . 1 



K-ü+J+i) j/^(i+i+i)' l/^TR) 

Minimaltettaeder-Volamen vi 

I sin y sin» |aic sin ysint 

3) ax«+iy+c»+d — (Paraboloid) 

2a{* = »1} = e( 

l/T 2rf . 2d 

^"Vbi' ''"56' '=5^ 

18 ci*Vd 

4) «y+*V+y»«» = (|^f)» (8. oben) 

i«=2i,«(i«+p) 
tr = 2J»(P+ii*) 



Constniction der den Brennpunkten eines 

Kegelschnitts entsprechenden Punkte 

im coUinearen Systeme. 



L Klug. 



K. Pohlke bringt in seiner „darsL Geometrie" (zweite Ablh., 
Berlin 1676; § 114) ohne Beweis die Construction durjenigou Punkt« 
in der Ebene einea Kreises, deren Ccntral-Projectionen die Brenn- 
ponkle der Central -Projection des Krciges werden 

Im folgenden wollen wir den Beweis der Pohlke'schen Construction 
geben in dem allgemeinen Falle , wenn statt des Kreises ein Kegel- 
schnitt angenommen wird, die Constrnction wenn das Projections- 
Ccntrnm ins Uaendliche rückt, endlich die omgekehrte Aufgabe 
lösen, nämlicb: Projections - Ceatrum and Ebene so bestimmen, 
dass die Projection zweier beliebiger Punkte in der Ebene eines 
KegeUcbnitts die Brennpunkte der Projection des Kegelschnitts 
werden. 

„Schneidet die zn einer Tangente eines Kegelschnitts Parallele, 
die durch den Berührungspunkt /' gezogene beliebige Gerade in 
B, den zur Goraden I'Ü conjngirtcn Durchmesser in A, so liegt der 
Punkt B mit dem Pole der Geraden PA in einem Durchmesser dcB 
Kegelschnitts." 

Die Pole U, V der Geraden AB^ BP liegen in dem durch P, 
resp. A gehenden iDurchmessor, und das Dreieck ABP mit dem 
UVC, dessen Ecken die Pole der Seiten des crsteren sind, pcrsp. liegt, 
so ist BC der znr Geraden AP conjugirte Durchmesser des Kofi 
Schnitts. 



Daraua folgt, wenn A in einen Brennpunkt des KcgolBclinitts 
Allt, gid man in Betraclit zieht , dass der Pol einer Brennpunkt- 
Seline «af dieser im Bronupunkte erricliteten Senkrechten liegt: 
Khoeiiiel die durch den Broiinpuakt A eines KegelscbDitts za einer 
TugcDle Parallele die vom Buriihraugsp unkte P auf die Uanptaxe 
geMleSoukrecbtein i^dic Tangente des Punktes Piu C, so liegen die 
Puukieä und C auf dem zur Geraden AP conjugirten Durchmesser. 

Bezeichnet man den Schnittpunkt dieses Durchmessers und der 
Gendcn AP mit D, den Schoittpuiikt der durch i/ zur Ilauptaxo 
panllclju nnd AF mit N, den Fusspunkt der von B auf AP ge- 
fUlKa Senkrechten mit E, so folgt ans den vorhandenen ähnlichen 
Dreiwteu: ADiDE =.CD:IID\ DP:AD^CD:Un, welche Propor- 
ÜODen die Relation DA"^ = DP.DK geben. Femer ist aus der Figur 
eraichiHcb, dass der Punkt fl, da er auf der zu einer Seite des 
Wf Dreieckes Parallelen sich befindet, immer ausserhalb des Drei- 
eckes, daher E inuerhalb der Strecke DP, und wegen des recht- 
wiakligeu Dreieckes PBN auch innerhalb der Strecke P^ liegt, wes- 
halb aach E niemals auf die Strecke ND gelangen kann. 

Uitlelst der früheren Relation und dieser Bemerkung kann man 
die Brennpunkte eines Kegelschnitts, wenn die Lage der Axen und 
ein Par ccujugirle Uurchmessor bekannt sind, anf folgende Art 
WMtmireu : 

Durch ßiuen beliebigen Funkt O zieht man Parallele zu den 
Aieu und einem der Durchmesser und eine Senkrechte auf den an- 
deren llurcbmesser, nnd schneidet diese vier Geraden mit einer zu dem 
letzleren Durchmesser Parallelen g in N, P, D, E\ liegt nun E auf 
dw Strecke DP, so bestimmt man den Punkt A auf g derart, dass 
D^i-, DP.VK und führt durch die Berührungspunkte der zu AO 
V*m\i!\ gehenden Tangenten des Kegelschnitts Parallele zu g\ die 
letzteren treffen die mit ON parallele Hanptaxe iu den Brenn- 
pnokteo. 

I>ie Construction geht hei der Parabel, da die Durchmesser pa- 

'^'o] siud, in folgende über : durch o führt man eine Parallele und 

"^"itrecbte zur Axe und eine beliebige Gerade, schneidet dieselben 

*"* einer auf der Letzteren Senkrechten in fl, P, K\ bestimmt den 

"»kt A derart auf ihr, dass DA* = DP. DE, zieht die mit OA 

lelo Tangente; die durch den Berübrungspankt zu ÖP Parallele 

'leidet die Axo im Brcnupunkte. 

Wir vrolleu nun die hier gegebenen Coustructlonen zur Be- 
wirtung der Brennpunkte des einem Kegelschnitt porsp. coliinearen 
Belschnitts benntzen. 



90 f^log' CoBsfTUflion der den Brennpanilen tinn KigeladiiilU 

Es sei h ein beliebiger Kegelschnitt, «, C die CoIlineatiotiB-Asfl^ 
iiiid das Ceotrum, 5', r dio Gegeuaieii, k' die dem k entsprecheude persp. 
ooilincaru Figur, Af der Pol von r bezüglich k. Sind Äj, Ä»; R^, A4 
uwei Par bezüglich k cunjugirte Punkte auf r,, von welchen du 
erste Par aus C nnter einem rechten Winkel eracheint, so gehen die 
Geraden t'ff,, CIU mit den Aien, Cfig, CR^ mit einem Par coDJngirter 
Durchmesser von k' parallel. Schneidet man die ersten drei Ge- 
raden und die auf der vierten in C errichtete Senkrechte mit einer 
zur vierten parallelen in iV, 1\ D, E, bestimmt auf dieser den Punkt 
A derart, dass im Falle E auf der Strecke öi' liegt, DA^'r^DP.DK, 
im Falle aber E auf der Ssrecke OA liegt, DA- — DN. DE wird, zieht 
vom Schnittpunkte der Geraden CA, r Taugenten xu ^-, so treffon 
die Verbindungslinien des Fuuktua R^ mit den Benlhrungspunkten 
im ersten Falle H^M, im zweiten aber H^M iu denjenigen Paukten, 
deren outsprecbcnde die Breuupunkte vou k' siud. 

Fällt yfj ins Uuendlicbe, ist daher R^M der znr Richtung der 
Geraden r conjugirte Durchmesser von A-, so falle man von C eine 
Senkrechte auf r; liegt der Fusspunkt A' derselben zwischen R^ und 
Äj, dann ziehe man von dou aus der Relation R^A- = H^R^-R^E 
beütimmten Punkte A auf r Taugonteu zu k; die Schnittpunkte der 
durch diu Berührungspunkte parallel zu r gelegten Geraden mit MR, 
geben die den Urennpunkteu dos k' entsprechende Punkte. — Dies 
ist die oben erwühute Publke'sche Construction ; welche aber im 
Falle, dass R^ nach Ü gelaugt, nicht anwendbar ist, daher die all- 
gemeine CoustructioD benutzt wird, 

Berlkhrt r den Kegelschnitt k im Punkte R, uud sind die Schnitt* 
punkte der durch C gehenden uud der auf r , wie auch auf CR senkrecht 
stehenden Geraden mit r, ii, resp. i^, dauu bestimmt mau den Paukt 
A auf r aus der Relation RE.RR^ = RÄ^, zieht von /?, und A 
Tangeuien zu i, und durch die BerUbrnngspunkto Parallele zu CR 
rcsp. r, der Schnittpunkt derselben ist der dem Brennpunkte der 
Parabel entsprechende Punkt. 

Obige Couatructiouen werden bei Bestimmung der Brennpunkte 
dos einem Kegelschnitt affinen Kegelschnitts folgender Art ange- 
wendet. 

Sind J:, k' zwei afäno Kegelschuitte in persp. Lage, M, M' 
Mittelpunkte, e die Affinilätsaie , MS,, AfS^ die den Aien Af'^^" 
JlCSj von i'eötsproebenden CO njugirten Durchmesser von t,DdcrSchmtt- 
punkt des zu a conjugirtcn Durchmoaaers MD mit «, endlich E der 
Fusspunkt der aus M' auf « gefällten Senkrechten. Liegt E snf 
der Strecke DS^, dann bestimmo mau A auf 1 aus der Relation 



ttUspreckenden Punkt» im coüinearen Sjftteme. 91 

DE.DS^ — Di4>, ziehe mit AM parallele Tangenten zu A;; die durch 
die Berflbmngspanktc zu s parallel gelegten Geraden schneiden MS^ 
in den, den Brennpunkten von k' entsprechenden Punkten. 

Bemerkung. 1. Liegt A/, daher auch 3f ' auf «, dann werden die 
Selni]t4>iinkte von MS^^ MS^^ ME^ MD mit einer beliebigen zu « 
Ftoülelen benatzt. 

2. Geht 8 parallel zu den Axen von k^ und ist zugleich die Pro- 
jectioBsrichtiuig senkrecht zu «, dann werden statt « und des dieser 
Geraden conjugirten Durchmessers von k' eine andere Gerade und 
der ihr conjugirte Durchmesser angewendet 

Wir wollen jetzt die umgekehrte Aufgabe lösen, nämlich: es sind 
gi^Seben ein Kegelschnitt k und zwei Punkte jP, O seiner Ebene, 
man bestimme die Collineations-Axe und das Centrum, wie auch dio 
G^genaxen derart, dass die den F, G entsprechenden Punkte Fj G ' 
die Breanpnnkte des dem Kegelschnitt k entsprechenden Kegelschnitts 
werden. 

Diese Aufgabe kann nur dann gelöst werden, wenn F, G inner- 
kalb k liegen, d. h. wenn die durch F oder G gehenden conjngirten 
Genden eine ellipt Involution bilden. Sind M. ^ die von F, G bar- 
moniach getrennten conjugirten Punkte, R der Pol von F6r', dann 
eatiprechen entweder die conjngirten Geraden M^^ MH^ oder i/fi, 
fiB den Axen des gewünschten Kegelschnitte, weshalb auch der Auf- 
gabe zwei Systeme von Kegelschnitten entsprechen. Das erste Sy- 
stem enthilt Ellipsen, das zweite Hyperbeln. Der der Geraden yili ^ r 
ooDjogirte Durchmesser schneide r in £>, die Tangenten in einem 
der Endpunkte der durch F oder ^ zu r parallel gefOlirten Sehne 
schneide r in ^. Ist nun der Punkt E auf r so bestimmt, dass er 

aaf der Strecke DR Uegt und DE « hA^ : hR ist, dann wird die in 
E aaf r errichtete Senkrechte den Aber ^R als Durchmesser be- 
sc h riehenen Kreis im CoUineations-Centrum treffen; die Collineations- 
Axe wird m r parallel angenommen. 

DieK Gmstruction ist nicht anwendbar, wenn ^ (oder J/> ins 
Unendliche rlckt, da in diesem Falle die Punkte //, /i, A', A zu- 

Man kann aber die Lage des Collineations-Ontrums 
, wie anch im allgemeinen Falle bestimmen, wenn man in 
Bctia^ zieht, dass die sich im Brennpunkte scbneideuden conjugirten 
Gcndea aof eiaaadcr Senkrecht tteben . daher maxi die Schnittpunkt« 
von zwei Par darch F gehenden conjugirten Geraden mit 6ifnr Polare 
wi If , d. h. der Geraden r ermitteit. durch die exitEpreci*enden 
Srbniftpankte Kreist' le^ deren Mitselpunkt in r li'^gt ; die geaaeixi- 
Paakle dkscr Krdse sind die CoüineatioxiS'Mittelpuakte. 



92 Klug: ConMireetion dar dm Brtnnpunktgm •int» KtgtUchnitU tlc. 

Fallen F und G zosammen in den innerhalb des Kegelschnitts 
gel^enen Punkt M^ dann gelangt A^ daher aach E nach D, nnd es 
werden alle conjngirten Punkte der Geraden r aus C unter einem 
rechten Winkel projicirt, und k' geht in einen Kreis Aber. 

Im Falle, dass G auf k angenommen wird, geht k' in eine Pa- 
rabel Aber, und die Construction ist leicht dem bei der Parabel ge- 
zeigten directen Verfahren nachzubilden; im Falle aber auch F auf 
k gelangt, ist die Gegenaxe r unbestimmt, indem dieselbe durch den 
Pol von FG beliebig gezogen werden kann; immerhin filllt aber Oin 
diesen Pol, daher k' in eine Gerade Abergeht 

Liegen F, G auf einem Durchmesser von k und vom Mittelpunkt 
M desselben gleich weit entfernt, dann wird fAr ein System der 
Kegelschnitte k* die Collineation zur Affinit&t, nnd die Lage der 
Affinitätsaxe « kann beliebig angenommen werden. Verbindet man 
den einen Endpunkt T der durch F zu » parallelen Sehne mit 3f, 
nennt die Schnittpunkte der zu TM^ FGy s conjngirten Durchmesser 
mit «, resp. Aj S^j 2>, wie auch den Schnittpunkt von G mit der- 
selben Geraden iSj, errichtet in dem durch die Relation DE'^DA^D^ 
bestimmten Punkte E der Strecke DS^ eine Senkrechte auf «, so 
schneidet dieselbe den Aber iS| iS^ als Durchmesser beschriebenen 
Kreis im Mittelpunhte M* des zu k affinen Kegelschnitts. 

Pressburg, im Febr. 1886. 



Klag: Ueber mthrfach piripertive Tutrardir, 



üeber mehrfach perspective Tetraeder. 



L. Klug. 



1. „Wenn fünf Kanten eines Tetraeders von welchen 
„die ersten drei durch einen Eckpunkt gehen, fUnf Kantcu 
„eines andern Tetraeders, von welchen die ersten drei clien- 
„falls dorch einen Eckpaiikt gehen, scbncideD, obno dass 
„die Tetraeder einen gemeinsamen Eckpunkt oder Fläche 
„haben, so scfaneidet auch die sechste Kante des einen 
„Tetraeders die sechste Kante des andern, nnd dieselben 
„liegen perspectiv." 

Wir bezcicbnen mit AgK den Schnittpunkt der Mg Mi,, NgNi, 
KanteD der Tetraeder M=M,Mf M^ M^, N= N^ A', N^ N^ und setzen 
vonoB, dass ausser üf, 3/}, JV, N^ die übrigen Kanten sich schneiden. 
Die Pnnkte Aj^AjtAn, A„, A^^A3^ als die Sclinittpankte der iu den 
Fliehen N,N^N^, M^M^M^ und NfN^N^, M^M^M^ liegenden Kan- 
^ «eiche Flächen weder durch einen gemeinsamen Eckpunkt gehen, 
noch in einer Ebene liegen, befinden sieb je in einer Geraden. Weil 
■'cb diese Geraden im Punkte vly, schneiden, sü haben auch 
<*« Geraden .ii,j.4,3, ^n^« daber auch die Flächen Nj^N^Nf, 
^^»^b; ^i JVjiV«, M^M^At^ einen gomeiuBamen Punkt, welcher der 
S<Äoittpankt der Kanten N^ N^, Mj A/, ist. 

2. „Wenn drei Kanten eines Tetraeders drei Par 
„Gegenkanten eines anderen Tetraeders, und ausserdem zwei 
„Kanten des ersten zwei Kanten des anderen schneiden, so 
„schneidet auch die sechste Kaute des ersten ein Par 
„Qegenkanten des zweiten Tetraeders und dieselben liegen 
,^tif zweierlei Art perspectiv. Der einer perspectiven Lage 



..ciitBprechcude CollJucationB-Mittelpunlit liegt in derjonigen ' 
„Colli QcatioDS-E bell e, wolche der anJoreD perspectiven Lage 

„angehört." 

VoranSBeseUt, doss A'« Ai Kauten des A TetracJors. ausser N, A',, 
die Kanten AfgMi, des M in Atfh schneiden, und uocb die Kanten 
A.iVj, JVfjA/«; A, A',, M^ M^; N^N^, M^M^ in ^'„, reap. ^'„, ^'54 
gemeinsame Pnnktu haben, so wird, da AjAj, A, A',, A^A^, A'^A',, 
N^N^ Kanten des einen, M^M^, M^M^, M^M^^ ^h^^, M^^f^ und 
M^ Mg, Mi A/,, Ji, M^, M. A/,, W, M^ Eantcu des anderen Schneiden : 
Kante N^ Ag sowol mit A/, A/„ als A/^ A/4 eiuou Punkt v!,„ reap. A\^ 
gemeinsam haben. Die zwei Tetraeder liegen daher auf ineierici 
Art perspectiv, und es entsprechen den N^NiN^N^ Eckpanktcu des 
einen ^[^MfM^M^ und M^M^MJM^ Eckpuukle des iiudercu. 

Bezeichnet mau mit O^ den zur ersten pcrsp. Loge gehörigen 
Coll.-Mittelpunkf, so schneiden die Geraden OiA'n, OyA\^, von 
welchen die erste mit den Kanten A/, A/,, Aj, A4, die zweite mit M^M^, 
N^N^ in A'^^, resp. A\^ gemeinsame Punkte hat, die den genannten 
Kauten in der ersten persp. Lajie entsprechenden A,A,, M^Af^ reap. 
A'jAj, AfjA/j Kanteu in den Punkten A\i resp. j4'^, woraus ersicht- 
lich, dass O, ein Diagonalpnnkt des Vierseits A^;^A^^A'^iA\^A'„A' ^^ 
ist, welches in der zur 2Weiten persp. Lage gehörige Coll.-Ebene liegt 

Um das Tetraeder N bei gegebenem Af /u couatruiren, nimmt 
man auf der Transversale von zwei Gegeukanten z. B. M,M„ M,3fg \ 
des M zwei beliebige Pnnkte A^, N^ an, sucht die Scbuittpnukte O^, 
O« A4, A; von A',A/», NjM^, resp. AjA/«, A^A/, ; 0,^f^, O^Af»; 0,M^, 
Oa^i, ■■ JV',A,A3A4 ist das mit M,MfM^M^ auf zweierlei Art bezüg- 
lich O,, O, persp. liegende Tetraeder 

3. „Schneiden fünf Kanten eines Tetraeders fünf Par 
„Gegenkanten eines anderen, so scbneidet auch die sechste 
„Kaute des ersten ein Par Gegenkanten des audercu, und 
„die zwei Tetraeder liegen auf viererlei Art perspectiv." 

Wir nehmen an , dass A',A"* Kante des A, mit Ansnahme von j 
iV,iVj die Kanten MgMs, MiMt des Tetraeders M in Agh, A'gh 
schneidet. Wenn den Eckpunkten A',AjjV„A', die Eckpunkte A/|AIJ 
A/(A/4 entsprechen, so wird A,Aj, da die Übrigen fanf entsprechen- 
den Kanten sich schueiden, mit Af,Af, einen gemeinsamen Punkt A^^ 
haben, wenn aber denselben Eckpunkten AfgM,AffMf cutsprechen, 
so wird aus demselben Grunde NjN^ auch A/gA/j in A\, schneiden. 
Den Eckpunktflu A,A,A'i,A4 künnen aber auch die Eckpunkte Af,J/, 
AffA/g und A/4A/3A/JM, entsprechen (weil die homologen Kaulen sich 
schneiden), daher die Tetraeder auf viererlei Art persp. sind. — Wir i 



I 

I 




i pertptetivl Ttlral^r. Q^ 

. den genannten Lagen gehörigen Coli. -Mittel punkte 
mit 0„ resp. O,, O^, 0^, aad es gcljcii die zu 0„ resp. Om geliOrigen 
Coll,-EbeneB durch die Vierecke ■^iiA^t,A,^A^Af^A^, resp. A^itAa: 
A'ui'iiA'iaA'tt. 

¥eil die Gerade OjA',, die Kanten AfhM.-, N,Ng in A;s, und 
4i^ diesen Kanten in der ersten pcrsp. Lage entsprechende NM, 
M,M,\a A'ki schueidel, ferner OgAji,, resp. OA',^ Geradon M^Mi,, 
A'.Ai; MtMi, NjNg Kanten in Aii,, A\g und die, diesen Kanten in 
der jten persp. Lage entsprecheuden NgK, MfMr, AiA;, MgM^ in 
in, A'u schneidet; so sind die vier Coli .-Kitte) punkte die Diagoual- 
puDlite der in den Coll.-Ebenen liegenden Vierecke. Daraus folgt, 
w^en der härm. Lage der Funkte O^A^J|,OgA'),i, OQAi,hf>i,A,k, daso 
»«ei beliebige Kanten 3/,3ft, MiMk\ AVAi. NiNk von M oder N 
imtV zwei Coli. -Mittelpunkte Og, Oh wie auch OtOk und daher durch 
2»« Coll.-Ebenen Og0i,0i, Oj,0»Ot; 0;OkO„, OtOkOi., endlich durch 
einen beliebigen Coli. -Mittelpunkt und seine CoU.-Ebone härm, ge- 
trenDt sind. 

D» die Projeclion der Punkte NjAnNiiA'ji, aus O^ : MjAixifkA'a; 
dieWT Punkte ans Ot : J\V.^,^A■^.^',l; dieser Punkte aus O, : AftAaUkA'vt; 
eadlich die Projection dieser Punkte ans Ot : NkAuNjA'u ist, go 
folgt, dass zwei Gegeukauten M. N Tetraeder, wie MgMi,, M.-Mk und 
*fAi| N,Kk durch zwei Par Eckpunkte Ng, Nk-, Nt, Nk, resp. Afg, 
*Ä; Ml, Afk der N und M Tetraeder, daher auch durch zwei Par 
fliehen NgNkN., A'jAiA't; A'.AjAV. N.NkNk, resp. MgMkMi, MgMkMk. 
^fiMkMg, MiMkMk endlich dorch einen Eckpunkt und die Gegenfl&che 
Wn jv, resp. M härm, getrennt sind. 

Aus der härm Lage der Punkte M^AghMhA'ik, NgAgkNkA'gh und 
•äu^ns, dass OgOk Gerade durch Agk, An oder A'gk, A',k geht {je 
"•chdem g, h, oder /, k gleich 1 ist) folgt, dass zwei Gegenkanten 
*'e« 030,0^04 = O Tetraeders durch Mg, Afk; Mi, Mk wie auch 
Kl Ai; AT,, A'j Punkte, daher durch MgMkMc, M,MkMk\ M,hhMg, 
^*MtMk und NgNkNt, NgNkNk-, A'.A'tA'j, A",AiAi Ebenen, endlich durch 
""^en Eckpunkt und Gegenfläche von if oder A' härm, getrennt sind. 

Ans der soeben gefundenen Lage der Eckpunkte, Kanten und 
''^Icbeo der Tetraeder M, N, O und aus dem Umstände, dass wegen 



«et- 



persp. Lage die Verhindungs- oder Schnittlinie von zwei zu vcr- 



"^iedcncu Tetraedern gehörigenj Eckpunkton resp. Flächen durch 
'^^en Eckpunkt des dritten gehen, resp. in einer Fläche liegen, folgt: 
**«i in verschiedenen Tetraedern gehörige Eckpunkte oder Flüchen 
*^*den durch einen Eckpunkt nud Gegenfläche des dritten Tetraeders 

^*Tn., drei iu einer Goraden liegende Eckpunkte der Tetraoder, 

4*W-ch die Gegentläuheu iuvolutorisch gotrenut. 



Das Rosnltat dieser UntersnchnDf; lautet: 

„Darch ein Tetraeder und einen aassi?rha)b seiner 
„Flächen liegenden Punkt ist ein anderes Tetraeder be- 
„atimmt, von welchem der angenommene Punkt, und die vod 
„ihm darcb die Gegeiikanten des Tetraeders harmonisch 
, getrenntes Punkte die Eckpunkte sind. Dieses und das 
„angenommene Tetraeder sind aof viererlei Art persp.; die 
„ColL-Mittelpankto und Ebenen sind die Eckpankte and 
„Flächen ein nnd desselben neaeu Tetraeders. Zwei be- 
„liebige Eckpunkte, Flächen, Gegeiikanteu, Eckpunkte und 
„Gegenflächen jedes i^cr drei Tetraeder werden von den 
„Gegenkanten der anderen zwei barm, getrennt. Zwei zu 
„verschiedenen Tetraedern gehörige Eckpunkte oder Flächen 
„werden durch einen Eckpunkt und Gegcnfläcbe des dritten 
„Tetraeders barm., drei in einer Geraden liegende Eckpunkt« 
„durch die Gegenflächen invol. getrennt. Die 12 Eckpunkte 
„und Flächen der drei Tetraeder liegen rcsp. schneiden 
„sich zu dreien in je 16 Geraden; von den ersten 16 Gcra- 
„den gehen durch jeden Eckpunkt 4, welche ein Vierkant 
„bestimmen, dessen Diagonal- Drei kant drei Kanten eines 
„der Tetraeder sind, von den anderen 16 Geraden liegen 
„in joder Tetraeder-Fläche 4 und bilden ein Vierscit, dessen 
„Diogoualdreieck die Kaute» eines der Tetraeder sind. Die 
„Kanten der drei Xetr.ieder liegen in 12 Ebenen und gehen 
„durch 12 Punkte; dieselben sind die Flächen resp. £ck- 
„punkle von drei ueuen Tetraedern, welche dieselbe gegen- 
„seitigo Lage haben als die ersten drei Tetraeder. Aber 
„auch die gegenseitige Lage der zweimal drei Tetraeder 
„ist Obere iustimmeud, indem die Flächen oder Eckpunkte 
,jodes der drei neuen Tetraeder durch sechs Eckpunkte 
„der anderen gehen, resp. in sechs Flächen derselben liegen, 
„so wie die Flächen oder Eckpunkte der ersten drei Tetra- 
„cder durch sechs Eckpunkte der neuen geben, resp. io 
„sechs Flächen derselben liegen." ■ 

„Die ganze Figur enthält 24 Punkte, 24 Ebenen nnd 60 Gerade; 
„die Punkte liegen (Ebenen gehen) zu vieren in (durch) 18 Geraden 
„und /u dreien in (durch) 32 Geraden; durch jeden Punkt geben (in 
,Oeder Ebene liegen) von den 32 nnd 18 Geraden 4, resp. 3, von 
„den 24 Ebenen (Punkten) 7, welche ein Vierkaut (Vierseit) mit dem 
„Diagonal-Dreikant {-Dreiseit) bestimmen." 

Die Eckpunkte der im Satze erwähnten drei neuen Tetraeder 1 
Bind: Ai,i,AaA'gi,A'a, ■ - . und es sind je zwei bezüglich der Eckpunkt« 1 



Klug: Uthtr nukr/aeh ptnpeethfe Teiraedtr. 97 

und Oegenflftchen des dritten Tetraeden, als Coll-MittelpQnkt nnd 
Ebenen, anf yiereriei Art persp. So z. B. sind bezüglich A^^^ A^^^ A\^ 
A'^ Gon .-Mittelpunkte A^iAf^A\^A'^^ persp. mit AnAt^'nA\^, A^^ 

Ans der eigentttmlichen Lage der M, iV, O Tetraeder, dass zwei 
zn yerschiedenen Tetraedern gehörige Eckpunkte durch einen Eck- 
punkt und (legenfläche des dritten barm, getrennt sind, folgt: 

^DJe 8 Mittelpunkte der in ein Tetraeder einbeschrie- 
„benen Kugeln sind die Eckpunkte von zwei Tetraedern, 
„welche sowol zu einander als zu dem Original-Tetraeder 
„auf viererlei Art persp. liegen.'' 

5. Zwei Tetraeder haben in Bttcksicht anf ihre gemeinsamen 
Ecken oder Flächen folgende Lage: sie haben a) 3 gemeins. Ecken 
und 3, 2, 1 gemeins. Flächen; b) 2 gemeins. Ecken und 3, 2, 1, 
gemeins. Flächen; c) 1 gemeins. Ecke und 3, 2, 1, gemeins. Flä- 
chen, endlich d) gemeins. Ecke und 2, 1, gemeins. Flächen. 

Bezeichnet man die Eckpunkte der Tetraeder mit M^M^M^M^, 
N^NfN^N^ und fallen a) üfj, N^] 3^, N^-^ M^ N^ zusammen, dann 
wird M^M^M^M^ entweder mit N^N^N^N^, N^N^N^N^, N^N^N^N^, 
N^N^N^N^ oder blos mit den drei letzteren persp. liegen, je nachdem 
N^ anf MgMt^ liegt oder nicht b) Fallen ikf^, N^ ; 31^, N^ zusammen, 
und liegen ausserdem entweder iV,, N^ auf M^M^ resp. M^M^ Kanten, 
oder schneiden sich M^N^^ M^N^^ M^M^ Geraden in einem Punkte, 
so ist M^M^M^M^ mit N^N^N^N^, N^N^N^N^, N^JN^N^N^ ; wenn sich 
aber ausser den gemeins. Eckpunkten blos M^M^^ N^N^ Kanten 
schneiden oder auf derselben Geraden liegen, dann ist M Tetraeder 
mit N nur in den zwei ersten Gruppirungen der Eckpunkte per- 
spectiv, c) Fallen M^^ Nj^ zusammen, so sind die Tetraeder selbst 
wenn 3, 2, 1 Eckpunkte von N auf die durch M^ gehenden Kanten 
oder Flächen liegen, blos anf einerlei Art persp. ; wenn aber M^^M^^ 
NfN^N^ Dreiecke in derselben Ebene liegend auf 0, 1, 2, 3, 4-erlei 
Art persp. sind ^), dann liegen auch die Tetraeder auf ebenso vielerlei 
Art persp. d) Haben die Tetraeder keinen gemeins. Eckpunkt, fallen 
aber N^N^j M^M^ Kanten auf dieselbe Gerade, und gehen M^M^^ 
ilf,jY„ M^N^ Gerade durch einen Punkt (die Tetraeder haben zwei 
gemeins. Flächen), so ist M^M^M^^ persp. mit N^N^N^JN^^ N^N^N^N^, 

Aus diesem ist ersichtlich: „Zwei Tetraeder, welche eine 
„oder mehr gemeins. Ecken, Flächen, Kanten haben, können nicht 
„mehr als auf viererlei Art persp. liegen''. 

1) bei reellen Bckponkten. 
Arek. 4. ICttli. o. Phys. 2. Beih«, T. VI. 7 



Klug: UÄtr mthrfacK ptriptelivt Telraidtr. 

6. „Zwei Tetraeder, wclclio keiuo geroeioa. 
„Kanten, oder Fläcben habeo, könncD nicht dermassen I 
„zweierlei Art persp. liegen, dass einem oder zwei Eckpank- 
„ten des einen in beiden Lagen dieselben ein oder zwei 
„Eckpunkte des andern entsprechen. 

Weil MkMiMt, Ni,NiNt Dreiecke keine gemeinsamen Eckpunkte 
haben und auch nicht in einer Ebene liegen, so können sie nur anf 
einerlei Art, z. B. in der aufgeschriebenen Ordnung der eutsprecbeu- 
den Eckpunkte, persp. sein, woraus folgt: dass MgMtMiMii Tetraeder 
mit AVA'aAVA'i und mit einem durch eine andere Gruppirung der A'^A'^iV* 
oder blos der Ni^k Eckpunkte entstandenen Tetraeder, z. B. NgN,Nk 
Nk, NfNkNtNf, etc. nicht persp. sein kann. 

7. „Zwei Tetraeder können nicht dermassen za ein- 
„ander persp. liegen, dass vier Eckpunkten des einen vier 
„Eckpunkte des anderen und noch eine derartige andere 
„Gruppe dieser letzteren Eckpunkte entsprechen sollen , in 
„welcher keiner von ihnen demselben Eckpunkt des ersteren 
„Tetraeders entspricht, als in der früheren Gmppe, ans- 
„genommeu die drei Fälle, wo zwei und zugleich die an- 
„deren zwei Eckpunkte ihre Stelle in der Gruppe abwech- 
„selud verändern." 

Damit AfgAh^f^Afk, zu AyA/.A'.A't und A*ifiA'„A', persp. sei, ist 
notwendig, dass in beiden Lagen die entsprechenden Kanten sich 
schneiden; dies ist aber in dem Falle nur dann möglich, wenn ein 
Eckpunkt und seine Gegentiäche in der einen, und ein anderer Eck- 
punkt und seine GegenflAche in der anderen persp. Lage mit seilten 
entsprechenden Eckpunkte und Gegonfläehe zusammenfallt, z. B. M^ 
Afi. Eckpunkte mit A',, At; Af^M^Mt, .i/jJ/.AA Flächen mit A'nAVA'i, 
N,A\Ni ZQsammen fallen. Die Verbindnngslinien der entsprechenden 
Eckpunkte der Tetraeder MuMhyfiyfi,, NgNhNiXk können aber bej 
dieser Lage nur dann dnrch einen Punkt gehen, wenn entweder Ai, 
A'ji odiT A'„ ^fi zusammenfallen; während die Verbindungslinien der 
entsprechenden Eckpunkte der Tetraeder Mf^flM,Mk, AiA'tAVA', nur 
dann durch einen Punkt gehen, wenn Ai, A', oder Ni, A't zusammen 
fallen, und weil weder A* in Sh und zugleich .V,, 
Mi und Mi fallen kann , so werden die Tetraeder in den angog 
nen Lagen nicht persp. sein. 



8. „Zwei Tetraeder mit reellen Eckpunkten kOnni 
„höchstens auf viererlei Art perap. liegen." 

In 5. ist gezeigt worden, dass zwei Tetraeder mit teilweise o 
imenfallendon Elementen nicht mehr als auf viererlei Art peil 



ti Ulmen 



Klug: Ueber mehrfach perspective Tetraeder, 99 

sein können; wir schliessen daher diesen Fall aus. Ist MfMkMiMk 
Tetraeder mit N^NkNiNt persp., dann kann es laut 6. nicht mit den 
14, und laot 7. mit den 6 Tetraedern persp. sein, weiche dnrch eine 
andere Gmppimng der entsprechenden Eckpunkte entstehen, et 
bleiben daher blos flbrig diejenigen drei Tetraeder NgNMNk^ NiNk 
NfNk^ NuNiNhNg deren persp. Lage in 4. betrachtet wurde. 

9. „Wenn zwei Tetraeder keine gemeinsamen Elemente 
„haben, können sie nicht auf dreierlei Art persp. sein/^ 

Hat nämlich M Tetraeder mit N keine gemeins. Elemente, und 
ist MgMhMiMk zn NgNxNiNi persp., so kann es noch zu NkNgNkNt, 
NiNuNgNk^ NkNiNkNg persp. sein. Wenn man aber voraussetzt, dass 
MgMiMiMk zu I^gNkNiNk, NkNgNuNi, NiNkligNk persp. ist, dann 
schneiden sich die Kanten: MgMu, NgNu; MuMi^ NkN^^ MuMi^ NgNi-^ 
dTgMi, NkNk\ MgMk, NiNk\ MMi NgNk, daher MgMkMiMu auch zn 
NuNiNhNg persp. sein wird. 

* • * 

10. Drei parweise persp. Tetraeder bestimmen ausser den in 
4. beschriebenen, noch andere Tetraeder. 

Projidrt man nämlich aus Ng die MgMkMiMu Eckpunkte des M 
Tetraeders auf den Gegenflächen nach Mg^)Mk^)Mfs)Mu^\ so bestim- 
men dieselben ein Tetraeder AT ^ , und da man aus jedem Eckpunkte 
des N Tetraeders projiciren kann, so gibt es vier solche M" ' , 
ÜT ^'^ ... Tetraeder. 

Bezeichnet man die Schnittpunkte der MgMu, NgNwj M^Muj NgNj^ 
Kanten wie froher mit Agu^ A'gu, so ist ersichtlich , dass AghA'ghAa^ 
AgkAaA'a die Diagonaldreiecke der Vierecke Mg^)Mk^)M^^)Mifi^), 
resp. Mg^^Mk^*iMgi^)Mifi') sind und dass die Viereck-Seiten Mg^^Mk^\ 
Mg(^)Mg(^\ Mj9)Mui^\ MilJi)Mgi^\ Mgi^MiS% Mgii)Mg»), Mgif)Mk<^) durch 

die Punkte ^i'a, resp. A'gu^ Agu^ Agu^ Agk^ Aa^ Aa gehen. 

Jedes der M" '\ Jir ''\ . . . Tetraeder ist zu M und O persp., 
die Coll.-Mittelpunkte sind die Eckpunkte von N, die Coll.-Ebenen 
ihre Oegenflächen, da sich die entsprechenden Kanten nach dem 
Obigen in Punkten der Flächen des N Tetraeders schneiden. 

Die 16 Eckpunkte der vier M^ ' ,., Tetraeder können aber auch 
als Eckpunkte von vier anderen dem M einbeschriebenen Tetraeder: 

^^^^= Mgi9)MuWMJi^M^ik)^ 3f^^*^= M^{f^)MiSi)Mfl)Mu(*') und von vier 



100 



Klug: VAtr mAtfae\ pKrtptetivt 



(*»)_ 



in den Flachen von M liegenden Vierecken; 3/ ' = iifj(ff'jtf,i*»af,« 
jW,<*i betrachtet werden; diese Tetraeder sind zu JM', JV liezUglich 
der Eckpunkte |und Gegenflachen des O Tetraeders als Coll.-Mittel- 
pünkt and Ebenen, die Vierecke zn O, N bezüglich der Eckpunkte 
von Ai persp, , da die Eckpunkte der M''h), Ml»,) Tetraeder, die 
Projectioneu von Af,Mt,Af,Afi aus O,, resp. O*, die Eckpunkte der 



M 



. Vierecke die Projectionen von IffN^NiNt aus jMy sind. 



...nnd V 



f\ „i^ 



auch 



Je zwei der JH , 

(*■") C 1 
in ,Af *' ... Tetraeder nnd Vierecke sind zu einander bezüglich 

den Eckpunkten und Gegenflächen der AghAik A'ghAik Tetraeder 

al!) Coli. -Mittelpunkte nnd Ebenen auf zweierlei Art persp. So sind 

z. B. die Tetraeder J»* '\ «' *' bezüglich AgK, A'^m; «t"'', Mo^) be- 
züglich -l'n, ,4'ft-, Mi"/,), Mi''ä bezüglich Aji, Am., die Vierecke 

M , M bezüglich Ag)^, A'ik persp., nud es entsprechen den 
Eckpunkten von M^iafoWiif.f»»«*''!, 3/,iiiM,l*)jM,-^*Jj(/i(*), jVf,(*ijH»") 
jtf,<«)jtfii'i, ii/yffljMgC-lAf^tOiM^t*). resp. die Eckpunkte 3/>,(*)jifj<»lM/*Wt('-), 

jIftt»)jWi"'''W'.W*"'. da die Verbindiingslinieu der entsprechenden 
Eckpunkte durch die angegebenen Coli. -Mittelpunkte gehen. Es ist 
aber auch leicht einznaehen, dass die Gegenfläcben der Coll.-Mittel- 
punkte der A,kAiiiÄ\i,A'n Tetraeder die Coli. -Ebenen sind, da sich 

z.B. bei den Tetraedern M "% Ar 'dieKanton'JiV'"W»'i, J/*'*'JWi,'*' 
M,is)Mi(<ii, ^r,l'•>^t^^'•i in beiden persp, Lagen entsprechen, daher die 
beiden Coli. -Ebenen durch ihre Schnittpunkte A'a,, An und (laut 2.) 
auch abwechselnd durch die Coll.-Mitt«lpunkte geben. 

jf-V) (0) 

Jedes der AT ... Tetraeder ist zu jedem der JM ... 
persp.; die Coli. -Mittel punkte und Ebenen sind die Eckpunkte und 

Oogenflächen von M. So sind die Tetraeder M ' , At " bei jedem 

(A ) (0.) (.V,j 10 1 

Werte des g Indexes bezüglich M,; Ar ", M '; AT ', AT ' ; 

Af^ ,Af iAf , M^ bezüglich Ah persp., da Af,fs) m,<''-\ 
Af/j'JVftt*) als Verhindungsgeraden der entsprechenden Eckpunkte 
durch Ml, gehen. 









Die Vierecke ^f^ "', ... sind auch persp. mit w' ", ... AT ' 
Tetraeder; die 32 zn diesen Lagen gehörigen Coll.-Mittelpnnkte sind 




Klug: Uebtr mehrfach pertpecfiut Ttlratdtr, 

jle Eckpunkte von 8 dem M umschriebenen Tetraedern, welche 
dietelben 16 FUchen haben, ond von welchen vier zu M, N, vier zu 
M, peisp. liegen. 

(A" 1 (* ) 

Du Tetraeder M ' nnd Viereck AT " hat nämlich in Jf^t») 
«i)»n gemeins. Kckpuokt, und es schneiden sich die entsprecbondea 
Seilender M<»i ««»'Afi'"', Afi,i''AV>3/„"' Drcicrke in Amäuäa 
Tuiliteii, daher das Tetraeder und Viereck persp, liegen. Die dnrch 
JftCt,tf.'»i, Jf,<*tA/,('"i entsprechende Seiten gelegt« Ebene enthält 
AuA^Af^Mk Punkte, daher ist der zn 3f(\), 3/{-''^) gehörige 
Cflil-Hittelpunkt der Schnittpunkt von den Verbind ungsebeuen der 
AnAfiAti, AktAghAn», A.kAgiA^k Geraden mit Mk, resp. Mi, Mj, 
Puiktea, und da diese Geraden die Schnittlinien der O^O^O^ 
Ebene mit den durch M^ gehenden Flächen des M Tetraeders 
nnd: so werden die Eckpunkte desjenigen Tetraeders, welches 
>t umscbrieben ist, und dessen Flächen Af in der 

^lOgO, Ebene schneiden, die ?.n den persp. Lagen der M ' , 

«'''iV *',3/ ''; ... Tetraeder und Vierecke gehörige Coll.- 
Uitlelpankte sein. 

Ebenso kann bewiesen werden, dass die zu den persp. Lagen 

tej/"'U''W"'',V"V*«™..d M(.„, ^''■'..., 

m''\m* ''; Af* **,Ji/ ''iit/ '\i^ *VhÖrigenColl.-Mittelpnnkte 
"üfl Eckpunkte derjenigen dem M umschriebenen Tetraeder sind, 
■aldiB die Flachen von M in den Ebenen OjOiüi, resp. NjN^N^, 
^'jf/iMt sehneiden. 

Weil sich (laut 4.) die Flächen der M, ./V, (J Tetraeder in 16 
Geraden schneiden, so haben die 8 umgeschriebenen Tetraeder die- 
wlbea Flächen, und weil vier von ihnen die Flachen der M, N, die 
Wderen die Flächen der M, O in einer Ebene liegenden Geraden 
■''iiieidcn, so sind vier der umschriebenen Tetraeder mit M, iV; vier 
"it W, O persp. 

Wir haben daher folgenden Satz, dessen reciprok entsprechender 
wii'ht ausgesprochen werden kann. 

„Wenn drei Tetraeder panveise persp. liegen, dann 
„gibt es' vier , zu dem ersten und zweiten , vier £u dem ersten 
„und dritten persp., dem ersten einbeschriebene Tetraeder, 
„und vier zu dem zweiten nnd dritten Tetraeder persp, 
„Vierecke, welche in den Flächen des ersten liegen; die 8 
„Tetraeder und 4 Vierecke haben dieselben 16 Eckpunkte. 
„Die ersten vier, sowie die zweiten vier Tetraeder nnd 
^e Tierecke sind parweise zu einander in Bezug auf die 



Kitii/: Uebtr nelirfaeli peripteiivt Ttlratder, 

„KanteD- Schnittpunkte der Urtetraedor als Cüll.-Mitti 
„pnnktc auf zweierlei Art perep. Zwei eiübeschriebeue Te- 
„traeder, welche niclit zu denselben zwei L'rtetraederu 
„porsp. liegen, sind zu einauder bezüglich der Eckpoakte 
„des eratcn Tetrauders perap.; jedes ei nbe schrie bene To- 
„traeder liegt auch persp. za deu Vierecken bezüglich der 
„Eckpunkt« derjenigen Tetraeder, welche dem ersteu um- 
„Bchriehen und zugleich dem ersten und zweiten, oder dem 
„ersten und dritten persp. ist," 



11. Wir wollen endlich die gegenseitige Lage, der in dem 
N, Tetraedern einbescbriebenen Tetraeder uDtersachen. 



I 



Zu dem Ende bezeichnen wir wie oben die Projectio: 
pnnkte J\',A»A',M aof die Gegenflächen ans 0„, O*, O,, O* : 

jVjlKAiii'JA'.wiiViif), A'/*) A*i*) W*! A»(*), ...; die Tetraeder, deren 
Eckpunkte die 16 Projoctiouen , und welche in A', M resp. JV, O 

einbeschrieben sind, mit V = A'j(»>A*(?lA','«A't(9i, .,.; Ai*i) = 

A?,(''iVp*)AVOA'i(*), jv ' = a;,(«) AV") A'.w W), und bemerken, dasB 
JVj,(») JVi,!»), iV^WJVji*!, iVj(c) JVn(*), W,!») JVa(?), JVjW JVj,I*1, A',<'liV*(»>, 
iVjffl iV*(') Gerade durch Agh, A'ik, A'gh, Ä'gh, Aik, Agh, A'gh 
oder A'gh, Aik, Agh, Agh, A'ik, A'gh, Agk gehen, je nacbdetn g, h 
oder >, k gleich 1 ist 

(0 ) (0 ) 

Die Tetraeder AT , JV " sind bei jedem Werte des j; Indexes 
anf viererlei Art persp. bezüglich der Eckpunkte und Gegenflachcn 
des Tetraeders, als Coli. -Mittelpunkt« und Ebenen,'und zwar der- 
weiso, dass den Eckpunkten JVrii"M*(*)W.-'')JUt''l des M"».' die Eck- 
punkte M,("Mi.i»Af,'>lflftl», W)JV,<»)JV,(i)A'ti'> von Nio.i bezOg- 

lich O,. resp. O*, den Eckpunkten M,('''JW*<iiWlM»iO des M* *' , 
die Eckpunkte iV,t*liV*(*iJV.WA't(*i, N^^i-) N^W Ni(>-i y.W, JV.WJVjl»! 
iV,l*)JV*(M, W*iiV,(*)W»)A^,lM bezüglich O,, Oh, 0., Ot als ColL- 
Mittcl punkte entsprechen. 

Dies folgt für O, als Co U. -Mittelpunkt uud M^W M^W M,if> Mi»\ 
JV.OWDW'.'W, wie auch für O* als Coll.-Mittelpunkt nnd 
M,(*IMA<'iflf,(*)Wj,i'"i, W'*'»)iV,(»)jVjt'i)iV,'*) als entsprechende Eck- 
punkte nnmtttelbar, da die Geraden M„Ng bei jedem Worte von g 
durch Oj, die Geraden M^N,. JW,JVa, ^fiN^, MiN, durch O* gehen. 
Dies in Betracht gezogen wird der Beweis für die übrigen Tetra- 
edcr-Combinationen auf folgende Art erhalten. 

Die Diagonaldreiecke der Vierecke M^M^N,N^, MiMtlfM 



Klug : Uther mekrjaeh perspective Tetraeder. 103 

nod 0,(MiA, OtOkAoky ood es liegen die darcb Aik. Aa gehenden 
Geradeiipare M^(^)Mk(^\ iV, WD, resp. M.<OM*(*), TV.d)^!) in den 
EbeiteD der genannten Vierecke, weshalb anch diese Oeradenpare, 
üe Ton Ol and ihrer Gegenfläche im O Tetraeder härm, getrennt 
Bad, auch von 0„ Oh Pankte härm, getrennt sein werden , worans 
MB seliliessen kann, da die Geraden Mi(DiV,(i), Mk^'')Nk^^), . . . 
dordiOi gehen, dass OiOkAiky OiOhAik anch die Diagonaldreiccke 
Ton JWiWMiW jVj(1)JVa(1), jtf,(OAf*(»)iyr,(i)iyr*(D sind, daher sich die Ver- 
biadangsgeraden der Punkte Mi^^^Nk^^\ itfA^*)-^!^^^, Mi^'^Nk^^\ iif*'*)A^.(») 
ia Ol schneiden wie anch das diese Pnnktpare von Ok durch 0| OfOk 
Ebene barm, getrennt sind. Fernerhin sind die Diagonaldreiecke 
der Vierecke M^M^NkNk, MkMkN^Nr, resp OkOuA'kk, OkOkA'u, und es 
Uogen die durch ^ u, A'u gehenden Geradenpare M^if»)Mi{^)^ 
AVW(tt-, 3fA(»)jr*<'), j^/*)jv/*) in den Ebenen der genannten Vier- 
ecke, weshalb anch die Geradenpare, welche von Oh und ihrer 
Gegeoflftche im O Tetraeder barm, getrennt sind, anch von 0*^0 
bann, getrennt sein werden, woraus wir scbliessen können, da 
die Geraden M^i'^)Nki'^\ JV.Wjv^c*), jifkCW<(A;, if(i)jv,(*) dnrcb 
ergeben, dass OhOkA'kt^ OkOkA'u auch die Diagonaldreiecke von 
ifj(*)Jr<(»)JVA(*)2^jk(*), JfAO)Afjk(OjVj(*)jv/*) sind, und daher sich die Yer- 
hiadugsgeraden der Pankte M^(^)Nki''\ üf^WiVib'*), üfjt^OA'/*), ifA")jv^(A) 
im Punkte Ok schneiden. 

Eine andere Eigenschalt der einbeschriebenen Tetraeder besteht 

darin, dass jedes M '' persp. ist za jedem ^ '' bezllg^ch der 
Ec^uikte and Gegenflichen des O Tetraeders als ColL-Mittelponkt 
od Ebene. 



Das Tetraeder m^t) = M^'^'^Mk^^^Mii^^Mif^) ist nämlich bezllg^ 

*• Tetraeder M^ *^ = M^'^tMk'* Ml^Mmk'^» aber bezflgUch C/„ fJk, 
Oi Bit A'^ ) = .v,t*>J«i« -V. *'>V , A^ *^ = Xa *' >/*' ^V*' >VS 

^ ^=A/*)Aia>>',^AiO pertp^ da die Vertnadongsgeradea der 
^ aa^etchriebenen eotaprecfaendea EdEponkte , wie aas den 16 

Tetuder-Combiaatioae« IT ^'^"^^^ y^'^ erscbtlich, darch dk aagegebenen 
^*]fittelpaakte geben, and die eatqirecbeDdea Poakte vob den 
^-MittelpaBkteB aod der Gegcaflicbe dieses Lckponkt» im O Te- 
^^Mer barm, «treaat ümL 



Dss &^sahat dieser Uatersadtosg kam «ie folgt aoigesprochea 



104 Klug: Ueber mehrfach ptrsptetiv Tetnuder. 

„Wenn drei Tetraeder parweise auf Tiererld Art 

„persp. liegen, dann sind a) je zwei zu dem ersten und 

y^zweiten Tetraeder perspective , nnd zogleich dem ersten 

( einbeschriebene « ^ , . , 

,^esp. zweiten } ^^g^i^e^ene Tetraeder zn emander 

„bezflglich der Ekskpnnkte nnd Oegenflftchen des dritten 
„Tetraeders als Coll.-Mitte]pnnkte nnd Ebenen, aof yiererlei 

{einbeschriebene 
nmschriebene ^* 
„zn dem ersten nnd dritten perspective Tetraeder ist zn 

, , , .. ( einbeschriebenen . 

Jedem dem zweiten } ^„^gehriebenen '^^ ''*°* ^^^*«" 

„nnd dritten perspectiven Tetraeder, bezflglich eines Eck- 
„pnnktes nnd Gegenflftche des dritten Tetraeders, als GolL- 
Mittelpnnkt nnd Ebene, perspectiv/' 



MBcOm. 105 



VII. 

Miscellen. 
1. 

Zmr Theorie der haraioMiseheii Keihe. 

1« In meiner Inaagoral-DiBsertation aber die ^jiarmonische 
Reihe" i) ist diese Reihe als solche definirt, bei der von je drei aofein- 
ander folgenden Gliedern das mittlere das harmonische Mittel der beiden 
ionern ist £s ei^ebt sich so eine Folge von Brüchen mit con- 
stutem Zfthler, deren Nenner eine arithmetische Reihe bilden. Als 
die ,J)ifferenz'' der letzteren kann ohne Beechränknng der AUgemein- 
beit stets 1 angenommen werden; denn whrd 

geietzt, so ist die allgemeine harmonisdie Reihe 

ftlio Inf jene sofort znrtickznf&hren. In grundsätzlich elementarer 
Abhtndlai^ wurde nun der Satz gewonnen, dass mit n zwar auch 
Sfiß) ins Unendliche wächst, aber nur wie der Logarithmus von n, 
*o diss, wenn 

(3) 8^»)-log(n+M)^Cn{») 

gesetit wird, die Function Cnl») mit wachsendem n, beständig ab- 

i'eluiiend, einem nur von x abhängigen Grenzwert C(») zustrebt. 

I>enelbe.ist wesentlich gleichbedeutend mit der G au ss 'sehen Func- 

tioiS) 

da oliBiibar 

1) HaUe 1S86. Ein Termehrter Abdruck der Arbdt im «Archiv 
d< Math.* itekt beror. 

1) DiM|BisitioMf graeralet cirai aericB ioßmtam etc. Art. SO. 



ist. InsbeBoodere bat man fur i = 1 die Enlor-Huiheroni'acbe 
CoDsUntc 

<-■{]) =c„!i'^ ^1 4_^+ 1+ ... 4. l~]üg„\ - 0,577^156649 ... 

VoD den allgemciDcn Eigen scbaftcu der Function, dio schon 
Ganss aofgefunden hat, sind bior nur drei zu erwabucn, die im Fol- 
genden Anwendung finden. Es ist nämlich 

(4) (.•(j)-C(l — j) = Ticotgwt, 

(5) £ *^G + n) '^ "tn"" + l) + mlogm 

und mit Hilfe ilioaor SEltze kann man C'(a) für beliebige raUou^e 
und echt gebruchene i durch die Formeln darstellou; 



{ 



(11 \ , ji "» , , „ '2knn , / . ijr\ 
-1 »- L- + - COtg \-iogm-'2 £ COS log[3«m — I- 

fOr ungerade m. 



n - I — c+2 «''« - + logm— 2 £ cos ■ log( 2«m — I 

+ (-l)-+'log2, 
I^r gerade m, 

(6") P(l^) -c + 2 cotg-^ + log(i>m)-ai:c08^"2'°e'«^ 
(11 uiigorade, m gerade; t = 1, 2, 3 ... oder -7—) 

Dnrch die Function C ÜsBcn eich leicht beliebige Aosschnitto 
der harmonischen Reihe ausdrflckcn; die alternircndc Reihe 

— 1 ■; + - I .1 — in ■ ■ lässt sich als Differenz zweier bar- 
• *-r' :-|-.; '-t-'> 

mouiBcbcn Reihen mit pusitiveo Gliedern dnrch zwei C-Functiancu 
snmmiren, und die Wcrt-Acnderung. die dieselbe Reihe erfährt, wenn 
däs Vcrbältniss der Anzahl der positiven Glieder zur Anzahl der 
negativen Glieder geänderl wird, ist ebenfalls mit Hilfe von C leicht 
zn entwickeln. Bezikglich alter dieser, sowie anderer damit zasam- 
menhangonder Fragen sei auf die angeführte Arbeit verwiesen und 
Dur bemerkt, dass eine elementare nnd zugleich strenge Bohudlnng 



Mi$cdUn. 107 

derselben haoptsächüch dadorch ermöglicht wird, dass zon&chst mit 
eodlicbon Reihen und mit der noch von ihrem Index abhängigen 
FDDction Cn gerechnet wird, so dass bis znm Augenblick des Grenz- 
überganges f&r n » OD alles dnrchans geschlossen im Endlichen vor 
sich geht. 

Dasselbe Verfuhren wollen wir bei der hier zn lösenden Aufgabe 
einschlagen. 

2. Ans der harmonischen Reibe werde eine neue in der Weise 
gebildet« dass die Vorzeichen gruppenweise wechseln; die ersten p 
Glieder sollen positiv, die p nächsten negativ genommen werden 
Q. 8. f. Gesucht ist die Summe der neuen Reihe, im Falle ihrer 
Convergenz. 

Schreiben wir der Kttrze wegen ~jjt — ^t * so ist die Summe 
der ersten 2pH Glieder 

^tpn(9) — Äo+ *i "l~ • •• +*p-i "" Äp— Äp4-i — ... — Aap— 1 

+ Äi|i+ ... +ÄSp-l — Ä8p — ... — A4p-1 

+ - 

oder, wenn wir die Glieder nach Verticalreihen zusammenfassen. 



^2^*(») = ^ \ Ak + **f2ji+... + Äkf(2n-a)p? 



- E 



P-» ( ) 



Hier kann man nun die beiden Summen zn einer einzigen zusammen- 
ziehen und die negativen Glieder einzeln hinter die positiven ein- 
schalten, wodurch cipn als Summe von altemirondon harmonischen 
Beibon dargestellt erscheint Um aber die Snmmenformel fär die 
letzteren nicht voranssetzen zu mOssen, wollen wir lieber unmittel- 
bar Formel (2) auf jede der beiden Summen anwenden und erhalten 

—4S!--^J-')--C-^+-')} 

oder aach (3) 



108 Mseeüm. 



+log * 



„-l+'-i±fc^ 



Für n — OD Terschwindet jeder der p LogaritbmeQ , so dass sich er- 
giebt: 

Schreiben wir dies noch 

V.<..-'-ic(^)-7c(=±-') 

80 ist nach (5) 

abo anch 

(U) 0W - C(M)+\og{2p) -^ ^' C (^) 

Fflr p = 1 geht in die einfach alternirende Reihe Aber. Wir 
orhal ten für diesen Fall ans (I) and (II) die Formeln (29) and (30) 
der Diiferentation. 

Beispiel. Es ist 

^■*"i 7"" IG"*" 13"*" 16 19 22 "^"T ""^ d \d) 

Da hier p — 2 ist, haben wir ans (1) 

Nan ist aas (6) bzhw. (6a) 

C^ - H-3»og2+^log3-y31og(2- V3) + ^(2+ V3) 
c|- c+|log3+21og2-|v3 



MtBcelkn, 109 

C^ = e+31og2+|log3+y31og(2-V3)- ^(2- V3) 
mlao 

1 + i - ^ - ^ . - I { (l +^)- »082 - y 3log{2 - y 3)} 

S. Anwendong aof die ,,8pecielle** harmonische 

Reihe. 

Fflr s -p- 1 vereinfacht sich Formel (I) erheblich, selbst wenn p 
gMis onbestimmt bleibt Es ist 

^2^ ^ 2p • • ""^ 2p 

oder, nach (4), da die untereinander stehenden Functionen C Argu- 
mente besitzen, deren Summe 1 ist, 

2pö(l) = '-e+cl+n (co\%^ + coigj^+ ... +cotg -'-^^-) 

Hier ergänzen sich die Bogen je zweier symmetrisch zur Mitte stehen- 
de 
den Cotangenten zu g-. Da nun allgemein 

2 

C0tgt*4-tgu « -: — TT- 

^ * ^ sm 2u 
ist, 80 haben wir, wenn p ungerade, etwa gleich 2m-f-l ist, 
•S! ** ^ l 1 . 1 1 I 

f ~»«SHF2 - M — »-+ — ^^ + • + T^inr 

und fftr p » 2iii, in welchem Falle ein Hittelglied cotg t~ = 1 vor- 
banden ist, 

*>»'-* kn i 1 1 2m I 

i?cotgi^-2)— ^-f -i h...+ — r^iT->+l 

2m 2m 2m 

Wenn wir schliesslich noch beachten, dass 

C^ — c-f 21og2 

ift, wie sich unmittelbar aus (5) fllr « — 0, m = 2 ergiebt, so kommt 
alao 



110 MueelUn. 

- .,.i^{i^ 

sin — 
P 

p-1 

2 

« -Iog2+- 2 r— für ungerade p. 

P P k=l «. 'f'* 

P 
Beispiele: Hiernach ist: Für p <=» 2, 

. . 1 1 1.1.1 1, ^,n 

^ + 2-3 - 4+5+6 •••=2^°«^+4 

wie auch unmittelbar ersichtlich. 
Für p « 3, 

..1.1 1 1 1 I.Ol « li^|2,^o 

^ + 2+3-"4--5^6 ••=3-^^^2+— ^=-3*^«2 + 9^^^ 

Für p = 4, 

.ilfl.l 1 1 1 1 lioi «/'.yo • l^ 

^+2 + 3+4-5- 6" 7-8-- 4'^«^+ 4^2+2; 

4. Anwendung auf die Reihe der reciproken unge- 
raden Zahlen. Für 9 » ^ ist 

2^ G) = + 3 + 5+-+2p~-T/- (^H^+- •+^l)+ " • • 
Nach I. wird für diesen Fall 

2pa(J)= c^+cA+...+c^ 

4p-l ^-3 - 2P+1 

4p 4p 4p 

- « (cotg~+col»j?+.. + cotg^^j. 
Dieselbe Umformung wie vorher ergiebt hier 



Muetikn, jji 



»-1 



2 

fe + ji »fi T(2*=rk' weno,)OBgerade 

Sin- 



(IT) «(4) = 



2p 



1> 
2 



^i?, . (2fc-l)«' "«»np gerade. 
" »"' -^- 

Beispiele. Für p = 2 wird ö{\) — — ^— , also 

2sin ^ 

* + 3"'6"'7+9+ll • -"^T^^ 

Für p — 3 ist <j(i) = g H ;;i» »<> das» 

SsiDg- 

. , 1 , 1_1_1_1 _iL 
■^3"T"6 7 9 11 12^ 

Diese Reibe l&sst sich anch ableiten, indem man 

4 * 3*^6 7"^9 11*^13 15 •• 

mit I moltiplicirt und das Ergebniss 

jr _2 2 2^ 

6 ""3 9 +15 ••• 

so hinznf&gt, dass man die gleichnamigen Brüche vereinigt. 

Für p = 4 kommt a{\) — -z ( 1 \ — wcos ^r^ somit 



« / 1 , 1 \ n 

4(-r"«+^-"'^*8' 

\^sing cosgj 



*+3+5+7 9 11 13 15-- 4^^ + !^^ 
(Fortsetzung folgt.) Heinrich Simon. 



112 üwmIZm 

2. 

VektT die Normalen der Kegrelschnltte. 

Zieht man von einem Punkte J?, go in der Ebene eines Kegel- 
schnitts Normalen an denselben, so lässt sich vermittelst einer Glei- 
chung 4. Grades fQr die Normale n folgende Relation fQr ihre Qna- 
dratsnmme aufstellen: 

2ä* 

n^8+nj|«+V+V = 4Ä«-|-2(a«-f-6«) j- (a»cosg)« -Aising)*) 

c 

Hieraus folgt auch 

Ist demnach Zn'=Const., so erhält man einen Kegelschnitt als 
geometrischen Ort der Constanz der Quadratsnmme der Normalen. 

Derselbe geht in einen Kreis über, wenn eine gleichseitige Hy- 
perbel zu Grunde gelegt wird, weil alsdann 

»»j*+»»f* + V+ V = 3ä* ist. 

Die obige Gleichung gilt auch noch allgemein fOr die Asymp- 
toten einer Hyperbel, nur ist dann 

a-Ä-0, l^tgE, V-f-fi4«==2Ä« 
zu setzen, und der geometrische Ort wird dann durch die Ellipse 

cosi:*"^ sin E* "" 28in£«co8iS* 
chracterisirt. 

Die Diagonalen des ihr umbeschriebenen Rechtecks fallen dem- 
nach mit den Asymptoten zusammen. Fällt man also von einem 
Punkt einer Ellipse auf diese ihre Diagonalen Senkrechte, so ist die 
Summe ihrer Quadrate eine constante Grösse. 

E. Oekinghaus. 



Schouf: üeher die Curotn vurter Ordnung etc. 1X3 



VIII. 

Ueber die Curven vierter Ordnung 
mit drei Inflexionsknoten. 

Von 

P. H. Schoute. 



Vierter Abschnitt. 

(Die Polaren der Curve C\) 

44. .jDie erste Polare eiues Punktes P in Bezug auf eine Curve 

C^ mit den Inflexionsknoten A, B^ C ist eine durch diese Punkte 

gehende Curve dritter Ordnung Cp^ welche in C* die sechs Be- 
rührungspunkte ihrer durch P gehenden Tangenten einschneidet. 

Die erste Polare eines Punktes Q, von C* zerfällt in zwei Teile, die 
einander entsprechen in der quadratischen Transformation, welche 

<'* in ihren Wendeschnitt überführt, in die Tangeute q' des Wende- 
schuittes im entsprechenden Punkte Q' uud in den Kegelschnitt Cq^ 

durch Ay B, C, welche C^ in Q berührt.*^ 

Der erste Teil des Satzes ist ganz der Polarcntheorio zu ent- 
nehmen.*) Und der zweite Teil ist eine unmittelbare Folge des 
^i'yr'schon Satzes. Denn nach diesem Satze muss die erste Polare 

'om Punkte Q der C* in Bezug auf C* vier Punkte gemein haben 
®»t der Tangente q des Wendeschuittes im entsprechenden Punkte 
Q' und da sie nur von der dritten Ordnung ist diese Gerade ganz 
^utlialten. Und da die erste Polare eiues Punktes Q der Grundcurve 



1) Man vergleiche Cremona's „Einleitung in eine geometrische Theorie des 
*o«iien Curven**, deutsch von M. Curtze. 

^^ atr Math. n. Phya. 2. BeUie, Teil VL 8 



114 



Sekoi 



■ ■■ UA*r dit OiKvtH H 



r Ordavig 



diese Curve in Q berührt, bo muss der ergAnzende Kegelschnitt Cj*" 
welcher nun Unrcli A, B^C geht, die C* in Q berühren und ftlso in 
der bekannten TraDsfornnatioii der Tangente q vom WentleEclinitte 
entsprechen. Es entsprechen dann die beiden Schnittpuultte der 
beiden Teile im allgemeinen einander, da i' nicht dnrch einen der 
vier sich selbst entsprechenden Pnnktc geht. 

45. „In Bezug anf eine Curve C* hat jede Gerade g sechs be- 
wegliche Pole G. Diese Pole O sind die Eckpunkte eines vollkom- 
menen Vierseits, des Vierseita der Tangenten q' am Wendeschnitte 
in den Punkten Q', welche den vier Schuiltpuukten G von g mit V* 
entsprechen. Dieses Vierseit ist ebenfalls einem in ABC eingeschrie- 
benen Kegelschnitte umschrieben.*) Und die Gegenecken dos Vier- 
seits entsprechen einander in der Transformation, welche t'* in ihren 
Wendeschnitt überführt." 



Nach der Polareutheorio bilden die ersten Polaren von den 
Punkten einer Geraden y in BcKUg auf C'* einen Büschel von Cun-en 
driller Ordnung und schneiden diese durch ^1, iJ, C gehenden Cun'en 
also einander zu je zweien noch in sechs allen gemeinschaftlichen 
Punkten G, welche man die Polo von g in Beüug auf C* nennt, da 
diese Püiiktü die Gerade g zur gomoinschaftlichcn Polgeraden haben. 
Hieraus folgt, dass mau die sechs Pole irgend einer Geraden g be- 
trachten kann als die sechs Punkte, welche mit A, B, C die neuu 
Schnittpunkte bilden von den ersten Polaren von irgend zwei beliebig 
auf g gewählten Punkten. Wühlt man nun für diese zwei Punkte 
zwei der vier Schnittpunkte Q von g mit 6", so figurirt der Schnitt- 
punkt von den Tangenten (/ am Wendeschnitte in den entsprechen- • 
den zwei Punkten Q' unter den sechs Polen und da dieses fUr jede 
der sechs Comhinationcn von den vier Punkten Q anf 17 zu je zweien 
gilt, sind die aecha Pole die sechs Schnittpunkte der vier Tanneuten 
q' des Wcndcscbnittj'S in den vier entspreche u den Punkten Q' dieser 
Curve. 

Die vier Puukte <i sind die Schnittpunkte vom Wendeschnitte 
Ä' mit dem Kegelschnitte durch J. B, C, welcher in der die C' in 
K überführenden Transformation der Geraden 3 entspricht. Also ist 
die Polarfigur dieses Kegelschnittes in Bezug auf &' sowohl dem 
Dreiecke ABC als dem Vi^rseito der vier Geraden q eingeschrieben ; 
d. h. die vier Geraden q' umhüllen einen in ABC eingeschriehenea 
EegelBchnitt. 



!) Diesen Teil d» Sntiei verdanke Ich 1 
Prof. Süpper. 



' brieSichen Uitteilnng j 



wui dru It^Uxionskmottn, |15 

Deutet man die vier Schnittpankte einer Geraden g mit C^ 
durch Q^, Qf, Q^^ Q4, die ihnen entsprechenden Pankte vom Wende- 
Bchnitte K durch Q/, Qs\ Q3', Q4' und die Tangenten von K in 
diesen Punkten durch 5/, 52', 5^', 7^* an, so kann man jedem der 
sechs Pole G^ welche wir weiterhin zusammen als das Polsextupei 
G von g bezeichnen, die beiden Indices der sich in diesem Punkte 
schneidenden Geraden q' beilegen, wie es in Fig. 42 angegeben ist. 
Es sind dann offenbar die Paare &]„ und G^,^, G^,^ und G^^^ (?,,4 
and &s,3, deren Indices einander ergänzen, die drei Paare von 
Gegenecken des von den vier Geraden q gebildeten Vierseits. Und 
je zwei Gegenecken entsprechen einander in der Transformation, 

welche C^ in ihren Wendeschnitt umbildet. Betrachtet man nämlich 
das Polsextupel mit A^ B^ C als die Schnittpunkte der ersten Polaren 

von Qi und Q^ in Bezug auf C^y wovon die erste aus q^* und dem 
ihr entsprechenden Kegelschnitte C^^ die zweite aus q^* und dem ihr 
entsprechenden Kegelschnitte C^^ besteht, so geben g^' und q^' den 
Schnittpunkten 6r,,2, qx und C^^ die Schnittpunkte G^,^ und 6^1.4, 
9/ und Cj^ die Schnittpunkte G^^^ und G^^^ und müssen C,^ und C^* 
ausser A^ B^ C also den sechsten Pol G^^^ als Schnittpunkt haben; 
da nun die Kegelschnitte Cj^ und C^* den Geraden q^ und q^* ent- 
sprechen, so mnss auch der freie Schnittpunkt G^^^ von C^^ und C^* 
dem Schnittpunkte 6r„2 von q^' und q^* entsprechen. 

46. „Die acht Schnittpunkte von C^ mit ihrem Wendeschnitte 
K sind dij Berührungspunkte von Ö* mit ihren vier Doppeltangenten; 
die Pole von diesen Doppeltangenten in Bezug auf 6'^ sind die vier 
Punkte 8^ welche in der die C^ in K überführenden Transformation 

sich selbst entsprechen. Bei den Curven 6'^ erster Gattung sind die 
vier Punkte S und also auch die vier Doppeltangenten sämtlich ima- 
ginär; bei den Curven C^ zweiter Gattung ist von den Punkten S 
und also auch von den Doppeltangenten ein Paar reell und ein Paar 
imaginär.^* 

Ist g eine Tangente von C^ und sind Q| und Q^ die in den 

Berührungspunkt Q zusammengetretenen Punkte von C^ so zeigt das 
Polsextupel G von g die in Fig. 43 vorgeführte Anordnung. Es 
fallen dann (?„3 und 6^2,3 in der Richtung von q^* und (7^,4 und 6^2,4 
in der Richtung von ^4 mit einander zusammen. Und indem G^^^ 
als Schnittpunkt der auf einander folgenden Tangenten g^' und q^* 
von K auf K liegt, ist (^3,4 nach dem vorhergehenden Artikel der 

dem Punkte G^^ von K entsprechende Punkt von C^, d. h. der 

Berflhningspunkt Q von q mit C\ Umgekehrt, wenn einer der sechs 

8* 



U4 



I ÜAtt ik CWmh V 



diese Curve in Q berührt, so muBs der crgilnzonde Kegelschnitt C(',l 
welcher nun durch A, B,' C geht, dio ^* in Q berühren und also in 
der bekannten Transformation der Tangente q vom Wendescbnitte 
entsprochen. Es entsprechen dann die beiden Schnittpunkte der 
beiden Teile im allgemeinen einander, da >;' nicht durch einen der 
vier sich selbst entsprechenden Punkte geht. 

45. „In Bezug anf eine Curve (■* hat jede Gerade g sechs be- 
wegliche Pole G. Diese Pole G sind die Eckpunkte eines vollkom- 
menen Vierseita, des Vierseits der Tangenten q' am Wendescbnitte 
in den Punkten Q', welche den vier Schnittpunkten Q von g mit C* 
entsprechen. Dieses Vierseit ist ebenfalls einem in ABC cingeBchric- 
bcncn Kegelschnitte umschrieben.') Und die Gegenecken des Vier- 
Beits entsprechen einander in der Transformation, welche t* in ihren 
Wendeschuitt überführt." _ 



Nach der Polarcutheorie bilden die ersten Polaren von den 
Punkten einer Geraden g in Bezug auf C* einen Büschel von Cunen 
dritter Ordnung und schneiden diese durch A,B,C gehenden Curven 
also einander zu je zweien noch in sechs allen gemeinschaftlichen 
Punkten ff, welche man die Pole von g in Bezug anf C* nennt, da 
diese Punkte die Gerade g zur gemeinschaftlichen Polgeraden habcii. 
Hieraus folgt, dass man die sechs Pole irgend einer Geraden g be- 
trachten kauu als die sechs Punkte, wclchu mit A, B, C die neuu 
Schnittpunkte bilden von den ersten Polaren von irgend zwei beliebig 
auf g gewählten Punkt^tn. Wühlt man nun für diese zwei Pnnkto 
zwei der vier Schnittpunkte Q von g mit 6'*, so figurirt der Schnitt- 
punkt von den Tangenten </ am Wendescbnitte in den entsprechen- . 
den zwei Punkten Q' unter den sechs Polen und da dieses für jede 
der sechs Combinationcn von den vier Punkten Q auf p zn je zweien 
gilt, sind die sechs Polo die sechs Schnittpunkte der vier Tangeuten 
q' des Wendeschnittes in den vier entsprechenden Punkten Q' dieser 
Curve. 

Die vier Punkte (t sind die Schnittpnuktc vom Wendeschnitte 
Ä mit dem Kegelschnitte durch A. B, C, welcher in der die C* in 
K überführenden Transformation der Geraden g entspricht. Also ist 
die Polarügur dieses Kegelschnittes in Bezug auf &' sowohl dem 
Dreiecke ABC als dem Vierseito der vier Geraden q eingcschriebeu ; 
d. h. die vier Geraden q' omhuUen einen in ABC eingeschriebenen 
Kegelschnitt 



3) Dlnen Teil dei SaCiei verduike ich ( 
Prof. Kopper. 



' brieflichen Milteilang TI19J 



wui dru Inßäxionsknottn, |15 

Deutet man die vier Schnittpnnkte einer Geraden g mit C^ 
durch Q^, Q,, Q,,, Q4, die ihnen entsprechenden Punkte vom Wende- 
Bchnitte K durch Q,', Q^', Q3', Q«' und die Tangeuten von K in 
diesen Punkten durch 51', q^, qs% q^ an, so kann man jedem der 
sechs Pole G^ welche wir weiterhin zusammen als das Polsextupel 
G von g bezeichnen, die beiden Indices der sich in diesem Punkte 
schneidenden Geraden q' beilegen, wie es in Fig. 42 angegeben ist. 
Es sind dann offenbar die Paare G^^ und ^3,4, G^,^ und (r^, G^^ 
and &s,3, deren Indices einander ergänzen, die drei Paare von 
Gegenecken des von den vier Geraden q gebildeten Viersoits. Und 
je zwei Gegenecken entsprechen einander in der Transformation, 

welche C^ in ihren Wendeschnitt umbildet. Betrachtet man nämlich 
das Polsextupel mit A, B, C als die Schnittpunkte der ersten Polaren 

von Qi und Q^ ^^ Bezug auf C*, wovon die erste aus q^* und dem 
ihr entsprechenden Kegelschnitte C^^ die zweite aus q^' und dem ihr 
entsprechenden Kegelschnitte C^^ besteht, so geben q^ und q^' den 
Schnittpunkten G^.i^ Qi nud C^* die Schnittpunkte 6rj,s und G^.^^ 
q^ und 6\' die Schnittpunkte G^^^ und G^^^ und müssen C,^ und C^* 
ausser A^ B, C also den sechston Pol G^^^ als Schnittpunkt haben; 
da nun die Kegelschnitte Cj^ und C^^ den Geraden q^' und q^^' ent- 
sprechen, so mnss auch der freie Schnittpunkt G^^^ von C\^ und Q^ 
dem Schnittpunkte G^^^ ^o" Qi ^^^ Q2 entsprechen. 

46. „Die acht Schnittpunkte von C* mit ihrem Wendeschnitte 
K sind dij Berührungspunkte von C* mit ihren vier Doppeltangenten; 
die Pole von diesen Doppeltangenten in Bezug auf C^ sind die vier 
Punkte S^ welche in der die C^ in K überführenden Transformation 

sich selbst entsprechen. Bei den Curven C^ erster Gattung sind die 
vier Punkte S und also auch die vier Doppeltangenten sämtlich ima- 
ginär; bei den Curven C^ zweiter Gattung ist von den Punkten S 
und also auch von den Doppeltangenten ein Paar reell und ein Paar 
imaginär.^* 

Ist g eine Tangente von C^ und sind Q^ und Q^ die in den 

Berührungspunkt Q zusammengetretenen Punkte von C\ so zeigt das 
Polsextupel G von g die in Fig. 43 vorgeführte Anordnung. Es 
fallen dann G^^^ und G^^^ in der Richtung von g^' und (7^,4 und G^^ 
in der Richtung von q^' mit einander zusammen. Und indem G^^ 
als Schnittpunkt der auf einander folgenden Tangenten qi und q^' 
von K auf K liegt, ist 6^3,4 nach dem vorhergehenden Artikel der 

dem Punkte G^^ von K entsprechende Punkt von C\ d. h. der 

Berflhningspunkt Q von q mit C^. Umgekehrt, wenn einer der sechs 



114 



IckotiUi D^tr (Im O^nmt m 



r OrArnnj 



diese Curve in Q berührt, so muss der ergänzende Kegelschnitt C^^ 
weicher nun durch A, B;.C geht, die ~C*- in Ö berühren und alao in 
der bekaiinten T raus form atioii der Tangente q vom Wendescbniltc 
cntsjiredien. Es entsprecbeu dann die beiden Scbnittpnulite der 
beiden Teile im allgemeinen einander, da >/' nicht darch einen der 
vier sich aelbsl ontäpreclieuden Pnnlvte gehL 

45. „In Bezug auf eine Curve t'* bat jede Gerade g sechs he- 
wegliehe Pole O. Diese Pole G sind die Kekpunlfto eines vollkom- 
menen Vicraeits. des Vierseits der Tangenten q' am Wendeschnilte 
in den Pnnkton Q\ welche den vier Schniltpunklon Q von 3 mit 6'* 
entsprochen. Dieses Vieraeit ist ebenfalls einem iu ABC eingeschrie- 
benen Kegelschnitte umschrieben.*) Und die Gegenecken des Vier- 
seita entsprechen einander in der Transformation, welche C* in ihren 
Wendeschnitt ttbcrfübrt." - 



Nach der Polarentheorio hildcn die ersten Polaren von den 
Punkten einer Geraden 7 in Bezug auf C* einen Büschel von Curven 
dritter Ordnung und schneiden diese durch ^1,21, C gehenden Curven 
also einander zu je zweien uoch in sechs allen gemeinschaftlichen 
Punkten 6^, weiche man die Polo von g iu Bezug auf C* nennt, da 
diese Paukte die Gorade g zur gemeinschaftlichen Polgeraden haben. 
Hieraus folgt, dosa man die sechs Polo irgend einer Genulen g be- 
trachten kann als die sechs Punkte, welche mit A, B, C die neuu 
Schnitt punkte bilden von den ersten Polaren von irgend zwei beliebig 
auf g gewählten Punkten. Wählt man nun fUr diese zwei Punkte 
zwei der vier Schuittpanktc Q von g mit C", so figurirt der Schnitt- 
punkt von den Tangenten (/ am Wendeachnitte in den entsprechen- . 
den zwei Punkten Q' unter den sechs Polen und da dieses für jede 
der sechs Combinationcn von den vier Punkten Q a.ut g zu je zweien 
gilt, sind die sechs Pole die sechs Schnitipunkto der vier Tangenten 
q' des Wendoschnittes iu den vier entsprechenden Punkten Q' dieser 
Curvo. 

Dio vier Punkte <i' sind dis Schnittpaukto vom Wendeachnitte 
A' mit dem Kegelschuitte durch A, B, C, welcher in der die C* in 
Ä' überführenden Transformation der Geraden g entspricht. Also ist 
die Polarfigur dieses Kegelschnittes iu Ueüug auf K sowohl dem 
Dreiecke ABC als dem Vierseito der vier Geraden q' oi ngeach riebe u ; 
d. h. die vier Geraden q' nmhallen einen in ABC eingeschriebenen 
Kegelschnitt. 



!) Diesen Teil det Sfttua verdanke ich > 
Prof. KOpper, 



' brieflic^hen MiUeilang t 



wüi dru In/Uxionsknottn, |J5 

Deutet man die vier Schnittpankte einer Geraden g mit C^ 
durch Q^, Qg, Q,,, Q4, die ihnen entsprechenden Punkte vom Wende- 
achnitte K durch Q/, Q,', Qq\ Q4' und die Tangenten von K in 
diesen Punkten durch 91', $2% ^a'« 94* &n» so kann man jedem der 
sechs Pole G^ welche wir weiterhin zusammen als das Polsextupel 
G von g bezeichnen, die beiden Indices der sich in diesem Punkte 
Mhneidenden Geraden q* beilegen, wie es in Fig. 42 angegeben ist. 
Es sind dann offenbar die Paare G^^ und G^,^, G^,^ und G^^, (?,,4 
and &s,s, deren Indices einander ergänzen, die drei Paare von 
Gegenecken des von den vier Geraden q gebildeten Vierseits. Und 
je zwei Gegeuecken entsprechen einander in der Transformation, 

welche C^ in ihren Wendeschnitt umbildet. Betrachtet man nämlich 
das Polsextupel mit A, B, C als die Schnittpunkte der ersten Polaren 

von Q, und Q^ '^^ Bezug auf C\ wovon die erste aus q^* und dem 
ihr entsprechenden Kegelschnitte Q^ die zweite aus q^' und dem ihr 
entsprechenden Kegelschnitte CJ^ besteht, so geben q^' und q^' den 
Schnittpunkten 6r,,2i qi nnd C^* die Schnittpunkte G^,^ und 6r|.4, 
9s' und 6}' die Schnittpunkte (t2,s und G^^^ und müssen C,' und C^* 
ausser A^ B, C also den sechsten Pol G^^^ als Schnittpunkt haben; 
da nun die Kegelschnitte Cj^ und C^^ den Geraden q^* und q^' ent- 
sprechen, so mnss auch der freie Schnittpunkt G^^^ von C\^ und Cf* 
dem Schnittpunkte G^^^ ^^^ Qi ^^^ um entsprechen. 

46. „Die acht Schnittpunkte von C^ mit ihrem Wendeschuitte 
K sind dii Berührungspunkte von C* mit ihren vier Doppeltangenten; 
die Pole von diesen Doppeltangeuten in Bezug auf 6'^ sind die vier 
Punkte S, welche in der die C^ in K überführenden Transformation 

sich selbst entsprechen. Bei den Curven C^ erster Gattung sind die 
vier Punkte S und also auch die vier Doppeltangenten sämtlich ima- 
ginär; bei den Curven C^ zweiter Gattung ist von den Punkten S 
und also auch von den Doppeltangenten ein Paar reell und ein Paar 
imaginär.*^ 

Ist g eine Tangente von C^ und sind Qi nnd Q^ die in den 

Berührungspunkt Q zusammengetretenen Punkte von C\ so zeigt das 
Polsextupel G von g die in Fig. 43 vorgeführte Anordnung. Es 
fallen dann 6^1,3 und 6^2,3 in der Richtung von 93' und G^^ und G^^^ 
in der Richtung von 94 mit einander zusammen. Und indem G^^ 
als Schnittpunkt der auf einander folgenden Tangenten q^' und qf 
von K auf K liegt, ist 6^3,4 nach dem vorhergehenden Artikel der 

dem Punkte G^^ von K entsprechende Punkt von C\ d. h. der 

Berahrongspunkt Q von q mit C\ Umgekehrt, wenn einer der sechs 



lU 



ickouut [Mmt i 



diese Curve in Q beröhrt, so mnss der er(;jinzende Kegelschnitt C|*," 
welcher nun durch A, B, C geht, die C* in Q berühren und also in 
der bekannten Transformation der Tangente q vom Wendesehiiilto 
entspredien. Es entsprechen dann die beiden Sclniittpuukte der 
beiden Teile im allgemeinen einander, da i/' nicht durch einen der 
vier sich selbst entsprechenden Punkte geht. 

45. „In Bezug auf eine Curvc (.'* hat jede Gerade g seehs be- 
wegliche Polo G. Diese Pole O sind die Eckpunkte eines vollkom- 
■nenen Vicrseits, des Vierseits der Tanfjeijteii q' am Wendeschnitto 
in den Punkton Q', welche den vier Schnitlpunkten Q von g mit C* 
entsprechen. Dieses Vicraeit ist ebenfalls einem iu ABC eingeschrie- 
benen Kegelschnitte uraBchrieben.*) Und die Gegenecken des Vier- 
seits entsprechen einander in der Transformation, welche C* in ihren 
Wendeschnitt überführt." 



Nach der Polareutheorio bilden die ersten Polaren von den 
Punkten einer Geradon g in Bexu;; auf C"* einen Büschel von Curven 
driller Ordnung und schneiden diese durch A,B,C geheuden Curven 
also einander zu jo zweien noch in sechs allen gemeinschaftlichen 
Punkten G, welche man die Pole von g in Bezug auf C* nennt, da 
diese Punkte die Gerade g zur gomDiuschaftlichon Polgeraden haben. 
Hieraus folgt, dass man die sechs Polo irgend einer Geraden g be- 
trachten kann als die sechs Punkte, welche mit A, li, C die neun 
Seh nittii unkte bilden von den ersten Polaren von irgend zwei beliebig 
auf g gewählten Punkten. Wählt man nun fOr diese zwei Punkte 
zwei der vier Schuittpunktc Q von g mit f.'*, so figurirt der Schnitt- 
punkt von den Tangenten (/ am Wendeschnitto in den entsprechen- r 
den zwei Punkten Q' unter den sechs Polen und da dieses für jede 
der sechs Combinationcn von den vier Punkten Q auf j; zu je Kweien 
gilt, sind die sechs Pole die sechs Schnittpunkte der vier Tangeuten 
q' des Wcndeschnittes in den vier entsprechenden Punkten Q' dieser 
Curvo. 

Die vier Punkte 'i' sind die Schnittpunkte vom Wendeschnitte 
Ä' mit dem Kegelschnitte durch A, B, C, welcher in der die C* in 
K überführenden Transformation der Geraden g entsprii^ht. Also ist 
die Polarfigur dieses Kegelschnittes iu Bezug anf A' sowohl dem 
Dreiecke ABC als dem Tierseite der vier Geraden q' eingeschrieben; 
d. h. die vier Geraden q' amhullen einen in ABC eingcschriebeneD 
Kegelschnitt. 



3) Diesen Teil du SUits Tardmnke ich eiair brieflichen MiUeilung r 
Prof, KOpper. 



Dsntei mau dio vier SchnittpunSte einer Geraden g mit C* 
ilurh (j,, Q„ Qj, Qj. die ihnen cntsp reeben den Punkte vom Wende- 
icbuille K durch Q,\ Q,', Q^i', Q«' aiid die TaDgenteu von K iu 
dlracu Punkten durch (j,', 17,', ij^', '/j' an, so kann man jedem der 
«Chi Pole W, welche wir weiterhin zusammen als das Polscxlupel 
Gnus beKeichuen, die beiden Indices der sich in diesem Punkte 
Klinideniten Geraden q' beilegen, wie es in Fig. 42 aDK'.gobcn ist. 
El sind dann offenbar die Paare G,^ und O^,^ , G^.^ and G^^ , Gf.^ 
Uli Of^, deren ludicea einander ergänzen, die drei Paare TOii 
Gtfaecken des von den vier Geraden q' gebildeten Viei-seits. Und 
Je »L'i Gegeuocken entsprechen einander in der Transformation, 
nldie C* in ihren Wendescbnitt umbildet. Betrachtet man nämlich 
<Iu Pobextnpel mit A, B, C als die Schnittpunkte der ersten Polaren 
>i)ii Q, nnd Q^ iu Hozu;; auf C*, wovon die erste aus q,' und dem 
Ibr (DUprechenden Kegelschnitte C,*, die zweite ans /;»' und dem ihr 
'ntiprecheudeu Kegelschöilte t^* besteht, so geben 5,' und q^' den 
Sdinittpnnktcn <?,.», q,' nnd C^ die Schnittpunkte 6',.|, und G^.^, 
ti und f,* die Schnittpunkte f?,,-, und G^^ und mllsscu C,' und C,* 
uiBcr A, 15, C also den sechsten Pol G^.^ als Sehuitiponkt haben; 
J« DOD die Kegelschnitte tj* nnd C'j* den Geraden Qi und 7,' ßnt- 
iprrcben, so mnss anch der freie Schnittpunkt '7,,, von t\* und C," 
*fiii Schoiltpunkt« G,„ von q,' und 5»' entsprechen. 

46. „Die acht Schnittpunkte von C* mit ihrem Weudeschuille 
''■ind di: Berührungspunkte von 6'* mit ihren vier Doppcltangenten-, 
lÜt Pole vou diesen Do ppeltan gentun in Bezug auf C* sind die vier 
^nkte S, welche in der die C* in A' Überführenden Transformation 
Beb selbst entsprechen. Bei den Curven C* erster Gattung sind die 
^r Punkte S und also anch die vier Ifoppeltangcnten sämtlich ima- 
|iidr; bei den Curven C* zweiter Gattung ist von den Punkten S 
Um] tiso auch von den Doppeltangcuten ein Paar reell und ein Paar 
imipnir" 

Ist 9 eine Tangente von 6'* nnd sind Q^ nnd Q^ die in den 
^hraogspunkt Q znsammengetretenen Punkte von C*, M zeigt das 
Pidtcitopel G von g die in Fig. 43 vorgefahrte Auorduuog. Es 
^n dann C,^ und (?,„ in der Riebtang von -t^- und <?,,, und G^^ 
>■■ der Riubtung vou q^ mit einander zusammen, l'nd indem ff,^ 
■1* SchDiupankt der aufeinander folgenden Tangenten g,' nnd 9,' 
>an iTanf A' lieiit, ist &„, nach dem vorhergebeuden Artikel der 
^ea Punkt« G,^ von E entsprechende Punkt von C*, d. h. der 
^dhnugBpimkt Q. von q mit C*. Umgekehrt, wenn einer der aecbi 



XXß Seh oute: üther die Curven vierter Ordnung 

Pole G auf K liegt, so berührt die Gerade g im entsprechenden 

Punkte von C^ diese Curve ; denn nach dem vorhergebenden Artikel 

ist die Gegenecke dann der entsprechende Punkt von C^ und die 

Polgerade eines Punktes von C^ ist nach der Polarentheorie die 
Tangente der Curve in diesem Punkte. 

Ist weiter g eine Doppeltangente von C^, indem einerseits Q^ 

und Qi und andererseits Q^ und Q^ zusammenfallen, so reducirt sich 
das Polsextupel G von g in der in Fig. 44 vorgestellten Weise. Es 
fallen dann die vier Punkte G^.^^ ^uii ^sisi ^2h ^^ einen Punkt 
zusammen, und dieser Punkt ist dann, da 6*^.3 und G^^^ ebenso wie 
^1,4 und ^2,3 einander entsprechen, einer der vier sich selbst ent- 
sprechenden Punkte ;S; dabei sind die coiucidirenden Tangenten 9,' 
und q^' von K als die Verbindungslinien von G^^ mit 6^3,4 und von 
G^2,3 mit 0^,4, die coincidirenden Tangenten q^' und 54' von A' als 
die Verbindungslinien von ^,,3 und 6?2>3 und von ^„4 mit G^^^ zu 
betrachten. Und die Punkte Gj,^ und 63,4 befinden sich als Schnitt- 
punkte von aufeinanderfolgenden Taugenten von A^ auf A". Aber 
wenn (?|,g und 6^3,4 auf K liegen, so befinden sich nach dem vorher- 
gehenden Artikel 6^3,4 und 6'],^ auf C^ und ist <?3,4 der aus der 
Coincidenz von Q^ und Q^, 6^,^ der aus der Coincidenz von Q3 
und Q4 hervorgegangene Berührungspunkt der Doppeltangente g. 

Also sind die Berührungspunkte von C* mit einer Doppeltangente 

Schnittpunkte von C* mit ihrem Wendeschnitte Ä'. Und die Zahl 
der Doppeltangenten ist jener der Punkte S gleich, also vier ; woraus 

dann noch folgt, dass C^ und K acht Punkte gemein haben. 

Die im Satze aufgenommene Bemerkung in Bezug auf die Reali- 
tät der Punkte S und der ihnen entsprechenden Doppeltangeutcn 
ergiebt sich unmittelbar aus der Betrachtung der Normalcurvcn. Bei 
der ersten Normalcurve erster Gattung (Fig. 22) liegen die einander 
entsprechenden Punkte r und P' allemal in zwei Scheitelwinkeln der 
vier von den Achsen CA und CB gebildeten Winkel, bei der zweiten 
Normalcurve 1. Gattung (Fig. 24) liegen sie au verschiedenen Seiten 
der imaginären Achse des Wendeschcittes ; in beiden Fällen kann keine 
Coincidenz eintreten, sind also die vier Punkte /S, die vier Doppel- 
tangenten von C^ und die acht Schnittpunkte von C^ mit A* sämtlich 
imaginär. Bei der Normalcurve zweiter Gattung giebt es zwei reelle 
Punkte S auf der imaginären Achse von A", da die Transformation 
in diesem Falle die um diese Gerade umgelegte Verwandtschaft der 
reciproken Radien ist; die Entfernung dieser Punkte von C ist der 
Potenz dieser Verwandtschaft gleich. 

47. „Die Polsextupel G der verschiedenen Geraden g durch 
einen gegebenen Punkt P liegen auf der ersten Polare Cp^ von P in 



Crzog auf C* and Litdcn auf ihr eine lovolution aeclistcr Ordnung, 
die a dem Strahlbaschel dur zageordneten Geradon g durch i' pro- 
JHtiriKb ist. 

Die erste Polare Cp' von P in Be^ug anf C* entspricht sich 

Klbsl in der Transformaliou , welche C'* in ihren 'Wendeschuitt K 
OberfllhrL" 

Die Polse:(tapel o der Geraden g durch P müssen nach der 
Polirentheorie anf der ersten Polare tp^ von /' in Uozug auf C* 
liugeD. Sie bilden auf cy eine mit dem Büschel der Strahlen g 
duch P projectivischc Involution-, deuu, indem irgend eine Gerade 
I durch i'üin einziger Polacstupel bestimmt, so bestimmt auch irgouU 
ein Ponkl G von Cp^ mittelst Bcincr durch P gehenden Polgeradeu g 
du ganze ihn aufnehmende Polsextnpel. 

Die Curve Cp^ entspricht sieb selbst in der Transformation, 
welche C'* in K überfuhrt. Ist nämlich G irgend ein Punkt von Cp^, 
so eiithfllt diese Curve das ganze Polsextnpel , welches G aufnimmt, 
ni also euch die Gegeueckc von '>' im voUbomrneucn Vierseitc, 
«clchea das Pulsoxtupel trügt, d. h. den dem Punkte G in der be- 
kiBBtcn Transformation entsprechenden Punkt. Im einauder Ent- 
ipracben der beiden Teile von der ersten Polare eines Punktes von 
C' hiUien wir schon einen besonderen Fall dieser allgemeinen Wabr- 
kcit bebandelt. 

Nach im vorhergehenden Jahre pnblicirten Untersuchungen des 
Bwrn Emil Woyr*/ gicbt es auf einer allgemeinen Curve dritter 
Ordnung C* nur zwei Arten von involntoriscben eindeutigen Punkt- 
Gehangen, die ceutralen und die nicht centralen. Die Puuktepaaro 
der ersten liegen auf Strahlen, welche C* zum dritten Male ia einem 
feltm Punkte treffen; Jede nicht centrale Beziehung der vorlangten 
flacbafTenheit ist immer eine der drei Systeme conjugirter Punkte 
'on c\ welche schon von Maclaurin*) aufgewiesen siud. Da nun die 
^ Yerbindnngslinien der drei Paare von Gegenecken eines Pol- 
*ntt]polg nach den bekannten Eigenschaften des vollkommenen Vier- 
'öls DiL-ht durch einen Punkt gehen, ist die involutorische eindeutige 
Bfriehnng der Gegenecken ''■|„ und 0'.^,^ auf Cp^ die Verwandtschaft 
wies der drei Systeme correspondirender Pnnklepaare von Cp*. 

i) ..Eia Beitrag inr Gruppen cheotic kuf den Curven vum Gencblechle 
^H' (Sltiungtbcricliie der K. Alud. der WiMcnach. laWieii, Band LXXSIX. 
*KUteilniig, Seite *36). 

4) «StliDon-Fiedler'B hOber« ebeoe Currea", Art. 16S. 



118 



Seko< 



: U«btr die Curein vierUr Ordnung 



Wirklich fulgt aas bokannteD S&tzcii^), dass diu drei Paare Gegen- 
cckeii eiucs PolseslupeU drei Paare conjugirtur Puuktc eines nftm- 
lichcn Systcmes sind, mass daim aber noch gciteigt werdeu, dass die 
verachiedoocii Tripel von Paaren Gegeneckeu aller aaf Cp^ licgcndeti 
Polsextupcl dem uümliehen Systemo angchöroii; was ich liior oaeh 
AufUhrung der üutersachüDgen Weyr's wol uatcrdrflckon mag. 

Wenn eine Curvo C/ mit einem ihrer Systeme conju girier 
Punkte (•',„, G^^ vorliegt, so giobt es bekauntliüb *) eine einzige 
üurvc dritter Ordnung, wulchc Cp^ zur Uessc'aehcD nnd Steiner'schen 
Curvo und auf ihr das System cotijugirter Punkte (•'i,^, (•'j,,« zum 
Systeme von tonjugirtcn Polen hat. Ea ist also die Enveloppe der 
Vorbin dungsliuie der Puuktepaare G',,,, (.3,4, die Cayley'scbe Curvo 
dieser ncnen Curve dritter Ordnung'), eine Curve dritter Classe und 
sechster Ordnung. 

Kehren wir za der Involutiou sechster Ordnung der Polsextupel 
fJ auf C'(i* zurück, so bemerken wir, dass diese Involution sechs 
VerzwoigungBgruppcn von besonderer Beschaffenheit hat. Es können 
uSmlich uur dann zwei Punkte O' eines Polsextupels zusammeu fallen, 
wcun die zugeordnete Gerade g durch P die C* berührt, nnd die 
Anzahl der von P an C* möglichen Tangenten ist sechs. Es sind 
weiter dio sechs Verzweigungsgrappen von besonderer Beschaffenheit, 
da jede von ihnen nach Fig. 43 aus einem Paare von Doppelpunkten 
und einem Paare von Verzweigungapunkten besteht. Ueberdtea 
lassen sich die sechs Verzweigung spaare leicht anweisen; denn jedes 
Paar von Verzweigungspunkten besteht aus einem der sechs von J, 
II, C verscliiedenan Schnittpunkte von C' und C^ und aus dem ent- 
sprechenden ScbuittpuuktB von K uud Cp". Und da jede Tangente 
q' von K drei Punkte von einer Gruppe, nämlich vom Polsextupel 
der Geraden PQ, entbillt, so muss K in der Invulntionscurvo der 
betrachteten Involution dreimal begriffen sein und diese Involutiou 
ausserdem nur noch die Euveloppo der Verbindungslinien vou den 
Gogcuocken der Polsextupel umfassen, welche oben als eine Curve 
dritter Classe sechster Ordnnng erkannt ist. 

Wenn man P durch einen Punkt Q von C'* ersetzt, wobei die 
erste Polare ans der Tangente q' von K und dem dieser Geradon 



5) Dieecr SaU SKgt aas, miin erhilt doi ginxe Sjelem, wozu irgend e 
PBHr conjußirte Punkte A,, A, eehOrt, wenn man dicso Punkte A,, A^ a 
allen Punkten der Curve dritMr Ordnung auf diese Curtc prujiuircn, Satmu 
Fiedler, >. e. 0., Art. }i2. 

6) Crcmona, a. a. 0., Art, 143, 

7) Cremona, a. a. 0., Art, 13&. 



mit drei InßexiontknoHn» 119 

eDtsprechendcn Kegelscbnitte Cq^ besteht, so teilt sich jedes Pol- 
sextapel in zwei Tripel , wovon das eine auf q\ das andere auf Cq^ 
liegt; denn der Punkt Q ist dann für jede durch ihn gehende Gerade 

einer der vier Schnittpunkte dieser Goraden mit 6'^. Es bilden dann 
die Tripel auf q' eine kubische Involution auf q* und die Tripel auf 
Cq^ eine kubische Involution auf Cq\ da ein Punkt von q* und ebenso 
von Cq* seine Polgerade und also das in zwei Tripel zerfallende 
Polsextupel bestimmt. Jede dieser beiden kubischen Involutionen hat 

vier Yerzweigungsgruppen, welche den durch Q gehenden C^ in einem 
von Q verschiedenen Punkte berührenden Tangenten entsprechen; 

denn die Tangente von C^ in Q liefert zwei Tripel, welche jedes für 
sich aus drei verschiedenen Punkten bestehen, wovon aber zwei, die 
Schnittpunkte von q* und C^', in jedes von beiden eingehen. Also 

sind die vier Schnittpunkte von q' mit C^ die Yerzweignngspunkte 
der Involution auf Cq^. Ofifenbar ist K die Involutionscurve der In- 
volution auf Cq* und entsprechen die beiden kubischen Involutionen 

einander in der Transformation, welche C^ in K überführt. 

48. „Die Steiner'sche Curve des Netzes der ersten Polaren in 

Bezug auf C^ besteht aus der doppelt gezählten C^ und ihrea vier 
Doppeltangenten.'' 

Wenn irgend eine der ersten Polaren einen Doppelpunkt D hat, 
80 sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem D mit einem der 
vier Punkte S zusammenfällt oder nicht. Hat die erste Polare erstens 
einen sich selbst entsprechenden Punkt ^S zum Doppelpunkte, so ent- 
hält sie das von diesem Punkte und den Berührungspunkten der 

diesem Punkte zugeordneten Doppeltangente von C^ gebildete Pol- 
sextupel und es liegt dann ihr Pol auf dieser Doppeltangente. Und 
wirklich hat die erste Polare irgend eines Punktes von einer be- 
stimmten Doppeltangente einen Doppelpunkt im zugeordneten Punkte 
S, Denn die ersten Polaren von den Berührungspunkten D und D' 
dieser Doppeltangenten enthalten die vier Punkte, welche mit D und 
ly das Pol^xtupel der Doppeltangente bilden, und diese Punkte 
fallen nach Fig. 44 paarweise in den Richtungen der Tangenten DS 
and lys vom Wendeschnitte, welche durch 8 gehen, mit S zusammen. 
Aber wenn die ersten Polaren von D und D' einen Doppelpunkt 
haben in 8^ so hat umgekehrt der Polkegelschnitt von 8 nach einem 
bekannten Satze ^) Doppelpunkte in D und Z)', ist dieser Kegelschnitt 
also die doppelt gezählte Doppeltangente und hat er deshalb einen 
Doppelpunkt in jedem Punkte der Doppeltangente. Und hieraus folgt 



8) OremoDa, a. a. 0., Art 78. 



120 Selault; U^tr rfb Ckn-HH vürttr Dri^iHnfi 

dann nmgokohrt wieder, daas die erste Polare von irgend einem 
Puuklo der Doppellangente einen Doppelpunkt liat in S. Hat die 
erste Pulare zweiteng einen nicht sich selbst entsprechendou Doppel- 
punkt Z), so hat sie als sieb selbst entsprechende Curve notwendig 
einen zweiten Doppelpunkt im entsp roch enden Punkte D' und zürlällt 
sie also in eine Gerade und einen Kcgelschuitt, die entweder sieh 
selbst oder einander eutsprecben. Hierüber giebt nun weiter das 
Polsextupel Anfscbluss, welches D und also auch £>' aufnimmt. Es 
kän"en ndmlieb die vier Tangenten aus D und D' an K nicht alle 
verschieden seiu, denn soust würde jede dieser vier Geraden unsere 
das Polsextupel enthaltende Eerl'alleude Polare in vier Punkte schnei- 
den. Zur vollständigen Beseitigung des Widerspruches müssen ent- 
weder die Tangenten aus D an K zusammenfallen und ebenso die 
Tangenten ans D' an K, oder aber die Verbindungslinie von D und 
D' muss K berühren. Al)er die erste Voraussetzung macht D und D' 
zu einander entsprechenden Punkten von K und der ihr eutsprecben- 
den C'*, also zu Berührungspunkten einer Doppeltangente von 6'*; 
worans dann folgen würde , dass die vier anderen Punkte des Pol- 
sextupels im zugeordneten Punkte S vereint sind, die betrachtete 
Polar^e in diesem Punkte ä ebenfalls einen Doppelpunkt hat, und 
diese Cnr^'o also aus drei Geraden zusammt'Ugesetzt ist. Und dies 
ist uumögliijh; denn die Doppel taugente geht nicht durch einen der 
drei Punkte -4, B, C, da sie schon vier Punkte mit C* gemein hat, 
Qud sie entspricht also weder sich selbst noch einem zerfallenden 
Kegelschnitte, bildet deshalb mit den beiden Geradeu DS und D'S 
keine sich selbst entsprechende Curve, keiue erste Polare. Es reslet 
also nur die zweite Voraussetzung, dass DD' den Wendeschnitt be- 
rührt, und diese liefert immer die schon früher gefundene erste Polarc^^ 
deren Pol auf C* liegt. 

Es hat nach den gefundenen Resultaten die erste Polare eil 
Pnnktes einen einzigen Doppelpunkt — immer in einem der 
Punkte S — wenn der Pol auf einer der vier Doppeltaugenten 
6'* liegt, und zwei einander eutspreclieude Doppelpunkte, wenn der 
Pol ein Punkt von C"* ist. Also besteht der Ort der Pole, deren 
erste Polare« in Bezug auf C* einen Doppelpunkt haben , d. h. die 
Steiner'sche Curve des Netzes der ersten Polaren in Bezug auf 6'* 
aus der doppelt gezählten C* und ihren vier Doppeltangenten. Dio 
zwölf Doppelpunkte, welche nach einem allgemeinen Satze den 
Büschel der ersten Polaren von den Punkten einer Gerade y 
kommen, sind deshalb dio vier Doppelpunkteupaarc der vier zerfal-a 
lendcn ersten Polaren, welche den Schnittpuiikton von g mit C* cnt- 



be- Tn 

J 



mit drei InfUxionsknoUn. 121 

qxecheo, und dio vier Punkte ^S, als Doppelpankto der vier ersten 
Polaren, wovon die Schnittpunkte von g mit den Doppeltangenten 

TOD C^ die Pole sind. 

49. ^Dic Hesse'sche Curve des Netzes der ersten Polaren in 

Bezog anf C* ist eine hypcrelliptiscbe Curve sechster Ordnung mit 
ueben Doppclpunkten, dio Punkte A^ B^ C und die vier Punkte iS/^ 

Zar Bestimmung der Ort der Doppelpunkte von den zerfallenden 
Polaren des Netzes zeigen wir erst die Doppelpunkte der ersten 

Polare irgend eines Punktes Q von C^ näher an. Ist q die Tangente 

TOB 6'^ in Q und nimmt man wieder an,dass von den vier Schnittpunkten 

^11 Qsi ^39 ^4 ^'0° ü ^i^ ^^ ^^^ beiden ersten Q, und Qt in Q zu- 
Ntmmengefallen sind, so giebt Fig. 43 das Polsextupel von q an ; 
dabei fällt nach Artikel 45 der Punkt G^^ in Q und ist dio Coin- 
ddenzlinie q* der Seiten q^' und q^^ des Polvierseits der geradlinige 
Teil der ersten Polare von Q. Aber dann müssen auch die Schnitt- 
punkte von q' mit g^' und q^* die Doppelpunkte dieser ersten Polaro 
sein; denn diese Curve muss das Polsextupel von q enthalten, also 
2s' und q^' in den Schnittpunkten mit q' berühren und deshalb aus 
9 und einem durch die Schnittpunkte von q' mit ^3' und 74' gehen- 
den Kegelschnitte bestehen. 

Die Ordnung des Ortes der Doppelpunkte der zerfallenden Polaren 
wird gefunden , indem wir suchen , wieviel Punkte dieser Ort mit 
irgend einer Tangente von K gemein hat Diese Tangente kann 
anmal, n&mlich für den ihrem Berührungspunkte mit JiT entsprechen- 
den Punkt von C\ als Gerade ^ auftreten und enthält als solche zwei 
I^oppelpunkto; sie kann weiter viermal, nämlich für jeden ihrer 

Schnittpunkte mit C'^ als Gerade q^* oder q^' auftreten und enthält 
^ solche vier Doppelpunkte. Also enthält irgend eine Tangonto 
von K sechs Punkte des Ortes, und ist dieser sechster Ordnung. 

Die gefundene Curve sechster Ordnung hat A, B^ C zu Doppel- 
Punkten, da jeder dieser Punkte Doppelpunkt ist von zwei ersten 
Polaren, von den ersten Polaren dieses zum einen oder zum anderen 

^ beiden durch ihn gehenden Zweigen von C'^ gerechneten Funda- 
incntalpunktes. Ebenso hat die gefundene Uesse*sche Curve die vier 
Punkte S zu Doppelpunkten, denn da jedes dieser Punkte Doppel- 
punkt ist von zwei ersten Polaren, welche ihre Pole, die Berührungs- 
punkte der entsprechenden Doppeltangente von 6*, auf C* haben, 
^ geht die gesuchte Cur^e zweimal durch diesen Punkt. 

Ein Netz von Curven C^ mit sieben Basispunkten giebt zu einer 
>>^olntori8chen Verwandtschaft Anlass, denn alle Curven des Neties, 



1S3 



SchoMlt 



ütber die C«nicn »Wrftr Ordmuig 



welcbe durch irgend eiuen gegebenen Ponkt P gehen , baben i 

einen Funkt /" mit einander getnuiii, nnd diese Puukte ontsprechsn 
einander involulorisch. An einer anderen SIelle") habe ich diese 
VerwanUtschaft untcrsncht und unter aiiderm gefunden, dasB sie zweiter 
Ordnung ist, wenn die sieben Daaiapunklo die vier Eckpunkte nnd 
die drei Diagonalpnnkte eines vollkornnicuon Vierecks alnd, d. h. 
wenn diese sieben Punkte die Lage der vier Punkte S und der drei 
Punkte A, B^ C haben. Dabei ergab sieh dann, dass die drei 
Diagonal puukte die eiufacbcu Fundanicutalpunkto der tjuadraliscben 
Transformation sind, und jeder dieser Punkte die Verbindungslinie der 
beiden audoreii zur Fund&inentalgeraden hat. Und man erkennt leicht, 
dasi die vier Eckpunkte des vollständigen Vierecks die sich ecllnt 
entsprechenden Punkte dieser Transformation sind ; denn die Curve 
C" des Netzes, welche aus drei durch eiucu dieser vier Puukte 
gebenden Geraden besteht, schneidet jede Curve des Netzes ausser 
den Basispunktcn nur uueh in diesem Punkte. Also ist die Vcr- 
wandUchaft in dem besonderen Falle mit der Transformatton, welcbe 
C* in ihren Weudeschuitt überführt, identisch, nud sind zwei einander 
in der letzteren Transformation entsprechende Punkte /' und Z' 
mit A, B, C und den vier Punkten S immer die Basispunkto eines 
Büschels von Curven dritter Ordnung. 

Weiter habe ich noch an einer anderen Stelle'") gezeigt, dass 
die Curven C'^ durch die Fundameutalpunkte und die vier Punkte 
5 einer quadratischen Transformation in dieser Transformation sich 
selbst entsprechen. Und dies ist offenbar auch mit der Hcsso'schen 
Curve sechster Ordnung der Fall, da sie der Ort ist von Paaren 
einander entsprechender Punkte. Sind nun D und D' irgend ein 
Paar dieser Punkte, so uerden die anderen Paare von den Curven 
dritter Ordnung des Büschels, welcher die drei Punkte ,1, B, C, die 
vier Punkte S und D und D' zu Basispunkten hat, auf der Hesse'- 
sehen Curve eingeschnitten. Und diese Bemerkung fährt weiter zu 
einer Erzeugung der Hesse'schen Curve mittelst projectivischer Curvcn- 
bUsebol. Nimmt man nämlich auf dieser Curve zwei Paare einander 
entsprechende Puukte />„ 7J,' und /)j, D^' und noch drei beliebig 
gcwählle Punkte D^, /),, Dj an, so kaun die projectivische Ver- 
wandtschaft der beiden Büsche! C^(A,B,C\iS,D„D,') B\idl''(A,B,C\ 
45, jO„ Di) dadurch bestimmt werden, dass die durch Dj, D^, D^ 
gehenden Curven der beiden Büschel einander entsprechen müssen. 



10) nl^eox eu parlicaliers de 

tBllron., S* Säric, ( 



gute" (Amocisliun frani^iEe pour l'aYance- 
\a S< Seaaion. Montpellier, 1879, page 199). 
t trsDBformatiuD bi rattonn eile" (Bulletin 4 
sa,pflge ISa— 169et IT4— 1| 



tnil thti Irffltxieinhivlen. 

Dun aber erzeugen diese boiilcn Büfiubtil eine Curve sechster Ordnnng 
mrl di-u siebeu Uoiipclpuuktca ^i, B, C\ 4S, welche duruh i>,, D^' , 
/',. ü,', /),, ll^, IJ^ gellt und also mit der UcBsc'sehen Curve, wie 

Idcbt betFicseu wird, zuBammcufällt. 

Jede Cnrve t'J der vou deu sieben Doppelpunkten von der HeBse- 
icbru Cune bestioimteu Netzes Bcbncidet die Hease'sche Curve in 
vier beweglicben Punkten , von welcben mau zwei beliebig auf ihr 
*tbleu ktDD. Uud alle Curvcn des Netzes, welche dureb einen ge* 
gcteiiDD Punkt O, von der IIeEsi?'sebcn Cnrve gehen, schneiden Eie 
Bodi in drei anderen Punkten, unter welchen immer der entsprechende 
Funkt D,' begriffcu ist. Dies kennzetcbnct die Uesse'sche Cnrve als 
«ne liyperelliplischo") Curve vom dritten Geschlecbto'^). Und hier- 
aiu [olgt nuD weiter, dass die VcrbiudnugBlinie der Pnoktenpaare 
"i, D,' eine rationale Curve umhüllen muss'^); was uns im vorlie- 
EcDdni Falle schon bekannt war, da diese Verbindnugsliuien Tan- 
genten von Wendcscbnitto sind'*). 

FInfter Abschnitt.' 

(Der Berühmngskogclschuitt). 

50. „Diu CTSto Polaro Cp^ eines Puuktes 1' in Bezag auf C* 

wd in den Inflexionsknotcn A, li, C vou 6' von oiüora beatimmton 

Ä^dschnittfl Op" berührt. Diesen Kegelschnitt schneidet die C'' 

Kirnt A, B, C uoeh in zwei Punkten l'p und /'s"." 

üt K (Fig. 45) der Wendeaehnitt von C'*, dann sind bekannt- 
lich (te ans A an A' möglichen Tangenten a' und a" die Wende- 



") Uta rerjjluichc die „V oiicaangea aber Geometriu von A. Clebivb, be- 
*'^\M nnil h«rnuf)regebcn vun Dr. F Lindemunn, 8aite TU udcr in dor ur- 
'plllBlicbeii Furm die Verhancilung „Uabcr Blgubraischo Funclioncn" von 
B'l» >n<l NOlhcr (Mutbcointiicbe Annale», Bani! 7, SeilEi 286 und 387). 

■ 3) Du Gi-ai'hlechE äec Cur>a wird bestimmt loa der Uftditisktiit der 
^'^r nin adjungiiten Carten ilrlttcr Ordnung; nbcr die Anzahl der Doppel- 
pxnktt Ithrl iDin n&mlkhcn Itesultsle. .Icnn man hat 

1^) Die Vorhinduiig&liiijo mnnB eine raliunnle Cnrve umhQllen , da jeder 
""i des PBriiintiers, wilfher die Curve der Büschel ilriiwr Ordnung b«- 
"<»aii, eine Vvrbindungslinie liefert. 

U) Inb Abvrgehe hier nm Ende dlsbea Abtchnitu die dnaliitisch gegen- 
BbtTHebenden Ergebnlase, da die daaliitische Ueberlmgung der FoUrentheori« 
•o'clw icbwerMIige lUsnltaien liefert. 



124 



: UAer die Cirvt« merter Ordmin^ 



taugenteu von C* im Doppolpuukte Ä. Nun ist nacli der Polaron- 
thoorie die Tniigente mA au der ersteo Polare Cp^ von P in Bc 
auf C ■* die Gerade durch A^ welclie i* harmoiiiscli trennt von a' 
u". Aber diese Geraile geht offenbar durch den Scbnittpuukt A' 
Polare p vou P iu Be/ng auf A' mit liC, da dioaer Punkt A' der 
Pol von AP in Bezn^ auf K ist. Also liogeu die Schuitlpunkt« A\ 
ü\ C der Tangcntou iu .-1, if, C* au Cp^ mit den Gegeuseitfio des 
Dreiecks ABC in eiuer Geraden , die Polare p von P in Bezug auf 
K\ VHS bokaunüicli beweiset, dasa es einen Kegelsehnitt Dp- gicbt, 
weicher mit C)? in den Punkten A, B, C die Tangeuten AA", BÜ", 
CC gemein bat. Dieser Kegelschnitt hat ausser A, B, C noch zwei 
Punkte Prf' und Pd" mit C* gemein, da die ihr entsprecbonde Gerado 
K in zwei Punkten schneidet. '^J 

51. „Die Beruh rnngspnnkte der sechs dnrch irgend einen Punkt 
P an C* möglichen Tangeulen liegen in einem Kegelschnitte Ty*. 
Dieser Kogelscbnitl schneidet die C* in zwei neuen Punkten Pi' und 
Pi", welche mit Pj' uud Pa* auf einer Geraden liegen." 

Liegen «r — i(r— l){r — •.>) von den »^ Schnittpunkten zweier 
Curven C von der Ordnung « auf einer Curvo C niederer Ord- 
nung r, 80 enthält C ' noch j(r — 1) (r — 2) dieser Schnittpunkte, und 
liogeu diu übrigen n(it — r) Schuittpunktu der Curven C" auf eiuer 
Curvo C"-' der Ordnung « — r. Der von Pluccker"') berrtthrcDda 
Sat2 beweiset den Satz dieses Artikels^'). Wenn man nämlich durdl 
füuf der sechs Schnittpunkte von fp^ uud t", welche von -1, B, C 
verschieden sind, einen Kegelschnitt 7p' legt, so bilden C* nnd die 
aus den Kegelschnitten ßp* und 7p* bestehende Curvo C,* zwei Cur- 
ven vierter Ordnung, welche elf auf C),^ liegende Ponkte mit einander 
gemein haben, nitmlicb A, B, C, ihre Kachbarpunkte auf C,? und 
die fünf Punkte mittelst welcher T^* bestimmt wordeu ist. Also cut- 
hiüt C,,' noch einen Schnittpunkt von den beiden Curven vierter 



1&) Oiior (1b (.'* und JJp* einnnder aberhaupl 
jeilcrder Funkte A, B, Ctvemal hIh SchnJllpunkt 

16) Cremonn, n. n, O.. «B, Lcbrsali b. 

IT) DicBcr Salz ist für die Li]D>Dis<:i>(c TO 
worden in seiner AufgabeniBioTDlung „A coUecl 
on cunics aod aome of tbo Rigbcr plane ciirves' 
gleiche auch den anilytiGcbcD Bi 
cenlralc Projection vcrallgemeim 



naehl Paukten i 
mC'uoäUp* 



:h neiden nnd 
u zihIeD ift. 



Itslph A. Roberts publlcrit 

. of cxaniplrs und problemi 

rves" (Example 345). Man vor- 

Gpeciellcu Fallei, welcher durch 

kann, in meiner „Notiz über die 



I 
I 
I 

I 



Lemniacale" (Si)zang»bc richte u. s. w.). Band LXSXIX, : 
liSS), weiche iichon viele der Tolgoniien Resultate in ni 
weise enthtlt. 



t Abtcilun;*, Seile 
trer Bchandlungi- 



mit dr^ ifflaiaaiknelm. 



125 



OrdDUDg, nnd dieser Puukt ist daiiu, da die sechs Schnittpunkte von 
D,' und Cf' schon alle iii den elf aiigezeigteu Puaklen aufgeuom- 
Dieu sinj, der aechste Scliuiltpuukt von Tp* mit Cf^. Also geht dpr 
Jareh fflnf der sechs von A, B, C verschiodencu Schniltpmikte von 
Cf iiDd C* gebrachte Kcgelachnitt Tf* auch durch den acchsteu, 
BBii Ikgeo die sechs von A, Ü, C vcrschicdeueu Schnittpunkte von 
C/ niid C'*, die Berührungspunkte der secha von /' an C* miig- 
liehen Tangenten auf einom Kegelscbnilte 7>*. Und da die vier 
»brigen Schnittpunkte diT beiden Curvm vierter Ordoune auf einer 
(iiraileD liegen müssen, ist die Verhiiiiluugsiiuie der beiden neuen 
Mnillpuakte l'i' and P" von Tp* und C'*, welche nicht auf C^,* 
'ivgen , Hirht vuräi-hiedeu von der Vtrbiudungsliniu di-r beiden neuen 
SebDiUpoukle i*/ und P^" von Dp* und C*, welche dies ebenso 
*Hiig tun. 

Der Kürze wegen nenne ich die Punkte Pj und P/' die „Rest- 
doppdpuokle" , die Punkte /'(' und J'i" die Restpnnkte" nnd die 
Gerade dieser vier Punkte die „Iteatgerade" vou /' iu Bezog aut C* 

A3, „Die Restgerade von P iu Bezng auf C* ist die Polgerade 
fon f ia Bezug auf t*." 

Wir beweisen diesen Satz bei den Normalcurven und denken 
lim nachher mittelst centraler Projection auf den allgemeinen einer 
Cirve C* ohne Mittelpunkt Übertragen. Dabei bebandolu wir 
1^ einander dio Normalcurven erster and zweiter Gattung. 

Ist (Fig. 21 und Fig. 23) 1' der gegebene Punkt, ao ist nach 

I ^ikel 60. der Kegelschnitt !>,'' dadurch bestimmt, dass er durch 

I ^, li, C gehen und iu Bezug auf das e i ng es chri ebene Dreieck ABC 

" Polare p von J' in Bezug auf den Wendeaehnitt E, re»p. // zur 

"ucal'schon Linio haben muss. Also ist ^V die cleichseitige Hy- 

P*rkcl durch c, welche l\ zum Mittelpunkt und P, Ä, und P,S, zu 

^symptoten hat. Da in der bekannten Transformation den unend- 

"^^ fernen Punkten dieser ilj-perbel die Pnnkto H^' und S,' enl- 

"prochen, so entspricht dieser Uyperbel die Gerade p'. Ea ent- 

Vfechen also die Schnittpunkte von p' und E, resp, // den Funkten 

"• Bad Pd". Da nnu die vier Puukt« Pd,' Pd", Pt', i'i" die vier 



't dsn iHote* antl loluiioni tQ sume of tUe problemi' am Ende des 
**K'i*c|i(n Werhehena miiclit RuberM die Bemerkuti);. iliias der Wfyr'»i:he SnU 
*'" t>r. Caaer heirfihrl. Wenn dieser Mnlhcmntlker ihn schon in ISSä in 
T" iTnnssciiunt of the irisb acndemy, voluraa 34. pabliciri hat, «i wird 
r^' Smi! alsu der C4Ufij''9r;ho Sali hoisjcn niüaien. Aber ii-h bin nishl In 
***ee die Abliaiidlung ilc» iriatlieri MuLlivuiatlkora lu iBi[>lli-gcn. 



126 



'ckouttt ütbar dia Ontaai «wrfcr Ordaung 



Schnittpunkte von C* mit einer Geraden sind, so entsprechen denl 
Punkten Pi' und Pi" die neuen Schnittpnnkto von K, resp. H n 
dem durth A, li, C und die Schnittpunkte von p' und £', reap. . 
geführten Kegelschnitte. Aber nach Artikel 31. sind diese i 
Schnittpunkte die Schniltponkte von p mit E, resp. H nnd enlsprecheil ] 
also die Schniltpnnkte von p mit K resp. // den Punkten ''(' und 1 
Fl" von 6'*. Da nun nach Artikel 41. die Verbindungslinie der 1 
Punkte von C*, welche den Eerlihrungap unkten vom Wcndeschuitto I 
mit seinen durch P gehenden Tangenten entsprechen, die Polgeradfl ] 
von P ist, ist der Satz für die Normalcuren erster Gattung be- 



Bei der Normalcurve zweiter Galtung logen wir dem nlimliclion 
Gedankengang folgend das Hauptgewicht nuf die Anweisung der HUlfs* § 
mittel zur Umgehung der imaginürcu Kreispuukte. Es ist /)p* wio-l 
der der durch C gehende Kreis, welcher tu Bezug auf das von denl 
Kreispunkten und C gebildete eingeschriebene Dreieck die Polare f 
von P in Bezug auf den Wendeschnitt ff zur Pascal'schen Linie 
hat. Wir beweisen sogleich, dass dieser Kreis dos Spieitelbild von 
C in Bezug auf p zum Centrum hat. Ist nftmlich iu Fig. 46 (der 
Polarfignr von Fig. 34) ABC ein iu Ä' eingeschriebenes Dreieck und 
« die durch die Schnittpaukte D von a und il, E von fi nnd e, F 
von e und f gebende Pascal'sche Linie, so werden e nnd s den 
Schnittpunkt C von il und « harmonisch trennou von f. Und sind 
nun A und B die Kreispuukte, wobei e die unendlich ferne Gerade 
und A' ein Kre's mit dem Ceulrum t" Ist, so trennen « und die unend- 
lich ferne Gerade den Punkt C des Kreises harmonisch vum Mittel- 
punkte C, ist also H, da sie den unendlich fernen Punkt der Ereis- 
tangente des Punktes C enthält, die Mutet senkrechte von der Strecke 
CC. Diesem Kreise entspricht nun in der bekannten Trans formatton 
die Gerade p'. Es entspricht nämlich diesem Kreise in jeder Tratis- 
formation der reciproken Radien mit C als Centrum eine Gerade, 
welche zn p parallel ist, also in der V* in ihren Wendeschnitt Uber- 
fUhreuden Transformation (Fig. 2Q), welche eine um die imaginäre 
Achse vom Wendeschnittc H umgelegte Transformalion der reciproken 
Radien mit C als Ceutrum ist, eine zu p' parallele Gerade. Und 
dem anf der Entfernung 4C/'u von C liegende zweite Schnittpunkt 
von CP„ mit dem Kreise entspricht der Punkt /„' von p'-, denn nach 
Artikel 27. hat man die Relation 



4 CPn' . CPa' 



' CF» 



Mil drti hßaioiuhiBltii, 127 

Mm entsprochen die SchnittpnnktG von p' and // den Punkten 
Pi mA Pj" von Jer Normalcurve zweiter Gattnng. Uud dann ent- 
sprechen weiter nach Artikel ai. die Schnittpunkte von p mit ff den 
Pmiliteii /*(■ und Pi' und findet man eben wie oben, daas die Ver- 
btmlimgslinie der vier Pnnkte P.i\ Pj", /"(', P," die Polare vou P 
in ßoing auf die Norraalcurve C* zweiter Gattung ist. 

N'schdem dfr Satz nun mittelst centraler Frojection auf eine 
Curre C* ohne Mittelpunkt ausgedehnt ist, kann man noch bemerkou, 
dtsa der Punkt P ala 6^,.} zu kennzeiehaen ist, wenn man Pi' und 
l'i' sIb Q, und Qa. ''><' Q""l ''''" a.h Qj nnd Q, betrachtet. 

i'.i. ,J)ie Fnnktepaare, deren Restepa nktenpaare einander zu 
Jfn ntr Schnittpunkten von C* mit den Geraden ihrer Ebene er- 
fiitfB, entsprechen einander in der bekauiileu Transformation vou 
t." und K. Die sechs Punkte, deren Restpunktonpftare die zu je 
weiftD genommenen Combinationen der vier Schnittpunkte von C* 
»'> einpr Gerade g sind, hildcn das Polscxtupcl von g in Bezug auf 
(^*. Der Ort der Punkte, deren Kestgeradu durch einen gegebenen 
PttDki gehen, ist die erste Polaro C,,\ von P in Bezug auf C*." 

Dieser Satz ist eine unmittelbare Folge des v orli ergehenden . 

54, „Der Wendeschnitt A' ist der Ort der Funkte deren Rest- 
piinkte, die Corve C* ist der Ort der Punkte, deren Doppel res tpnnktc 
asMomenfalleD." 

Liegt P auf A', so fallen die Funkte, welche Pi' und Pt" ent- 
■preclico, als die lierQhrnngspunkte der ans J' an A' möglichen Tan- 
K«nten zosammeu, nnd tun dies also auch die Funkte Pt' und /'/", 
Pud boi den Punkteu JV und /V; wird Zusammenfallen eintreten, 
■cnn der P entsprechende Punkt P' auf A, also P auf C* liegt; 
''sim uach dem ersten Teile des vorhergehenden Satzes tauschen 
^'^paabte und Residoppelpunkte ihre Hollen, wenn mau P durch 
""^ ihm entsprechen den Punkt P' ersetzt, nnd bedingt das Zusammen- 
*"en der Kestpuuktc vou P' also jenes der Rcstdoppel punkte von 
^- dieses letzte Resultat ist auch hiermit in Einklang, dass der 
Wrtllimiigakegelschuitt eines Punktes Q von C* aus der Tangente 
^ ^oti K im entsprechen den Funkte Q' und aus der Tangente q von 
^ in Q bestehen inuss, die beiden anderen Schnittpunkte von q mit 
also die Restpunkto vo uQ sind, uud die Restdoppelpunkte von Q 
"it diesem Funkte zusammenfallen.'") 



B Zusammen füllen in Artikel &8 nlhcr iHlPucbtel ncrdea. 



128 Schonte: Oeber die Curven vierter Ordnung 

i 

55. Wenn P irgend eine Gerade g durchläuft^ so erzeugen seine 

Restpnnkte auf C^ eine quadratische Involution, welche degenerirt 
wenn g eine Tangente von K ist" 

Die Paare von Restpunkten der Punkte P einer Geraden g bil- 
den auf C^ eine Involution, da jeder Punkt von C* seinen Pol und 
durch diesen involutorisch den ihn zu einem Rcstpuuktenpaare er- 
gänzenden Punkt bestimmt; ist nämlich Pt* auf C* gegeben, so ist 
der Pol P der Schnittpunkt von g mit der Taugeute vom Weude- 

schnitte im Punkte, welcher dem gegebenen Punkte Pt* von C* ent- 
spricht. Und man findet leicht einen diese Involution in 6'^ ausschnei- 
denden Büschel. Denn nach Artikel 52 entsprechen den Restpunkten 
Pt' und Pt" von P (F.g. 2i und 23) die Schnittpunkte vom Weude- 
schnitte E resp. H mit der Polgerado p von P in Bezug auf diesen 
Kegelschnitt, schneiden die durch den Pol G von g gehenden Pol- 
geraden p der Punkte P von g im Weudeschuitte also die Involution 
der den Restpunkteupaaren entsprechende Punktepaare und der die- 
sem Strahlenbüschel entsprechende Büschel von Kegelschnitten durch 
Ay Ä, C und den dem Pole G von g entsprechenden Punkt G in 

C^ die quadratische Involution der Rcstpuuktenpaare aus. 

Ist g eine Tangente vom Wendeschnitt, so liegt G auf ihm, re- 
ducirt sich die Involution der entsprechenden Punkte, also auch 
jene der Paare Restpunkto, indem jedes Paar aus einem bestimmten 

Punkte von C*, welcher sich unmittelbar als der dem Berührungs- 
punkte von G mit dem Wendeschnitte entsprechende Punkt ergiebt, 

und irgend einem anderen Punkte von C^ besteht. 

56. „Die Polgerade des Punktes P in Bezug auf den Regel- 
schnitt Dp^ durch ^, -ö, C und die Restdoppelpuukte fällt mit der 

Polgerade von P in Bezug auf (;* zusammen." 

Da die Polgerade von P in Bezug auf C^ den Kegelschnitt Dp- 
in den Restdoppelpunkteu Pa' und Pd" schneidet, hat man nur zu 
beweisen, dass PPd und PPd" diesen Kegelschnitt in Pd' und Pd' 
berühren. Wir führen diesen Beweis mittelst der Transformation, 

welche 6'* in ihren Wendeschnitt umbildet, indem wir zeigen, dass 
die Kegelschnitte, welche den Geraden PPd' und PPd" entsprechen, 
von der dem Kegelschnitte Dp^ entsprechenden Geraden berührt 
werden, und betrachten dabei nach einander wieder die Normalcurven 

C* erster und zweiter Gattung. 

Bei der Normalcurve C^ erster Gattung beschränken wir uns 



mil tini JnßtTioH4loi«ltii, 129 

uTilea Fkll einer Cnrve C*, deren Wendeachnitt ein Kreis ist, wu 
jmt,Al1ikel 32 die AlIgenieiBheit des tteweises nicht beeintrüi^tigt. 
HijBfig. 47 der Kreis Ar dieser Wendeschnitt, sind die Durch- 
war CA nnd Co die Symmetrieachsen von C* nnd ist P der ge- 
gtbeie Punkt, so entsprechen nach Artikel 49 den Paokten /', /'«', 
Pj" nnil dem Kegelschnitte Dp* die Punkte P\ Pt*, P4" nnd die 
Gmdfi P^'Pd-" der Figur. Also muss die Gerade Pd''Pd" den 
Kfgelachuilt (A, B, C\ P", Pd-') in Pj' und den Kegelsohnitt {A, B, C, 
P", Ft") in Pd" berühren. Und dies ist nach dem zweiten Teile dea 
SitKiTon Artikel 12 wirklich der Fall. Denn von diesen Kogelschnitten, 
«eiche beide gleichseitige Hyperbeln sind, ist der erste dem recht- 
"inliligen Dreieck CP'Pd-', der zweite dem rechtwinkligen Dreieck 
Lf'^j." nmsch rieben, nnd P^-'iV" ist senkrecht zu der gemeinscbaft- 
litheu Hypotenuse dieser beiden Dreiecke. 

Bei der Normiücnro C* zweiter Gattung haben nach Artikel 53. 
die des Punkten P, Pd , Pd euUprech enden Punkte P', F'd; .fl, 
die in Fig. 46. angegebene Lage in Bezug auf einander, und muss 
»lio onr gezeigt worden, dass die Kreise durch /", C, I'a; und durch 
fC.F-d- die Gerade Z'^-. /^rf- in Pj. und Pj- berQhren. Ist nun Q 
der Schnittpunkt von P' Pd-' mit cY nnd c7e zu J*^, iV parallel, so 
W, d» P'Pd' den Wcndeschuitt // in /'V' berührt, 

Z. QCP-ä- - ^ CQP'd- = ^ P'C(i-\'Z CP'Q 

BDd da CP' und CR conjugirte Durchmesser der gleichseitigen Hy- 
pertKl ff sind, 

Z. QCff = Z. P'CQ 

also dorcb Substitution 

Z. itCP'd- = Z. CP-Q oder ZI CPV — ^ CP'Q 

h. der Kreis durch P', C, P'd- bertlhrt P'd-P'V in PV. Und 
etenaa beweist man, dass der Kreis durch P', C, P''d- die Gerade 

^VP'V in p"i. berührt 

Da obenstehendc Beweisführungen nicht mehr zulässig sind, wenn 
die Gorade P'd' P'd- den Wendeschnitt nicht schneidet, d. h. wenn 
^ innerhalb des Wendeschnitts liegt, so geben wir noch einen all- 
gemeinen von der Lage von i" in Bezug anf den Wendeschnitt tm- 
^blngigeu Beweis, indem wir zeigen, dass die Kegelschnitte dei 
Itllschds mit den Basispunkten A, B, C, i" (Fig. 49) die Polare p' 
*on P' in Bezug auf den Wendeachnitt K in einer Involution von 
in Bezug auf K in einander coi^ugirten Punktepaaren schneiden. 
Und dies ist nuniitt«lbar hieraus zu entnehmen , dus jeder Kegel- 

*^ *n Matlb B. Tif. 3. i*ÜH> T«Il VI. » 



•MO 



! Curvm vürter Ordnun 



schnitt durch A, B, C, P' dem Poldreieck ABC von K nmBchri 
iflt und er alao die Polare p' von I'' in Bezug auf K in zwei Punkten 
schneiden wird, welche mit I" ein Poldreieck von K bilden nod 
alüo in Bezug anf A' zu einander conjugirt Bind. Älao werden die 
beideu Kegelschnitte dnrch vi, B, C, P' , welche j>' berühren, diea 
auf Ä' tun, d. h. die Geraden durch P. welche Df* berühren, be- 
rühren diesen Kegelschnitt auf C*, in den Punkten P,i' und iV. 

Ö7. „Die Polgerade des Punktes P in Bezug auf deu Kegel- 
scbuitt Tf* der BerUbruugs punkte von den aus P an C* mOglicheD 
Tangenten fällttmit derPolgeradeii von /'in Bezug auf C* zusam- 
men, d. h. indem der Berührungskegel schnitt Tp* in C* die BerUh- 
rungspnukte der aus P an C* möglichen Tangenten einschneidet. 
achneidet umgekehrt auch C* in Tp* die Berührungspunkte von 
den ans P au 7'^' möglichen Tangeuten ein und bildet also die Com- 
hination von 1:* mit Tf* eine zusammengesetzte Curve sechster 
Ordnung mit acht von A, h, C verschiedenen Doppelpunkten, deren 
jeder eine der bddeu Doppelpunkts tan genten durch P sendet." 

Dieser Satz , welcher einer merkwürdigen Wechselbeziehung 
der Cnrven C* und Tp* in Bezug auf den Punkt P Ausdmck giebt, 
ist in Verbindung mit einem Paare von einfachen Sätzen der Pola- 
renlheorie eine Folge des vorhergehenden Satzes. 

Der erste dieser llulfssätzc sogt ans, dass die Polgeradcn eines 
Punktes P in Bezug auf die Curven eines Büschels einen Strablen- 
btlschel bilden'") und deshalb zusammeufallen , wenn die Polgoradeu 
von P in Bezug auf zwei verschiedene Curven des Büschels dies tun. 
Und der zweite Hülfssatz behauptet, dass die drei Polgeraden vou 
/' in Bezug auf drei Curven, von welchen eine aus der Combinatiou 
der beiden anderen besteht, in eine Gerade zusammenfallen werdao, 
weuu zwei von ihnen es tun; welcher Satz unmittelbar aus der De- 
finition der Polgeradcn'"> abzuleiten ist. 

Nuu gehören nach Artikel ä2 , wenn p die Polare von P in Be* J 
zug auf C* andeutet, die drei Curven vierter Ordnung C*, C^'-j-ft 1 
^p^-^-'Pp' einem Büschel an. Nach dem zweiten Hülfssatze hat) 



19} CremoDi, a. k. 0., Art. 81, LehrBBti 7. 
10) Mituln der Definition 



Hau vergleitbc Cremona, a 



<^l-" 



!l drei Infliiiomkaottn. 



131 



i^'-j'I' (li^ Gerade p zar Polgerade von P\ es babeo also die Cnrven 
V Bod Cf^-^p in Bezng auf P die nämliche Pölgerade, and ea ist 
dnbalb nach dem ersten Htlifssalze ;> ebenfalls die Pülgerade von P 
n Bezog anf D|.*-(- TV*. Aber da y nach Artikel 53. die Polgerade 
tun Pia Bezng auf Of^ ist, so ist p nach dem zweiten Ufllfasatze 
etxnblls die Polgerade von P in Bezag auf dea Beruh rungsliegel- 
(chnilt ?>*.") 

ä6. „Der BerClhrnngEliegelficlinitt Tp* zerf&ltt in zwei Gerade, 
■!Dti Panf 6" oder anf dem Wcndeschnitte K dieser Corvo liegt; 
W illcn anderen Lagen von P ist TJ,' nicht zusammen gesetzt." 

Im der gegebene Pnnkt ein Punkt Q von C*, so bestebt 7"," 
«ich dem Weyr'scben Satze ans der Tangente g von C* in Q nnd 
der Taogente <;' von A' im eutaprechendon Punkte Q'. Ist der ge- 
ptienetPunkt ein Punkt Q' von K, so fallen seine Restpunkte nach 
Artikel 54. im entsprechenden Punkt <^ von ~C* zusammen; deshalb 
iu Dach dem vorhergehenden Satze Q der gemeinschaftliche Be- 
Hilirniigspunkt der zwei von Q' an T,. * möglichen, hier mit ti'Q 
nuamenfaUcuden Tangenten, nnd hat 'fq-* in Q einen Doppelpankt, 
w bestebt JTj'' also ans zwei Geraden durch Q. Neben den durch 
Irgend einen Punkt Q von 6* mSgüchen Tangenten an A', welche 
jede for sich C* in vier Punkten mit durch einen Punkt von C* 
leheuden Tangeuten schneiden, kann man deshalb durch diesen Punkt 
Weil zwei Gerade, die zusammeufalleuden Teile von T,'*, so ziehen, 
Jua jede von diesem C* ausser Q noch iu drei Funkten mit durch 
änen Paukt, den entsprechenden Funkt Q' von A, gehenden Tan- 
pnten schneidet.**) 

Bei allen anderen Lagen von P ist Tp-' ein nicht zerfallender 
Kugi') schnitt. Denn, da die Berührungspunkte von den Tangenten 
vn f an Tf* auf der Polgeraden p von P in Bezug auf C* liegen, 
to künaea diese Tangenten nur dann zusammeufallen, entweder wenn 
t darch P gebt, d. b /' auf 6* liegt, oder die liestpunkte von P 
Muminenfallen, d. h. P auf A' liegL Und nur wenn die Tangenten 
itu /'la r,' zusammen fallen, kann 7'^' entarten. 

Abs obenstebendcn Betrachtungen folgt nun noch, dass die bei- 
dn Geraden, welche den Bertlhrungskegelschnitt T,-* eines Punktes 



)l) Khiea anal^tlachen Beweii dime» Sauei entnimml man Ificbt aui mtin 
•^(^Ibcr die Ltmaiacate (k. a. O. i S«ite ISST). 

») it erglDKt dluei Bcaulut den enten Teil dea SaUea von Art. M, 



'; Okbtr du Ourtun »iirltr Ordmaig 

Q' VOD K bilden , darch Q geben und <i ' harmonisch trennen von 
der Tangente q von C* in Q. Später wird die Lage dieser beiden 
Geraden niLher angewiesen werden.''} 

59. „Wenn der Kegelschnitt Dp^ von P durch Q geht, so geht 
umgekehrt der Kegelschnitt DJ' von Q dnrch /*, d. b. der Ort der 
Punkte Q, deren Kegelschnitte durch P gehen, ist der Kegelschnitt 
Dp2 von P." 

Wenn die Polgerade p' von P' in Bezug auf den Wendeschnitt 
K durch Q' geht, so geht umgekehrt die Polgcrade q' von Q' in 
Bezug auf Ä' durch P'). Dieser bekannte Satz gebt mittelst der be- 
kannton Transformation in den Satz dieses Artikels über, da nach 
Artikel 53. den Polgeradcu p' und q' von i" und Q' in Bezug auf 
K die Kegolscbnitte Dp^ und D^^ von P und Q entsprechen. 

60. „Dio vier Schnittpunkte von C* mit einer Geraden sind 
von einander unabhängig." 

Die Abhängigkeit zweier Gruppen von vier Punkten von ein- 
ander kann bekanntlich nur darin bestehen, dass beido Gruppen das 
nämliche Doppelvcrhältniss zeigen. Dies aber trifft bei den Corven 
C* nicht zn. Denn dio Yoraussotzung , dass irgend zwei in einem 
Punkte P von C* einen unendlich kleinen Winkel mit einander 
bildende Gerade C* nach gleichem Doppelverhältnissc schneiden, 
würde unmittelbar bedingen, dass jede Gerade durch P die C* ausser 
P in drei Paukten mit durch einen Punkt gebenden Tangenten träfe. 
Was nach Artikel 58. nur bei zwei durch P gebenden Geraden der 
Fall sein kann. 

Aus dem Satze dieses Artikels geht hervor, dass dio Bedingung 
welche aussagt, dass eine C* irgend eine Gerade in vier gegobeuon 
Punkten sclucidct, vier einfachen Bedingungen aequivalent ist Nun 
ist ein Kegelschnitt A', von welchem ein Poldreieck ABC vorliegt, 
durch zwei seiner Punkte bestimmt; also kann man zur Bestimmung 
einer C* mit gegebeneu InHexionsknotcn auch zwei Punkte willkOr- 
lich annehmen. Da weiter Unbekanntbeit mit der Lage von jedem 
der drei Inflexionskuoton der C* die Zahl der willkürlich annehm- 
baren Punkte um zwei steigert, kann man zur Bestimmung einer 
C* im allgemeinen acht Punkte willkürlich wählen. Also gebt durch 
vier beliebig auf einer Gerade g angenommene Punkte eine vierfach 
unendliche *""bi von Curven 6". 



as) Miu vergleiche Artikel s7. 



mit drei tnßex. 



133 



61. „Wenn der Berti hraugskogolschDitt Tp- von P durch Q 
|fl)(, » geht nmgekehrt der BtTührungskogoUchnilt T^ voa Q dnruh 
/*, d. h. der Ort der Punkte Q, deren BertthruugEkegelsuhnitle dnrcb 
Pp'ben, ist der BorahrnngskegeUchnitt Tf^ von /'." 

Betr«cbl«ii wir Dochmals die drei Corvcn C*, cy+p. öp^+T^' 
*Da Artikel 57. , welche einem Büschel von Curven vierter Ordnung 
ufcbOreo and bezeichnon wir die Schnittpunktenquadrupcl dieser 
Cmen mit irgend einer Geraden g , welche den Punkt P enthält^ 
mMiC,\p, Dp*, Tp" sich beziehen, durch Q,QiQsQi, Ji,Rt^3 
ud S, D, D, nnd 7*, 2„ so ist, wie sieb zeigen lässt, das Quadrupel 
D^Df und r, r, in der von den beiden auderen Quadrupeln auf g 
bcitiinmten biqnadratigchen Involution dadurch gekennzeichnet, dass 
tE lieb in zwei von P und S harmonisch getrennte Paare J?, A), 
ud r, Tf zerlegen lassL Erstens kommt itim uach den Artikeln 56. 
lul 57. diese Eigenschaft zu. Zweitens beweisen wir wie folgt, dass 
H in der angegebenen Involution das einzige Quadrupel ist, welches 
diae Eigenschaft besitzt Ist (/, U, t7, D« irgend ein Quadrupel der 
lorliegendcn Involution, und trennen K, Kg r, V^ die Punkte dieses 
IJudrupels harmonisch von P nnd S, so bilden die verschiedenen 
(Indrupel V\ \\ v, V«, welche den Qnidmpeln (/, (/, U^ (J, cntspre- 
chsD, oSonbar eine neue Involution, welche mit der gegebenen pro- 
JKtirisch ist Wenn nun die Involution [/, U, V^ ü« zwei in zwei 
BB p nnd S harmonisch getrennte Paare zerlegbare Quadrupel 
betlEse, so wärden die Involutionen t/, U^ U^ (7, nnd \\ V^ IgV« aas 
des Dtmlichen Gruppen bestehen, jede Gruppe der Involution 
^t^i 'j ^41 also anch eine Gruppe der Involution (7, U, [/, (/« sein. Und 
dieB fuhrt zum Imdünsse, dass die Involution zwei durch S gehende 
Cnppen znl&sst, die Gruppe R^B^Rj und S, nnd die Gruppe der 
liu Punkte, welche diese Punkte barmouiscb trennen von P und 
& Deshalb kann die von den Quadrupeln Q, U, % Qt, R, R^ R^ und 
6 bestimmte Involution keine zwei Gruppen besitzen, welche sich in 
»»w Ton P und S harmonisch getrennte Paare zerlegen lassen. 

Betrachten wir nun weiter die vierfach unendliche Anzahl der 
''■Kb <1] Q* Qs Qi gehenden Curven C^ so erhellt aus dem vorber- 
K^lieDdeD, dass die in Bezug auf diese Curven genommenen zusam- 
■Mgeaetrten Curven Df'+Tp'' von P die Gerade g sämtlich iu 
des Ponktepaareu Vi D^ nnd r, 7', schneiden. Aber dabei fragt es 
fcb, ob immer dos Paar.Dii», auf dem Teile Dp^ wie das Paar 3, T^ 
Hfdem Teile Tp' liege. Undbieranf mnss die Antwort entschieden vcr- 
HtDead lauten. Da nämlich die Paare i>, /?, und T^ 'i\ in Bezug auf 
^<)aadnipel Q]Q|QgQ«, i^iitA] und ä eine ganz gleiche Bedeutung 
^B, «erdeo die Punkte D^ ü, resp. Tj 7*, bei der einen Hälfte 



iM 



Scköi 



; Oii&tr dk t!urv§H vurlfr C 



der vierfach unendlichen Aozabl von Cnrven C durch Q, Qj Q, < 
auf der eotsprecheDden Cune Dp^, resp. Tp^, bei der anderen Hälfte" 
auf Tp^, resp. Üp^ zu finden sein. Nennt man nun zwei Curven C* 
durch die Punkte Q, Q, Qj Q» von 5 in Bezug auf deu Punkt /' von 3 
gleichartig oder angleichartig, jenachdem von den zwei Paaren von 
Kegelschnitten ^p' und Tp* die gleichnamigen oder die nngleicb- 
namigen durch die nämlichen Punkte von n gehen , so teilt dieses 
Verhalten die Curven C* durch 1 



Bo in zwei Gruppen, dass zwei dieser Curven in Bezug auf P gleich-'! 
artig oder nngleichartig sind, jcnachdom sie zur nämlichen Gruppe 
oder zu verschiedenen Gruppen gehören. Offenbar wird, was hier 
für den Punkt P der Geraden g gefunden ist, auch allgemein für 
irgend einen Punkt von g gelten. Dabei fragt es sich aber, ob die 
Teilung der Curveu Ct durch Q^Q^Q^Qi in zwei Gruppen von der 
Lage des Punktes P auf g abbangt oder nicht; aber diese F>age 
wird im folgenden Artikel beantwortet werden. 

Wenn ich mich jetzt zum Satze dieses Artikels wende, so setze 
ich voraus, dass der BerUbrungskegelschnitt Tp' von F in Bezug 
auf die gegebene Gurve C* durch Q geht und die Terbiudungstinie 
g der Punkte P und Q die C* in den Punkten <>!i Q» Qj U* schuoidet. 
Nach den vorhergehenden Entwickelangen ist U dann ein Punkt des 
Kegelschnittes Dp* von P in Bezug auf eine nndero Caric C*, durch 
^i>Qi>^<^«< welche mittelst eines Indexes unterschiedene Curve man 
noch ans einer vierfach nnendlichen Anzahl wählen kann. Aber 
dann geht nach Artikel &6. umgekehrt der Kegelschnitt D^' von U in 
Bezug auf C*, durch P. Und da diu Curven C* nnd C*, für irgend 
einen Punkt von g das nämliche Quadrupel 7), D^ and r, T^ liefern, 
liegt P auf der aus den Kegelschnitten o,^ und r/ von Q in Bezug 
auf C" zusammengesetzten Carve vierter Ordnung, also entweder auf 
D^' von Q in Bezug auf C* oder auf T,,^ von Q in Bezug auf 
C*. Aber auf O,* von Q in Bezug auf C* kann P nicht liegen, 
denn Q Hegt nicht auf /V von P in Bezug auf C*. Also liegt P 
auf dem BorUhrangskegel schnitte r,^ von Q in Bezug auf C* nnd 
ist der Satz dieses Artikels bewiesen,**) 

62, „Die Teilung der Curven C* durch die vier Pankte 
Qi 0$ Qa Qt einer Geraden g in zwei Gruppen nach dem Verbalten 



34) Für einen ftDaljtiachen Beweil vergleiche min meine aNolii Ober dia 
LcDmiicate" (a. a. O., Seite lias). 



mit Jr»l Inßtxionthi 

rföf Scbuktpnakte Ton g mit den in Bpzng auf ihnen genommenen 
Kc^jchnitten Dp* nnd Tp"^ von dem Punkte P von g ist von der 
Idgc TOD P anf g unabhängig." 

Zorn Beweise dieses Satzes zeigen wir erst, dass die Funkto P 
fOB j flieh in Bezng anf eine bestimmte Carve C* durch Q, Q,Qs Q, 
in 2wci Systemen ordnen. Neouen wir uämlich der Kürze wegen 
Scbuittpnnkto von g mit der Curve D^^ irgend eines Punktes P 
in Bwug auf C* die ß-Pnnkte von P fllr C* und stellen wir mittelat 
der Schreibweise 

/»„», D_s, D-i, P, />„ Dj, 2>s ... 

von P aus nach beiden Seiten hin unendlich fortlaufende Reihe 
▼on Pankten der Geraden g anf, von welchen jeder die ihn in der 
Reibe an beiden Seiten amBcblicssendtn Punkte in Bezug auf C* 
n £-Ponkten hat, so ist es klar, daas die Fertsotzuug der Reihe 
nach beiden Seiten immer neue Punkte von g erzeugen wird, bis sich 
die Reihe an jedem der beiden Enden mittelst einer der vier Punkte 
^^^tU* abgchliesst. Denn, da alle KegelachultCe D/ von den 
Punkten P in Bezug auf C'* durch die Initexionsknoten von (.'* 
eBheB, die Gerade g aber — da sie keinen Inflesionspnnkt von C* 
etthält — nicht ein Teil irgend eines zerfallenden Kegelschnittes 
0,' fein kann, so hat kein Punkt P von g in Bezug auf C* drei 
lufir liegende /^-Punkte, was eiutreten würde, wenn die Fortsetzung 
äer Reibe in einer der beiden Richtungen anf irgend ein schon nie- 
ilwgegchriebenes Glied zurückführte, bevor man den Endpunkt Q 
tmicht hätte.! Und die Heihe schliesst sich jederzeit in einora 
fmkle Q. da nnter den beiden D-Punkten eines Punktes (i von 
C dieeer Pnnkt selbst vorkommt. Aber dann muas es such zwei 
«Iche Reihen von Punkten /' anf g geben, da vier Endpunkte Qi, 
%\ 4|, Q.\ vorliegen. 

Nach dieser Torbereitnng ist es nicht schwierig mehr zn zeigen, 
ilut irgend eine andere Curve C\* durch (Ji, Q,, Q,, (l^ sich in Be- 
™g auf die Punkte einer nämlichen Reihe zu C* auf gleiche Weiso 
•Briiilt, Sind nämlich erstens t'* und 6j* in Bezng auf irgend einen 
Pwiil Ö„ von einer der beiden Reihen gleichartig, so gehen die 
Kogelschniite Dp» von D» in Bezug auf C* nnd C/ durch den fol- 
genden Pnnkt der Reibe 0„+i; also gehen umgekehrt nach Artikel 
5S. die Kegelschnitte Dp* von O^+i in Bezug auf V* und C\* durch 
0« nnd sind deshalb die Curven C* und C,* in Bezug auf D„+i 
sich gleichartig. Sind zweitens C* und c,« in Bezug auf D„ un- 



1» 

gleichartig, lo geht der Kegelschnitt Dp* von Dh in Being anf l 
nnd der Kegelsclinitt Tp* von D>, in Bezug suf C',* darch Dn^i 
und also umgeliohrt noch Artikel 59. der Kegelschnitt ü;,' von Dh+i 
in Bezug anf C* nnd nach dem Artikel 61. der Kegelsubuitt 
Tp^ von j Üb+i in Bezog auf C,' durch ß„; d. h. es Biod die 
Cnrven C nnd ^* in Bezug auf 0»+i ebonfallB ungleichartig. Also 
l&BBt sich mitt«lBt des bekannten SchlnGses von n auf n + l oben- 
atehende Behauptung beweisen. _ 

Aber in Bezng auf die gegebene Curve C* lassen sich dis ' 
Punkt« P von g noch anf eine zweite Weise in zwei Systemen 
ordnen. Nennen wir nämlich die Scbnittpaokte von g mit der Curve 
Tp* irgend eines Panktes Pin Bezug auf t* die r-Punkte von P 
für C*, so kann man ebenso mittelst der Schreibweise 

... T-t, T-t, r_i, p, r,. r„ Tg . . . Ä 

eine von P ans nach beiden Seiten hin unendlich fortlaufende Reihe 
von Pnnkt«n aufstellen, von welchen jeder die ihn iu der Reihe be- 
grenzenden Punkte in Bezug auf C* za r-Puukteu hat. Und auch 
hier liefert eine Fortsetznng der Reihe immer wieder neue Punkte, bis 
sich die Reihe in zwei der Punkte Q,, Q|, (j^, 0^ abschlioast. Denn, 
da nur die Kegelschnitte T^-* von deu Schul Itpuukteu Q' von g mit 
dem Wendeschnitte in Geraden zerfallen, und diese Geraden durch 
die entsprechenden Punkte U von C* gehen, so ist g kein Teil eines 
zerfallenden Kegelschnittes T* von einem Puukte P anf g, hat also 
kein Punkt von g in Bezug auf C* mehr als zwei r-Punktc, und wird 
man deshalb bei Fortsetzung der Reihe bis zum Schlüsse immer neue 
Punkte finden. Und bei Fortsetzung der Reihe nach irgend einer 
Seite wird mau einen Schlnsaponkt erreicht haben, wenn der Kegel- 
schnitt Tf* die Gerade g berührt. Aber dann ist der BorObrungs- 
punkt nach Artikel 57. immer einer der vier Punkte Q, weshalb es 
auf g in Bezug auf C* wieder zwei Reihen von Punkton T geben 
muss, da vier Punkte Q vorliegen. Und ebenso wie oben zeigt man 
auch hier, dass irgend eine andere Cnrve C* durch Q, , (J,, Q^, Q^ 
■ich in Bezug auf die Punkte einer nämlichen Reihe zu C'* auf 
gleiche Weise verh&lt. 

Ist die £int«ilnDg der Cnrven C* durch Q„ Q„ Qj, (i^ in mit 
C* gleichartige und mit C* ungleichartige fttr allo Punkte von 
irgend einer Reihe die nämliche, so ist jetzt nur noch zu entschei- 
den, ob lie mit der Reihe sicbl ändert oder nicht. Pazu beweisen 



mit drei In/UxiotuknoUn. 137 

wir einfach, dass die Voraussetzang , die Enetzang von der einen 
Reihe von Z)-Pankten durch die andere ändere die Einteilang, un- 
haltbar ist. 

Sind Dn-h ^M} ^M-i-i drei auf einander folgende Glieder einer 
der beiden Reihen und also Dn-i und Z>m+i die Z>-Punkte von D» 

in Bezug auf die mit C^ gleichartigen Gurven C* und die 7-Punkte 

von Dn in Bezug auf die mit C^ ungleichartigen Gurven C,^, so er- 
teilen wir Dn eine unendlich kleine Bewegung auf y, wobei natürlich 
die Punkte Dn-i und Dn^i sich auch Ober unendlich kleine Strecken 
von g bewegen. Es fragt sich nun, ob diese drei neuen Punkte, die 

als Z)'n-i, Dn\ D'n-^i zu bezeichnen sind, in Bezug auf die mit C^ 
gleichartigen Gurven wieder einer der beiden I>-Reihen ange- 
hören werden. Und auf diese Frage muss die Antwort im allge- 
meinen bejahend lauten. Denn, wenn Dn seine Lage auf y unend- 
lich wenig ändert, so werden die Kegelschnitte i>' von Dn in Bezug 

auf die mit C^ gleichartigen Gurven C^^ und die Kegelschnitte 1* 

von Dn in Bezug auf die mit C^ ungleichartigen Gurven Cj^ ihre 
Lage ebenfalls unendlich wenig änderen, müssen also die D-Punkte 

von Dn* in Bezug auf die mit C^ gleichartigen Gurven C^^ und die 

T-Punk(e von Dn' in Bezug auf die mit^'^ ungleichartigen Gurven 

C]^ in unmittelbarer Nähe von Z>».i »und i>»+i zu finden sein, und 

wird man also genötigt die Punkte />»-i, />»', D't^i für die mit C^ 
gleichartigen Gurven unter eine Reihe ^-Punkte zu bringen, wenn 
nicht zufälligerweise die T-Punkte vonZ>» in Bezug auf die erste Gruppe 

yon Gurven C^ und die i>-Punkte von Dn* in Bezug auf diezweite Gruppe 

von Gurven C^^ ebenfalls Dn^i und Dn^i unendlich nahe liegen. Aber 
es tritt dieses im allgemeinen nicht ein. Fiele nämlich in Bezug 

auf irgend eine der Gurven c\^ einer der Z>-Pnnktd^von einem nicht mit 
einem der vier Punkte Qj, Qt9 Qs» Q4 zusammen getretenen Punkte 
Dn von g mit einem der r-Pnnkte von diesem Punkte Dn zusam- 
men, so würde aus der in den Artikeln 56. und 57. angezeigten 
harmonischen Lage von den i>-Punkten und den r-Punkten mit D» 
und dem Schnittpunkte S von g mit der Polgeraden von Dn in Bezug auf 
C^^ folgen , dass der andere Z>-Punkt von Dn mit dem anderen r- 
Punkte yon Dn zusammenfallen müsste, und hieraus wieder, dass die 
ganze I>-Reihe des Punktes Dn mit der T-Reihe von />» identisch 
wäre. Und dies ist nicht der Fall ; denn ist Q^ einer der Endpunkte, 
so fällt der von Q^ verschiedene />-Punkt von Q^ im allgemeinen 
nicht mit dem von Qi verschiedenen T-Punkt von Qi zusanmien. 
Aber selbst, wenn dies so wäre, so würde für jeden Punkt der Reihe 
der Unterschied zwischen D-Punkten und T-Punkten aufgehoben, 
aber keine Beschwerde gegen die Aufiiahme von D'h-i, DnS D'i^-i 



%nien vitrltr Ordimig 

in eino Reibe von iJ-Punktcn herbeigefllhrt sein. Nnr wenn P» 
Dil einem der vier Punkte Q zusammenfällt, RllU einer der D- 
Pnokte von D„ mit einem der T-Punkte von i'« in Dn zusammen, 
ohne liass der zweite D-Punkt mit dem zweiten T-Pnnkto zusammen- 
fallen rnnas. 

Ist nnn bewiesen , dass zwei unmittelbar an einander grenzende 
Pnnkte Du and 13» von g der u&mlicheu Reihe angehören, so fuhrt 
eino wiederholte Anwendung dieses Satzes znm Schluss, dass alle 
Pnnkte von g der nämlichen Reihe angohüren. L'ud dieses ist offea- 
bar nicht der Fall. Wir mÜSBen daher auuebmen, daas zwei ein- 
ander unendlich nahe liegende Pnnkte D„ und D„' verscbietlenen 
Reihen angehüreu können, obgleich sie sieb in Bezug auf die Ein- 
tuiluDg der Curveu C* auf gleiche Weise verhalten. Woraus dann 
GDdlieh folgt, dasH die Einteilung der Cnrvon C,* ganz unabhängig 
ist von der Lage des Ausgangspunktes P auf g. 

63. „Die Geradcnpaare , welche die zerfallenden Bertthrunga- 
kegclschnitte r,' der Punkte Q' vom Wendescbnitte K bilden, ain- 
bullen eine Curve vierter Classe, welche in zwei Kegelschnitte zer- 
fallen muss." 

Burcb irgend einen Punkt ',P gehen vier Gerade, welche zer- 
fallenden Berlihmngskegelscbnitteu von Punkten Q' von K ange- 
hören, denn der Bcrtlhrungskegclschnitt Tp* von P schneidet K in 
vier Punkten Q', deren Berti hruugskegel schnitte nach Artikel 61. 
darch P gehen ; also ist die gesuchte Enveloiipe von der vierten 
Ciasse. Aber diese Enveloppe berührt jede Doppeltangeute q von 
C* in ihren Bertthmngspunkten Q, und Q^ mit C^. Da nämlich ü, 
nach Artikel 43. auf A' liegt, so sind q und die Tangente 5,' an K 
in Q,' » (Jj Tangeuten der Euveloppo und nun wird die auf 9 fol- 
gende Tangente der Enveloppe, da sie als Teil des Berflhrungs- 
scbnittes vom an Q^ grenzenden Punkte von A' durch den an <j, 
grenzenden Punkt von Ü* geht und mit q einen nnendlich kloinen 
Winkel bildet, die Taugente q beim Grenzübergänge in (,!, schneiden, 
d. h. die Gerade q berührt die Enveloppe in %. Und da man mit- 
telst Verwei'bslnng von <;, und (j, ebenso bewöigt|, dass q die go- 
Buchte Enveloppe in Ö, berührt, so ist jede Doppeitangente q von 
C* mit den Berührnngsp unkten y, und Ü, ebenfalls Doppoltangenle 
der gesuchten Enveloppe in den Punkten Q^ und Q,^. Aber eine 
Curve vierter Classe mit vier Doppeltangenteu musB in zwei Kegel- 
schnitte zerfallen. 

64. „Die beiden Kegelschnitte, welche berührt werdea von den 
Geradeupaaren , die die BorühruiigskegelscbDitte der Punkte vom 



t dni Infitxionshiolm. 

Weudescfanitttc /Tbildco, hftbcn mit K das Dreieck ABC zum gcmeiii- 
fchiftiicben Poldreicck. Sie gehen durch die vier sich sclbt ent- 
iprcubcaden Punkte S and bilden mit K drei Kegel schnitte, die zu 
eininder in der beaonderen Beziehung stehen, dass jeder von ihnen 
in Be^ng anf irgend einen der beiden Übrigen die Poltigur der 
driBeo ist." 

Jede der drei iuvolDtoriscb perspectiviBcheo Collineationen, welche 
anmEckpnukt vomDoppelpnnkt3dreiecke'-fiBt'\on C* zum Centrum 
und die Gegenseite dieses Dreiecks zur Ase haben, führcu C* nnd 
i'-Ton Vendescboitt S in sich sdbst über. Also muse jede dieser 
ireiCoiliaeationcD die aus zwei Kegelschnitten bestehende Enveloppe 
vierter ClosBe ebenfalls in sich selbst überführen. Hierbei können 
diBn diese Kegelacfanittti , welche weiter als Ki nnd K^ bezeichnet 
•(Tden sollen, entweder in einander oder in sich selbst Qbergehon. 
Atm man weist leicht das erste als unmöglich nach. Nicht, dass 
n [unOglicb ist zwei Kegelschnitte , welche in Bezug auf einander 
cino beliebige Lage haben, mittelst invoIutoriBcb porspecüvischer 
(.'-allineatiou in einander umzubilden. Vielmehr ist diese Umbildung 
Mf sechs vejschiedene Weisen möglich, und tritt dabei Irgend einer 
dor sechs Eckpunkte T (Fig. 50) des von den gemeinsamen Tan- 
geiittD gebildeten vollständigen Vierseites in Verbindung mit einer 
der eecbs Seiten i des von den gemeins&mon Punkten gebildeten 
wllsUndigen Vierecks als Centrnra und Ajo auf. Allein es ist 
flicht möglich ein Dreieck zu finden, dessen Eckpunkte drei Punkte 
^< oud dessen Seiten drei Geraden t sind. Denn bei der allgemeinen 
l^EG der Kegelschnitte in Bezug auf einander ist die Verbindungs- 
linie »Ott zwei Punkten T entweder Seite des gemeinsamen Poldrei- 
ccks Qder gemeinsame Tangente, und der Schnittpunkt von zwei Gc- 
^ifcn ( entweder Eckpunkt des gemeinsamen Poldreiecks oder ge- 
««insimer Punkt. Und wenn die Kegelschnitte einander doppelt 
''»rahreu (Fig. 51) so giebt es wol ein Dreieck, dessen Eckpunkte 
Pnakte 7" niid dessen Seiten Gerade i sind; aber hier verlieren 
™ei der drei Collineationen ihren involntorischen Charakter nnd bat 
™ aus den Kegelschnilten bestehende Enveloppe vierter Classo 
obendrein keine Lage, wobei die drei Seiten des Dreiecks auf gleiche 
"eise auftreten. Also werden die Kegelschnitte K, und Äj in Be- 
'"B auf (las Dreieck ABC eine solche Lage haben müssen, dara 
"^end oino jer drei angewiesenen involutoriscb pcrspecti vi sehen Col- 
Itneationen jeden der beiden Kegelschnitte in sich selbst überführt, d. h. 
''^'C' musB ein Poldreieck sein von K, nnd von A',. 

Sind Q, = (/,' nnd 0, = Q/ die ebenfalls auf K liegenden Bo- 
""■"»uppunktc von C* mit ihrer Doppoltangcnto q (Fig. 52.) nnd 



qf' oDd si' die Tangeateu von K in diesen Fnakten, so ist der 
Schnittpunkt dieser Taageoten naub Artikel 46. ein sich selbst onl- 
Biircchcnder Punkt S der bekannten quadratischen Transformation 
zwischen C* und K. Wir beweisou nun, daas jede der beiden KogeC- 
Bchoittc A', und A', durch diesen Punkt S geht, dass der eine dieser 
Kegelschnitte in S die Gerade 5,', der anderu in S die Gorade g,' 
berührt. Da nämlicb der Be ruh rnugskegcl schnitt von Q, aus q aotl 
Qi' besteht und also durch S geht, so geht umgekehrt der BerQh- 
rnugskegeUchnitt von S durch Q, und wird SQ^, da er in Q^ die 
C* nicht berührt, nach Artikel 54. in äj den Beruh rnugskegel schnitt 
von S berühren müssen. Aber, wenn der Berühr ungskegelscbnitt 
von S den auch auf K liegenden unmittelbar an Q, grenzenden Punkt 
von Qj' enthalt, au gebt umgekehrt der in zwei Geradon zerfalioade 
Ber Uhr uugskegel schnitt des unmittelbar an Q^ grenzenden Punktes 
von K durch ^. Also ist S der Schnittpunkt von zwei Tangenten 
der Enveloppe vierter Classe, welche, da sie zu den BerUbrangs- 
kegel schnitten von zwei an einander grenzenden Punkten von K ge- 
hären, einander folgen, d. h. les wird die Enveloppe von 9,' in S 
berührt. Und nun beweist mau mittelst Umlanscb von Q, nnd Q, 
D, s. w. , dass die Enveloppe oboufalls von <;,' in S berührt wird. 
Also Dinss die Enveloppe in S einen Doppelpunkt mit den Doppel- 
panktstangenten qi' und q,' haben und jede der beiden Kegelscbnitto 
Kf nnd Kj durch die vier Punkte S gehen. SelbstvcrslAndlich be- 
rührt dann der eine dieser Kegelschnitte q in Qi und q,' in S, der 
andere q in Q, und q^ in S\ sodass, wenn K, der erste, und K^ der 
zweite dieser Kegelschnitte ist, sie in Bezug auf K und das Dreieck 
Q] Q]S die in P'ig. 53. angegebenen Lagen Verhältnisse zeigen. 

Der Beweis des letzteren Teiles unseres Satzes kann nun on- 
mittelbar der Figur 63. entnommen werden, wenn man noch bedenkt, 
daes die Cunre C* vier Doppollangenten besitzt. Es leuchtet dann 
sofort oin, dass die Polligur von K, in Bezug auf K mit M^ zu- 
sammenftkllt; denn die vier Punkte Q, und die vier Punkte S haben 
in Bezug auf & die vier Geraden q^ nnd die vier Geradon q za Po- 
laren und diese acht Geraden worden von AT, berQhrt. Und ebenso 
beweist man, dass K die Polfignr von K^ in Bezug auf AT, und 
Ton Ji^ in Bezug auf /^ ist. 

65. „Die Kegelschnitte A*, und A, sind imaginär bei den Curvon 
C* erster Gattung nnd reell bei den Curvon C** zweiter Gattnug. 



Bei den Gurven C* erster Gattung sind dio vier Punkte S nnd die 
Tiar Doppeltangenten, also auch die acht Berührungspunkte Q s&mt- 



mit irri InfltxitmiknetBi, 



141 



Hell imagiDär. Betrscbteii vir nnD die srate Nonnalcan'e erster 
Gilliinj, was wie wir wisaen der All gemein bei t nicht schadet, pnd 
»tieo wir K, reell worans, so sind die Scbnittpnnkto von K, nod 
f ils Bertthnrngspankte Q von Doppeltangeoten </ an C* imagiDUr, 
iiiid liegt K, deshalb entweder ganz iDnerbalb oder gauz ausserbaUi 
d«! dliptiBcbeD Wende seh Dittes K. Aber dann ist A', als Polfigar 
tim K, io Bezog auf K ancb reell und nmgekehrt entweder ganz 
Hsjerhilb oder ganz innerhalb H gelegeo. Und da A', nnd A'^ mit 
iT du I>reieck ABC zum Potdreieck haben , so sind K^ and A', 
» £ conceotriscbe and ähnlich liegende Ellipsen, denn von ihneu 
i)( der ionerbalb K liegende Kegelschnitt selbstverständlich eine 
EUJpK uud weil die Tangenten ans dem Centrum C an diesen ima- 
ginir sind, bat der andere imaginäre anendlich ferne Punkte, uud ist 
dieier ausserhalb K liegende Eegelscbuitt also auch eine KIlipse. 
Aber nun kann nnmOglicb K die PoISgnr von A', in Bezug auf X, 
und van K, in Bezug auf A', sein. Denn die Polfigur vou K in 
BeiBg auf den innerhalb K liegenden Kegelschnitt — sei es A', — 
liegt wieder innerhalb von K^, uud die Polligur von K in Bezug 
nt den aoaserbalb K liegenden Kegelschnitt — die nun X, beissen 
>uu — liegt wieder ansserbalb von K^. Also fllbrt die Voraussetzung 
diu JT, reell sei zu IrracblUssen und mass deshalb A*, uud dann 
ucfa K, imaginlLr sein ^^). Und danu sind auch die in zwei Gerade 
lerfslleuden Berti bmugskegelscbnitte der Punkte des Wen de sc hui ttes 
bei einer C* erster Gattung s&mtlich imaginär, und kann mau also 
Ui keinem Punkte von S an eine Cnrve erster Gattung eine reelle 
Tangente anlegen. 

Bei der Normalcurve zweiter Gattung sind die drei Corven K, 
J^i ^ da sie das von den beiden Kreispuukten and dem Paukte C 
gebildete Dreieckzam Poldreieck haben, gleichseitige. Hyperbeln roitC 
^ gemeinscbaftlicbem Mittelpunkte. Nennen wir sie H, IIi, 11^ 
nnd setzen wir nach der in Artikel lü. angegebenen Bezeichnuugs- 
weite Hl — a{a, m), so ist nach Artikel 13. auch 



^1 



-(-.y 



^ ffi die Folfigor von ß, Ib Bezog auf H ist Aber et iat «nch 
^t die Polfignr tob H io Bezog auf H^, also 
Ht = a(2o, m») 



I 



U) SM B, «ad ■, die laupDbtD Kobikwsnwlo der Ziabdl »Dd a mad h £• 
^4ni TM C m bdcc Mu Ar die Aduen >oa JC, and AT, uttljibck 
*T' «■! w,(; »,a mdip.t.wgn XdoWtndtafhoiuder t{<t[M»leMr»» r< t n-f* 



142 



5e*Di 



.■ Üeber dit Oimm vierter Ordmmg 



wo»as man findet, dasa a eutwcder CO" oder 120° ist , und m 
weder den Wert eins hat oder eine der imagiuüren Knbikwarzeln d*r 
Einheit ist. Also ist die einzige reelle Lüsnng— und die Curven //, 
und ff, müssen reell sein, da zwei der vier Punkte S nnd vier der 
aclit BerührungBpuukte Q von Doppel langen ten q der V* es sind — 
die. welche icLou in Artikel 13. augi^wieaen ist, wobei die //, nnd 
if, mittelst Drehung von H über G'J" um V abgeleitet werden. Von 
der Lage dieser drei gleich soiti gen Hyperbeln in Bezug auf dieNor- 
malcarve C* zweiter Gattung giebt Fig. 54. eine Vorstellnng. Sie 
aeigt an, dass die in Geradeu vorfallenden ßerUhrungakegelschniUe 
der Punkte von dem Weudeschnilte bei den Curven C'^zweiterfJ 
toug Bämtlich reell sind. 



:hnitte 

1 



66. „Die beiden Geraden durch den Punkt Q von der Normal- 
cnrve C zweiter Gattung, wdche den BerUhruii^bkegelschuitt des 
entsprechenden Punktes W des Wende Schnittes bilden, schneiden die 
Verbiuduugslinie von Ü mit dem Coutrum C unter Winkeln von 
30«." 



Ans dem vorhergehendeu Artikel folgt einerseits, dass die beiden 
Geraden durch irgend einen Punkt U der Lemniskate, welche den 
Beruh mugskegelschnitt des entsprechenden Punktes U' von H (Fig. 
bi.} bilden, durch U gebende Tangenten von der Combiuatiou Jfj-j-Hf 
sind. Audererseilfi ergab sich die Lemniskate in Artikel 14. als der 
Ort des Schnittpunktes von den eutsprecbendeu Tangenten von H, 
und Hf, wobei unter einander eulspre eilenden Tangenten von //, und 
Ht die Tangenten zu versieben sind, welche sich bei Drehung von 
if aus einer nUmtichen Tangeute von II eutwlckelt haben; dabei 
sahen wir dann,!dass diese einander enlsprechondcn Tangenten einen 
Winkel von 60" mit einander bilden, welcher von den Mittelpuukts- 
leitstrahl ihres Scheitels gehälftet wird. Unter den vier aus Q an 
^1+"« möglichen Tangenten giebt es also zwei, welche die Vor- 
bindungslinie Cd von Q mit dem Ceutrnm C beiderseits unter Win- 
keln von 30° schneiden; aber damit ist noch nicht bewiesen, dass 
gerade diese zwei Tangenten aus Q deu Bcrtibrnngskegelschuilt von 
Q' bilden. Nun musa aber der Bcrübrungskegclschnitt des Scheitola 
r von K die Achse VP zur Symmetrieachse haben aud also aus 
einer Tangente von //, und einer Tangente von fl^ bestehen; wes- 
halb der BertihruQgsbegelscbnitt von irgend einem Punkte Q' von 
// aus einer Tangente von //, und einer Tangente von Wj bestehen 
muss. Aber nun besteht der BorUhrungskegelscbnitt von /?, be- 
kanntlich ans dl und «, , von welchen Geraden d, als Tangente von 
Hj nnd *, als Tangente von if, zu betrachten ist. Und da diese 



atf drti hißtxiomhiiolin ]43 

TiDg^ciUD einander unlor einen Winkel von 60'^ schneideB, so reichen 
CoutiDuiMtsgrQnilc zur YoIleodiguDg dea Beweises aus. 

67. „Die kubische Involation auf Ali, welche die Pankto A 
wA Bin dreifachen Elementeu hat, steht mit dcu zerfallenden Be- 
mbnmgakegelschnillen der Punkte des Wenileschnittea A' von der 
Cnne C' mit den Inllexions knoten .4, H, C in enger Verbinduug. 
In Q' irgend ein Punkt von A', Ci der entsprechende Punkt von t* 
lod tlrd Q durch CA und CB harmonisch getrennt von Q, so wer- 
dea die Verbindungslinien von Q mit den beiden Punkten, welche 
Q in einem Tripel der auf AB angedeuteten kubiaeheu Involution 
«gUuen, ZQSammen dcu Bcrllhrougskegelschnitt von W bilden." 

Wenn A und Jt die imaginären Kreispunkte sind, die 6'* also 
eine Lemniskate ist, sagt der Satz aus, dass die Senkrechte auf CU 
nit den beiden durch U gehenden geradlinigen Bestandteilen des 
Berabrongskegel Schnittes von Q' bei Bewegung von Q aul der un- 
endlich fernen Geraden eine kubische Involution bilden, welche die 
inuginarcn Ereispunkle zu dreifachen Elementen hat. Also ist der 
£*tz far diesen besonderen Fall nur] eine andere Ausdrucks weise 
tlu Satzes des vorhergehenden Artikels, da die kubische Involution 
■elclie mittelst Drehung eines regelmässigen Sechsecks von den Uit- 
l^lnnktsdiagonalen aaf der unendlich fernen Geraden gebildet wird, 
merklich die imaginären Kreisp unkte zu dreifachen Elementeu hat"";, 
fnil nnn wird der Satz für den Fall einer allgemeinen Curve f.* 
■xitb-lst centraler Projection aus diesem besonderen Falle abgelei- 

68. „Die BerOhningspnnktc der Tangenten aus irgend eiueiu 
Pukte '' von AB an C* liegen paarweise auf drei Genideu p durch 
''' fiei Bewegung von I' über AB bilden die Strahlentripel y ditrt^ 
l' eine kubische Strahleninvolution mit den dreifachen gtruhltui /.'4 
■i>d VB, welche mit der Punktreihe >* auf AB projeelivi»cli Ut " 

Der erste Teil des Satzes ist eine Folge des SatKQti wo Aftikul 
'*■ Projiciren wir nämlich die Seite AB des Dreiix-Jui Jljfi/ 4iu 
lofieiionsknoten von C'* ins Unendliche, so wird die Kv^u^iii« 
Van c Hittelpunkt der Projection von C*, und nun llutfou liu tu 

it) Uta Tetgleiche „Oranililige einer Theorie der kuhUalwi' .1«<m(w<;wm«i> 
'<"' Dt. Kinn Wejr. 

") leb Oberluae e* genei|;UD Lesern hietW wiH«!«« M 

: UebertrsguDg dci Sattw iitp ikv ^-tm 
***! ttt die Curre ersUr Okitang in amgelwa. 





144 Sckautti Vthtr die Curvtn vUrter Ordavng 

rührQngB[j unkte der ans einem beatimmten Paukte der nDeodlich 
fernen Goraden an diese Mittolpnuktacurvo C* mögtiulien Taugenteu 
auf drei ihrer DurchmeBser. Weiter bilden die den verscliiedeneu 
Punkten P von AU zukommenden Strahle utripcl p durch C eiue 
knbiscLe Involution, welche zu der Puuktreihe P projectiviscfa ist, da 
irgend ein Strahl p deu ihm eutsprecheuden Punkt P nud mittelst 
dieses die ihn zu einem Tripel ergänzenden Strahlen bestimmt. Und 
endlich hat die gefundene knbische Involution die Strahlen CA und 
CB zu dreifachen Strahlen, denn die sechs Berührungspunkte der 
Taugeuten aus A resp. B a.a C fallen alle mit A resp. B zusammen, 

C9. „Bie Tangente UR der Lemuiskale in Q (Fig. hb.) bildet 
mit dem Leitstrahle CO, und der zu cd in Bezug auf die Doppel- 
punktstaugeuteu an ti parallelen Geraden CR uiu gicidischenkeliges 
Dreieck CUR mit der Basis CÜ." 

Wenn wir die Lemniakate ableiten ans dem um seine imaginäre 
Achse umgeschlagenen Weudeachnilte H, so haben wir es uach Ar- 
tikel 22. mit der Verwandtschaft der rcciproken Eadieu zu tau. 
Sind also <i und Q' einander in dieser Verwandtschaft entaprecbende 
Punkte von der Lemniakate und von H, so bilden die Tangenten q 
und q in U und Q.' an diesen einander entsprechenden Curven mit 
CCi nach verschiedenen Seiten gleiche Winkel '"). Und da CU' und 
q autiparallel zu einander sind in Bezug auf die Asymptoten von 
//, so folgt hieraus der Satz. 

Wenn man den Winkel QCD dnrcb if andeutet, so findet mau 

fUr den Winkel RQ,U don Wert 90''-|-39. Hieraus kann mau auch 
den Satz des vorhorgeh enden Artikels ableiten ^). 

Der Satz dieses Artikels liefert eine äusserst oinfacbe Con- 
Btmction der Tangente von der Lemniskate in Ct, wenn ausser diesem 
Punkte nur das Ceutrum und die Achsenrichtungeu gegeben sind.*") 

70. „Der ErUmmnngskreis der H> perliel H in d' (Fig. 58. > 
geht mittelst der angewendeten Transformation der reciproken ß& — 
dieu in den KrUmmungs kreis der Lemuiskate iu U. über." 



38) Rejc, >. B, 0. I. Abteilung. Seite ITl. 

29) „Die LcmniBCBi« in rmionBler Bchindlung" Ton Dr. 
tikel tl. 

SO) Steiner (gcsammelle Werke, Ster Teil, Seite it.). 
giebt Cantor in Zeitschrift fOr Mathematik uati Phjsik, Teil 
1817. 



■ul dni JnfittioiuhmUn. 

Dieser Satz folgt unmittelbar aus den Gesetzen der Trauefor. 
naüon der reciproken Radien and der Deßnition des KrUmmungs- 
treisn. Wir ventendeD ihn zur Bestiinmaug des KrUmmuDgsreD- 
tnnu von der Lemniskate in Q, wenn von dieser Gurre das Cen- 
trnm, die Achse nrichtuDgen und der Funkt Q gegeben sind, und mau 
ihn Tangente q ia Q conatruirt hat. 

Schneidet die in Q' senkrecht auf CQ gestellte Gerade q^' die 
Asjwplolen CX und cy von H in Qi' und ä/ und ist S' so be- 
ttimmt, dass 

•0 gebt der KrümmnngBkreis von H in Q' durch S' und also der 
KrDnmuogskreis der Lemniskato in Q durch den eut sprechenden 
Ponkt 5 aof CS'. Und aus der Relation 

CQ.CQ' — CS. CS' 

folgt die Aebniicbkcit der Dreiecke CQS und CSQ"\ deshalb findet 
man den Punkt S, wenn man aus Q eine Senkrechte fallt auf CS' 
and den Krflmmungs kreis der Lemuiskaie in Q, wenn man den Kreis 
besohreibl, welcher durch U und S geht und in Q die Gerade q be- 
rahrt. 

Der Pnnkt S ist der bewegliche Schnittpunkt des KrQmmnugs- 
bviui mit der Lemniskato; dnrch ihu gehen drei Krümmnogskreise, 
dl die Senkrechte in S anf CS die Lemniskate ausser S noch in 
tni Paukten schneidet 

Tl. „Eine Cnrre C* ist bestimmt durch ihre lufleiions knoten 
■I, B, C uud zwei Punkte Q. Aas diesen Bestimmangsstücken kann 
'un die Cnrve Punkt für Punkt und in jedem dieser Punkte die 
Tugeute and den Kriimmangskreis linear conslruireu." 



Wenn man eine Cune C*^ wovon man die In flexi auspunkte A, 
^1 C und zwei einfache Punkte Q kennt, einer involntorisch qua- 
^ntijchen Transformation mit den Fnndamontalpnnkten J, B, C 
"temirft. so erhält man einen Kegelschnitt, welcher ABC znm 
''oldreieck hat und wovon man zwei Pnnkte Q' kennt. Da nun 
i^n Punkt Q' in Verbindung mit dem Poldreiecke ABC noch 
^ Funkle dieses Kegelschnittes kennen lässt , nämlich die 
drei Pnnkte. welche mit diesem Punkte Q' die Eckpunkte einei 
'olltUndigen Vierecks mit den drei Diagonalpunkten A, B, C bilden, 
^ giebl es nur einen Kegelschnitt durch die beiden Pnnkte Q; welche 
■*AC RUH Poldreieck bat, and deshalb auch nur eine Curve C* 
Bit den Inflexionsknoten A, B, C durch die beiden Punkte Q. 

*^ l« HtU. ■. tkft. >. Bitt*. TtU TL 



146 



Stka, 



: CU*r di* Cbrnm vitrier Ordtnag 



Sind Qi nnd Q^ die gegebenen Pankte , welche die Cnrve C* 
mit den InflexionBknoten A, B, C bestimmen, sind Qj' and Q^' dio 
den Pmikten Q, and ^ entsprechenden Pankte in irgend einer qua- 
dratiachen Transformation mit den Fuudamontalpunkteu A, ß, G — 
zam Beispiel in der byperboliach gleichseitigen Transformation — 
und ist K' der im allgemeinen vom Wendescboitte A' von C* ver- 
schiedene Kegelschnitt darcb Q/ und Q^', welche ABC zam Pol- 
dreieck bat, so CDfspncbt der gegebenen Curve C* in der angewen- 
deten Transformation der Kegelschnitt K'. Wird nun weiter K' in 
Uj von der Geraden /,' berührt, nnd ist K^ der dieser Geraden ent- 
fiprechende Kegelschnitt, so wird A', in Q, die Curve C* borahreo, 
weshalb die Tangente 2, von A', in Q^ zu gleicher Zeit die Tangente 
von der Curve C* in Q, ist. Zur Conatniction dieser letzteren Tan- 
gente /, hat man also erstens mittelst des Poacal'schen Satzes von 
K' die Tangente /,' in (/,', sodann mittelst der angenommenen Trans- 
formation den der Geraden ij' entsprechenden Kegelschnitt A', zn Sachen 
~ und von dieser Curve hat man ausser A, B, C und;tj, noch einen 
Punkt zu kennen - endlich wieder mittelst des Pafical'schen Satzes 
von dieser Curve A', die Tangente f, in Q, zu bestimmen.') 

Zur Constrnction des Krtlmmuugscentrums von t* in y, kann 
man unmittelbar gelangen mittelst der bekannten Construction eiues 
Kegelschnittes, welcher durch zwei gegebene Punkte geht uud einen 
gegebenen Kegelschnitt in einem gegebenen Paukte osjulirt. Mittelat 
dieser Constrnction kann man nämlich erst einen Kegelschnitt K' 
bestimmen, welcher durch A und B geht und den der Curve C* 
entsprechenden Kegelschnitt K^' in Q,' osculirt, nachher den Kegel- 
schnitt A'o, welcher dem Kegelschnitte K^ entspricht und also C* 
in Q^ osculirt, und endlich die gleichseitige Hyperbel // von ge- 
gebenen Asymptotenrichtnngcn , welche <-'* in U, osculirt Und von 
dieser Curve ist der Krümmungshalbmesser von Q, nach Artikel 6. 
leicht ?u finden. Zur Illustration dieser Bestimmungsweise des Krllm- 
mnngscentmms führe ich die ganze Construction in Fig. 56. fflr den 
einfachen Fall der Normaicurve erster Gattung durch. 

Ist die gegebene Normaicurve erster Gattung mittelst des Cen- 
trnms C, der Ac h sc a rieh taugen CA and ^'if, des Punktes Q^ und 
der Tangente >;, in diesem Fuukto bestimmt, und bedient man sich 
der Transformation, welche einen am C geschlagenea Kreis von 
beliebigem Badios Cd überfuhrt in die Carve c* mit den Inflexions- 



I 

I 
I 



3) Dieu ConBtractLOD veriUnke i 
bt>y, Architekt in Anutctdan). 



I meinem LandgenoueD A. M. Gods- J 



I mit drei hßtxioHihxoteit. 147 

inota i, B, C, wovod dieser Kreis der WeDdcachnitt ist, so wird 
ucb Artikel 22. der Paakt Q/ mitteist der Polgeradea EF von Q, 
gpfuodea A.U der vierte Eckpuukt des anf deu SegmenteD CR und 
f^S beechriebenen Rechteciis. Weiter ist der auf KF liegende Pol 
G JOB qj das Cenlrnm der gleichseitigen Hyperbel durch die nnend- 
lich fernen Punkte A und B, welche in Q,' den der gegebenen Curve 
i* entsprechenden KegeUchnitt Ä" berührt; deshalb ist die in Bezug 
uf U,'K und Qi'S zu Q^'<J antiparallel durch Q,' geführte Gerade 
),' did Tangente in ü,' an diesen Kegelschnitt K'. Und da dieser 
Kegelifhnitt K' offenbar mit v* concentriach ist, so kann man ihn 
iiiiUelst der Punkte Q,', Q,', Q,', Q^' und der Tangente g,' in y,' 
betiimmt denken. 

Wenn es nun gilt die gleichseitige Hyperbel Hg zu construiren, 

■ek^be durch A und B geht nnd A" in Q^' oscultrt, so betrachten 

lir £' und Hq als zu einander perspectivisch colüneare Kegel- 

Kimitte mit dem Oaculalionspunkte Q/ als Collineationsceutrnm, 

«bei dann die Punkte Q^' und Q^ von ä' den Punkten A nnd B 

»DU J7(,' entsprechen. Die Verbindungslinie von Q,' mit demSchnitt- 

ponkie von Qi'Cli und AB, d. h. die zu Qj'Q*' durch Q,' gefahrte 

hrallele g tritt dabei dann als Coltineationsachse anf. Und da in 

teer perapectivischeu CoUincation den Geraden Qa'Qi' und Qt'Qf 

ofleiibir Gj7 und ffj7' enlaprecben, so entspricht T dem Punkte 

IJt' tCD K', nnd ist i/g', also zu betrachten als der Kegelschnitt 

darth A, B, 7'und Q/, welchen in Q,' die Gerade q,' berührt. Aber 

diese gleichseitige Hyperbel H„' hat ihren Mittelpunkt anf GQj', da 

^Qj' durch Q,' auliparallel ist zu •;,' in Bezug auf die Asymptoten, 

""d auf der zweiten Diagonale dos Asymptoten rech tecks Q^T, also 

'" C. Deshalb hat die gleichseitige Hyperbel H^, welche der äj,' 

'" der angewandten quadratischen Transformation entspricht, ihren 

«ittelpnnkt in r, welcher Punkt mittelst der Polgeraden u von D 

^'cht bestimmt wird. Steht also endlich Q, tr senkrecht auf FQ, 

""d Q,Af senkrecht anf g, so ist der gegenüber F liegende Eck- 

fönkt M des Parallelogrammes i'M, wovon VQ), in Grösse und Lage 

*">o Seite, (i^M die andere Seitenrichtung und Q, Ifdie eine Dia- 

.C0Q^gg[.jc],t4,Qg^ igt i}cr gesuchte Krümmuugsmittelpunkt 

Diese Construction bildet das Gegensteck zu jener, welche in 
Artikel 70. für die Lemniskate gegeben ist. 

Ich beendige diesen Aufsatz mit der Äufweisuug vou einigen Re- 
*^ltaten, welche jenen dieses Abschnitts dualistisch gegenüber stehen. 
Dabei vermeide ich diejenigen, welche sich auf Polaren beziehen. 

72. „Die Tangenten von A'* in den sechs Schnittpunkten mit 



irgend einfir Oendea g berühren einen Kegelschnitt : 
ansBerdem mit K* noch zwei Tangenten gt' und g" gemein bat. 

„Die Geradeopaare g, deren Reattangeatenpaare g" und g" ein- 
ander zu den vier durch einen Punkt geheuden Tangenten von &'* 
ergänzen, entsprechen einander in der tangeotiellen TransformatioD 
zwischen K* und ihrem Rilckkehrscbnitte AT." 

„Der Ruckkehrschnitt ist die Enveloppe der Geraden g, deren 
ReBttangenten zusammenfallen." 

Wenn g sich um einen Funkt P dreht, so erzeugen ihre Rest- 
tangenten nm K* eine quadratische Involution, welche zerfllllt, wenn 
P ein Punkt von Ä* ist." 

„Indem der Tangen tenkegel schnitt Tg* von g um K* die Tan- 
genten von K* in den Scbnittpuukteu mit g bestimmt, bestimmt um- 
gekelirt K* um Tg* die Tangeutou t, und (," tu den Schnittpunkten 
mit j7; d. b, die Combination von K* mit Tg* bildet eine Curve 
sechster Classe mit acht von □, £, c verschiedenen Doppel tan gputeu 
von welchen jede einen ihrer Berührungspunkte auf g hat" 

„Der Tange Uten kegelschuitt zerfEÜlt in zwei Punkte, wenn g 
entweder K* oder ihren RDckkehrscbnitt K berührt; bei allen 
deren Lageu von g ist Tg* nicht zusammengesetzt. 

„Die vier Tangenten aus P an Ä'' 
hangig." 



von einander m 



4 



die Gerade k berührt, so berührt umgekehrt 7i* die 



„Wenn Tg- 
Gerade 3." 

„Der Ort der P unkten paare , welche zerfallene Tangen tenkegel- 
cbnitte von Punkten von K bilden, ist diu Combination von zwei 
Kegelschnitten A', und A*,, welche mit K das Poldreiseit ahc gemein 
haben, die vier sich selbst entsprechenden Geraden > berQbreu und 
nsammen mit A' drei Kegelschnitte bilden, die zn einaudcr in der 
besonderen Beziehung stehen, dass jede von ibneu in Bezug auf irg end 
einen der beiden Übrigen die Poltigur der dritten ist." 






„Die Kegelschnitte AT, und A', sind imaginSr bei den ( 
k'* erster Gattung und reell bei den Curven A'* zweiter Gattang* 

„Die beiden Punkte auf der Tangente g von der Normalcurve 
K* zweiter Gattung, welche den Taugeutenkegelscbuitt der i 
■precbenden Tangente g' v 



RUckkebrschnitte bilden, werden J 



Miir drei JnfUxiötuknoim, 149 

dem Centnim C verbunden durch Oerade , welche mit dem Mitlel- 
panktsleitstrahle des BerQbmngspanktes von g den Winkel von 60^ 
bUden.'' 

,,Die kubische Involution um C, welche die Strahlen CA und CB 
zu drei&chen Strahlen hat, steht mit den zerfallenden Tangenten- 
kegelschnitten der Tangenten des Rückkehrschnittes in enger Ver- 
bindung. Ist g' irgend eine Tangente von iT, g die entsprechende 
Tangente von K* und wird g durch A und B harmonisch getrennt 
von gy so werden die Schnittpunkte von g mit den beiden Strahlen, 

welche g zu einem Tripel der Involution ergänzen, zasammen den 
Tangentenkegelscbnitt von g' bilden«'' 



Anhang 

Beziehung auf die Curven vierter Ordnung mit zwei 

Inflexionsknoten. 

73. „Eine Curve C« mit den zwei Inflexionsknoten A^ B und 
dem einfachen Punkte C (Fig. 57.) wird mittelst einer bestimmten 
involutorischen quadratischen Transformation, welche A^ By C tn. 
Fundamentalpunkten hat, in eine durch A und B gehende Curve C> 
ttbergcffthrt, für welche zwei der durch A gehenden Tangenten a^ 
und o, die Curve auf BC, zwei der durch B gehenden Tangenten 
^ und h^ die Curve auf CA berfthren.^ 

Es ist dieser Satz eine unmittelbare Folge der Gesetze der an- 
gewendeten Transformation, welche o^ und o^, b^ und h^ in einander 
ttberftlhrt. 

74. „Mittelst zweier quadratischen Strahleninvolutionen in halb 
perspectivischer Lage kann man eine Curve C' durch A und B er- 
zeugen, welche auf der willkürlich durch B gelegten Geraden BC die 
willkürlich durch A gelegten Geraden a^ und o^, auf der willkürlich 
durch A gelegten Geraden ilC die willkürlich durch B gelegten Ge- 
raden &i und bj berührt Der dritte Schnittpunkt F von AB mit 
dieser Curve liegt mit dem Punkte D von BC, der B harmonisch 
trennt von a^ und o,, und'dem Punkte E von CA^ der A harmo- 
nisch trennt von h^ und ^s, in einer Geraden.^ 

Denken wir uns um il die quadratische Strahleninvointion, wo- 
von Ol und o, ein Paar bilden, und AC ein Doppelstrahl ist, ebenso 
um B die quadratische Strahleninvolution, wovon h^ und bf ein 
Paar bilden, und BC ein Doppelstrahl ist, und bringen wir diese 
beiden Involutionen so mit einander in projectivischeVenfandtschaft, 
dass der Doppelstrahl ^C der ersten dem Paare b^ und b^ der zwei- 
ten, das Paar o^ und a^ der ersten dem Doppelstrahle BC der zweiten 



156 



: UAir dtt Ciirven vitrta- Ordnung 



nnd das die Verbindungslinie AB der Scheit«! aufnebmeude Paar der 
ersten, dem diese VerbiDdaugsUnie BA ebenso eutbaltende Paare 
der zweiten entspricht , so erzeugen diese dann in sogenannter halb 
perspectiv iachon Lage verkehrenden Strableninvolutionon eine Curvo 
vierter Ordnung mit den zwei Punlcteo A nnd B als Doppolpankten, 
wolche aus der Geraden AB und der oben im Satze augewicsonea 
Curve CS besteht. 

Sind p, nnd p, (Fig. 58.) die Strahlen irgend eines Paares der 
Involution um A nnd p,' nud />,' die Strahlen des entsprochenden 
Paares der Involution um B, so ist P der dritte Diagonalpunkt des 
»on den vier Geraden gebildeten voUslÄndigen Vierseits. Dieser 
Punkt P beschreibt bei der Erzeugung von C* eine Gerade. Da 
nämlich zwei concentrische Strablouinvolutionen nur ein Strableupaar 
gemein haben, so enthält die Strahicuinvolution um A nur ein 
Strableopaar das von einer willkürlich angenommenen Geraden A]' 
durch A harmonisch von AB getrennt wird; also entspricht einer 
willkürlich augenommeueu Geraden' AP nur eine Gerade BF, and 
umgekehrt einer wÜlkürlich angenommenen Geraden IIP nur eine 
Gerade AI', woraus folgt, dass der Ort von P ein durch A und B 
gebender Kegelschnitt ist. Aber dieser Kegelschnitt eutb&lt die Ge- 
rade AB, da die AB aofncbmendeu Paare der SCrahleninvolDtioneD 
um A und B einander entsprechen, und AP und BP in diesem Falle 
in AB hineinfallen. Also ist der Ort von P eine Gerade. Aber aus 
den harmouischen Eigenschaften des voUstaudigen Vierseits folgt, dass 
Pia ö(Fig,57) liegt, wenn man für die Strahlenpaare r,, p» uudp,',pj', 
die Strahlen a„ a^ und den Doppelstrabi BC\ dass P in £ liegt, 
wenn man für sie den Doppelstrabi AC und die Strahlen b^ nud b^ 
annimmt. Und andrerseits lehren Grenzbetrachtuugeu , dass P mit 
dem dritten Schnittpunkte F von AB und der erzeugten Curve za- 
sammenfällt, wenn man die Strahlenpunktc ;>, , p^, nnd ;ti', j?,' ni 
den die AB aufnehmenden Paaren spectalisirt Also liegen D, £, ^ 
auf der Geraden, welche der Ort der Punkte P ist. 

75. „Die Der Uhr ungs punkte der sechs Tangenten, die ans irgend 
einem Punkte C an eine Curve C* mit zwei Inflesionsknoteu A und 
B möglich sind, liegen auf einem Kegelschnitte." 

Die erste Polare von C* für ihren Punkt C schneidet C* io 
zwölf Punkten; zwei von diesen liegen in A auf der Tangente dieser 
Polare in A neben einander, zwei andere liegen in ü auf der Tan- 
gente dieser Polare in ß neben einander und noch zwei andere 
liegen in C auf der gemeinscbaftlicheu Tangente von dieser Polare 
mit C* neben einander; die sechs übrigen sind die Berührungspunkte 
der von C ausgebenden Tangenten au C*. Nun wird der Satz diese« 
Artikels — und zur BewEÜuung dieser Behauptung kann mau die 
in Artikel 51. angefilbrteii Gründe wiederholen ~ bewiesen sein, 



I 




mü drei Inßexiontknoten, 151 

sobald gezeigt ist, dass die erst aufgezählten sechs der zwölf Schnitt- 
ponkte auf eiDem Kegelschnitte liegen, dass es also einen dorch Ä^ 
By C gehenden Kegelschnitt giebt, welcher in A^ B und C die erste 
Polare von C^ fttr C berührt 

Da die Tangente in ^ an der ersten Polaren von C^ fttr C die 
Gerade ist, welche C harmonisch trennt von den Doppelpanktstan- 
genten von C^ in ^, so entspricht dieser Tangente in der in Art 73. 
angewendeten Transformation die Gerade AD. Ebenso entspricht der 
Tangente in ü an der ersten Polare von C^ für C die Gerade BE. 
Endlich entspricht der Tangente in C an C^ die Gerade CF. Aber 
ADy BEj CF sind dnrch die Eckpunkte A, B, C des Dreiecks ABC 
gehende Gerade, welche die Gegenseiten dieses Dreiecks in den 
Punkten einer Geraden schneiden; nach Artikel 20. schneiden die 
Geraden, welche ADy BEy CF entsprechen, die Gegenseiten des 
Dreiecks also auch in drei Punkten einer Geraden, und dieses be- 
weist, dass es einen Kegelschnitt giebt, welcher mA^B und C die erste 
Polare von C^ für C berührt, und die sechs Berührungspunkte der 
von C an C^ möglichen Tangenten deshalb auch Punkte sind eines 
Kegelschnittes. 

76. „Die Curven C^, welche mit einander die Inflexionsknoten 
Aj B mit den Doppelpunktstangenten gemein haben, bilden einen 
Büschel, d. h. die Inflexionsknoten A^ B^ die Doppelpunktstangenten 
und ein einfacher Punkt bestimmen eine einzige Curve vierter Ord- 
nung voA der verlangten Beschaffenheit^^ 

Alle Curven C\ welche A und B zu Inflexionsdoppelpunkten 
haben, und in A (Fig. 59.) die Doppelpunktstangenten o^, o,, in ^ 
die Doppelpunktstangenten 6^, bf besitzen, haben in jedem der beiden 
Punkte A und B acht^), in A und B zusammen also sechszehn 
Punkte mit einander gemein. Und endlich geht durch irgend einen 
Punkt P der Ebene nur eine dieser Curven CK Wenn nämlich die 
Geraden a und b die Geradenpaare o, , a^ und 6, , b^ harmonisch 
trennen von P, so werden zwei der Curven C^ welche dnrch P 



1) Es kann dies auf venchiedene Weiten geieigt werden. Wenn swei 
Coiren in P einen Doppelpunkt gemein haben, und die Doppelpnnktitangenten 
der einen Cuire von jenen der anderen vertchieden sind, so gilt P schon Ar 
Tier gemeinschaftliche Punkte der beiden Gurren; denn die swei Aeste 
der einen Gurre sehneiden doch die iwei Aeste der) anderen Gurre. Und 
nun vermehrt sich die Anzahl der in P angehäuften gemeinsamen Punkte um 
swei, wenn die Gurren auch die Doppelpunktstangenten gemein haben, und 
nochmals um ^wei, wenn diese Doppclpnnkstangenten beide Inflexionstangenten 
sind. 



Seiai 



e: IMtr Ji* Cbnws t 



r Ordnung 



g^en, In P berflhrt vom KegelBcbnitte durch A, B, P, welche i 
von a und in B von b berührt wird; also werden zwei der Cnnm 
C*, welche durch P geben, in dem nächst auf P folgenden Punkte 

— und da diese Schlnssweise von Funkt zu Punkt fortzusetzen ist 

— ganz und gar coiucidircn.'] 

77. „Mittelst zweier quadratischen SlrahleninTolutionon kann man 
eine Curve C* erzeugen, welche die willkürlich gegebenen Paukte A nnd 
B zu In Q e xi OD sdoppel punkten, die willkllrlich durch A geführten 
Geraden £, uud h^ zu Doppelpuuktstangeuten und den wUlkQrlich 
gegebenen Punkt P zu einem einfachen Punkte hat." 

Denken wir uns um A die quadratische Strahlemnvolutioii, 
welche das Paar Oj, oj und den DojipclBtrahl AB enthält, ebenso 
um B die quadratische Strableuiuvolution , welche das Paar b^ , 6, 
und den DoppeUtrahli^M enthält, und bringen wir diese Involutionen 
Bo mit einander in perspcctivische Verwandtschaft, dass der Doppel- 
strahl AB uud das Paar b^, A„ das Paar a„ a^ und dor Doppelstrahl 
BA, das die Gerade AP enthaltende Paar uud dos die Gerade BP 
enthaltende Paar einander entsprechen, ao erzeugen diese beidea 
projectivi schon StrabloniuvolntioDOU offenbar die verlaugte Curvo CK 
Wirklich ist diese Erzeugungsweise nicht verschieden von jener, 
welcho mau erhält, wenn man anf die Erzeugungsweise der 6'^ von 
Artikel 74. die in Artikel 73. angeführte quadratische Transformatiou 
anwendet 

78. „Jede Cnrvo C* mit zwei lodexionsknoteu kann als eine 
Curve mit einem Mittelpunkte und zwei tjymmetrieachsen projiciit 
werden." ^H 



3) Alao iit ill« DiSe reo lialgl eich ung dicier Curvenfamilie in — vom H- 

itcD Gr&de. Ist die Vorbindangslinie dar beiden InflexionGknuKn durch i=0 
nnd Bind die beiden Gendcn, welche diese VcrhindDngilinic harmoniscb trenDM 
TOD einem der beiden Pnare von Uuppelian);enCan, durch ^^B 

2 = und y — ^H 

gegeben, lo ilt ^^| 

«V+»'("»'+V)+c>'-o ^ 

worin /i einen wiltkQrlicbea Parameter vorstelll, die Gleichung der Curvenfamilie. 
Und prajicirt man nun die Inflcxionsknoten fn lenkrecht auf einander neben- 
den RicbtQDgea in't Unendliche, so in 

die Gleichung der Frojection. Alto giebt Oiffereniiation wirklich 
dy _ i(y'+'' ) 



ni'l drei InJUxivniknoU«. 153 

Wir naterscheidcD bierbei wieder zwei Fiüle, QDd botrachteu 
ucb eioiuder eine C* mit zwei recllea iiiid eine C* mit zwei coa- 
jogirt-inugiDäreD In&eiioDsdoppelpuukteu. 

^d die iDflexionsliDoteD A und B reell, so köniieD dio Paars 

»OD DoppelpnnktstangoDtcn jede für sich entweder reell oder con- 
jiSin imginftr sein'). Unabhängig ;hiervon ist aber der dritte Dia- 
goulpankt C {F>g. 60.) des von den Deppelpanktstaagenten ge- 
biMetftn Vierecks immer reell. Denn dieser Punkt C ist der Schnitt- 
pnikt der Geraden, iwekbe AB liarmonisch trennen von den 
Furea o,, a^ und b,, b^, und diese beiden Geraden AC und BC 
liad reell, da sio eine reelle Gerade von zwei conjugirt imaginären 
Genideu harmonisch trenuca'}. Mun kann man dio Curve central 
so projidren, dass die Projektionen .1' und JJ' von A und if in senk- 
TKki aufeinander stehenden RichluDf^en iu's Unendliche verschwinden, 
«dbei dann die Projeetlon C von C Mittelpunkt uud die Geraden 
Cd' nnd C , B' Symmetrieachaen der Projection werden. Ea 
"iril dann nämlich die Projectiou von Fig. 60. die in Fig. 61. ge- 
Etbeue Form annehmen. Uud hieraus folgt dann, dasi die beiden 
qudriitiscben Strahleniuvoiutionen aus in Bezug auf C A' und C'B' 
tfnunetrischeu Strahl enpaareu bestehen, nnd die vier Schnittpunkte 
loa zwei einander entsprechenden Fuareu also die Eckpunkte sind 
öaes Hechtecka mit den Seitenrichtaugon CA' und CD' und dem 
Scliailtpunkte C" der Diagonalen. Projiciren sieb aber die beiden 
Strableninvolntionen derweise, dann ist offenbar C" Mittelpunkt, und 
C'A' nnd C'B' sind Symmetrieachsen der Projection der Curve. 

Der Grand dafür, dass jede Cnrve C * mit zwei reellen Inflexions- 
Imoteo A und B als eine um zwei senkrecht« Achsen symmetriecho 
'"UeiponktäCürve C" projicirt werden kann, ist nach dem vorher- 
fffaenilen hierin zu suchen , dass die von den einander ent- 
^''echendou Strablenpaaren der lovolationen A und B gebildeten 
^ollsundigen Vierseitc den Punkt C zum gemeinschaftlichen dritten 
^'■■gonalpunkt haben. Dies ist auch leicht ans Fig. 60. zu er- 
'Wncn. Die beiden Diagonalen -ü,^->y und £i.^t des Tierecks a^btOfb, 



. i) Diu die Fiure tod TaBgenlea conjugirt-imiEinire Geraden »ind, falli lie 

^~*'fciiipl imagintr liDd, i)l der Aniljiis xu enlnebmen. Der Fnnkl C iit dar 
- ^*« Eckpunkt de« in der Torhergeheaden NoU üchun angewendclen Ciior- 
'tendreiecki. 



4) Anch diei 



X ätr Aiuüjiu iD entlehoen. 



:: Utlitr die Curvai uierler Ordnung 

werden nämlich jede iür sich von den beiden StrahloniDvolutio- 
nen io zwei PuDktinvolutionen gCBchnitten, die identisch siod; denn 
die luvolution auf i»,^» bat die Doppelpunkte C and D, jene auf 
£,ft', die Doppelpaakto C und E. Uad da nun AC die Strahlon- 
psaro der Involution um A, and BC die Strahlenpaare der Involution 
um B harmonisch trennt von AB, ist F der drilte Diagonalpankt 
von jcdom vollständigen Viorsuite, dessen Seiten zwei einander ent- 
sprocbcnde Strahlenpaare dieser Involution sind. 

Wenn die Doppelpunktcl^l und B conjngirt-imagintLr sind, so sind 
es auch die Doppelpunkt Stangen ten. Da aber zwei coujugirt-ima- 
gin&ro Gerade einen reellen Schnittpunkt haben , so können nicht a^ 
und £, zu fij und h^ conjugirt sein, sondern es muss einer Doppel- 
taugento durch A, eine Doppelt au ßcnte durch B conjugirt sein. Aber dann 
sind von den vier Punkten 0„D„ E^,E^ (Fig. 60.J auch zwei nicht 
auf einer nftmlicbeii Seite des VierseiU a^a^b^ht liegende Punkte, 
z. B. die Pnnhte D^i>^ reell, und die andern dann E^, A', coujagirt- 
imaginär. Und hieraus folgt wieder, dass C als Punkt, welcher auf 
D^D^ die Punkt« öl und Dj harmonisch trennt von ^fi, reell ist. Da 
nun dieser reelle /^nkt C der drilte Diagonaipunkt ist von allen 
vollständigen Vierseiten, deren Seiten zwei einander entsprechende 
Paare sind von den luvolutionon um A nnd B, so besitzt die ünrve 
C* mit den imaginären Infleiionsknoten A und B neben jedem re- 
ellen Punkte B auf CP einen zweiton reellen Punkt P' , der von C 
und AB harmonisch von P getrennt wird. Und deshalb wird man 
die Curve C* central nur so zu projiciren haben, dass die Projectionen 
A' und B' mit den imagiuären Kreispnnkten der neuen Ebene zu- 
aammenfallen , um in der Projectionscnrvo eine Curve C zu erhalten, 
die in der Protection C von C einen Mittelpunkt hat. Aber hier- 
mit ist noch nicht nachgewiesen, dass die Projectionscnrve Achsen 
bat. Ist C (Fig. 62.) der Mittelpunkt, und sind A, and D^ die 
reellen Schnittpunkte der Doppclpnnktstangenten dieser Pro- 
jectionscnrve, so erkennt man D^ D^ und ihre Mittelsenkrecbte 
CE unmittelbar als Symmetrieachsen von dieser Curve; da ein Um- 
klappen der Figur um irgend eine dieser beiden Geraden eine nene 
Curvo liefert, welche mit der vorb ergeh enden, ausser secliszehn Schnitt- 
punkten in den imaginären Kieispunkten noch die acht Schnitt- 
punkte mit den beiden Goraden gemein hat und also mit ihr zn- 
sammenMlt. 

Wir nennen die Curven C* mit zwei reellen Inflesionsknoten 
wieder die Curven erster Gattung, die Curven C* mit zwei conjugirt* 
imagiuären Inflexionsknotcn die Curven zweiter Gattung dieser Spe- 
cies. Es sind donn von dieser Species die Mittelpunktscurven wieder 



aU dni hJUxiomknoltn. 155 

ili NonnftIcDrve orstor and als Normalcurve zweiter Gattnog zn be- 

ttichsto. 

79. ,^ pebl drei verschiodeoe Arten von Normaicurven C* 
MerGiltoDg and nnr eine Art von Normalcarfon zweiter Graltung." 

Die NormalcorvcQ C* erster Gattung teilen sich in droi Arten, 
jeuclidein die beiden reellen Inßexionsknoten Knotenpunkte, oder 
eiier ton beiden ein Knotenpunkt, und der andere ein conjugirter 
Pukt, oder aber beide conjugirte Punkte sind. Sind die In- 
(ttioDsknoten Knoleupankte , so ist die Curve ihrer Gestalt nach 
niclit von der ersten Normalcurve C* erster Gattung (Fig, 22.) vcr- 
Ktieden; nur gebt sie nicht durch den Mittelpunkt C\ den conjugirten 
Punkt von jener Curve. Die zweite Art von Normaicurven C* or- 
cUr Gattung mit einem conjugirten luflexionsknoten A und einem 
MnionskuotGn ü mit reellen Doppolpunktstangenten ist in Fig. 63. 
niEefQlirt; es giebt die Fignr von ihr zwei verschiedene Formen 
C, nnd C, an, die bei Parameteränderung durch die zweite Nor- 
miicarve C* hindurch in einander fibergehen. Und die dritte Art von 
Nonnalcurveu C* erster Gattung mit zwei Intiexionsknoteo A und ß, 
ima Doppelponktstangenten sämtlich imaginär sind, giebt Fig. 64. 
u>), 

Es pebt nnr eine Art von Norihalcurven C> zweiter Gattung, 
dl trä imaginären inflexionsknoten keiuo Unterschiede in den Dop- 
pclpaaktstaogentcn obwalten können. Von ihr giebt Fig. 65. zwei 
venchiedeno Formen C\ und C\ die bei Paramctcränderung durch 
die Lemniskate bin in einander übergeben können. Diese Curve 
in bekannt als das Oval von Caasiui ^). 



9) Di« GIcicbnng der Carre iit 

!c»j*-j-oi* + 6y» = f* 
^■d t and i beids negati*, lo hu man ei mii der ersten, haben a und b rer- 
"^Hdene Zeichen, »a hal man e* mil der cweilen, Bind a und b beide poiitiT, 
"> W mao et mit der driCMn An der Normalcorvca C* criter Gattung 

t) Die Gleichong der Corre iiC 

Im die CoTve C (Fig. S9.) beitimmt durcb die InfiexioniknoUn A, B, 
■lie InfienoDidopiielungenteD a,, o, und b,, &, in dieaea Punkten und den 
f>nkt P, fo hu der KeKeUchni» , welcheo in J, B und P die enle Polare 
*«■> P in BdDg anl C, berOhn, den Punkt P' lom Pole von AB. An der 
"enulcnrre C* iweiter GaiMog angi^pa*», findet man aber, daii der KrÄi, 
**lelier dieae Curre in den nnendbch fernen Ereiiponklea nnd in P berflhrt, 
•dna HiiielpiiDkl hu im Fnnki« i", »ekber in der C^g. 6t.) am D^D^ 





156 



ScAoi 



; C7is5er QirotH vStrttr Ordnung. 



jt der Foteni Ci>, de» I 
Ort dieser MitlclpunkU 



umBclPgton Tranifurniträn d«r reciproken Badii 
Funkte P enuprichl. So findet man weiter, disi 
fflr die bei den rerachiedenen Fankien dor Carve 

(-■+y')'+2«.(»'— 'J + c-' - 

vorkommenden Kreiie die CntTe 

(•'+»■)■+ y(j'-.") + ^-0 

ist; für dieie Curvo liegen die Doppel Ire anpankte Z), and D\ in einer Enl- 
fernnnß — Vu von C u. 8. w. 

Ans dur leiiteren Betrachtung eninEbioen wir, du) <lia Nurmale in irgend 
einem Funkte P von einer Ovnle von Casüini drn Punkt P' enihilt, welch«! 
P in der angedcalelcn nmgclegten Transformalion von redproken Eadien ent- 
spricht. DieBOi Resultat gilt nnch fQr den besonderen Fall der LemniikBie. 

In der Ictilcn Bemerkung ist die einfachste LOaung der Aufgabe enthalten : 
in einem Fnnkt P von einer durch diesen Funkt P und die beiden Doppel- 
brennpunktn besiiuimten Ovale van Cassini die Normale und die Tangente in 
constrniren. Ist nftmlich ß, einer der Doppelpunkte und C der Utttelpunkt, 
so bestimmt man den Funkt P' mittelst der beiden Relationen 

^ öj CP' = Z. PCD., und CP.CP' — Cß,*; 
dann ist PP' die Normale in P an der Carve u. s. w. Bei der LemniakaM 
ist also die Einhüllende der Torbigdungslinia des LemniskateDpunktca Ü mit 
dem Funkte von dem Wendesehnitte , welcher dem Q entsprechenden Funkle 
Q diametral gegenüberliegt zu gleicher Zeil die Evolute der LcmaiskaU; (ia 
ist eine Carve C, sechter Ordnung und sechster Classe von der Gldchnug 

(man vergleiche „die Lcmniskal« in ralioDBler Bchandlang von Dr. Emil Wejr, 
Art. SO). 

Es wird sDcb leicht geometrisch erkannt, das* die Eibtnte der LemnisksM 
Tun der sechsten Classe ist. Ist P ein gegebener Punkt und l irgend eine 
Gerade durch P, so wird der Kegelschnitt, welcher in der um die Brenn- 
punktenaohso amgelcgla Transformation der reciproken Radien der Geraden / 
entspricht., l in cwei Punkten schneiden. Also ist der Ort der einander enl- 
Bprecbendon Funkte, deren Verbindungslinien durch P gehen, eine durch C 
und die imaginlren Doppelpunkte der Lemniskate gehende Cnrve dritter Ord* 
Dang, welche auseer diesen Funkten noch aecba Fankte mit der Lemoiskate 



I 
I 



Köttär: Btwtgung wmm fgsUm Kirp4r» §tc J57 



VIII. 



Beitrag zur Lehre von der Bewegung 
eines festen Körpers in einer incompressibeln 

Flüssigkeit. 



Von 

Fr. KStter 



Bekanntlich hat Diricblet die Bewegung vollständig bestimmt 
welche ein irgend wie bewegter fester kugelförmiger Körper in einer 
ihn umgebenden incompressibeln reibungslosen Flüssigkeit hervor- 
ruft Es ergiebt sich, dass man den Druck , welchen die Flüssigkeit 
auf den Körper ausübt, ansehen kann als die Resultante zweier 
Kräfte, nämlich des hydrostatischen Druckes und einer Kraft, deren 
Angriffspunkt der Mittelpunkt der Kugel ist, deren Grösse propor- 
tional, und deren Richtung entgegengesetzt der Beschleunigung dieses 
Punktes ist. Es folgt hieraus unmittelbar, dass, wenn äussere Kräfte 
nicht wirken, und die Masse der Kugel homogen ist, der Mittelpunkt 
der Kugel in gerader Linie mit constanter Geschwindigkeit fort- 
schreitet 

Ein ähnliches scheinbar bisher nicht veröffentlichtes Gesetz gilt 
auch dann, wenn die Massenverteilung der Kugel nicht homogen ist 
Ans dem über den Druck Gesagten kann man, ohne auf den hydrodyna- 
mischen Ausgangspunkt zurückzugehen, mit den Hifsmitteln der ge- 
wöhnlichen Mechanik folgern , dass bei beliebiger Massenverteilung 
ein gewisser zwischen Schwerpunkt und Mittelpunkt gelegener Punkt, 
wenn äussere Kräfte nicht vorhanden sind, geradlinig mit constanter 
Geschwindigkeit sich bewegt Dass wir beim Beweise dieses Ge- 
setzes, welchem die folgenden Seiten gewidmet sind, auf den hydro- 



158 



KSIltr: Bveagung «üci futat Kärptn 



djTiainiBchenAcsgaDgspnnkt Zurückgreifen, hat erstoDS den Zweck, das- * 
selbe für eine ganze Reihe von Körpern darzutun, und zweitens den Zweck, 
den innorn Grand desselben klarer hervortreten zu lassen. Wir 
werden zeigeu, dass das fragliche TLeorem und etliche andere damit 
im Zusammenhang stehende dann gelten, wenn die Gestalt des Körpers 
zwei sieb seukrecbt schneidende Symmctrieacbsen besitzt, in denen sich 
je zwei Paare Syramctrie ebenen unter rechtcmWinkel schneiden. Solche 
Kijrper sind z. B. der Würfel, das regelmässige Oktaeder, die Kugel, 
der Körper, dessen Oberfläche die Gleichung hat: ■ 

u. a. m. Um uns künftig uunUtze Weitläufigkeiten zn ersparen, 
werden wir derartige Körper beliebiger Massenvertcilnng dadurch 
bezeichnen , dass wir sagen , ihre Gestalt sei im bydrodyna mischen 
Sinne regelmässig oder trage den hydrodynamischen Charakter der 
Kugel. 

FUr die modernen Methoden >) zur Bestimmung der Bewegungs- 
gleicbungeu eines beliebigen Körpers in einer idealen Flüssigkeit ist 
der Umstand von besonderer Bedeutung, dass die lebendige Kraft 
der Flüssigkeit sich ebenso wie diejenige des Körpers darstelloa lässt 
als homogene quadratische Function der GeschwiudigkeitscomponeDten 
»rip, welche der Anfangspunkt eines iu dem Körper festen Coor- 
dinaten Systems nach dessen Achsen besitzt, und der drei Rotationg- 
eomponenten pqr des KOrpers um diese Achsen. Besitzen Dämlich, 
wie wir annehmen wollen, die auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte 
ein Potential, so sind bei passend gewähltem Anfangszustand die 
Componenten der Geschwindigkeit eines Flüssigkeitsteilchens, dessen 
Coordinateu in dem bezeichneten Coordinateu System 7^1 sind, die 
Ableitungen einer Function tp nach 7j>z. Als Function der Zeit t 
betrachtet, ist dieselbe eine lineare Fnnction der sechs Grüssen 
uvu< pqr: I 

deren Coefficienten ip„ tp^, . . tpg zwar von a-ys, nicht aber von der 
Zeit t abhangen. Der Charakter der Functionen ist durch die geo- 
metrische Gestalt des Körpers bedingt, wird aber darchans nicht 
durch dessen Massen Verteilung beeinflusst. Die lebendige Kraft der 
Flüssigkeit, deren Dichtigkeit f sein möge, erhalten wir dorcb dH j 
dreifache Integral 



1) KirchhoET: Ueber die Bswegnng ( 
ligkeiL BorcbardU Janmal Bd. Tl. IBG 



I Rotati ODikÖrpcn in einer Fllti-J 



in einer incompreeiibeln Flüingheü» 159 

welches Aber den ganzen unendlichen Raum zu erstrecken ist mit 
Ausnahme desjenigen Teiles, welcher von dem festen Körper aus- 
gefüllt wird; die Grenzen des Integrals sind also in jedem Augen- 
blick dieselben. Daraus erhellt dann unmittelbar, dass die lebendige 
Kraft wirklich die angegebene Form hat. Bezeichnet man nun mit 
T die gesamte lebendige Kraft, d. h. also die Summe derjenigen des 
Körpers und derjenigen der Flüssigkeit, mit X, F, Z die Gomponen- 
tensummen und mit MxM^M, die Drehungsmomente sämtlicher auf 
die Flüssigkeit wie auf den festen Körper wirkenden äusseren Kräfte, 
so erhält man das folgende, zuerst von Kirchhoff in voller Allge- 
meinheit entwickelte System von Differentialgleichungen für die Be- 
wegung des gegebenen Körpers: 

'd7\ dT dl 



d (dT\ dT 97 

dt \duj "" ^dw " •'81;+-^ 

dt \dv) ^ ''du ""^SUT+ ^ 

d (dT\ dT ^T . ^ 

d_ /82\ _ BT BT , BT BT 
Ä \Bp) - 



*'8;^-'"8ir + «är~^8^+^« 



8t\ BT BT . BT BT 



d (dT\ 
dt \dqj 

d /BT\ dl dT . ÖT dT . „ 

dL\B^)^''Bi'^''Bi.'^^Bi''^B^'^^' 



82 BT . BT BT 



Dasselbe stimmt in seiner Form wesentlich mit demjenigen 
ttberein, welches die Bewegung eines Körpers im leeren Räume dar- 
stellt. Wie man nun bei dem letzterwähnten Problem die Bewegung 
auf ein im Räume festes Coordinatensystem beziehen kann, so lassen 
sich auch in dem hydrodynamischen Problem für die Componenten- 
summen und Drehungsmomente in Bezug auf drei im Räume feste 
Achsen Ausdrücke in den Bewegungs- und Lageelementen des Kör- 
pers ableiten. Wir bezeichnen die neuen Goordinatenachsen als E, 
1}, C Achse, mit 5, H, Z die Gomponentensummen nach diesen Achsen 
und mit mßiyi die Richtungscosmus der Achsen der beiden Systeme 
zu einander in der Weise, wie sie durch das nachstehende Schema 

verdeutlicht wird: 

X y » 

I O] Os «s 

n ßi ßt ßz 

i Vi vt ii 



158 



K8tt€rx Bewegung eiitfs 



dynamischen Ansgangspnnkt znrürlv.! 
selbe für eine ganze Reihe von Körpt r. 
den innern Grund desselben klar« 
werden zeigen, dass das fragliih«.' 1 
im Zusammenhang stehende üiii«!> 
zwei sich senkrecht schneidoiitii 
je zwei Paare Symmetrieobem :. 
Körper sind z. B. der Würlr 
der Körper, dessen Obcrtlä 

u. a. m. Um uns küi/ 
werden wir derartige l\ 
bezeichnen , daas mr s: 
Sinne regelmässig odo] 
Kugel. 

Ftlr die mo«l«'r'! 

gleichungen eines ) 

der Umstand vi«' 

der Flüssigkeit i 

als homogenr <!'■ 

ttvtr, welch«' 

dinatensystrjf. 

eompouenti . 

wie wir an 

ein Potoii- 

Compont' 

Coordiii; 

Abloitfj! 

betracl' 

uvtr j "'"' 

derof j 

Zeit 

mef' 

dur 

Fid 

dre - ••• 



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in emer incompressibeln Flütngktit 161 

freies Integral bekannt wäre, sich mit Hülfe von Jacobi's Theorem 
des letzten Mnltiplicators ein fünftes derartiges Integral and dann 
auch das sechste, t enthaltende Integral finden lasse. Die Frage, 
unter welchen Umständen das fehlende vierte Integral durch eine 
constant za setzende homogene lineare oder quadratische Fonction 
geliefert wird, beantwortet der genannte Forscher dahin, dass diese 
Möglichkeit an gewisse Relationen zwischen den Coefiicienten der 
Function r geknüpft ist. Die Erfüllung der für den ersten Fall 
nötigen Bedingungen hatte Kirchhoff ^) schon vorher durch die 
vereinfachende Annahme erreicht, dass der Körper sowol in Ge- 
stalt wie in Massenverteilung den Charakter eines Rotationskörpers 
hat, d. h. zwei Paare von senkrecht auf einander stehenden Sym- 
metrieebcnen besitzt, deren Schnittlinien zusammenfallen. Das Inte- 
gral, welches sich in diesem Falle ausser den drei erwähnten finden 
lässt, drückt aus, dass der Körper mit constanter Geschwindigkeit 
um seine Achse rotirt Den zweiten Fall, dessen Lösung in einem 
speciellen Fall Herr Weber ^) auf Thetafunctionen zweier Variablen 
zurückgeführt hat, welche lineare Functionen der Zeit sind, lässt 
sich ansehen als die Bewegung gewisser Körper, deren Gestalt und 
Massenverteilung drei senkrecht auf einander stehende Symmetrie- 
ebdnen besitzt 

Der Umstand, dass der Teil der lebendigen Kraft, welcher von 
dem festen Körper selbst herrührt, schon von vornherein eine ge- 
wisse einfache Form hat, lässt voraussetzen, dass schon die 
Annahme gewisser Symmetrien der Form hinreichen werde, den 
Ausdruck für die lebendige Kraft zu vereinfachen. Wir wollen die 
Richtigkeit dieser Voraussetzung an dem Beispiel der Körper dartun 
deren Gestalt den Charakter der Kugel hat. Zu dem Ende wählen wir 
das Coordinatensystem so, dass die y und die z Achse mit je einer der 
beiden Symmetrieachsen zusammenfallen. Auf den Teil der leben- 
digen Kraft, welcher von der Bewegung der Flüssigkeit herrührt, 
hat nur die Gestalt, nicht aber die Massenverteilung des festen Kör- 
pers Einfluss; es lassen sich also auf diesen Teil dieselben Ueber- 
legungen anwenden , welche Kirchhoff zur Vereinfachung des 
Ausdrucks der lebendigen Kraft des gesamten Systems bei Rotations- 
körpern gebraucht Berücksichtigen wir zunächst, dass die Gestalt 
des Körpers in Bezug auf die x Achse den Character einer Rotations- 
fläche hat, so erhalten wir für den fraglichen Teil der lebendigen 
Kraft T den Ausdruck 



1) Vergl. anch Kopeke: Mathematisehe Annalen. Bd. 12. pag. 3S7'~ 
402. 1S77. 

2) Mathematisehe Annalen. Bd. 14. pag. 173. 1S79. 

Areh. der lUth. n. Phya. 2. BeUie, TeU TL W 



T'-^-c^iipp 




^:=L. ^ 





fm g c b mm fSirym mai der 

Dtr SdnHifiiMilc: de» ftts» fjtifi^ tob 
sehr v<4 n^dt» tonM^i. mK kadit miTnifiaäi i^ «r lenk £e Ter- 

Sckirer|f«jikUri der natjj^ielürus MaMe. dL k des MiQdpaBfctiet. 
de» VeffcÜt4Mai der l«deit Jf •»»e«^ Siad die Cuorfiatta des 
ittittoipvjikte« fMr des g^s^dkaca Itoi^er «, ^, r, bo kat abo 
ScIlweriMUlkt dei faiosai bf$Um§ die Coofdiaatca 



te demsetbefl ßloiie bt maii iiadi den hkhehgen Entwiddiugeii 
beracbUgt von UaopUrigbeiUkAcbieo des gaazea SjnleBis in Bezug 
auf geioea Scbwerpankt za ipreebeo, WftbJeo wir Ban diese Linieii 
2tt CoordioAtetiaxeii, so nimmt die lebendige Kraft des ganasen Sy- 
stems die Form an: 

In nnserm Falle bietet die Bezugnahme auf ein im Baume festes 
Coordioateosystem dieselben Vorteile wie bei der Bewegung im 
leeren Raum \ denn die Ausdrucke 



n efiifr ineomprwibeiH FVUi^ktit. 



11 


+ 


8r 


, 8r 

'' + S," 

ST , 


8T 
8- 


ST, ,ST 
Si^' + S 
■ , ST 
'■ + *;'■ 


A + 



nehoeD hier die einfachere Form an : 

IM+ M,) («a, + «J, -f wo,), (3f+ JVf,) («ft + «3, + t^Uj.), 

I*i« «weiten Factoren dieser Ausdrücke sind die Componenten der 
I Geschwindigkeit nach den Achsen des im Räume festeu Courdinateu- 
I ■T^tems für den Anraagspunkt des howeglichen Systems und künnea 
1*^, weDn die Coordinaten des letzteren J, ij, J sind, geschrieben 
"*«,-. 'S dl] dt 

Für die fortschreitende Bewegung des Körpers haben wir also 
■Üe folgenden Gleicbongen 



I 



[•fcren Inhalt sich folgendermaassen in Worten aussprechen lässt: 

„Bei der Bewegung oiues fitsten Körpers, dessen Gestalt den 
■'ydrodfnami scheu Charakter einer Kugel hat, in einer incompressi- 
"®lö reibüugslosen nneodltchea Flüssigkeit beschreibt ein gewisser 
*wis«hen BCinem Mittelpunkt und seinem Schwerpunkt gelegener 
-•^Oulit dieselbe Bahn, welche der Schwerpunkt eines aus der eigenen 
'd der mitgeführten Maaee gebildeteu Körpers unter Einflnss der- 
'lb«n ünsscren Kräfte im leeren Raum boschreiben würde." 

Wirken speciell gar keine ünsseren Kräfte, so ist 

d^ dS d»£ „ 

Vir erhalten also folgende Erweiterung des in der Einleitung er- 
^^tinten Theorems von Dirichlet: 

„Welches auch immer die Massen Verteilung innerhalb eines 
pera von Kugelgestalt sein möge, stets lässt sich auf der Ver- 
^ladongslinie von Scbwerpankt und Mittelpunkt ein Punkt finden, 
mit constauter Gescbwiudigkoit in gerader Linie fort* 



Iit der K&rper und die ihn umgebende Flüssigkeit der Schwere 
I ^'*U«nrorfeii , so mnss , d&mit die Flüssigkeit im Unendlichen ruhe, 



164 KBUTz 

dmgA eiae dort «nfgilriltp fü^e ein ^ewiner Drack wngMk 
werdea, welcher den kjdroitatiKheB Drvk gieiek isL Dieser Drack 
wtrde im SUade lein, die dorck die cooslaate bescUeaaigeBde Kraft 
he r f or g e r it feae Wirkaag aafnkebea, weaa der gaaie Baam waX 
Fltn^ceit erfWt wire; es ist abo die Besohaate sftatlieker aaf 
dea üftssigeB Tefl des Sjiteau wirkeadea Krifte gleick deai Cevitt 
deijeaigea Misse, welche dea Toa dem feslea Körper eiageaoBUMaea 
Baam aaszaüUlea im SUade wftre, oder gleick dem Gewickt dar 
sogeaaaatea Terdrtagtea Masse, welche* wir J/* aeaaea woDea. 
Ihr Aagriffqnnkt ist der Mitteipaakt des Körpers, ihre Richtaag 
deijeaigea der Schwere eatgegeagesetzt. Gebea wir dar C Adne 
Richtaag dar Sdiwere, so ist 



5-.J7— Z — ^Jr-lT) — 
aad die Gleichaagea der Bew^aag laatea: 



(Jf+Jf')g«0 {M+M')^ 

(M+J#') ^-^M^Jf") 

^ eiaer sdiwerea incompressihela FlOssigkeit hewegt sieh also 
eia Pankt eiaes schwerea Körpers, dessea Gestalt dea Charakter 
der Kogel hat, gerade so, wie sich der Schwerpaakt eines festen 
Körpers Ton der Masse (M'\'M') im leeren Raam nnter Einflass 
der Constanten beschlennigenden Kraft g(M — M^ ) bewegen 
würde ; d. h. in einer Parabel. M ist die eigene Masse des Körpers, 
M* die mitgefflhrte nnd M" die yerdr&ngte Masse der FlOssigkeit'^ 

Die rotatorische Bewegung des Körpers erkennt man leichter 
nnter Beibehaltung des im Körper festen Coordinatensjstems. Die- 
selbe wird bei der speciellen Form, welche die lebendige Kraft in 
unserem Falle hat, gegeben durch die Gleichungen : 

Sind die Drehungsmomente der äusseren Kräfte bekannt, so ist das 
Problem der Rotation ebenfalls identisch mit einem derartigen Pro- 
bleme für den leeren Raum. Wirken speciell gar keine äusseren 



« timr ineoapruiibtln Ftüiiigittu 



165 



SrifU, BD rotirt der EOrpor in der Flüssigkeit om den Scliwerpankt 
Jm ganzen Systems in derselben Weise wio ein fester Körper im 
ieeren Raum am seinen Schwerpunkt rotirt. Vereinigen wir das mit 
dem ober die fortschreitende Bewegung Gesagten, so erhalten wir 
du Theorem: 

„Wirken keine äusseren Kräfte, so bewegt sich auch ein nicht 
homogener fester Körper regelmässiger Gestalt in einer incomprea- 
äblen Flüssigkeit, wie sieb ein gewisser durch Gestalt nnd Massen- 
löWilang des gegebenen bedingter Körper im leeren Raum bewegen 
llrde. Die Rolle des Schwerpunktes spielt dabei ein Punkt, wel- 
cher die Verbind nngslinie von Schwerpunkt und Mittelpunkt nach 
dem Verbältniss der mitgefuhrteu und der eigenen Masse teilt." 

Iq Bezog auf die fortschreitende Bewegung eines festen schweren 
Körpers wird dnrch das Vorhandensein einer schweren Flüssigkeit 
\mt andere Aendernng der Bewegung bewirkt, als dass die Con- 
ftsnte der Beschleunigung verringert wird. Dia Rotation des festen 
Üdrpers in einer schweren Flüssigkeit folgt jedoch nicht so einfachen 
Geietzea, wie die Rotation im leeren Ranm. Bekanntlich rotirt ein 
frei beweglicher Körper im leeren Ranm um seineu Schwerpunkt 
gende so, als oh gar keine äusseren Kräfte wirkten. Es beruht das 
^nf, dass die änsseren Kräfte — hier lediglich die Schwere der 
*i8M!nen Teile des festen Körpers — eine Resultante haben, welche 
doKb den Schwerpunkt des festen Körpers geht, und also in Bezug 
Inf keine durch diesen Punkt gehende Linie ein Drehungsmoment 
l»ben kann. Bei der Bewegung in einer Flüssigkeit wirken jedoch 
!i Kräfte entgegengesetzter Richtung, deren Angriffspunkte ver- 
j^cliieden sind, nämlich im Schwerpunkte des Körpers sein eigenes 
"^■ricbt, im geometrischen Mittelpunkt der hydro statische Auftrieb, 
'^cher gleich dem Gewichte der verdrängten Masse ist. In Bezog 
^■/ das zu Grunde gelegte Coordinatensystem möge der Schwer- 
ikt die Coordinaten 






AT 



M-^M- "' Jtf-f jVf * "' M-\-M' 
'l^eiii <^i^ ^^^ ''^1' Mittelpunkt die Coordinaten 
M _ M _ M 

de Drohongsmomente in Bezug auf die im Körper festen Achsen 
M {2tt'-\-M "), , . 



SOtltn ßttpegimff tiatt fi*$n KSrpen 



Die Botatioo des Körpers um den CoordiDateuanfangsponkt gehorcht I 
also dem darcb folgende Gleicbongen dargestellten Gesetz: 



M(M'+M ") 



7-'(aft-<7i) 



«j^-(Q,-P,)M-¥9' 



ja-\-M' 



-ihv.-ayif 



Dnrch Gleichnngen von derselben Form ist aber die RotaüOD oines 
Bcbweren Körpers im lecroa Raom bestimmt, welchen man in dnem 
von seinem Schwerpunkt vorscbiedenen Pnnkt befestigt bat. Wir . 
haben demnach das Theorem; | 

„Der Schwerpunkt der mitgeführten und der eigenen TAassa 
eines in einer schweren iDComprcssiblen Flüssigkeit frei beweglichen 
schweren Körpers von regelmässiger Gestalt aber beliebiger Massen- 
vorteilnng bewegt sich wie der Schwerpunkt eines festen Körpers im 
leeren Raum in einer Parabel. Während aber im leeren Raum die 
Rotation eines festen Körpers um seinen Schwerpunkt so beschaffen 
ist als ob gar keine änsacren Kräfte wirkten, rotirt der Eürper in 
der schweren FlflBsigkcit um den genannten Fankt in derselben Weise, 
wie im teeren Räume ein gewisser schwerer Körper, von welchem 
ein vom Schwerpunkt verschiedener Punkt befestigt ist 

Fassen wir das Gesagte noch einmal zusammen, so ergiebt sich, | 
dass der Einlluss der Flüssigkeit auf die Bewegung eines festen Kör- 
pers regelmassiger Gestalt in ihr,"abgesehen von der Modification der 
äusseren Kräfte nach dem Gesolz des Arcbimedes, anfgefasst werden 
kann als eine Vermehrung der Masse und der Trägheitsmomente, 
verbunden mit einer Verlegnng des Schwerpunktes nnd des Systems 
der Ilauptträgheitäachsen. Das gilt selbstverständlich auch dann 
noch, wenn der feste Körper durch irgend welche Vorrichtungen an 
der freien Bewegung gehindert ist, wenn er z. B. gezwungen ist, sich 
rotatiODslos in gerader Linie zn bewegen, oder wenn er sich ledig- 
lich um eine feste Achse drehen kann. In den beiden genannten 
Fällen ist sogar die Möglichkeit, den EinSnss der Flüssigkeit anf 
9 Körpers in der genannten Weise zn beschreiben, i 



M eÜMT ÜKompresnbeln FlütstgkeiL 167 

licht IQ die Bedingung der regelmässigen Gestalt geknüpft, sondern 
^t, wie Herr G. Nenmann ^) nachgewiesen, hat flELr beliebige Körper, 
»bald nor Toransgesetzt werden darf, dass der von der Flflssigkeit 
erMte fianm einfach zusammenhangend ist Es mag dem Verfasser 
dieser Abhandlang zum Schlnss die Bemerkung gestattet sein, dass 
disielbe auch noch bei einem höheren Grade von Freiheit der Be- 
wegQDg gilt, nämlich bei der Rotation um einen festen Punkt Wenn 
keine ftossere Kraft oder nur die Schwere wirkt, so ist das Problem 
der Rotation eines beliebigen Körpers im wesentlichen identisch mit 
dem entsprechenden Problem für den leeren Raum ; das Yorbanden- 
sein der Fltlssigkeit bewirkt einerseits eine Vermehrung der Träg- 
heitsmomente und eine Drehung des Systems der Hauptträgheits- 
achsen ftlr den Rotationsmittelpunkt, andererseits nach dem Gesetz 
des Archimedes eine Verminderung des Gewichtes und eine Verlegung 
des Schwerpunktes. 

Berlin, 1887. 



1) C Nenmann, Hydrodynamische Untersuchungen. Leipzig 1883. pag. 
79 ud 84. 



Prinoipien der n diincnsionalen Ciirventheorie. 

Von 

R. Hopp«. 



§, 1. ADordnuDgen. 

Die Lage eines Punkts variire mit « (vorbehaltlich erklärter 
BestimmuDg) nnabbäsgiguu Grössen, die wir als Coordinatcn bezogen 
auf u orthogonale Axen auffassen. Sind diese Coordinaten särottich 
Functionen eines Parameters, so erzeugt der Punkt eine Linie t. 

Bei Normirung der Eigenschaften dieser Linie lassen wir ttns 
von folgenden, in der Banmcnrventheorie gemachten Erfahmogen 

leitet 

1) Fast alle allgemeinen Bestimmungen lassen sich mit An- 
wendung einer einzigen Coordinate, welche vermöge ihrer beliebigen 
Lage alle übrigen vertreten kann, zum Ausdruck bringen. In gegen- 
wärtiger Darstellung sind ancb die wenigen Ausnahmen vermieden. 
Wir werden jeden Punkt durch eine Coordinate, jede Kichtung durch 
den Richtnngscosinns bezOglich auf eine Aiie bezeichnen; £iV soll, 
wo keine Summationsgrenzeu dabei stehen, und N Function von 
Grössen, die von der Lage jener Axe abbangen, ist, die Summe aller 
Analogen bezüglich auf alle » Axen, und 



: ■A'iA'», 



. N^ I 



die Determinante des Systems bedeuten, dessen erste HoriKontalreiha 
allein ausgeschrieben ist, während die abrigen als Analoga darana 
hervorgeben. 

2) Die Ranmcur\'entheorie hat gezeigt, dass die allgemeinen 
Probleme sieb sehr vereinfachen, wenn man das Bogenelement and 



I 



Hoppe: PrindpUn der n dimennonaUn Curtfentkearu, \QQ 

mit ihm alle Lineargrössen Torerst ellminirt Die Elimination toU- 
ziehen wir, indem wir die Cnrve nicht als Ort eines variaheln Punktes, 
sondern als Einhüllende einer Tangentenschar auffassen und die Tan- 
genten durch gleichgerichtete vom Anfangspunkt ausgehende Strahlen 
ersetzen. Da alsdann die actuellen Tangenten, Normalen u. s. w. 
nicht Torkommen, so werden wir (abgesehen von einer Torbereiten- 
den Betrachtung) der Kflrze wegen die gleichgerichteten Strahlen so 
nennen. 

3) Gleichwie in der Raumcurventheorie wenden wir den Krüm^ 
mungswinkel x als Parameter an und bezeichnen die Differential- 
qnotienten einer Function N nach t durch 

N\ N'\ ... NW 

Die Grösse t ist dann der vom Endpunkt der auf dem Tangenten- 
strahl abgetragenen Strecke = 1 erzeugte Bogen. 

4) Es l&sst sich leicht bemerken, dass alle Glieder einer Beihe 
schon durch Anfangs- und Endglied 

JVpf • • • xVji 

kenntlich sind, wenn Nq zugleich als allgemeines Glied aofgefasst 
werden kann. Ist 9<i>, so hat die Keihe kein Glied, und ihre 
Summe ist null. 



§. 2. Osculirende lineare Gebilde. 

Ein Gebilde B oscnlirt in mter Ordnung ein Gebilde il im ge- 
meinsamen Punkte P, wenn ein Punkt auf A im einfach unendlich 
kleinen Abstand von P einen unendlich kleinen Abstand mehr als 
mter Ordnung von B hat 

So oscnlirt in 1. Ordnung die Tangente, in 2. Ordnung die 
Schmiegungsebene , in 3. Ordnung der Schmiegungsraum (für 4 Di- 
mensionen) die Curve, weil der Nachbarpunkt des Berührungspunkts 
auf der Curve bzhw. um eine Unendlichkleine 2., 3,, 4. Ordnung 
von den genannten linearen Gebilden entfernt ist 

„Die osculirende lineare mdehnung Em ist der Schnitt von n--m 
(n— l)dehnungen einzeln ausgedrückt durch die Gleichungen: 

I / ... /-(^-i) i-a? /(HD .../(— 1) 1-0 (1) 

(X — m, ... n— 1) (2) 

wo ^ den erzeugenden Punkt von Em^ x den gemeinsamen Punkt 
von Em und der Curve «, und f den Bichtungscosinus der Tangente 
an « im Punkte x bezeichnetes 



Vö'p'ptijKnapteii dtr n dimfuiaiaUn CarMnlhtorit. 

Um dies za beweisen, sei |, ein Fankt der Cnrve für den Bogen 
«-f&. Dann ist dessen uormaler Abstand von der liuearen (n — 1) 
dchnung (1) 



kx = 



. /(i-1) j|_a; /"(Hl) 



. /(-'i I : M 



(3) 



wo Af die Quadratwurzel aus der Quadratsummo der CocfBcionten 
der Analogen vou £, — x bedeutet. Eutwickelt mau £, nach dem 
taylorschou Satze, eo erhält man; 



!.---> 



'-+■ 



wo R ein endlicher Mittelwert von 



3i+ii 



bis 



I gyj:, bei Variation i 
«-j-3s ist. Da nun s- =/", so wird J, — x von der Form: 

Nach Einsetzung dieses Wertes in Gl. (3) heben sich die l 
Reibenglieder als proportional den Yorhergehenden Verticalreihen der 
Determinante, und es bleibt nur der Best, nämlich: 



-(i+l)! 



f ... ! tl-i) Ä/1*+i) .. . /(»-» : M 



Nun ist nach der Bestimmnng (3) l-f-^ ^ f"* folglich sämtliche hi 
nnendlich klein mehr als fnter Ordnung, folglich auch der Abstand 
von £i und £»,, soweit ttberbaopt die genannten (n — l)deluiQngen 
einen m dehnigen Schnitt haben. 

Nachdem hiermit der analytische Ausdrnk der Oscnllrendcn foet- 
gcBtellt ist, verschieben wir i'« bei unveränderter Stellung so, dass 
der Funkt ^ in den Anfangspunkt rUckt, und bezeichnen mit d er 
oscnlirenden lineiaren mdehnnng Em die durch die Glejcbaogen 

\r ... r(?-i)|A^+') ...;'(»-") 1-0 {A = m, ...«-1) 

ausgedruckte. 

Diese n — m Gleichungen werden erfüllt dorcb die Worte 

? = /, ... /t— 11 

sowie dorch jeden linearen Complex derselben ; nmgeke hrt i 
bestimmt durch die m Strahlen f, ... Cf"-'i. 






Beppti Pnndpitn dtr n dimtaäonakn Curi!*ntitorit 171 

Liegt irgend ein Strahl in £», so hat sein Richtnogscosinus die 
Form 

wo «, ... vm-1 lavarianteD bezeichnen. 



S. 3. Orthogonales begleitendes Äxonsystem. 

Innerhalb Em gibt es auf Em-i im Anfangspunkt nur eine be- 
eümmtc Normale , deren Richtnngscosinus /» sei. Bestimmt ist sio 
dadorcb, dasa sie aaf den m— 1 Strahlen f, .../(■"-^l senkrecht 
steht Die Bedingungen sind also einerseits: 

£ff„ = 0; ... r/f— »)/■„ = (4) 

andrerseits, sofern sie in £^ liegen soll: 

M„fm^ £ Ax.mß>-^ (5) 

X=0 

wo Mh sich durch die Bedingung 

£fm* - 1 (6) 

bestimmt, nachdem über den willkürlichen Factor der A verfügt ist. 

Fuhrt mau den Wert (5) in die Gl (4) ein and setzt 

p.,, = ZfMfii.) (7) 

»o orlUUt man: 

~£~ Ax,„go.x = 0; ... ^i Ai,„Q„-2.3i (8) 

Fttgt man zu diesen m — 1 Gleichungen als mto die Gl. (5), so 
gibt die AnSöBong; 

-«"«/U - I : I (9) 

I pii.-I,0 . . . e«-l,m-3 ^<"-l> I 

Ideutificirt mau diese Gleichung mit Gl. (5), so drückt sie die Wert« 
von Ax,^ in Unterdeterminanten aus. Von diesen Coefficienteu haben 
die znei letzten besondere Bedeutung. Sei deshalb 



172 



Hoppe; IHtdpkm der n dÜMntümahn Cturvmtikeorie. 



Hm = 



^.0 



^pM-S 9(M»-1 



^m-2,0 ... Pm-2,m-4l PM-2,m-l 



G^ 



Dann i8t 



^.0 



90. 



PO.m-1 






Nach Gl. (6) hat man zur Bestimmung Ton MmX 

x=30 A=0 



Die Gl. (8) und (9) geben: 



A=0 



(«<m-l) 
iTm (x — m— 1) 



folglich ist 



•A^m* ■■ '^fn-l.mi^ffi = Jfi»^»-! 



(11) 



(12) 



(13) 



(14) 



(15) 



Der Strahl /m steht als Normale von JE^m-i auf den Strahlen /, 
ftf ... /»-i senkrecht Dies snccessive anf /s, /a, ... A angewandt 
ergibt, dass die n Strahlen f^ f^^ /,, ... /n ein orthogonales System 
bilden. Wir nennen dasselbe gleichwie in der Baumcnrventheorie 
das begleitende Axensjstem, den Strahl fm die mte begleitende Aze, 
so dass ti die Tangente, f^ die Haaptnormale, f^ die Binormale, /« 
die Trinormale u. s. w. darstellt. 



§. 4. Differentialformel fflr die Richtungscosinas 

der begleitenden Axen. 



Differentürt man 61. (5) nach t, so hat das Resultat die Form : 

(16) 



A=0 



und der letzte Coefficient den Wert: 



Bm- 



■^.»—1 ,1 

Mm 



Km-l 

M^ 



Nach Gl. (9) ist 



Mm ^/("-»)/« - Em 



(17) 



(18) 



SöppBi Dritte^itH der n dimmMumdUH CkrvtnAeoriB, 



173 



Differenüirt man die Gl. (4) nebst dieser, so kommt: 

(« — 0, ... I»— 2) 



\Mm) 



(x-m-1) 



nnd zwar ist nach Ol. (4) (18) 

. 

( Mm 

und sei - (^)' - 
Dann hat man; 



(x «0, ... m— 3) 

(% = m— 2) 

L f ttr X — m — 1 



(19) 







(» = 0, ... m~3) 



£f^'Vm - F BaPx.A - ! - S^ (« - «* — 2) 

( L (x«m — 1) 

Za diesen m Gleichnngen kommt als (m-(-l)te die Gl. (16); dann 
ist die Coeffidentendeterminante nach Gl. (9) 

«nd die Anflöinng des Gleichungssjstems lautet: 

Mmi-lfm^l Bx — 
90,0 M- PO^m-S ^.iN~2 ^.M-1 f 







9A-1^ ,.. ^A-l.m-S pA-l,m-a PA-1.»-1 /^^"~*> 
^A+l^ ... ^X+Lw-S PA-|>l»»»-2 PA4-I,m-1 /'<^+^) 



das ist f&r il » m nach Gl. (17): 



/•("•) 







Km^\ Jlfm-f 1 
Mm 


fw^l — 








1 9010 

• 






• 
• 


^m-2 

• 
• 


• 


• 
• 




• 


1.0 


• 

... pm— 1,«-3 


• 

Pm— l.m— 2 




• 

-1 /("- 


-1) 







... 


lfm 


I. 


/«• 





174 Hopp 91 PrinapiM d§r n dS m muiom R tH C t uvnAM r k . 

WO 

^.0 ... QO,m^ ^m-l f 



^'«F. 



• • • 

■ • • 



(21) 



gesetzt iit, uod A» durch die Gleichung 

£Fm^ - 1 

all BichtuDgscoiinus eines Strahles bestimmt werden soll. 

Multiplicirt man Ol. (20) mit fm, so gibt die Summe der Ana- 
logen: 

0:=^-L-^N^£fmFm (22) 

und da tuush 61. (21) (11) 

N^SfmFm^^l— (23) 

ist: 

ii--Ä.(^y (24) 

Jelst lautet Gl. (20): 

Vom Strahle F. ist einerseits aus GL (21) n ersehen, dasa er auf 
den Strahka ^ ... /v"»-<> und p^^^^y mitkia aack aaf detgeugen, 
deNta Richtaagscosinus lineare Complexe derselben sind, senkrecht 
siekt Soicke Complexe sind aber nack GL (4) /„ /i, ... /..s- 



Aadrerseita seigt GL (4X dass die Steklen 

tm\\y ... fm 

aaf aUen Sliaklen seakrecki staken« deren ftakta^snwlaas linenre 
OMiplexe Toa 



siad. JClkia aaek aaf dm Snakk F». 

PiMunck sliAl Tm aaf alkn ktfi^Witinita Ixaa scnkrcckt 
tm aad ^w-i^ I\)lglkk kst es di» Fw« 

w« di# latariaann a. jt di» CWarkm^ 



Boßp*: Prine^ineH der n dÜMnäionaUn Curtfentkeone, 175 

a^' 2fmFm\ ß-^ -S/«-i J^m (26) 

Ectwickelt man fm und fm^i nach Ol. (5), so kommt: 

MmNm a^ Z A},m Nn, £ß^) F« - - ^m-2.m Km 
A-0 

also nach 61. (13): 

l fm Km Q Km Km— 2 

daher wird 

ond nach 61. (25) 

■f ' Km~AMm\-\ Km Km^2 

^-"' Km Mm f^""^ -^ MmMm^^f""^ 

oder nach 61. (15> 



fm — p /in-hl — — i? fm—\ 

Sei, nm nachträglich Nm zu berechnen, 



(28) 



N^Fm- £ Cxfi^) (29) 

dann ist Ca als Coefficient von f(^) in 61. (21) bekannt, aus welchem 
man ersieht, dass 

ist. Daher wird 

x=o A=o 

— - Cm^2Km = Gm Km (31) 

nnd nach Einsetzung der Werte von Mm^ 3fm-i, Nm in 61. (27) 

Ai /m — y Km Km^2fm—l ,nt%\ 

woraus beiläufig die Identität: 

GmKm^l == Hm^+KmKm-2 (88) 



176 Hoppe: Primdpiem der n dimemnomaUm CmrwemAegrie, 

Sei ferner zur Abkflrzang 

VKm^l Xm -l (34) 

dann lautet Ol. (28): 

fm' - Pm/mf 1 — A.^1 /m-1 (35) 

und zwar ist ist Pq = 0. Mnltiplicirt man mit fm nnd sammirt 
von m i— 1 an, 80 kommt: 

Tfkfk'^Pmfmfm^l (36) 



§. 5. Krümmungen. 

In der Ranmcurventheoric werden die Krümmungen durch die 
Contingonzwinkel der Tangente nnd Schmiegungsebene gemessen 
Will man diese osculirenden linearen Grebilde jß^, E^ dnrch ihre 
Normalen ersetzen, so zeigt sieb, dass die Normale der Tangente 
nur dann gleicbe Winkel mit dieser erzengt, wenn sie sich längs 
der Schmiogungsobene bewegt. Die Hauptnormale entspricbt dieser 
RoiUngung nicbt: indem sie sofort ans der Scbmiegungsebene ber- 
austritt^ bildet sie einen andern Contingenzwinkel, namlicb den, wel- 
cher die TotalkrOmmung bestimmt Für ebene Cunren sind beide 
Winkel gleich, weil die osculirende Ebene fest ist Ebenso erzeugt 
die Normale der Scbmiegungsebene gleiche Winkel mit letzterer, wei 
der osculirende Kaum fest ist 

Wemlen wir dies auf Curveu in der festen linearen n dehnnng 
au, deren eeculiroude lincanc Gebilde £|« . . . £;i-i yariabel sind, so 
haWu wir »w^i Bci^ff^ tu unterscheHieB: Krümmungen sdilechtbin 
und Tot^krtmiuun^en« wrkhe wir m Ibigeiideniiassen defiuiren. 

lVviaii<Ni de« Single» *« beissl der Winkel zwiadieo den Nor- 
WMÜ^ auf d«r OMnIirv'iKieu hueanni (»--Ddehuung £;.-i und ihrer 
l\^Mieculi\V4i luueriMdb X:«^ :^ ^ li^Mtc^uei dirdi ^»-i. DieOrttaseo 

^"^^ ^ • ^ 

li<4»iMi ^ «*i«^ Krawiaui^r. <äa$ ,m--l>v KitmMwgwqrhiltaisa^^ 

^^Ma ^MiMe >KiNt M«M<«a OVcaM<i«t:;nmi. m iKowlaNt 4Htk d€m — %- 



Hoppe: Ptineipien der n daumhitdUn CurvmUkeorU, 177 

heissen die mte Totalkrttmmang, das (m— l)te Totalkrttmmnngs- 
verhältniss, der mte Totalkrflmmnngswinkel. 

Es ist nan zaerst die Deviation von fm als Winkel zwischen 
den zwei Strahlen 

fm nnd fm-^rfpm^x 

zu berechnen. Sofern letzterer in Em liegt, mnss sein Richtungs- 
cosinns die Form (5) haben. Man kann daher setzen: 

(Mm + nmdt)(fm + fPmdx)'^ £ (Ax,m + Sxdt)f^^) (37) 

Dann gibt die Quadratsnmme der Analogen: 
(Mm+nmdt)* - Mm^+2Mm^dx - 

""iT (Ax^m + ÖMBt) "T (Ax.m + ildt)Q,,x 
x=0 XzzO 

— "iS " i" (^x,m Ax,m + M, AX,m Bt) Qm.X 

x=0 A=0 

worans, da der Wert von Mm* bekannt ist: 

Mmnm = im-l Km (38) 

Die zweite Bedingung ist, dass der Strahl fm+^mdt auf den 
Consecutiven der m — 1 Strahlen 

f(M) (^ = 0, ... m — 2) 
d. i. auf den Strahlen 

fOi)J^.f{M-^i)dT (fi = 0, ... m— 2) 
senkrecht steht Es mnss also sein 

0—2; (Ax,m + 8xBt)(QKu+QX^-^\dt) 

x=o 

Xzzm^l 

mmdt £ (Ax,m ^A,/uf 1 + *^ (>A,/u) (^ — 0, ... m — 2) 
das ist 

,fo ''^'^^-\^Km (M = m-2) 

Eine mte Gleichung erhält man aus (37) nach Subtraction des von 
9t freien Teils, nämlich: 

Axek. a«r lUtlu v. PliTi- ^ B«flM, T«ü TL ^"^ 



j 



178 



Hoppe: PrincipUn der n dimensionalen Curventheone. 



und nach Anflösnng des Systems, dessen Coefficientendeterminante 



Mm fm ist : 



ix Mm/n 



das ist fQr iL 



• • • • 

• • • • 

... — Km ytmfm-^Mmfpm 

pA+1.0 ... pA+l.m-3 tf A+l,iii-2 /^^+^> 

• • • • 

• • . • 

• • • • 

m — 1 



Nach 61. (30) aber ist 



folglich 
woraus : 



A iLf Mm^ ^ 



Km^lMm^m'{'KmMm^lfm^l ■= 
V Km Km^2 



(pm "» — 



Km^ 



m-1 



/m-1 



(39) 



Demnach ist die Deviation von fn 



und das (m— l)te KrQmmangsverhältniss 

Am 



(40) 



(41) 



Fuhrt man diesen Wert in die Differentialformel (28) ein, so 
lautet sie: 

Bfm « /m+l dXm — fm^l Bvm^l (42) 

und um Anfang und Ende der Reihe sichtbar zu machen: 



9f, = 






Bfn^l =» /"» 8Tn-i — /n-2 8th-2 



Hopp€i PrmdpUn der n dinunsionalen Curventheorü. 179 

ierans ergeben sich nach der Formel 
ie TotalkrflminnngsYerhältnisse: 

tf'm-SJ« - t«'«+t'«-i« (43) 



inzeln : 



IF«'« = T/« 



and in inverser Entwickelang: 

x'J^z'^ (-l)m-»-i a'i* (44) 

worans zwischen allen Totalkrümmangen die Relation hervorgeht: 

*'2"^ (-l)»tfk'« = (45) 

Die Formel (42) stimmt mit der in der Theorie der dreifach 
gekrümmten Carvea (Grün. Arch. LXV. p. 337 61. (9}) auf anderra 
Wege hergeleiteten üherein. Dass sie für jede Dimensionszahl gilt, 
ist erst jetzt hewiesen. 



§. 6. Redaction der Invarianten. 
Die nn Invarianten qx,X redaciren sich zunächst wegen qk,x^qx,x 

auf Jii(n-f-l). 

Ferner erhält man durch Differentiation der 61. (7) , wenn man 
der Kürze wegen 

Qx,x =• Qx 

setzt: 

pjk(2*) = (2ä)a ^jk+A + 2 -S"^ (2h) X Qk fA,»+?* -A (46) 

p»(»+i) - 2 i" (2Ä + l)x QkH*^2k^ 1-A (47) 

^^ 2 Relatioen reichen hin das in das Quadrat geordnete System 
(10) anf die n Werte der positiven Diagonale und deren Dififorential- 
^üotienten linear zurückzuführen. Die erstere Formel enthält nur q 
von gerader, die letztere von ungerader Indexsurame. Die Auflösung 
^ erstem 61eichangssystems lautet: 

12* 



180 Eoppt: PrindpUn der n di$MnnonaUn Curtfenikearie, 

Zum Beweise setzen wir fttr den Differentialqnotienten den Wert 
(46) ein, dann kommt: 

*W+« " ,f„(-l)*+*Ä^A(*+*)«{(2A)iJ»+» 

fi=0 

x=o 

ju— 1 '* "Vr X=2fi 

Nun ist 

1 « (l + a;)-*-^(l + a;)*+^ - 2? 2; (— Ä—fi); (* + !•)« aj«+^ 

A=0 x=0 

A=« x=A-f/i+A 

^ £ Z (— Ä — f*)A(Ä + f*)x-A»* 

A=0 x=A 

— ^«« ^ (— Ä— |Ä)A(Ä+fi)x-A 
x=0 A=0, X— A— /u 

X=:aO Ä=X+;U 

— J?af* 2: (— Ä — |Ä)A-u(Ä+f*)A-x+A 
x=0 A=|i,x-* 

also der Coefficient von a:*-^' 

A=A < (tt <! Ä) 

^2: (-Ä-^)A-/i(Ä + f*)A+/i - { j J2-/) (49) 

insbesondere für /» = 

Z(-Ä)A(Ä)A=-0 (Ä>0) 
A=o 

Hiernach wird Gl. (48) identisch erfüllt 

Aus der Lösung von Gl. (46) ergibt sich leicht die von Gl. (47). Sei 

A=A 

woraus durch Differentiation: 

X=h 



Boppet PrmapUn der n dtmensionaUn Curvntheorte, 181 

Fftbri man zur Linken die Werte aus 61. (48) ein, so ergibt sich : 
Demnach ist 

Ä=A 2Ä-I- 1 

Femer sind die folgenden Anfangswerte bekannt. 

Tabelle fdr qx.x 



n 


k 



1 


2 3 





1 





-1 


1 





1 





2 


—1 







3 










woraus: 

JTi — 1; Jrg=l (51) 

Sind non t*^ t",, ... t^m-i gegeben, nnd man setzt 
so wird nach Gl. (41) 

daher 

oder direet 

Km - (t',— »t',— 3 .. . t'«-!)* (52) 

Femer Iftsst sich 61. (10) schreiben: 

Km — Xm-1 pm-1 + Qm (53) 

WO C2m ans Elementen besteht, deren 2 Indices eine Summe <2m— 2 
haben, die sich s&mtllich nach GL (48) (50) auf 

^» Pl» ••• Pm-2 

und deren Differentialqnotienten redudren lassen. Sind also alle K 
fala Km und alle Elemente der Diagonale bis pm>2 bekannt, so er. 
gibt sich ^».1 dnrch GL (53). Die voraosgesetzten p aber erhält 
fP^n aaccessive dnrch die Gleichungen 

K^ — K^Qt 

• • • 

• • * 

• » • 

Das Be«i1t«t laotet: 



182 



Hoppe: Prindpitn der n dunenstonaUn Curventheorie, 



Durch die ErQmmungSYerhältnisse bis r'm-i sind alle Elemente 
der Determinante, welche Km ausdrückt, bestimmt und lassen sich 
nach den Gl. (52) (53) (48) (50) daraus berechnen. 



§. 7. Curven constanter Krümmungsverhältnisse und 

constanter Krümmungen. 

Sind alle n— 2 Krümmungsverhältnisse V, ... t'h-i coustant, 
so sind nach §. 7. auch alle p, mithin alle Coefficienten A constant 

Sei nun die lineare (n — l)dehnung £n~i fest, mithin die Cnrve 
nur (n — 2) fach gekrümmt. Dann kann man deren Normale zu einer 
Coordinatenaxe nehmen, während die n— 1 übrigen in En^i fallen. 
Diese Normale hat aber die Richtung des Strahles fn] folglich sind 
alle Analogen von fn bezüglich auf Axen innerhalb £n-i null, und 
Gl. (9) ist nach Substitution von n für m homogen linear in 



f. 



/(n-l) 



Hier ist indes n die beliebige Dimensionszahl, die der ganzen 
Rechnung zugrunde liegt. Man kann dafür auch n-j-l schreiben. 
Dann geht die Annahme, dass ^-i fest sei, in die ursprüngliche 
Voraussetzung einer festen linearen ndehnung £m über, und die Spe- 
cialisiruug ist keine mehr. Wir haben gemäss 61. (9), worin 

> n-{-l zu setzen ist: 



m 



Q0,0 .•* QO,H-l 



/ 



^H,0 ... Qn.H'^l /(••) 







(54) 



und da nach Gl. (48) (50) für constante q 

Qk.k^2k — (—1)* Pk+A ; PM+2»-|-l — 



ist: 



(55) 



Qo Ö — pi . . . / 

Qi — p, .../" 

— p, ps ... r 

-P, Pa .../• 



= 



(56) 



/t»i) 



An dieser Gleichung bemerkt man, dass der Coefficient jedes 
^(H-i>A-i) null ist In jedem Terme der Entwickelung einer belie- 
bigen Determinante { px.A | ist nämlich die Summe der Indices 
In-^lk eine gerade Zahl Tritt nnn an die Stdle Ton ^^i wie bi 



ßoppe: Ptmdpien dtr n dmensionaUn CurventheorU. 



183 



(54) /<*), so rnnss f&r ungerades n— x auch mindestens ein Element 
jedes Tenns der Unterdeterminante eine ungerade Indexsumme haben, 
d. L nach Gl. (55) null sein, woraus das Gesagte folgt. 



Hiemach 



Ol. (56) far gerade n — 2v: 



9o —Qt 
9i 

— ^ Qt 

. m • 

• • • 

(—" D'P, 6 (-l)»+»PHi 
für angerade n^2v-\-l: 



/ 
. (-1)»+»^, 

f" 

m m 

m • 

6 /(2») 



«0 



(57) 



9o 
*, 

—9i 

• • 

• 9 


-p, ... (-1)»+!*, 

... /' 
p, ... (— l)»pi.+i 

■ • . 


6 (-i)'vfi 


o' ... z^' 







(58) 



Die Yolbtftndigen Integrale beider Gleichungen sind von der Form 

wo die C ganse Functionen von t oder constant, die il constant 
und durch bekannte Gleichungen bestimmt sind. 

Da nun / die Grenzen ± 1 nicht überschreiten kann, so können 
die A nur rein imaginär oder null und ungleich, die C nur constant 
sein. Sei ^ — diMr; dann sind die a fOr gerade n » 2v die Wur- 
zeln der Gleichung: 









9i 





(-1)> 



— Pl 





1 

(— 1)»+V 
— «« 

b (— l)*'a2» 



= (59) 



für nogerade n = 2v-}- 1 die Wurzeln der Gleichung: 



9o 


— ^1 





9i 




— Pi 






(-I)'P^ 


(-1)^-1^+1 







1 





(-1» 

(. 



(—!)•+ Wi ... 
-l)*PH^i 



• • • 



(-l)»aa» 
^ 



(60) 







Die IntegrationsconstEDlen C mllssGO der Gldchang 

ODtsprochcn. Doch genügt es cid speciclles Systom vou nn Werten 
der C aufzuBtcIlea , da dio allgemeine Lösung durch Co ordinal en - 
transforiuation daraus horvorgchL In oinfachster Form können wir 
setzen fUr n := 2v: 

/■=acoa(ojlT), cimaiaxz) (i = l, ...v) (61) 

für n-Sv + l: 

/■—Co, ciC08((rii), cAsin(ojT) {k=l, ... v) (62) 

und die Bedingnng 

c,»+ . . . cv' - 1, resp. V+ ■ ■ ■ «f* = 1 

dnrch beliebige Anordnung erfüllen. 

Sollen nun sämtlicho Krümmungen constant sein, go kommt bei 
unveränderter Bcstimmang des begleitenden Axensystems nur noch 
dio Gleichung hinzu: 

(' _3 r — const 

und man orb&lt die Coordinatenwerte bzbw. für gerade und unge- 
rade n: 

« - ^^ Bin(a; t), - ^J C05(«A i) (63) 



— sinfBAr), 
1-- 1 ... 



-jCOS(BAt) 



(64) 



Eine Curvo, deren erste m Krümmungen constant nicht nnll, 
deren übrige KrOmmungen noU sind, hcisao Spirale mter Ordnung. 

Eine Spirale mter Ordnung (für m < n— 1) ist nur ein Special- 
fall einer Spirale (n— l)tor Ordnaug, in den dieselbe Qbei^eht, 
wenn mau i^'nfi fest annimmt, wobei t'^^.], ... i'i.-i verschwinden. 
Das CoordiDatouBxensystem behält beliebige Stellung, doch lassen 
sich ut-f 1 Aien in £«)> '^^i ind so die übrigen Coordinaten ent- 
behrlich machen. 

Eine Spirale jeder Ordnung ist, wie die Gleichang zeigt, sich 
selbst in allen Teilen congment und lAäSt sich in sich selbst ver- 
Bcbiobeo. 

Eine Spirale mter Ordnang, welche mit einer C&rre < einen 
Punkt nnd in diesem alle b^leitenden Axen und alle Krt mm niigeB 



Hopp*: PrmdpUn der n dimttuiomaUn Otrvtmtkearu» lg5 

bis nur »teo gemein hat, heisse mte Krümmangsspirale von t fftr 
jenen Pnnkt Sie reprftsentirt demnach die m ersten momentanen 
Krflmmnngen Ton t dnrch ihre constanten KrtUnmnngen. 

Die Aufgabe der Coostraction aller Krammnngsspiralen einer 
g^gebenoi Gurre fAr jeden ihrer Punkte ist im Vorstehenden ge- 
Utet: man hat erst aus den Krümmungen der gegebenen Cnrve nach 
S- 6. die p, ans diesen die a zu berechnen und diesen gemäss die 
Spirale zu bestimmen, endlich die Spirale in die erforderliche Lage 
n bringen. 

Die Bestimmung der a ergibt fftr die kleinsten Dimensionszahlen 
Folgendes. 

Fftr »-2 wird 61. (63): 

l.-««-.0 

woraus als Spirale 1. Ordnung: 

««rcosT, rsiBT 
das ist ein Kreis. 

Fflr » - 3 wird GL (64): 

(^-l)«(««-^)-0 
worans als Spirale 2. Ordnung: 

x->rTC08/7, r sin/3 cos (V/i^t), r sin/fsin(V^PsT) 
das ist eine Schranbenlinie. 

Fftr »«4 wird GL (63): 

(ei-^*){^-i)«*+(pi-^«*+es-fiM -0 

Sind ±«1, ±«1 ^G Wurzeln, so wird die Spirale 3. Ordnung: 

» =. - cos^sin(ai t), — ^ cos/3cos(a, t) 

-sinPsin(«,T), — j^sin/Jcos(«,T) 

Jede dieser Spiralen Iftsst sich auch als KrOmmungsspirale einer be- 
liebig mehrüach gekrfimmten Cnrve verwenden. 



r Theorie rfer &hlü$rung>!probltmi. 



Zur Theorie der Schliesaungeprobleme. 



Emil Oekinghaus. 



lOC^^ 



Die aaa der Verbindang der elliptiBcboa lutegrale nad FaoC' 

tionen hervorgehoiideu Schliessungatheoreme gewiuoeu eiu um so 
höhercB Interesse, als jeder zur Erforschung dieser eigenartigen Ge- 
bilde eingeschlagene Weg ueue Gesiclitsimukte eröffnet. 

Der hier gewählte Weg nimmt spiuen Ausgangspunkt von der 
auf das Additionstheorem der ellipUscheu Integrale erstor Art sich 
beziehenden Relation von Lagrauge, da ihre die Amplituden dicaer 
Integrale cutholtendeu Ausdrücke Producta von Wurzelwertea be- 
stimmter Gleichungen darstellen, welche jene BeJalion in eine Kegel. 
schnitta- oder höhere Gleichung transformiren. Die AnsfUbmng 
dieses Grundgedankens führt auf manche ho merkenswerte Beziehuagen 
namentlich confocaler Ellipsen , sowie auch zu einer neuen Methode 
der geometrischen Addition der elliptischen Integrale, welche viel- 
leicht einige Aufmerksamkeit verdient. Da die Integrale der Pendel- 
bewegung sich zwanglos in der Untersuchung verwenden liesaen, eo 
haben wir sie in den Kreis der Schliessaugstheoreme hier aufge- 
nommen. 

I. 



Ein Punkt in der Ehenc e 



r Ellipse, deren Gleichung 



Otktmghaus: Zur I%eorU der SehliessungsprohUnu. Ig7 

ist, sei durch die Polarcoordinaten R(a) bestimmt. Wir ziehen die 

beiden Tangenten an die Carve und bezeichnen die Coordinaten der 

BerOhmngspnnkte zy vermittelst Einführang der excentrischen Winkel 

9 allgemein durch 

« — ■ r sin 9>, y = & cos fp 
Da nun 

bhi y — JSsina 

ist, so erh&lt man durch Einsetzen obiger Substitutionen aus letzter 
Formel die Beziehung 

also die Gleichung 

2) 6«(Ä«C08a«— a«)tgg>«+aÄÄ«sin2tttgg)+a»(Ä«sina« — 6«) « 

Da Ausdrucke wie siuejo^sin^^j, cos^icos^s später häufig zu berechnen 
sind, so bemerken wir hier, dass aus der Gleichung 

atg9* — Ätgy+c — 

die genannten Formen aus folgenden Relationen 

sich ergeben. Aus diesen oder auch den nachfolgenden Gleichungen 
(a*8in«*+^cos«*)8in9* — 2^cosa.sing> + "gä — a^sin«* ■= 

(a*8in«*+**cosa*)cos9* — 2-« sina. cosg)-}- -^ — &*cos«* =» 
finden sich demnach leicht die Formeln 

-pj — a* sin a* 
sin g^i sing),- a>8ina'+&'coso> 

-^1 — Ä*C08a* 
C08g>iC0S9, =- a»sina»+Ä^cos«* 

Das genannte Additionstheorem 

Pdfpt Pdfp^ _ rdc_ 

basirt nnn auf der Formel von Lagrange oder Euler: 



^ 



188 OtkiKi/haHt! Ztr Tiarit dtr SehlittMiiigMprMmm. 

und der Zweck unserer Unterauchungon gründet sich anf die Snb- 
stitutioQ der obigou Formon von Biaipcosip etc. iu diese Relation. 
Daraus gebt eine Polarglcichung für J^a) hervor, deren Garve die 
Eigenschaft busitzt, dasa die vod jedem ihrer Punkte an die Ellipse 
gezogenen Tangenten in ihren den ßorllhrungspunkten Gntaprechon- 
don excentrischen Winkeln Jder Fundamcntalrelation genügen. Wir 
betrachten biorboi den Modulus k und die Amplitude e als im all- 
gemeinen constante Grössen. 

Die Endgleichung ist nun 

3) a*A»-i»fl»i;osn'+(a*i»— n'R'sin(."j<iff"(n'fi'giua»+i»Ä*eoBa»)c08« 

und stellt in der hier gewählten Form eine Ellipse dar, auf welche 
Curvc wir nna im Folgen beschränken werden. Fflr die Hyperbel 
wäre einfach das Vorzoicheu vou Ja umzukehren. 

lieber h^ steht die Verfügung frei, demnach können wir 

'' - f' 

setzen, welcher Wert geometrisches Interesse hat 
Die Ellipsengleichnng 



i+cosö 



l + jg 



welche wir abgekürzt 



chreibon, hat nun i 



,4*+ 2}*~ 
} Eigenschaft 



woraus folgt, dass beide Ellipsen confocal sind. Da sich aas dieser 
Eigenschaft manches Bemerkenswerte eutwickeln l&sst, so wollen wir 
bei diesem Specialfall von confoc&Ien Ellipsen etwas verweilen. _H 

Wir können die Amplitude a auf folgende Weise bestimmen: ^| 

Man setie in der Gleichung l' = b, das entsprechende X findet 
mau leicht durch folgende Formel ansgcdrflckt: 

6) jf-«tgi« 



Otkingiaui! Zur Titarii der SdHaivngipriibkme. 

Wogoo 



hat man aoch 
s»d da 






1+^a 



«• 1 -|- cos u 



so folgt durch MuItiplicatioD der letzten Formeln 
d. i. wegen A*—B^=c* 



Ja = ~ '' 



A* — aV 



Ana den Axen zweier confocaleii Ellipsen beBtimmt sich dem- 
nach in Torstebeoder Art die Amplilode a, welche vermittelst b) 
leicht constmirt werden kann. Beschreibt man nämlich nm die 1. 
Ellipse den einschlieBsendeu Krois vom Radius o, so ergibt sich ans 
dem Dreieck Oax sofort die halbe Amphtudo.j 

Bemerkt man ferner, dass für die Lage des oben gewählten 
Ponktes XV d. i. Xb eine Amplitude f verschwindet, so wird die 
zweite ZQ 0, welche man findet, wenu von dem gonaonten Punkte die 
zweite Tangente gezogen wird. 

Da jede Tangente an die 1. Ellipse die nmschlies sende confocale 
2mal schneidet, so könuen von den neuen Dnrch Schnittspunkten 
wiederholt Tangeuten gezogen werddu. Wir wollen annehmen, dass 
das entstehende Polygon sich nach ein- oder mehrfachen Uml&afen 
BcbliesBt. Die analytischen Bedingungen für den ersten Fall sind 
ODD bekanntlich an folgende Relationen geknüpft: 

FQr ein n Eck hat man, wenn man beachtet, dass der (n-{-l)te 
BerQhmngspnnkt mit dem ersten zusammenfällt 



190 Oskingkaus: Zur TkeorU der Seküumag^rokUm: 

«) 



und da 
80 reaaltirt 
ivoraas 

also 



Fn+l — /(i) — nF(«r) 
F(i,+l)— -Fg =48: 



4^ 



cn — = ji p^ folgt 



Um oinige Anwendungen zu geben, wollen wir n» 3 setzen, 
und haben demnach die Bedingongsgleichung zu suchen, unter wel- 
cher das Tangentendreieck der 1. Ellipse zum Sehnendreieck der 2. 
confocalen wird. 

Zunächst ist 

/^tf) — |jr, a = am|ir 

Sotst man nun in der Definitionsgleichung 

cniicnv — sniisnvdn(ii-{-«) =cn(ti-}-v) 

•I = » — |jr 

10 orhält man 

cn}#[*-sa|#[*dn|l[ -» cnff 
Man kann die Werte von cna, Je leicht berechnen, sie sind 

4a|Je JTliM 



»<^ «im daivli 4m(W> FVomIi di^ obige Gleicbai« ftbeiigelit 
««ht w^H maa 



Oehingkans: Zur ITieorU der S^UsMsungsprobUmt, 191 






e 



ar a 

•o ergibt sich 

Die Losung der Aufgabe, zu einer gegebenen Ellipse, deren £x- 

c 
centridtät darch h^ - bestimmt ist, eine zweite confocale zn finden, 

von der Eigenschaft, dass das dem ersten umbeschriebene Tangenten- 
dreieck zum Sehnendreieck der zweiten wird, hängt von der Auf- 
lösung einer biquadratischen Gleichung ab, deren eine Wurzel 

s » -^ die grosse Achse der gesuchten Ellipse bestimmt. Zur Auf- 
lösung der obigen Gleichung bemerken wir, dass die quadratische 
Invariante gleich ist. Der Wurzelwert ist demnach leicht zu be- 
rechnen. Uebrigens kann noch eine andere Gleichung eingeführt 
werden, wenn man die obige als die Gleichung der Wurzelquadrate 

der neuen ansieht. Für « » - folgt nämlich, wie leicht nachzu- 

a 

weisen ist, 

«* — 2«»-f-2Ä?« « — «;« = 
Setzt man 

so folgt 

Nimmt man A:^ » ^ an, so wird sehr einfach 

^-i + vT+vf 

Wir benutzen für den vorliegenden Fall das Additionstheorem 
der elliptischen Integrale der 2. Art, um eine Relation abzuleiten. 
Wir haben der Reihe nach zunächst allgemein 

J5(2) — -t'(i) =» -E(a) — Ar* sin (J sin ^i sin ^j, 
^3) — -E(2) =• £(a) — Ar* sin ö sin fp^ sin g^j, 
J5(4) — £(3) «• E{ß) — Ar* sin (T sin <;e>8 sin 94, 



8) 



Ein) — -B(«-i) — -B(<r) — Ar* siu asin 91,-1 sin fpn 
-E(«+i) — £(n) = E{fl) — Ar* sin ösin (pn sin fpn\\ 



JEJ(n fi) - E[\% -» nE[fl) — A;* sin ^Z sin g^^sin ^g 
nnd da 



192 OekingkauMi Zur Theorie der SekUBt^ungtprMoM. 

worin E das Yollständige Integral| und demnach 4E der Umfang der 
Ellipse fOr a -^ 1 ist, so folgt 

9} 4E « nE{i^ — A^^sinaJ^sin^iSing)} 

Hieraus geht hervor, dass Zvaap^vixitp^ eine constante OrOsse ist 

Man hat also, da 

sin 9«+i — sin ^1 

10) sin 9i sin tp^ -}- sin tp^ sin tp^ -{- sin 93 sin 94 ... 

... sin9>N-i8in9>M-f-Bin^M8in^ -» C 

Diese Relation zwischen den Amplituden der Int^pralo besteht 
fQr alle Tangenten- und Sehnenvielecke zweier confocalen Ellipsen. 

Für das Dreieck ist die Constante C leicht zu ermitteln, nämlich 

sin q>i sin tp^ -{- sin tp^ sin ^^ -{- Bin tp^ sin ^1 » — sin <r' 

demnach ist 

4E — 3-E<<')+Ä;«sina» 

Man hat bei diesen Bestimmungen besonders auf die Vorzeichen 
der Functionen zu achten. Nimmt man sin^j negativ, so wird sin^t 
positiv, sin 93 negativ. 

Da sin 9 — - ist, so kann die oben gefundene Formel anch durch 

dargestellt worden. 

Wie vorhin für das Dreieck, so gelten fUr das 4, 6, n Eck die 
allgomoinon Formeln 

4K — ^*+2i4«a«— aV 

Cn -■ -72 S-S 9 

n A^ — ar<r 



4A: il«-2il«c« + a«c« 

n 



11) dn- = M^a^^ • 



AK AK 

FU) — ~, tf — am — 

n n 



FQr das Viereck werden diese Oleichungen sehr ei 
Die RodinguQgsgleichung ist 

w\u*aiis 

Jl> 1. a(a+i). 



0€hingkau»: Zur Theorie der SddiMtunggjprchUme, 198 

ConBtmirt man demnach zn einer Ellipse, deren Halbachsen a 
und h sind, eine zweite confocale, so lässt sich für den Fall, dass die 

grosse Halbachse der zweiten durch A » l/a(a ^b) bestimmt ist, 
der äussern Ellipse ein Parallelogramm einzeichnen, welches der in- 
neni umgezeichnet ist 

Da E^a) >" £ ist, so folgt 

Die Anwendung der Formeln auf das 8 Eck führt auf die Be- 

K 
Stimmung von dn ö~9 welcher Ausdruck bekanntlich gleich 1/2' ist. 

Die Bedingungsgleichung führt demnach auf die Relation 

woraus 

'A\^ 



d) 



d+y*') Vi+ifc' 0/1 +*' — Vk') 



Da I; — - ist, so folgt 



a 



Die Relation 9) geht nun über in 

4E =» SE{a) — Ar* sin <F^ sin q>i sin tp^ 

Aus einer speciellen Lage des Achtecks folgt aber, dass 

2 sin 9] sin q>^ = 4 sin a 
weshalb 

E^ 2Eia) — k^Bma^ 

Die analytischen Bedingungen für Tangenten- und Sehneusechsecke 
confocaler Ellipsen basiren auf den Formeln 

,^ --A^ + 2A^a^—a^c^ 

cn|J5: = :i4— «2-1 ' 

12) 

"^^i^^ — :4i^^M — 

Setzt man nun, um eine Relation zwischen den letzten Grössen 
zu finden, in der Formel 7) 

80 wird man erhalten 

AMh. 4. Matt. «. Pbyi. 2. B«ib«. T. YI. I3 



194 O^hinghauti Zur Theorie der SdtlieesungMproblew^ 

aas welcher nach einigen Entwickelnngen 

cn|Ä^— (1 — cnjJf) dn jJT = 
hervorgeht 

Nach Substitution der Werte aus 12) erhält man also ans der 
letzten eine Bedingungsgleichung, die wir wie folgt schreiben 



Setzen wir 



(f)*= 



so ist 

«*— t(l+ifc«)««+2fc«««— ^«0 

Wie beim Dreieck, so beruht auch beim Sechseck die Bestim- 
mung der Axenverhältnisse auf der Auflösung einer biqnadratischen 
Gleichung. 

Für die Ellipsenbogen besteht nach 9) die Relation 

AE » ßE{a)'- k^ sin <F 2? sin (p^ sin (pf 

Da aber, wie auch hier an einer speciellen Lage des Sechsecks 
deutlich wird, die Constante 

C=2sina» 
ist, so hat man 

2ß = 3ß(a)— ib^sino» 



II. 
In dem bisher Entwickelten hatten wir die Annahme gemacht, 

c 

dass der Modulus k ^ - sei. Im Folgenden lassen wir diese Gon- 

a 

stante unbestimmt, so dass die allgemeine EUipsengleichnng 

'* + — C — 1 



1+costf ^a+cosa 

ftlr alle Fälle gilt Beide Curven haben gleiche Achsenrichtongen 
und gomeinsamon Mittelpunkt 

Demnach bestimmen sich die Achsen der 2. EUipae aas 



Oßhingkautl Zur Theorie der SekUeetungeprobUme. 195 

Anch hier Bnchen wir die Abscissen X za bestimmen , deren Ordi- 
iftte «» 6 ist. Man findet 

Sind demnach 2 concentrische Ellipsen gleicher Achsenrichtnngen 
gegehen, ao ist damit anch die Amplitude a der Relation 






woraus 



Femer folgt ans 



die Beziehnng 



da 
bekannt Eliminirt man in 13) da^ so kommt schliesslich 

>fl_ 1 + ^0 
a* "" l+COSö 

2'^cosia«-l « Vi — ib^sinö«" 
wofmns 

AuB der Verbindung beider Formeln fOr tg}0^ resultirt eine Relation 
filr i^i nämlich 

Da also k nnd cos durch die Achsen beider Ellipsen bestimm- 
bar sind, so gewinnt man anch für 

Jö — Vl^=nk«'8in ö^ 
die Formel 

AHB*+b^)—a*B* 

Die Schliessnngsprobleme für 2 Ellipsen, welche bei gleichen 
Acbsenrichtungen denselben Mittelpunkt haben, sind demnach an 
folgende Formeln geknüpft: 

Für ein n Eck, welches der äussern Ellipse ein-, der innem um- 
gexeichnet ist, gelten, von welchem Punkte der einen oder andern 
man auch beginnen möge, die Relationen 

18* 



196 O^hing hau 91 Zur Theorie der Schb'essungsprobleme, 

AK 

F(a)«- — für 1 Umlauf, 

F{a) ««4 — fftr tt Umläufe. 

Im ersten Fall hat man also 

4Jr 

tf » am — 

n 



cn 



4^ ^g(lP+&a)-a2^ 
14) dn ^ '" A^{B^-l^)+a^ß^* 

■" a2(^__j2) » ^ — a« B2 — i» 
nnd analog fOr den 2. Fall. 

Bei der Anwendung auf 3, 4, n Ecke hat man also die Be- 

A.fC 

Ziehungen zu suchen, welche für verschiedene Werte von — oder 

— u in Form von Oleichungen bestehen. Vermittelst Substitution 

obiger Ausdrücke in diese Beziehungen gehen neue hervor, welche 
das Abhängigkeitsverhältniss der Achsen beider Ellipsen definiren. 

Indem man dann den Modulus h oder a und h beliebig annimmt, 
gewinnt man manche interessante Ergebnisse, deren einige wir hier 
mitteilen. 

Ist z. B. A; » 0, so folgt aus der letzten Formel 

A _a 

Sobald also die Ellipsen ähnlich sind, gehen die elliptischen Func- 
tionen in Kreisfunctionen und damit 

AK . 2nu 

cn — m cos — 

n n 

Aber. Daher ist hierfür 

oder 



Ist fie« Be&ipiaKf «rSUh. «& «äi&sHK sc^ M iU&^oi ä 
wie sack der ABJaw^mfta ji irtlr vertat »fi«. 



Formel sack aadi aaf FT^yura 4er cj^cb ^etiaäta Art 

läfliL Die e mertimte m Waloei ^gkebeminm m i^ge•te' ^>*»^"^ 



roms für & Cvra m(hrh^ coHtivcliTe I?i aimMmii ■ kermr- 



Ftr das Sccftaeck g3t na ia aDgCBoaca FaQ 

wedialb wir jetzt die Fomd 

1 1 



ca}X dB|Z 



— 1 



anzoweaden kabea. Sabstitairea wir die ia 14) berechaetea AasdrAcke 
iB die kCEte Formel, so resaltirt die elegaate Belatioa 



A*^ B» * A« Ä« ^ A* B^^^ 

als BedingoDgsgleiclmBg fftr die Adisea zweier gleickliegraiden oon- 
ceatrischea EUipsea, weaa jedes Sekaeaseckseck der iassera xam 
Taagentensecbseck der iaaera wird. 

Ans der letzten Relation folgt mm 

vermittest wdcher fOr bestimmte Werte der kleinen Halbacbsen b 
und By die entsprecbenden fOr die grossen Halbacbsen berecbnot 

werden können. Falls also — constant bleibt, kann a nacb Belieben 

a 

gewählt werden. Es gibt also nnendlich viele Ellipsen, welche den 

obigen Bedingungen genügen. 



108 O^kimjfhaus: Zmr Jheark der SeUksturngsproblamm, 

Sofern 

a A 
h'^ B 

ist, wird man für beide jetzt ähnliche Ellipsen die Formdn 

haben, welche für a -^ ß in bekannte Kreisrelationen übergehen. 

Die Formeln für das Dreieck, also fOr n *« 3 gehen aas der 
Substitution der Formeln 14) in 7) hervor. Die schliessliche Be- 
duction der Oloichnng führt auf 

worin i4, JB und o, b die Halbachsen der beiden entsprechenden 
Ellipsen sind. 

Ans dieser folgt die einfache Relation 

B^ B ^ 

welche eine bemerkenswerte geometrische Gonstmction znULsst 

Wie man sieht, stellt sie die Gleichung einer Geraden in recht- 
winkeligen Coordinaten vor. Demnach hat man folgenden Sats: 

Zieht man in einer festen Ellipse, deren Halbachsen A und B 
sliid, eine die Scheitelpnnkte XT verbindende Geride, so existiren 
für alle anf dieser Geraden 

A^ B * 

kkfeiftiliMi variaMn Funkle «> eatspreidMMle EUipmachaaraB, weldien 
die KitpeneclMift «ibMual^ 4ass il«r fMm Ettiiee 

l^v^^ ^aWecMeWflt w^K>jkii kwVuMft. w^eMe 4n nl 4n Halb- 
1% Jl«träinkif A» tMüynit» / "* , »it« >■« ««fc 

1. •'l'f 



sV»^»| t* 



Otkinyhaun Zur Thtarit drr Sehliaiangipnbleme. 197 

Ist diese Bedingang erfüllt, so schliesst sich bei äbniicbcu ia 
tu Achsen gleichgerichtetGii conccntrischen Ellipsen das Polygon 
ancb der Anfangapuakt gewäblt werden möge. 

Hieraus gebt bervor, daas die obige für Kreispolygone gültige 
Formel sich auch auf Ellipseu der obeu defiuirten Art ausdehnen 
IlLsst. Die oicentriBchen Winkel stehen dann in folgender Beziebong 
Ett eioander. 

Vi~Vi ^ Ta — 'Ps " V« — 9>s ■■■'= 
woraus für die Curvon einfache constructive Bestimmungen hervor- 
gehen. 

Für das Sechseck gilt miii im allgemeinen Fall 

F{a) = \K 

weshalb wir jetzt die Formel 



cnjÄ dn|Ä 



= 1 



uizawendcn babon, Substituiren wir die in 14) bcrcchueten Ausdrücke 
in die letzte Formel, so resoltirt die elegante Relation 



als Bedingungsgleicbnng für die Achsen zweier gleicbl legenden con- 
centriecben Ellipsen, wenn jedes Sebueusechsock der äussern zum 
Tangentensechseck der Innern wird. 



Ans der letzten Relation folgt nun 



■i:)i/^ 



Termittest welcher für bestimmte Werte der kleinen Halbachsen 6 
nnd B, die entsprechenden für die grossen Halbachsen berechnet 

werden können. Falls also - coastant bleibt, kann a nach Belieben 

gew&lilt werden. Es gibt also unendlich viele Ellipsen, welche den 
cdiigen BediDgangen geuflgeu. 



200 O^kinghaut: Zur Theorie dtr SckUeesungtprobUmt. 

Gemäss der Formeln 14) ist nun 

an |Ä - ^j^^ «^i)^o«-öJi 
Führt man diese Ausdrücke in obige Formel ein, so resaltirt 



welche Relation ebenfalls auf eine biquadratische Gleichung führt. 

Wäre 

Ä a 

B"" b 

so würde folgen 



a* ._ a« 



16 ^-20 ^,+5-0 
wie es sein muss. 

Die allgemeinen Formeln geben noch zu einer interessanten 
Betrachtung Veranlassung. Sie enthalten nämlich eine eigentümliche 
Methode der geometrischen Construction des Additionstheoreros der 
elliptischen Integrale erster Art, und zwar wird dieselbe durch Kreis 
und Ellipse vermittelt. Denn setzen wir in 






die Amplituden a und q>i und den Modulus k als gegeben, 92 ^^ 
gesucht voraus, so hat mau zunächst in den aus 14) hervorgehenden 
Formeln, wenn a^b gesetzt wird : 



*'» 



A* 
2?*zueliminiren. Für -9 — y kommt dann 

»•-»(1+1« *••)+*•««*«'»= 



Oekingkaut: Zur Theorie der SchUetsungtprobleme, 201 

woraus demnach 2 Werte für -gs hervorgehen, welche beide wir 

bcsrücksichtigen werden. Für das obere Zeichen geht nach einigen 
Umformnngen des Warzelausdmcks die Beziehung 

^ ^ Vl + ksina +Vr^ksma 
and flür das untere die Excentricität 



herror. 



J5 " 2c08i<F •"* 



Der Radius a dos Kreises kann willkürlich gewählt werden, die 
erste Formel lässt demnach A leicht finden, daher ist auch B nach 
einer der obigen Formeln bekannt. Wird nun die Ellipse mit den 
Halbachsen JlB construirt, so kann für jede Amplitude q>j die der 
obigen Relation entsprechende Amplitude g), bestimmt werden. Wir 
ziehen nämlich an den Kreispunkt X, welcher der Amplitude q>i 
entspricht, eine Tangente K^ E bis zur Ellipse, und von E aus eine 
zweite EK^ an den Kreis, der Berührungspunkt ergibt im zuge- 
hörigen Winkel tp^ die gesuchte Amplitude. 

Die Construction ändert sich nicht wesentlich, wenn man die 
innere Ellipse unverändert, dagegen die äussere in einen Kreis 
übergeben lässt. Unter diesen Umständen wird also A ^ B^ und 
die jetzt gültigen Relationen für das Additionstheorem sind 

A* b* 

A* 
Eüiminirt man hierin -, und setzt 



80 resuIUrt schliesslich 



a« 



y*-y(i+tgia»)+**tgia» « 

woraus, wie vorhin 

« 2cosi<F 

^_ Vl+fesintf— Vi— A; sin a 

ö 2cosia 

folgt 



202 Oekiujfkausi Zmr Theorie der SehUetmmytprMeme. 



Bei bestimmtea a folgt ans der ersten Formel die 
der getoditen EUiiwe, und ans der zweiten ergibt sich der 
rtdins. Die Amplitoden der Integrale werden dann wie vorhin ge- 
funden, wenn die ezcentrischen Winkel anf bekannte Art eingetragen 
worden sind. 

Die beiden Ellipsen haben, wie man sieht, die gleiche E^cen- 
tricit&t, so das8 die entwickelten Constmctionen in einer gewissen 
Dualität zu einander stehen. 

Man kann endlich anch die Formeln in ihrer Allgemeinheit bei- 
behalten, wodarch beide Carven Ellipsen bleiben. Legt man der er- 
sten boBtimmto Achsen a nnd b bei, so ergibt sich wie frflher ans 
der allgemeinen Gleichung 

y*-y(l+tgiö«)-|-ik«tgia« - 
der Wurzelwert 



oder auch 



und foruor ist 



ii_ yi+ifc8ina-fVl— Jksin a 
a "* 2008^^ 

A^ Vi "Jk«C0Btf« 

? ■" 1+ 2C08 i«« 

B« 1+ y 1 — ib« sinT« 

^ ""costf-fVl— A«8ina« 



wie auch aus der Ellipsengleichung ohne Rechnung hervorgeht 

Aus diesen Relationen finden sich die Achsen der umschliessen- 
don KlU|>so, wodurch die Construction der Amplituden in vorhin an- 
gt^benom Sinne durchgeführt werden kann. 

Dio Kuerst angegebene Methode ist die einfiMhere, da die Am- 

pUlttdeu sofort in den Kieb eingetragen werden können. Dnrch 

g\>iitomotHsche ZusammoRiiehung der Formeln kann die Construction 

d<vr Aohs<^n .4« JH ebenfalls crleicbtert werden. Die bekannte Jacobi'- 

iK'k<^ i\>n»lniotion des Additionstheoromes findet in dan Yorstehenden 

ihr Anal^HK^n auf KUipee« and Hyperbeln^ je nadidem man das eue 

\Hter andere 7jeichen \\m l-'v*^ bor^dsiditigt Sollen die Kegel- 

s\xki\itt^ \vi\fivval »ein « 5<> »l in erstem Fdle die Excentridtit deir^ 

r h 

Kni|VN^ ^hiTvh den Modi)a$ 2^ =^ -. (' « Vediagt« ud da abdai^:^ 

<t Mt . ^t ^n imi^^^ ^^ ^irl^ 4^ ComstractioB vw B M&k^^ 



Otkingkaut: Zur Theorie der SchliesungeinrobUme» 203 



in. 

Die folgenden Untersnchungen gehen Yon der transfonnirten 
Gleidmiig 

welche wir An&ngs anfgestellt haben, ans, nm 

2tgf l~tg|^ 

sing» = -2 , cos 9 = ^ 

l+tg|- • 1 + tgT 

darin zu sabstitniren. 

Das Resultat ist die Oleichnng 

Rb 
igiq^ib+RBiua) -2 — tg^y+ft— Äsina = 

Wir beziehen dieselbe anch jetzt wieder anf die Oleichnng 
cos^* q:sin ysm^ J t^j — cos^^ 




d^ r d^' 




/di 



indem wir die Entwickelnngen ans I. benutzen. 
Zunächst hat man 



2 



woraus 



Demnach gilt auch im gegenwärtigen Falle, worin anstatt 9 die 

^be Amplitude vorkommt, die Gleichung eines Kegelschnitts, wel- 

^^^ indessen mit der 1. Ellipse nicht mehr concentrisch ist. Indem 

^Au also von einem beliebigen Punkte desselben 2 Tangenten an 

^^ umschlossene Ellipse zieht, geben die hierdurch bekannten ex- 

^^^txischen Winkel q>^ und tp^ diejenigen Amplituden ^^j und ^9^ 

^^» welche der obigen Additionsgleichung gentigen, sofern folgende 

^Billigungen erfftllt sind. 



204 Oekinghaut: Zur Theorü d$r Schli€MiungsprobUm€, 

Die Oleichang des genannten Kegelschnitts ist: 



a*a + ^i(S) 



4cosia«— (1 — ^fja)» 



b!^ sm -x 



+ 



4cos 



r-(— 1)7_. 



»•(1-^5) cmS" 



(4».|'-(i-.|)y 



oder abgekürzt 




Wir führen ein 


C«=JB«-^« 


demnach hat mau 


, . a« 



woraus 



Da nun aus 



folgt 



4 e» cos 2— o*(l — -')* 

^«-(1 + ^/)« 7 ^^ Tf- 

(^4cos-2-(l-z/)«j 

^« a« 4c08itf^-- (1 — i^)' 

JB«'"4Ä« cosicF« 

"* "" 4co8i<F« — (1 — :^)« 

(1+^/)« 4ä« ^* 



cos^ff' -ß** a* 
80 resultirt ans den letzten Formeln 

Daher ergibt sich aus 

co8i<r — i ^. ^j(l+^ 

anter Einführung des Wertes von J 



Otkinffhautt Zur Theorie der StMieenmgtprMame, 205 

Wird endlich Doch 

^^co8i<r-.l = ^ 

qnadrirt und cosif der obigen Formel darin sabstitairt, so resaltirt 
oder noch 

Bei Benntzang der bisherigen Formeln folgt für m endlich noch 

m «■ . 

a 

wodurch alles gegeben ist 

Wir wollen die sich hier darbietende Gelegenheit benutzen, die 
obigen Integrale mit den aas der Pendelbewegnng in Verbindnng zn 
bringen. Demnach sind in dem Zeitintegral 

d\fp 



r. 



2« . 1 ^ 



die Constanten und Amplitnden den obigen gleich zu setzen. 

Wie bekannt, ist a der Kreisradins, oder die Pendellftnge nnd A 
die vom tiefsten Punkte an genommene Geschwindigkeitshöhe 

-^- j welche grösser , gleich und kleiner als 2a sein kann. Also 

folgt durch Gleichsetzen der beiden Moduli unter der Voraussetzung, 

dass a «B &: 

2a AaC 



rorans 



Femer ist 



Die Belatkm 



g^t nnn in 



k "'^«4-2aC— a« 



Ä=r 



26' 
aB 



COSä 



2 A^+aC 






c 



h+h 



über, wonach die Tangenten von jedem Funkte der den Kreis tun- 
scbli esset) den oder schneidenden Ellipse auf dem Kreise Bogen 

gleicher Zeitdauer begrenzeu. 

Wftblt man die Oeschnindigkeitshöhe vom KreiBmittelpnukt aa, 
setzt demnach 

ff = A-a, 

BO wird die obige Bedindungsgleichnng einfacher 

" 2C 

welche H anf's einfachste constructiv bestimmt. 
Wir fassen das Entwickelte, wie folgt. 
Man zeichne eine Ellipse 

und zwar so, daas B grösser als A sei; um den obern Brennpankt 
C, welcher also in der ä-Achse liegt, construire mau einen kleinen 
Kreis vom Radius a. 

In diesem Kreise lassen wir einen schweren Punkt oscilliren nnd 
bestimmen seine Gescbwindigkeitsböbe nach der Formel 



Anf der Ordinale des Brennpunktes lässt sich eine Strecke 

ohne weiteres auftragen, verbindet man nun G mit dem zweiten 
Brennpunkt F', und zieht die auf GF' senkrecht siebende GH bia 
zum Durchscbnitt mit der verticalcn fl-Achso, so ist FH die Gö- 
sch windigkeitshO he des schworen Punktes im Kreis, und die Ellipse 
hat die schon genaunte Eigeusehaft, dass die von jedem ihrer Punkle 
an den Kreis gezogenen beiden Tangenten Bogen des Kreises ein- 
schliessen, welche der schwere Punkt stets in derselben Zeit dnrcb- 
läuft 

In Bezug auf Oscillationen können wir anstatt der Geschwindig- 
keitshöhe auch den Winkel a einfuhren, der dem Kreiapunkt ent-^^^ 
spricht, wo die Bewegung von der Bube aus beginnt. Diesen Wink.^^ 
können wir mit a durch die Gleichung b = in Bcziehnng bringei:;^ 
Man bemerke, dass, wenn eine der obigen Tangeuten horizonl^^-^ 
also senkrecht zur Ü-Achse ist, die andero den Winkel ( 



Omtiiigkaus: Zur T%»orU der SeUie**img»pr«bkmt. 207 

Man findet leicht 

. . , B*-(C-a)» 

oder 



-•H C08« — 1 



und ferner iit 


von 


B 


Die Elimination 
eine Worxel 


^^«2- A^ C 

a«+ a 

a ergibt ans der entsprechenden Oleichnng 
A* 

a B 



d diesem Fall der Bewegung schneidet die Ellipse den Kreis, 
und das Kriterinm der Oscillationen basirt anf der Ungleichung 

während bei vollen Umläufen 
ist. Der Kreis liegt dann ganz im Innern der Ellipse. Wenn aber 

tat, so berQhren sie sich von innen und die entsprechende Bewegung 
geht in die asymtotische über, wonach der schwere Punkt den oberen 
Kidiponkt erst nach unendlicher Zeit erreicht. 

Um nun auch für die Parabel die entsprechenden Verhältnisse 
^i&nitdlen , erinnern wir daran , dass der Parameter p der Ellipse 

dirch 

A* 

'^^cdrac&t wird, daher geht die Formel 
*■ ^- q über. 



208 Oehinghausi Zur Theorie der SddUeeungtprMemM, 

Will man die directen Formeln benatzen, so ist za setzen (siehe 
oben) 

also ist 

h — a+« oder JI — g 

woraus folgt, dass bei der Parabel die Geschwindigkeitshöhe stets 
den Scheitelpunkt der Parabel znr obem Grenze hat 

Wie bei der Ellipse, so schliessen anch bei der Parabel die Ton 
ihr an den Kreis gezogenen Tangenten Bogen gleicher Zeitdauer ein. 

Es braucht wol kaum der Bemerkung, dass das Vorstehende 
auch auf die Hyperbel Anwendung findet. Setzt man die B- Achse 
vertical voraus, und zeichnet um den untern Brennpunkt den Kreis, 
so geht aus der Formel 

die Bemerkung hervor, dass fQr 

> 

< 

wonach der Kreis den untern Zweig der Hyperbel entweder schneidet 
oder ihn berührt, oder nicht berührt, die Bewegungen entsprechend 
oscillatorisch, oder asymptotisch, oder circulär wird. 

Nehmen wir an, dass der Kegelschnitt den Kreis ohne Berfihmng 
oinschliesst, und ziehen von einem Punkte A des erstem eine Tan- 
gente APB an den letztem bis zum Durchschnitt B des Kegel- 
schnitts, von B wiederam eine Tangente BP'C an den Kreis , vom 
Schnittpunkt C von neuem eine dritte Tangente und so fort nod 
bezeichnen die BerQhmngspuukte < mit PP^P^ ...^n« so wird, wenn 
bei dieser Tangentenziehung die Punkte PP^P^ in bestimmten 
regelmässigen Zoitintervallen auf einander folgen, der hiermit gleich- 
sinnig im Kreise sich bewegende schwere Punkt der Reihe nach mit 
diesen Berübmng$punkten zQsammen£illen. Letztere schreiten also 
mit dem schweren Punkte gleichf<>rmig fort 

Itt bestimmten F&Den, die wir gleich noch in Kttrxe darlegen 
wollen« kann /« mit P lusammenfallen , was nach eiBmaligem oder 
mehrmaligem Umlauf geschehen kann. Die TangeBteafolge schliesst 
sich demnach in einem Polten« dessen Existenz an bestimmte ans 
dMi Conslanten der Kegelschnitts^eichnog ahnl^teode Bedingungen 
geknüpft ist 



OriinyHaat! Skir Tirana der S^hetmngipfMemt. 209 

Aas dieser Gleicbniii; ersieht man, dasa sie, wie schon gezeigt, 
I alle F&lle, al§o Eltipac, Parabel und Hyperbel amfasst, da der Cocf- 
Ificient 4cos}a* — (1 — jja)* entwedar kleiner, gleich oder grösser 
■•Is Xoll sein kann. Eine grftsacre Einfacbbeit erzielt man in den 
■Tormelu, wenn a ~ fi oder A -^ B angenommen wird. Da 



t ist Far das Dreieck, also n — 3, die Bedingnng 

A^b* — aHa*B* — b*A*) = 2a'l>A*B 
ZD erföllen. 



< bat man die einfacbe 
dn^'-yt' 
za benatzen, und setzt man noch a = b, so ist 

i»- ■ 



Soll das Polygon ein Viereck sein, 
ReUtdoQ 



A'~aC 
~ A^+aC " 



4aC 



A'+2aC~^ 



Die Bedingung wird also 



(^ 



"LXa 



iaC 



-, = 1 



\A*^aCj ^ A* + 2aC- 

Die übrigen F&lle werden formell etwas complicirter. 

Für die Hyperbel bat man —A* statt A* zu setzen und zu be- 
lachten, dass je nach der Lage des Vicleks der eine oder nach beide 
ste der Curve zur Verwendung kommen. 

Wie man sieht, geht die Gleichung für 

Icos^ff' = (1 - ^Jff)* 

1 die einer Parabel aber: 

pcoalff».^-* - 24t''8iniff«.s' + i*a+''i'')* 

Aas der Bedingnngsgleicbnng folgt, dass die Amplitude a vom 
lllodolna k abbSngt, denn es ergibt sieb 

i» ._,_, 8(2 — t*) ^^ 4— 3t* 



cotia 



sin^o' • 



-4-fc«' -"'•' "(4-tV 

k. 4M MkU. 1. Sh)%. a. B*i>w, Tail Tl. 



Jia-- 



14 



210 Oshinghausi Zur Theorie der SekUeMsung^okimme, 

Die Parabelgleichang wird also znr folgonden 

Bezeichnen wir den Parameter mit p » 2^, so ist, wenn 

2— ifc«. 



m 



it> 



die Gleichang aach 
wo 



a« 2 — ifcg 



f» 



6« 



g O* 



Fttr den Kreis ist sehr einfach 

demnach fällt das Ereiscentram in den Brennpunkt der Parabel. 
Fttr das Dreieck erhält man nach der Formel 



cn iE dniK 

worans 

12-4y2 

^ 7 

Die Anwendung der allgemeinen Formeln auf 4, 5 ond n Ecke, 
welche der einen Curve ein-, der andern umgezeichnet sind, hat 
nach dem Vorstehenden keine Schwierigkeiten mehr, weshalb wir 
auf weitere Erörterungen dieser Verhältnisse nicht weiter hier ein- 
gehen. Dagegen bemerken wir im Anschluss an früheres noch fol- 
gendes : 

Führt man in 

die Relation 

ein, so folgt 

((a+(?)2-6«)t|f29*+26(o-c)tg29+4oe-0 



OtkinyiauM: Zur Tliiorie Ar SckUfningiprohlimt. 

Aebnlicb wie im Vorigeo die halbe Amplitode gewählt werden 
itDQte, HO Bt«bt jetzt die doppelte zur Verfügung , so dass die Fan- 
in entatr«lati od nun in die folgende 

vosformirt wird. Indem wir nnn die Conatanten der genannten 
eichnng hier einrühren und die Uedingungsgleichung für das Ad- 
UtioDstbeorem gühörig ordnen, resuttirt eine Curve 4. Grades 










welche die Eigenscbaft besitzt, dass die von jedem ihrer Punkte an 
die Ellipse gezogenen Taugeuteii iu ihren den Berührungspunkten 
entsprechenden co nee n Irischen Winkeln v,tpt der Relation 






IV. 

Um noch einige analoge Verbältnisse zu discutiren, verlegen wir 
den Anfangspunkt der Coordinaten in einen Brennpunkt des Kegel- 
Bcbnitts, bezeichnen die Polarcoordiiiaten des Punktes , von welchem 
Tangenten zur Curve gezogen werden, mit /i{a) und die bezügiichcn 
Polar Winkel der Berührungspunkte mit 9 und 6', dieselben be- 
stimmen sich ans der folgenden Gleichung 

(j + «cos«y-sinB»)tge»-6in2n.tge 

+ (^4-ocoaoJ — coBO* =■ 

darin bedeuten p nad c hezOglich Parameter und numerische Ei- 
oentricitftt. 

Wie früher verbinden wir die ala Amplituden anfgefasaten Wur- 
zeln 9 mit der Relation 

/ d% P döj ^ /■ rfg 

Vr^eiäine* y Vi — <fc»8in»'"t/ yi^^^ainö« 

und führen in der damit verknüpften Fundamontalrelation 



212 Oekimgkaus: Zmr TkearU der BdkluBnmgtprMemti, 

C08 6c08^'78iii6fin6'^(ir) = co80 

die aas der ersten Gleichuog sich ergebenden Werte von cos^cosO' 
etc. ein, man findet 

(^+«cosaJ — sin«* — ( (^+«cosaj — coso^j^ftf = costf 
Wir setzen 
wodurch man erhält 

a!«(««(l4- Ja)+^/tf+C08tf)-y«(l+C08a)+2|i«(l+iio)x+p«(l+^4f) = 

FQr die Hyperbel besteht die Formel 

/^tf— COStf \ oL+COStf 

fttr die Ellipse 

/^a+costf \ «l+cosa ,j « ^ 

liOtsto Gleichnng schreiben wir 

(, _ f* V4. ^ 

\ l + if«' / 1+co«« V 1+^0 ~ ) 

1^ 

1 + ^* /^«+0M« 



r« 



^•+ CO« 

di<» «ktinitiv« Form der Gleichaag 






i _ f* \* 



— 1 



$<)ffv<Wii wir AnüIW 

f* '«^ IBt -" * 

iw' <r«r^^ii!iy« wür wir ft^W- <iiMw K^^s^lictess db miüiwfcm Oit 
Jkr ^*teünr*MA^ tiiN:^^w^:M tH^yoM«. ^fcvw fNilirwiikel 4er De- 



0€kimgkaus: Zur Theorü der SchiiessungsprobUme, 213 

Es ist nun 



i«- 



B^- 



p^Jtf + C08ff) 

Z~t y^* + C08C „ \ 



Hl ■" 






1+^a 

Die Amplitade lässt sich aaf folgondem Woge ermitteln. Neh- 
men wir ' » a-j-c, so verschwindet fttr diese Abscisse eine Ampli- 
tude 9, wodurch die andere zu a wird. Entwickelt man y, so findet 



y — a(l+«)tgitf — (a+c)tgic 
Damit ist die gesuchte Amplitude o leicht geometrisch bestimmbar. 

Wir geben noch diejenigen analytischen Verhältnisse an, welche 
durch Combiniren der letzten Formeln hervorgehen. Um zunächst 
eine Verbindung zwischen A und m abzuleiten, fähren wir 

1+Ja ^ " m 

m 

in A^ ein, und erhalten zunächst 

^ p»(^/tf+C0S^)mg 
^ — (i-f ^/tf)p2«a 

vnd da 
■o wird 

die gesuchte einfache Relation. Vermittelst dieser kann bei ge- 
gebenen A die Abscisse m des Mittelpunktes der zweiten Ellipse 
leicht bestimmt werden. 

Führen wir in der Formel fttr — iP ein, so folgt zunächst 

{d0-\'COB a)m E^ ^g-f-COStf 

^"P^ (l4-C0Sö)|HJ ^^^ pm" l + COStf 



214 

Ans 









(t?-0= 



Dio Elimination vou Ja aus den letzten Formeln fahrt uud auf 

— CI+COBIT) - 0089+ — ^2ä 



Sabstltnlren wir dioson Wert von cos a in 



«aA2 /«a^a \ 



uBDitirt 



A-ipme — ÄitPet-\-miB;i 
und endlich ergibt sich hlerauB der Uodnlna k, wenn wir iu 

jö "yr^p8in"o^ 

Bina durch co8 nach einer der obigen Formel bestimmen, nämlich 



fc2 . 



p ^'c- 



Damit ist auch der Modulus des Integrals durch dio Acbi 
der Kegelschuitte und m bekaont, dasselbe gilt bezQglicl) der Func- 
tionen vou s. Ist dagegen und l als gegeben vorausgosotzt, so 
werden die gesuchten Achsen A uud B durch die Formeln für A' 
und £' nnd die Entfernung des Mittelpunktes des zweiten rom 
Brennpunkt des ersten durch die Forme) für m. ermittelt. 

Die Anwendung der entwickelten Formeln auf ein- nnd t 



J 



O^kimgkamsi Zw J%§oriB tkr SckUe*smiff$problaiu. 215 

sdrMiene Vielecke ist nmi keinen Schwierigkeiten nnterworfen, wenn 
WMM die Gleichungen in der folgenden Fassung anfttellt: 

^ n '^ i4^pme^A^B^e^-m^Bß 

• m B^e-fnn 
*^ ■" p iV-m» 

Für das Viereck hat man demnach 

cn — — 0, d. i. 

als Bedingnngsgleichung zwischen den Achsenverhältnissen der beiden 
Ellipsen. Die Relationen werden einfacher, wenn Bedingungen ein- 
gefDhrt werden, z. B. dass 

c C 
a^ A 

also die Exceutridtäten gleich seien. Für « ^ 1 wird die 2. Curve 
zur Hyperbel, da ^ und in Folge dessen m negativ wird. 

Die einfachste Gestalt gewinnen die Relationen für k ^0, 
Es wird nämlich 





ff 


m 

c 


1 


- 


n?A — m 
' e 


A 


«. 


mä + ff 



also 



woraus sich ergibt, dass m zur linearen Excentricität der zweiten Ellipse 
wird, zwei Brennpunkte fallen demnach aufeinander, und endlich ist 

»' Ä^ tn^c 

liegt demnach eine Ellipse mit den Halbachsen a und h vor, 



216 Othinghau»: Zar Tkmrm Sw 

§0 coostniire man eine zweite so, dies 2 Brenoinuikte aaffiniiilflr 
ftlleo. Bezeichnet man die Entfernung dieses Brennpnnktes vom 
Mittelpunkte der 2. Ellipse mit m, so ergibt sich yermittelst der ersteu 
der obigen Formeln die Halbachse B. Tangenten von einem Pnnkte 
der 2. Ellipse an die erste gezogen^ bestimmen auf letzter 2 Polar- 
winkol 6, deren Summe ^+^i ®^°® constante Oritase 6 ist, weldie 
durch die Formel 

tgiir« = - 



gefunden wird. 

Man kann übrigens ttber m willkürlich verfügen und etwa an- 
nehmen, dass 

m — 2<r 

sei. Dadurch erh&lt man 

cos^ — -^=«> 

und die Unoare Ezentricität der 2. Ellipse ist der doppelten der 
ersten gleich. 

Man kann ferner 
•elieni woraus 

foigea würde. 

Führt man in der Taogenleaziehuig fort und setzt voraus, dass 

das Polygon sich schlicesl^ so erhalt man für den aUgemeinem Fall, 

wonach also beide Curven eiaea Brennpunkt gemeinsam haben, die 

F^Nwel 

«• *« m~e 

¥%T das nrrk<lc. n^pMm der 1. EUipoe um-, der 2. «nbe- 
«K>KrMMMi ist« &4|Ei UM der kam Relation wiegen « — 3 



IWr WM vWWffNK 



O^kimgkauM: Zwr 7%«orM d^ ScktiunmgtprobkmM, 217 

n. 8. W. 

Wir schliessen mit diesen Entwickelongen vorläufig ab, da die 
Methode, deren wir uns in den vorliegenden UnterBnchnngen bedient 
haben, hinlänglich klar erscheint, nm anf diesem Wege fortzufahren 
mid neue Beziehungen aufzufinden. Auch das Gegebene ist noch 
einer weitem Durchbildung fUiig, indem wir uns im Vorstehenden 
derauf beschränken, nur die allgemeinen Zflge mit dem Hinweis auf 
ihre Erweiterung anzudeuten, deren Durchfährung wir hiermit dem 
anheimstellen. 

Emmerich, im September 1884. 



XI l. 

Miscellen. 



Berichtigende Notiz zum AoTsati I. 

Beirrt durch den Titel des Werks „van Swindena Elemente der 
Geometrie, uns dem Ilglläudi Stäben übersetzt uud vermehrt von 
C. F. A. Jacobi, Professor au der Laudessehule Pforta" heraus- 
gegeben 1634, war ich der Meiaung, daee der im genannten Werke 
pag. 339 eingeführte Winkel -l' , welches der Brocard'ache Winkel 
ist, von van Swinden herrührt. Herr Professor üblich in Grimma, 
welcher den Untersuchungen über diesen Gegenstand gefolgt ist und 
auch historische Studien darüber genjacht hat, die er 7.. B. iu seiner 
Programmarbeit I8B6. „Altes und Nenos von den merk würdigen 
Punkten des Dreiecks" dargelegt hat, berichtet diesen Punkt. 

üiemach hat Grelle bereits 1816 diesen Winkel betrachtet, so 
dass demselben wol die Priorität gebührt C. F- A. Jacobi bat 
die Untersuchungen darüber fortgeführt. Dass dieselben für anregend 
gthalten wurden, beweisen 'A Abhandlungen von Wiegand, Emsman, 
Heiiwig, in denen manche der neuerdings angegebenen S&tze über 
dioGon Gegenstand bereits enthalten sind. 

Dass die Litteratur über diesen Gegenstand in Frankreich nud 
England viel bedeutender ist als iu Deutschland, liegt sicherlich mehr 
in äussern Verhältnissen, ist aber wol nicht zu l&ugueo. Es scheint 
der Grund dafür zu sein , dass den Verfassern solcher Artikel mehr 
Oelegeoheit zur Verbreitung derselben geboten wird. 

W. Fuhrmann. 



Bemerknng zum Anfsati IT. 

Mit Bezngnahme aaf den Aufsatz : „Uebor Tricderschnitte o. s. w." 
I in Heft 1. Band 6. dieser Zeitsclirift sei hier noch die einfache Be- 
ziebang erwähnt, welche zwischen dem Schwerpunkte des Trieder- 
scboittea und dem Mittelpunkte der Umkugel des dorch den Tri- 
cderscbnitt her vorgerufenen Tetraeders statlfindeL Da dieser Mittel- 
punkt (ifli Soi *o) ^" Scheitel eines Polartriedera ist, welcher die vom 
Triederscb eitel ausgehenden Tetraeder kanten haibirt, so erb&lt man 



3S 



ä — i^+yocoey+i" 



^oCOsy+yo+JoCOSo 



3£_ 



»is + yncosv + io«) 
und insbesondere ftlr die rechtwinkligen Trieder 

t-2/3;S>, i)-a/3yo, £-2/3^ 
Die SnbaitDtiou dieser AnsdrUcke in die Gleichungen der 
pnoktsörter liefert die Oerter für den Kugelnd ttolpunkt 

Es möge biet noch die Berichtigung zweier Versehen folgen. 
AdF der letzten Seite des ohongonannten Aufsatzes mnss im 2. Bei- 

!^ VaS» Statt I y^"» 



Schwer- ^H 



D. B. w. stehen, woraus 



£ 



und dnrch Substitution in die Flächongloichnng : 
') Die Umkebrung ergibt: 



- (— £coBesinjS — i]C0Bi8in]'-|-£Biiia) 



wo d, £, c die Flflchenwinkcl des Trlodors bedeuten. 



■©•'■". ^-G)*'-'. ^=(D''-' 



80 dass für u der weit einfachere Ausdruck 



fliesin ^^sini 
iV3~ " 



gibt. lu dor vorletzteu Zeile muss es ferner V'/a st- vVa """* <^ß*- 
halb iu der letzten y 12 sL y '/g bciaseu. 



Zur Theorie 4«r hnrmon Ischen Reihe (Fortsetzung). 

5. Der Gedanke, die Vorzeichen der Glieder einer Reibe grn|)- 
ponweise umzukehren and die so entstehende Reibe zu summiren, 
ist nicht non. Herr Unferdinger hat die wichtigsten Potenz reihen 
in dieser Weise mit Hülfe von Integrationen einzeln behandelt') 
nach ihm hat Herr Milduer die Aufgabe allgemein, für beliebige 
Polenzreihen von bekannter Summe, gelöst") Wo daher die Spe- 
cialisimng von Potenzreihen für r r— i bannoniscbe Reiben erzeugt, 
müssen die ,oben gegebenen Ergebnisse mit denjenigen der genannten 
Arbeiten UbereiBBtimmen. Dieser Fall tritt ein für die Reihen 



-log(I-i.J-ir+-„+3 + ... 



die den Anwendungen in 3. und 4. entsprochen. 




1) Die Summe der Logarithmus- und Arctang-Reiho (sowie der ' 
Reihen fttr sinz, cosx und «*) mit oltornircnden Zeicbeugrnppen. 
Sitzgsberichte d. Wiener Akad. 1867. Bd. 55. H S. 75 nnd Bd. 
66. n. S. 257. 

2) Ueber Ableitung ueuer unendlicher Reihen aus einer gegebe- 
nen durch Umstellung (soll wol heisscu „Urakehrung") dor Vor- 
zeichen nach einem bestimmten Gesetze. Ebendaselbst. 168S. 



JAmUu. 



221 



Die Formeln für a(l) und <s(i) finden Bicb Übrigens nur bei 
Hildner, in zwar auch Glementilrer, aber von der hier gegebenen 
gänzlich verscbiedener Herleitnug, und zwar hat die erstero Formel, 
Abweichend von nnaerer Gleichung (III.) die Gestalt: 

•2 
.a)=-l082+^, £ (P-2A-I)fg^=|^-« fUr gerade p, 

p-l 



Durch Vergleicbong dieser Äusdrüclte mit den nnsrigen ergeben 
sich, nach einigen leichten Umformungen, die merkwürdigen Formeln : 



(V> a) Z(2i-l)tg- 



Ein directer Beweis derselben scheint schwierig zu sein. 

6. Man könnte versucht sein, die Aufgabe allgemeiner so zu 
fassen, dasB die Anzahl der negativ genommeneu Glieder von der 
positiven verschieden, etwa gleich q, gewählt wird. Man Überzeugt 
sich aber leicht, dasa in diesem Falle stets eine divergente Reihe 
entsteht. lu der Tat wäre dann die Summe der ersten {p+q)n 
GUeder 

a(z) =(A„ + A, + .., + Ap-0-(V + ...Ap+,-i) + -... 

+ (*("-i)(p («) + ■■■ + *"P+(t-ih-i) — (A«i>+("-i)fl 



= £ |At-f-Ai+(pf,) + ... + Ai+(»-i)f,ti>| - 



-l^-<^) 



lüber dieselben Glieder) 



222 MÜMCtttM. 



+:i5««(-'+;-?,)-£'-(-+^) 

Die beiden ersten Summen bleiben ffOr n — a> endlich; die bei- 
den letzten aber haben bzhw. p und q Glieder, deren jedes anend- 
lich wird wie log«; die Differenz wird daher immer nneadlich, so 
oft p und q verschieden sind j^verschwindet dagegen, wenn p ^ g 
in welchem Falle die letzte Gleichuui; in Formel I. abergeht. 

Heinrich Simon. 



In vorstehendem Aufsätze bitten wir folgende Druckfehler zu 
berichtigen. 

S. 106 Z. 11 V. ut statt Abhandlung setze Behandlung 

„ 106 „ 3 „ „ clim „ <; -" lim 

n=o> n—m 

n 15 ,, Gl (6) unter £ staU ib— 1 setze Ir— 1 

zwischen Gl. (6) und (6») fehlt die Zeile: 

deren zweite sich noch auf die Form 
bringen Iftsst: 



w 



9) 



»1 



n 



>» 



107 Z. 


10 


V. nnt. 


statt A* 


setze 


) hk 


w 


2 


n 


99 


<f2pn 


99 


«iptt» 


108 „ 


1 


V. ob. 


99 


p^2 


99 


p-1 


w 


8 


1» 


99 


C 


99 


<¥) 


19 


10 


99 


9» 


£ 

s 


99 


£ 

1 


1* 


15 


99 


99 


Differentiation „ 


Dissertation 


109 „ 


3 


99 


»9 


i^+'-i 


99 


(•+^)- 


W 


9 


99 


99 


2p- 2 
2p 


99 


2p«l 
P 


M 


8 


V. nnt 


99 


2TO-f4 


99 


2m-f.l 


M 


5 


99 


99 


2m 


99 


1 


110,, 


2 


V. ob. 


99 


2 

2n 


99 


2n 

P 


n 


2 


V. unt. 


99 


2p- 1 
4p 


99 


2p-l 
4p 


111 „ 


6 


V. ob. 


9> 


c 


9» 


5 



MitekUM. 223 

4 

Zur Seetifieatloii der Hyperliel. 
Dieselbe fAhrt bdnnntlich auf daa lotegiml 

I cos 9* 1/ 1 — ^ sin 9* 

Wie wir schon frOher bemerkt, ist 2^ der Winkel zwischen 
dem einen Brennstrahl nnd der VeriAngernng des andern nach dem 
iwdten Endponkt des Hyperbelbogens. 

Ans der obigen Gleichnng folgt aber 

?==ife'iu+2ltg9-J5(9) 

Wir benutzen hier eine in den „Transformationen" mitgeteilte 
Formel 

om damit den Ansdmck 

dmrznstellen nnd in die betreffende Gleichnng einzuführen. Man er- 
hftlt 

oder auch bei Benutzung einer bekannten Reihe fttr ib'tg^, nämlich 

7t nu 2h ( g« , nu «* . 2nu , \ 

das folgende Resultat 

• 2n ( 9itt g' . nu ^ . 2»i« , \ 

wodurch der Hyperbelbogen aus dem Argument 



224 Müeälm. 



u ^ 



r ^9 

7 (/l-|*8in,« 



darch eine Reihe abgleitet ud lm*echiiet werden kanii. 

E. Oekinghane. 



JBigUr: Potential einer eUiptischen Walze, 225 



XUL 



Potential einer ellip'tischen Walze. 



Von 

Ulrich Bigler. 

Fortsetznog ron T. III. Nr. XIX. 



Zweiter Teil. 

IT. Potential einer elliptisehen Seheibe Ton der Diehtigrkeit 1, 

deren Ponkte den Gleiehnn^en 

^•+?<., -0 

genflgen. 

§ 12. Das Potential. 

a) Ableitang desselben ans dem Potential der Ellipse, ausge- 
drückt dnrch ein Integral mit freiem Integrationsweg. 

Wenn die Wurzeln der Gleichung 

-^,^1 ^ y! 1* 

mit «0i, wt\ wt" bezeichnet werden, dann ist das Potential der Ellipse 

Aw^ Bw ^ 

deren Dichtigkeit gleich dem Abstände des Mittelpunktes von der 
Tangente im betreffenden Punkte angenommen wird, 

/OD 
. "^^ - 
y (t* — wt) {u — wt') {u — wt'') 
wt 

Aiok. itar Ifadlu n. Phys. 2. Beihe, Teil VI. 15 



226 Bigler: Potential einer elhptiaeKen Walte. 

Setzt man hier 

u = vm', w ^-—Wi 

yip 
so ergeben sich 

Pot =2yw VÄB 1 , -' 

and 

sind die Wurzeln der Gleichang 



daher ist die Gl. 



g (i*'- 1) {u''-t'){u'-'t") 



dentisch richtig. Schreibt man u statt u* and setzt dann 

ij« « (t*-«)(«*— 0(t*— O, U^ — {A+u) {B+n)u 
so dass nan 

Ä = 4- ÜW^ 

yw * 

wird, so ist 

00 OD 

Pot. = 2Vtp iÄBj- = 2K-yiB / -^ 

wo ( die grössto Wurzel der Gleichnng 

bedeutet. 

Um die Masse des Ringes, welcher von den Ellipsen mit den 

Halbaxen {iJ^, ißis) und (VilK-R«^» iBK^-^dvo) ) gebildet 
wird, zu erhalten, habe ich obige Formel für das Pot noch 

mit ?: — zu multipliciren. Denn 
2 w 

und 



iBi^w^dw) =^iBw(\-\'\ '^) 



also ist das frühere E gleich ^^ — und somit 



BigUri BvtßiUud einer elUptiMchen Wahe. 227 

t 
(Weg eine Schlinge aus dem Ostpankte am t). 

Weil aach dieses Ingetral im Horizonte verschwindet, so kann 
man die Schlinge in eine geschlossene Cnrve am die Pole t* und t" 
verwandeln und diesen Weg wollen wir nnn benatzen, am das Pot. 
der Scheibe za erhalten. Es ist also 

Pot = I Vab f-^ dw (Weg Fig. 17.) 



wo 



—1 (t-^u)(t4-0(t4-O «« 

ist, nnd^^i in der Bealitätslinie zwischen t' and t positiv verstanden 
; somit das Potential der Scheibe 

1 







Die Worzeln <, t\ r der Gleichung 

sind Fanctionen von tr. Für ein sehr kleines -f**^ ist t pos. sehr 
gross, und während w von bis 1 steigt, sinkt t fortwährend bis zu 
dem pos. Werte herab, den es fttr t/? » 1 annimmt, v und i' sinken 
zwar aach, treten aber nicht aas den Intervallen 

— B<<'<0, — ^<<"<— ^ 

heraas. Wenn daher der in sich zarCtokkehrende Integrationsweg 
das zwischen — ^ nnd liegende Stück der Realitätslinie rückläufig 
nmschliesst, aber den niedrigsten Wert von t ausschliesst, so kann 
er während der Integration nach w festliegen. Weil u von w un- 

dw 

abhängig ist, so hat man nur =^ von u; ^ bis t/? » 1 zu inte- 
griren. Nnn ist 

also 

folglich 

16* 



228 Bigler: PöUnHtä einer eü^tüfAen Wmhe, 

BwT 1 



somit 



dw 2Wi 



und demnach 

(Weg eine rfickläuflge Corve um —A and mit Ansschlass der 

kleinsten pos. Wurzel von TT,* =0) 

Nun liegt aber die pos. Wurzel von W^* (fftr w = 0) im pos. Un- 
endlichen, und deshalb kann man im zweiten Integral den Weg so 
legen, dass nur sehr grosse Werte von u in Betracht kommen. Das 
zweite Integral ist also null. Wir erhalten somit als Potential der 
elliptischen Scheibe folgenden Ausdruck: 

p iYAB f^du 

(Weg eine geschlossene Corve um die Pole t" und t') 

Es ist nun 

^'(füriü = l)-. -2:^-1 

- (A+u){B+u)u 
also 



t 



b) Ableitung des Potentials der Scheibe aus dem Potential der 
Ellipse^ ausgedrückt durch ein Integral mit geradem Int^rationsweg. 

Wenn t, #', s" die Wurzeln der Gleichung 

ft yl nt 



BtgUr 



tB^aüOm Walu. 



sind, dann ist das Potential des von den Ellipsen (VAib, Vbw) und 
IVvlCic + duj), yjUw-i-dw) ) gebildeten mages gleich 

, /»" du 

Pot. ^ V AB J ■pr-ü''"' 

nad somit das Potential der Scheibe 
and weil w — f(e) ist, so erhält man ancb 

.=.yr./(/^„).(--). 



Man denke sich nna ein rechtwinkliges Coordinateu System (Fig. 18). 
Aat der Abscissenaxe werden die u, und aufj der Ordinatenaxe 
die « abgetragen und in dem Punkte (u, ») stelle die dritte Coor- 
dinate den Wert des Integranden dar. dudt ist das Flächcnelement. 
Die Integration nach u erstreckt sich über einen horizontalen Strei- 
fen, der in einem Funkte P der HaibirungBÜnio des rechten Winkels 
beginnt und sich bis in'a Unendliche ausdehnt. Die Integration nach 
« sommirt nun alle diese Streifen vom Funkte A an , wo ji ^= ( ist, 
bis in's Unendliche. Das Doppelintegral erstreckt sich demnach tlber 
fclln Funkte der Ebene, welche zwischen der von] A ausgehenden 
horizontalen Linie und der Ualbirungslinie des rechten Winkels iie- 
Ken. Kehren wir nun die Integration um und integriren zuerst nach 
länft I von t bis u; sie umfasst also den Streifen {P' — F") 

18. Biese Streifen sind nun noch zn sammiren von « = i bis 

c. Es ist demnach 

./•(/^)-(-|f)-,/(/'t|^)-l" 



230 BigUr: FöUmiial em^r eüiptiseken Wake. 



Man ist 



also 



folglich 



P- VäB 

t 

s 



nimi 






2Wi 



dWi dto 



18 



P dw di ^ PS^i^ 



and weil TT^ für t = u verschwindet und für « = t zu 
wird, so erhält man 

/OD 



c. DarstoUnng des Potentials der elliptischen Scheibe durch 

elliptische Integrale. 
Es ist 

(Wog oino Schlinge ans dem Ostponkte nm den Pol t) 
oder anch 

/•-yr«/(i-r^).f 



du 
^YABm'J -. 

— 1+ //+///+ /v 
Integral / ist gleich dem Potential der EUipse, alao 



'-^-(-f^) 



BigUri BtUnlial einer elliptischen WaUe, 231 

Bei Integral n verwandle man die Schlinge in eine geschlossene 
CnTYC mn die Pole — ^, i^ and i' und gebe derselben die Gestalt 
von Fig. 19. 

Ein Teil der Corve zwischen den Polen — il und t" werde auf 
die Realit&tslinie verlegt, und weil sich nun hier die beiden Wege 
aufbeben, so verwandelt sich die anfänglich geschlossene Curve in 
einen rückläufigen Kreis um den Pol —A und in eine geschlossene 
Corve um die beiden Pole i' und tf. Also 

/l du 
-p— . ^ (Weg eine geschlossene Curve um die Pole —-4, i\ t') 



/ l du^ 
^+« ' y(«— t*)(«'-u)(«"— !*; 





(Weg ein rückläufiger Kreis um den Pol — il, Erkenn- 
nungsort östlich von —-4) 



-4-t r ^ ^^ 



1 

(Weg eine rückläufige Curve um die Pole <" und t\ Er- 
kennnungsstandort östlich von if) 

Der Wert des ersten Integrals ist nach einem Lehrsatze von 

Cancby gleich 

2« 
i— — 



i(A+t){A+e){A^n 



Im zweiten Integral sind die beiden Pole i' und t* zugänglich 
nnd man erhält 

V 

du 



., o /* 1 ^« 

""=^1 Ä+uR 



Ich setze nun 

u = ^'sin*<p+*"cosV 

du 2dq> 






t<y «' 



und wenn noch 
alao 



232 Bigler: Potential eutr dUptUtlM Wabe. 

t-f 

und 

/9a = » , , Ca *= -7 :=, Z>a=— 7=== 

y^+t"' Vm+o Vu+o 

gOBOtzt wird, wo also der Parameter a nördlich lateral ist, bo erh&lt 
man 

1 du, 2 dvk 

^-H» ' -« " (^ -I- O V(< — T) ' Va— ib«iS«a5«t») 
Nun ist 

also 

und weil 

Sa _ 1 i 

Ca .Da * ^^4 ^ <") V(< - 1") "" V(X+ 1) (^ + r) (-4+0 
80 ist 

M ^^77^:- -, + ^* . n(a, K\ 

(^+<") T (r-r) ^ V(ii-H) (^+<') (4-H") 

und weil 

77(0, AT) — A:Z(a) 
so ist auch 

y^ i^ j 4*irZ(a) 



(.4 + V(< -o V(^+o(it+n(^+o 

folglich 

. i -• „ V^^og eine Schlinge) = ===.=z==^ 

^ -*+• A '^ "* 1U+<)U+OK^+0 

4A' MKZa 



ui + n >\« — n lu-f 0(^+0(^+0 

«ttd demnach 



4ri l^^KZi 



1 ^Jl— : J+r\^-fO 



BigUrx FbUntial €m$r güiptischen Walu, 233 



S» = SiL-a) -l--tV^±£). 

Cx - C(X - «) - ^^"^+^ 



D{*)=D{L — a) 



ferner 



VU4-0 



»J- _ «\ — -. ^"-^ S'« ^ 



also 



y(«-«")(-4+«") * 2^ 



4»JSrZa 4£ 



yu+ «)(4+ou+o (A + o y(r:=^ 

AiKZx 2n 



folglich, wenn fOr d. Arg. x wieder a gesetzt wird, 

4*yjBa!«.gZa 

~yu+<)M+«')(^+t") 

Weil non 
/ ■_. . p- (Weg eine Schlinge ans dem Ob^. nm den Pol t) 

ist, rnnss der letzte Aosdruck anter n aach erhalten werden, wenn 
das geradlinige Integral in ellipt Integrale Obergeführt wird. Um 
danelbe zu verwandeln, setze man 

«* — «+(«— *')tgV 
also 

• C0S*9 V A'\'t V cosV 

Setst man femer 



234 



Bigleri PotenätU eimer eUiptUeken Walze. 



also 



A+t' 
A+t 



k^Sh 



8a 



V(«'-ö (A +o' " "" V(<' — o (4 +o* 



Z)a = 



dann iBt 



1 du 



V(Ä + 1) 



2C^udu 



^-H* ^^ {A+t) V{t — O (1 — k^S^aS^u) 



Ans der Gleichung 



(A+t)(t'^n^(A+n(t--t'')+(A+n(t-t') = 



_Ä+t!' 




folgt, dass 



also 



Ferner ist 




1 <Sa<-j^ 



a — Ä^+or, wo < X < X 



l «/m 2(1 — 5»t>)rfi» 

.4-fH* Ht "* (.4 + > (7—0(1— **S*«S*«) 



«^tft 



'2du 



2l^a^udu 



(.4 + 1) > (i-n (.4+*)>(i— r)(l— lr«S*a/S«t*) 



und weil 



^* 






Bigltr: IhlenUal einer eüiptitchen Walte. 235 

K 



2 J JL+u ' R~ ,AA-t)^/ü=nJ ^ 







K 

^k^SaCaDaShidu 








4tK 4tKZa 



also 



(A+t) V(t -O V{A+t) (A+n(A+n 



M+0 V«-0 V(^+0(^+O(^+*") 
Weü 

a= i[+x(0<« <i) 

Bo ist 

also 

Za — ^(X-f «) — =r- \-Zx 



Dx 



y(*-t")M+«) 

somit 

4t £2^0 4i[ 



+-Z» 



V(^+o(^+o(^+«") (4+0 y(«-«") 

ÜKZx 



folglich 

/l du ^jKZx 

und schliesslich, wenn für a; wieder a gesetzt wird, 

4^•yAgg^i^Zc 
^" i{A^t)(,A+i'){A+r) 

wie anf Seite 233. 



236 Bigler: Potential einer elliptischen Walze, 

Um das Integral 

/l du 
ßj-^ ' -^ (Weg eine Schlinge ans dem Ostp. am den Pol t) 

""^ J B+u'R 
t 

ZQ verwandeln, setze man wieder 
also 

du 2dq> 



B+u^^i(i^^u.^^ 

' co8*9 V Ä + r V 
Femer sei 

B+tf 

also 

wo 

Sß < 1, also < /J < ä: 
Demnach ist 

1 du 2du 2B^ß.Shkdu 



- f 



und weU 

Dß 1 1 

80 ist 

/* '* 1 «fa_ 4K 4JgZg 

folglich 



Bei Integral IV verwandle man die Schlinge dnrch Eiaiehaltong 



Bigler: Piftmtidl emer «%(üdU» Walte. 237 

Horisontes in eine getchlossene Corve um die Pole 0, ^, i!' nnd 
gebe derselben die Oestalt yon Fig. 20. 

Zwischen f nnd ziehe man einen Teil der Gnrve anf die Re- 
mliULtsIinie zusammen nnd weil sich hier die beiden Wege anfheben, 
ao Terwandeit sich die anfängliche Cnrve in einen rückläafig ge- 
schlossenen Kreis nm den Pol nnd in eine geschlossene Gnrve 
um die Pole tf nnd <", nnd weil diese letztere Pole zugänglich sind, 
ao erhalt man 

/l du 
- • -g (Weg eine geschlossene Gnrve nm die Pole 0, t\ t") 

/l du 
-• -=- (Weg ein kleiner rückläufiger Kreis um den Pol 0) 



r 



-2/*öi)--f = ^'+^ 



Nach einem Lehrsätze von Ganchy ist aber 
ond wenn im Integrale M' 



Jt^B^i — :^^f 



also 



folglich 






8d 



C6 Dd' f-^lt^t") iii'f 

gesetzt wird, so erhält man 






ond somit ist 

/ - . ^ (Weg eine Schlinge) 



238 Bigltri Pbtentud nmr MpÜMcktn Wake. 

folglich 

Man kann nun aach die Schlinge des Integrals lY. anf die Ueber- 
gangslinie (t-Ostpnnkt) zusammenziehen und erhält 

00 

/it (Weg eine Schlinge) -^f\'% 
Mittelst der Snbstitntion 



findet man nun 



vo 



2 /*'•— = -i£=4- iÜlL 
J u R " t^(t—i'y -^(tt't") 



V*y(<' - «") 

' y«y(«'- «") 
y(r=F) 



Dy = 



Vi 



nnd somit ist 

4.YÄBz^K U^ÄBz^ KZy 



b) IV 



tVt-t" itv^' 



Die Formel a) soll nun mit der Formel b) in Uebereinstimmung ge- 
bracht werden. Aus den Formeln geht hervor, dass 

J = X+a; 

wo 

<«<!. 

und y nördlich lateral sind. Man setze deshalb in Formel (a) 

J= K+x 
und in Formel (b) 

y -= L-^x 

WO X nördlich kiteral ist Weil nun 



Bigltri PaUntial eintr elliptUehen Walze, 239 



Also 



SO ist 



ytTF" " ~ «'/"y'(7=l'^ y«7r 



'Wird nun dieser letzte Wert in Formel a) eingesetzt, so er- 
hAlt man 

Ferner ist 
also 



CxDx in («-t')y-t" 7^_'j!. 

somit 

und setzt man diesen Wert in Formel b) ein, so erhält man 



V) IV 



" VH'r t'Vit—n 



eine Formel, die nun mit a') übereinstimmt. 

Das Potential der ellipt Scheibe, in ellipt. Integralen ausgedrückt, 
ist also 

_ 4yZg^ _ ^flBK f _^ _y^ z\ 

y(?-?) ^/'{^^f) \A+t'^ B+t'^ t) 

4 ilTÄBx^KZa 



+ 



y(^+o(^+<')(^+o 



240 Bigler: Potential einer eUiptitehen Walte. 



oder, da 



A+t 



ist: 






Wegen des Factors Va^B) im Nenner gestattet diese Formel 
nicht unmittelbar den Uebergang zur Kreisscbeibe. Um sie aber 
dafttr einzurichten, setze ich 

a = K+a' und ß — K— ß' 

wo «' nördlich^lateral und ß' reell ist Nun ist 

und weil 

■/u'-«") y«'-t")' vTT-«") 

80 folgt 

Ebenso ist 
und weil 

■/(!'_<")' i* y («'-«")' yö— «*) 



so «rhUt man 



y(Ä+«)(<-o 



BifUrt /VüBfiay mmt tUiptiBclm IToIe«. 241 

ElTBetzt man in diesen Formeln — t' durch ^— Ccos'O, wo 
ist, so erhält man 






und 



V^V-ß+i'fflnO 



' Ist nun 

C=rA—B 



sehr klein, so liegen a und /3 nahe bei K, und o', /3' sind sehr klein. 
In diesem Falle ist aber 

und 

^=(.-f),.-0-|).^=^-yc(.-D,^, 

•omit 

iVCcoB S 
iVCe OB S 

and 

ycsine 

Ferner ist . 

M+ou+«')cog»e _ (A+t)(A+t') 

also 

Anh. 4. lUtk. «. Phys. 2. B«ih«, T. YI. 10 



242 BigUri JPbUnM etiMr tiUpüai^m Wabe. 

VÄxiZa C08*0 ,, . . .^ , ,v^v 
7-7^^ i=^=-((A + t)E—(t -t'W) 

and 
folglich 

und somit das Potential der Kreisscheibe mit dem Badins r 

d) Besondere Lagen des Bezugpunktes. 

q) Der Bezugspunkt liege im Unendlichen. 

Weil in diesem Falle t sehr gross ist, so kann man den Inte- 
grationsweg so legen, dass nur sehr grosse Werte von ti in Betracht 
kommen. Man darf deshalb neben u die Wurzeln V und ^' und 
neben t die Constanten A und B vernachlässigen. Weil nun auch 

so ist das Potential 

/ — P V(u- r*) du (Weg eine Schlinge aus demOstp. um 



Durch Einschaltung des Horizontes in die [iSchlinge kann man den 
Weg in einen kleinen rückläufigen Kreis um den Pol verwandeln 
also 

Weg ein kl. rückläufiger Kreis 
um 0) 



P=-.yi5/5^=^>.« 



und nach Cauchy 

p = n'^AB _ Masse 



r Entfernung 

b) Der Bezugspunkt liege auf der Focalhyperbel. 

{t! ««" B) 

Aus der Integralformel fflr das Potential findet man 



BigUr: PiUniial einer eUiptuchen Wahe. 243 

« . •/-T^ P "/(i^— «0 . (Weg eine geschlossene Cunre um 

"^ — » y AB I TT—t — 7- du 



f 



(A^u)u die Pole —A und 0). 

Dieser Integrationsweg zerfällt nun in zwei Kreise, von welchen 
der eine den Pol — A und der andere den Pol rficklftufig umgibt 

Es ist also 

p^ _. y -7» C T^(^"~**) A (^®8 ein rückläufiger Kreis um den 
"" * J (il+u)tt ** . Pol 0) 

-1- • -i/TB /" V(H-<*) j (W^ ein rückläufiger Kreis um 
-r » r^/^y (^+u)(-u) **** den Pol -^) 

and nach Cauchy erhält man * 



yA+t'+vt 

Fflr die Brennpunkte der Ellipse ist folglich 

c) Der Bezugspunkt liege auf däm Rande der ellipt. Scheibe. 

(< — <' = 0) 



Es ist 



"^-Bo/ U+«* "^ ^+« y y(u— o 



Setzt man nun im ersten Tenne 

u = t^+(i4+OcotgV 
so wird 

also 

V(;^II7^"" sin«9 ''^^ 



w 



244 Bigler: Potential einer elliptischen Walzt. 

. CO 



und setzt man 
so ist das Int^^ 

4VÄB V{Ä+rjs 

Im zweiten Terme setze man 

tt = t''+{—B - 1") cotg»x 
and zugleich * 

^m^ — y=?^ 

und verstehe v pos. ; dann ist 



yji 



du 



= 2y-JB-t")ßS: 



— Ä-«" 



folglich 



= fin*z 



> ß+« du y 



y 





Also 

4y:4i 






Fttr das Ende der grossen Axe ist 

t" B 



also 



4VAB i(4-B) 



und für das Ende der kleinen Axe ist 



Bigler: Potential einer eüiptischen Walze. 245 



p^^VÄB ^^f^A+VA-^TB^ 



VAS 



■ '».(^^^^-^ 



Aach diese Formel gestattet nicht unmittelhar den Uebergang 
zam. Kreise. Wird aber — «* durch -4— Ccos*6 ersetzt, so erhält 
man 

, /, . ^, (JA - Cc os»e + VC sin e\ \ 
+ y6sineiog^ y^' jj 

and weil man nun für ein kleines C den Bogen durch die Tangente 
and den Logarithmus durch den Znsatz zu 1 ersetzen kann, so folgt 

P « WA — 4r 

wenn v der Badius des Kreises ist. 



§. 13. Die Eraftcomponenten der elliptischen Scheibe. 

Die 1. Abgeleiteten sollen aus folgender Form des Potentials 
abgeleitet werden: 

(Weg eine rückläufige Schlinge aus dem Ostp. 



^/ÄBf% 



um den Pol 0* 
WeU 

so erhält man 

du 



^X^-iABzJ j^ 



w.v 

OB 



ay 



« /— = P \ du 

t 

,_ /• 1 du 

-y VAByJ j^. ^jj 

, — r 1 du 

t 

(Weg wie oben^ 



246 Bigleri l\>Untial emer tUiptuchM Wahe. 

BP „ ,-— PI du 

t 

(Weg wie oben.) 
Aas diesen Fonneln folgt, dass 



t 

.00 



'-2VÄB J'il^W^ . ^ 



t 

00 



--2Vi7/f+2ViB/^.« 



and somit 



wenn T' das Pot der Ellipse bedentet. 

Die Integrale fOr die Abgeleiteten zeigen femer, dass die Kraft- 
componenten X und y nur für solche Lagen des Bezugpunktes 
unendlich werden böQpen, für welche t = t' ^ ist, also für Punkte 
der Randellipse, weil dann der In^egrationsweg nicht mehr zwischen 
i und t' hindurch kann. Die Randellipse ist demnach für die Comp. 
X und Y eine Unstetigkeitscurve. Wir werden später sehen , dass 
Comp. Z für keine Punkte des Raumes unendlich wird, dass sie 
sich aber bei ihrem I^urchgange durch die Ebene innerhalb der 
Ellipse sprungweise ändert Aus früheren Formeln erhält ipiai^ 

^Va — B (A-{-t)V{t-t!y 

r = 4Ä- ( ^^^ - "^^y ^ 

yzöi 






Auch hier macht der Factor ^A—B im Nenner den unmittel- 
baren Uebergang zur Kreisscheibe unmöglich. Wir haben aber ge- 
funden, dass für ein kleines Ö = A^B' 



BigUr: PoUntial eimr MptUdiin Wah^ 247 

VBiZ« Vi cos 6 

und 

ist; folglich erhält man im Falle einer Ereisscheibe 

^1- .. .\-/rT-.-7^ (U + «)g-(<-«')i^) - "^ 



M+OVU-K) ' ' ' ' M-H)% 



'<-'^^-Tm^ 



Die Eraftcomponenten f(Ur besondere Lagen des Bezugspunktes 

a) Der Bezugspunkt liege im Unendlichen. 

Es ist 

/ — P da (Weg eine Schlinge aus dem 

^ y^^^J (2ftt)uyir=^« Ostp.um den Pol r*). 

Man verwandle nun die Schlinge durch Einschaltung des Hori- 
zontes in eine geschlossene Curve um die Pole —A und 0, und 
weil sich die Wege auf der Bealitätslinie zwischen — il und auf- 
heben, so erhält man als neuen Weg zwei kleine rfickläufige Kreise 
um die Pole —A und 0. Man erhält also 

. ^ — n 1 du (Weg ein rückläufiger Kreis 

X - . yABxJ ^__^^^^ .^^ ^^ ^^^ p^j _^^ 

1 ,df* (Weg ein rtlcklänfiger Kreis 

{A+u)Y{p^^) '^ wö 0) 

und mithin nach Cauchy 

n^AB ^ , 
jr- -^ — •CO§(r«) 

Ebenso findet man 



248 BigUrt PötmUuU emer eüiptitchBm Wob», 

F— p C08(ry), 

„ njÄB , ^ 
Z« j5 — C08(r») 



b) Der Bezogspankt liege auf der Focalhyperbel 

(«'-«" B, y-0) 

Man findet 

J5r — — 1/55 a; / ^ — ; (Weg eine Schlinire) 

«= — i YÄB X C ^" (Weg ein rttcklÄnfiger 

J (i4 + u)(^+tt) V(«— u) Kreis um — B) 

\;-\/^j^r ^^ (Weg ein rficklänfiger 

"^ * / V(i— tt)(— ^— u)(il+tt) Kreis um den Pol —A) 

- ^— ^ \i Ä -^t i B-\'i) 

2nVÄBx 



V{A+t) {B+t) (Va+ t + VB+t) 

Ebenso ist 

2n^AB» 



F— 0, Z« — 



und fOr die Brennpunkte der Ellipse 

« 2«a5 



c) Der Bezugspunkt liege in unmittelbarer N&he der Bandellipse. 

Um den log unendlich werdenden TeU abzutrennen, ersetze ich 
5^ durch ^ - ^;^^=i-p- Da 



gesetzt war, so hat man 



r' - 2Vab I^ 

t 



BigUr: PaUntial emer «/ApIwdUii WoIm. 249 



X 



Jr--^rr;2r' + 



2Vab 



B /*u — « du 

t ^J ^+tt • R 



X 



A+t ^ A+ 
— I + U 

x_ 4t^^ABK 

A+t • i/iT^reT) 

und weil 

yiÄ+t)(A+n(A+n 
^aV(a^b) 

8o erhält man 

^ 4VJ? vü+ö y(^+jo ^ 

Nnn ist 

jr(ife«) - - »X (?) 

ilso 

Um Int^pra) U zu berechneD, machen wir Sabstitation 

tt = < — (« -O^ 
also 

y(ü=?^) = V(i=ö^, 

Ä "" "" V(^tf?^)' 

• tt — t {t — tp <s^ 



Setzt man nnn 



also 



/S»o 



«— «' t—i'_t—i' 



5..VCT ^_>^^ z)«-:^. 

y^+i' v^+* y^-H 



250 BigUrx PoUntmi war eUiptueken WoIm. 

a = K^ß (0<ß<K), 
80 folgt 

u — i du (t—t')S^ 2idv 

^-^-''"M+.)(.-^,^)■v«---F^ 

2i(t-'08^vdv 

"" (^+0 V(r^ (1 - k^S^aS^) 

"^U+OV^*-^ **^ CaDa(l — k^S^aSh) 
Nun ist 



also 



1 V{r^iA-\-t)l 

k'SaOtDa '~ (t—t') V(^+t')(^+<")' 

«— «* 1 VünR 

U +<) V (t-f) 'k* 8a Ca Da — V(A+t')(A\-f7^) 



and somit ist 

00 



/* u—t du _ 2»V(.4+«) P k*Sa CaDaSh>i 

( s 



Weil 



2yB V(Ä+t')(A+F) 



so ist 






üVaB Pu—i du 4VJg tiI(JL,tt ) 



und weil 



n{L,a)^LZa^ "2"*""2ä" 

80 ist ichlieistich 



y 4Vjg /., ^ . n na . ,^CaDa\ 

Dieser Ansdnick soll oaci^ <> ^ mit Veraachlässigang der mit 
log(c — (') maltiplidrteii zwdter Ordoung entvickelt werden. Weil 

mit YenutchUssignng von k*\ogk, ...; 

n «Hil ^Ü)/'ij._l_V_*-*'^i * j_ \ 

log| -il«g^*- ilog(^=^) (i_^-i.^-r^4. ...) 

— i'<« ITj^ — «Zip + • • • 
alao 

ii - (i+i=i^-^?yl+ ••.)x Oiö«:=T^-i(=?^+-) 



. .(-0_.(<-0'l 



t—t' 



- + * (Ti^) ) X 4iog (:?ri^) - i • (^p>j + J pT^j + . • . 
1. «— «* /. . ,*-*'\ 1«+«' , 



Ferner ist 



/V- 



Zx '^ I [Bhi-^^jdx 



und weil in anserem Falle x < JT ist, so setze man 

sin^ «■ iSx 

mlM 

dy 

folgUch 

Fflr ein kleines ib' ist aiiQ|i 



/ 



252 BigUr: Potentiai nntr tüiptuchen Walu. 



und 



folglich 



also 






E 4 



Ferner ist auch 

(1— ik«8in«y)» « (l-|*(l-cos2^)y'* 

k* k* k* 

— 1 — j- + 7-co82<p— 22 (1— 2co829+co8*2g>)-|-... 

- 1— -^ +X ^^^^'^ ~ 32 (^l-2co82<H- 2^- J -f-... 

= 1^ — + — cos2<p- -ßj- + iy C082g> -^ h- 

und ebenso (1— Ar'sinV)'"" 

- 1+j- - ^ C082<jp+gj ** - jgÄ:*C082g> 

+ ^Ä:*co84g4-..., 

(1-A;«8in«9)-» . ^ - 1 — iÄr« - iik«C0829> - ^** — ;^^C08 29 



und 



+ gjifc*C084g>+ ... 



E 

(1 — ife*8inV)* — (1 — Ä:*8ing))-S . w = ik*con2g> 

4" jß ifc*(2cos29 — COS 49)+ ... 
also 

Zx= I (2**^8 2g>+ jgib*(2c08 29) — C0s4^)(i9 



— j ik>8in29>-f- jgifc*(8in2y — J8in49)+... 

(ik* 1 \ 

"2 + Jß ^(1 + 2 8in*g>) ) + ... 



BigUri Pattntial einer tXtiptUchen Walze, 253 

die Entwicklung der Z Function hat also für ansern Fall folgende 
Form: 

Z« ^^ 8aCa+^(SaCa+2S^aCa) + .,. 



wenn 



also 



1 t-^ V-i^' .Vu+t") „.?=^t_e 

ige --ms 

V—«" 



daher ist 



Es sei 



yA ^ ^^^^ yj 



iLZa = \ '-/tgö.log:^, 



«« a: — /3 



na 



man soll »^ berechnen. 



Sa 



cp _ y^+t^" v^+<^7 , /"\— V« 






Wenn 

ama » qp 
also 

sinqp — sinö^l — 2^j 
so folgt hieraas 

qp=ö-itgÖ^ 

Non ist 



= 8infl(l-i^:) 






^ ■»/(-** sin« 9) 



= / (l-\-i!c*Bm*ip)dq> = q>+ ii^sinycosqp 



25=^ Bigltr: Potwtud nner eütptisehen WtOf. 

also 

^ ^ ^* 

— ö — itgd. 2-"i:r?rsinöco8d 

t' t—t* 

— ö-4tg.- — J.;^,tgdC08«ö 



1. ^ z'^«' I ^-''^ 



und endlich 
also 

Ferner ist 

Ca Du p^(A—i') -^(A-{-f) ^(Ä+f 



Weil 



p y{A-i') 

Sa J y_t"+«-y(^^) y_/' '" 

V*^2^ 2i-«' * a) 

'«<-»(^+=p')) 



(,+,t^)(,_,(-+,y)_._i(^;+.i^) 



so ist 






-itgö-S^ 



folglich 

4yÄ r ,, —16«" ^r .«-H'x 



Für den Fall einer Ereisscheibe ist 



BigUr: BOmUUd eiiwr tUiptUehm Wabe*. 255 



•«""yCTT"-— VA 
also 






cos ö 

4V^ 



»+'■'6+^)] 



Um auch hier den anendlich werdenden Teil abzutrennen, ersetze 

■»»" Ä+;i <*""•' 5+« ~ (^+?5=hö ^* 



QO 



80 ist 



r = 2v^/^" 



R 



V 



00 

2y^JB Pu—t du 



„. , 2y^JB pu 



WoU 



J?+/ * ß+t ^ J J?-ft* Ä 



4yZB r(i») 

y(*-o 



so ist 

4V.A y -B—i ' iB-\-t' 
^"* V(5=li V-«"-' V^- 

r —16/"/ <4-«'\ ,«+«'1 

x[ilog-,-p-(l-i£i.)-i5.J 



256 Bigler: Ihtential einer eiü^Häehen WaUe, 

Um U, zu berechnen machen ?mr folgende Substitution 



also 



wo also t; von bis L wächst. Es ist nun 



B+t^ 
Man setze daher 

und kann dann 

VB+t' V^+t VB+t 

annehmen, so dass b zwischen K und K-i-L liegt und dass 

Weil _ 

2y^g 2V^ rr VÄ+t' 

so hat man 



11= — 



_ L 

Vä^bJ B+t y(i3ir) Vb+v ' 



4: VA p k^SbCbPb S^ 4y^ _ 



^Ä(^--f+'s) 



BigUri PbUntUd tiner eUiptiMchen Walu. 257 

Wenn 

b^ K+b' 

80 ist b' nördlich lateral and liegt zwischen and L, Weil 
so sind 

Da nun 



1 = 



80 sind 

yj?+<' yi^+«' y(<-o y^+i' 

Aas 

folgt, dass 

y(t-t''){B+t)(B+t') 

Daher ist 



27 4y4 



y(^ - ä) L \ y(;_<")(;ö +1)15+^0 ^ 2JC J 

Annähernde Berechnnng von II. Wenn amb' = i%, so ist b' 
gleich 

Femer ist 

56' = tfinx 
also 

Man setze daher 

yZÄ=?> 

R"^ = — vT" 

folglich 

Arch. aer Math. n. Phjt. 2. Reihe, Teil YI. 1 ' 



258 Bigler: Bitential einer eUiptitchm Wala. 

yzir 



COlf» 



Vä 



y_t"-l_y_Ä-t" 
** - '«8 W 

Nun folgt aas obiger Formel 



also 
also 

oder 

folglich 

oder 






B 



Weil 



so ist 



. 1 *' 



n 



2K 



l-ik* 



*^ = -X+i**f«"XCOJx 






= -t^+i 



y^? ■ -B 



Z«' = 4**56' CT' = i '(*—«') V-B^ 

B V—t" 

yct-ocB+oc-ß+o" -öy-t" 

-^"^ * 'OK -71:77, + ••• 
Also 

Endlich 



Bigltri PoUiOial naer e/2^tfüei«n Wabe, 259 

^-yl^ Ht^f" '*^i=?"'(^ -*i) 

Wollte man dasselbe Argument v, das durch 

definirt war, behalten, so bekäme man wegen des Nenners u bei der 
n Function ib*iS* (Parameter) — — --- > 1 und der Parameter läge 

zwischen L und K'\-L. Man kann aber einen reellen Parameter 
bekommen, wenn man L— (früheres Argument) als Argument wählt 
nnd auch mit v bezeichnet Dann ist 



u = < — 



t—t" 



S*v 
also 

.du — 2(t-n^dv 

•ISO ^ 








wenn • pos. nnd 



fc»S»c= * 



I— t" 

Fttr eia vag. n h&tte man den entgegengesetzten Ansdrnck erhalten. 
Man kann 



y(i-«-) '^ - y,-7- '^ - y(7=ö 

17* 



anDebmen. Dann ist 



BijJfr; Pnltntial ei'ntr tllipflKhin Waki. 






.-4.(iz,|;-f+g?) 



Wenn t und (', folglich auch h^, ala sehr klein erster Ordnung gelten 



sigt), so kann man c durch einen Winkel erseUen; und damit dieser 
in der Ehene der Scheibe anaserhalb der Ellipse verschwinde, rauss 
er zugleich mit f, also mit Cc verschwinden. Man setze daher 



werde. Dann ist 



Vc^ 



ist, so ergibt sich 



Ä — it» sin i cos i = i lirlL 



-4i + 




Daa durch den Bezugspunkt gebende zweiscbalige Hyperboloid (jTi 
schneide den Rand der Scheibe im Punkte (X, }', 0). Den Abstand 
t beider Punkte kann man wegen seiner Kürze (insofern das kleine 
Stück des rechtwinklig scbu^idondon Hyperboloides als eben gilt] 
als kürzesten Abstand des Bezugspunktes vom Scheibenrande an- 
^hon. Fnr diesen Abstand • baben wir aber früher den Anadruck 



Bifttr: AImIüI ümt »tUplUchn Waln. 



ist endlicb. Man kann daher den ünstetiKkeitalogiirithmaa 



'og -. 



1 



durch log 

l&ssigt, wie bald in deu Unendlichkeitstermeu vq 
soll. Setzt man nun fbr den nächsten Aagenblick 



wenn man daneben endliche Worte vernach- 
Y gcBcbebeu 



r»-(,_X)«+(y-F)» 



yM+<)(-^+'')(^-K') 



^'^) 










folglich 



Uan kann sieb r als Projection der kleinen Strecke i auf die 
Ebene der Kllipsc denken. Weil t im Ranme normal xur Ellipse 
ist, so ist es auch r in deren Ebene. Wenn f ^ 0, so liegt der 
Punkt (i, g, i) in der Ebene der Ellipse ausserhalb der Cun-e , und 
r igt dann pos. Die Froj. des Punktes liegt also ausserhalb, wenn 
t-\-t' pos., innerhalb, wenn '-}-'', folglich auch r, nog. ist. r und « 
rind Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, » dessen HypoteuoBO. 
Der Cosinns des Winkels, den i mit r bildet, ist 



262 Bigltr: Potential tmtr eUiptUchtn Walte. 

r t+t' 



$ t-r 



Weil aber 






sinX 



so ist 



ia - t') 



fi^— cos«X — 8in«X — C082X 



die Strecke a bildet also mit der nach aussen gerichteten (in deren 
Ebene befindlichen) Normale der Ellipse den Winkel 2Jl; man hat 

r » tfC0s2X, z « tfBin2i 

In tiefster Näherang ist 

2 = — 4X (wenn man das weglässt, was im ttande verschwindet. 

Wenn nun der Winkel 2A von — 9r bis zu +» wftchst, so dass 
die Strecke a um den Punkt des Randes, von dein sie ausgeht, eine 
ganze pos. Drehung ausführt, so nimmt die Eraftcomp. Z ununter- 
brochen von 2 TT bis auf — 2;s ab. 

Bedeutet fc den Winkel, den die Normale der Ellipse mit der 
X Axe bildet, so ist 

X — -X-=rCOSf*, y — F^rsiUfi 
folglich 

cosu = , — 

Die unendlich werdenden Aafangstermo der Ausdrucke für die zwei 
ersten Abgeleiteten (Eraftcomp.) waren aber 

y _ 2VB(Ä+?') , —16«" 

^ " y(^_B)(-t"r'^« 7=r" 

2VA(—B'-t"), —16«" 
VM- B)(- t") *«-«' 

nnd fflr diese kann man also auch 



^log-, Y Sinolog - 



Aas der allgemoineu Tlieorie des Poteutials ist bekannt, daas 
die Kraftcomponenle eine Fläche, welche mit Masse von variabler 
Dichtigkeit bdegt ist, in der Richtung der Normale sich beim Durch- 
gänge durch dieselbe sprungweise ändert und zwar um 4itp, wenn 
p die Dichtigkeit int Surcbgangspnnkte bezeichnet, und die Flächä 
in neg. Richtung passirt wird. Dieser Satz wird gewöhnlich mittelst 
des Ganssischen Lehrsatzes bewiesen; alleiu er kann auch durch 
oioe einfache lategration gefunden werden. Zu diesem Zwecke grenze 
ich äof der Fläche ein kleines, kreisförmiges Element ab nud er- 
richte im Mittelpunkte derselben eine Normale, deren pos. Seite 
nach anssen gerichtet sein soll. Es ist nun zu untersuchen, was aus 
der Kraftcomp. in der Richtung dieser Normale fQr den Durch- 
gaDgsp. wird, wenn die Fläche in pos. oder neg. Sinne von dem Be- 
zugspunkte possirt wird. Liegt der Bezugspunkt auf der pos. Seite 
der Normale, so sei die Eraftcomp. der Fläche in der Ricbtg. der 

Noraale mit N, liegt er aber auf der neg, Seite , so sei sie mit 

N bezeichnet. Wird nun die Normale von dem Bezugspunkte in 
pos. Sinne durchlaufen, so erhält man für den Durchgangsp. 



JV.^ + a 

wo Ao die Kraftcomp, des ausserhalb der kleinen Kreisecheibe lie- 
genden Teiles der Fläche ist, während sich a nur auf die abgegrenzte 
Kruisecheibe bezieht, Wird hingegen die Fläche in neg. Sinne pas- 
airt, 80 erhält man fttr den Durchgangsp. 

wo sich a, Dur auf das kleine abgegrenzte FlächenstUck bezieht 
Der Unterschied is! also 

+ - 

N—N= a—oy 

und mau hat nun nuch die a zu berechnen. Der Mittelpunkt des 
abgegrenzten , kroisfürmigcn Fläcbeaelemeutes werde als Ursprung 
uiaea neuen Coordiuateii Systems gewählt, dessen pos, z Axe mit der 
pos, Normnle zusammuDfällt. Der Bezugsp, hat dann die Coordi- 
nalvn (0, Ö, i). a sei der Radius dor Scheibe, i- die Entfernung dos 
Bezugspunktes von einem Funkte derselben und h Radius eines auf 
dem Flächenelemcntü liegenden Kreises, wo ■< A < a. Das Flä- 
chen ei ement der Kreisscheibo ist demnach ^Tfkdh, und weil ftlr die* 



I 
I 



264 Bigler: PoUnÜal emer eüiptisch$n Walze, 

selbe Q als constant angesehen werden kann, so ist das Potential 
derselben 

Pot. '='2nQ I — 

Nnn ist 
also 

rdr «=■ hdh 

folglich ist für ein pos. 

Pot = 2nQ I dr = 2»pVa*+»«— i) 
und für ein neg. s 



Pot = 2»p(ya«+i«+») also fttr » — 

Pot -»2ff^a 

Das Potential einer stetig gekrümmten, mit Masse von variabler 
Dichtigkeit belegten Fläche hat also keine Unstetigkeitsponkte. Ans 
obigen Formeln für das Potential folgt 

und also für den Ursprung 

^ + 

8 Pot ^ aPot. ^ 

Es ist demnach 

a = — 2jrp nnd Oj «• 2w^ 
folglich 

also 

+ - 

Anf diesen Satz nun soll die Kraftcomp. Z der elliptischen 
Scheibe geprüft werden. Wir hatten 

Z -= — VIS /*- — — ^^®^ ®^°® rückläufige Schlinge aus dem 
"°" J u R Ostp. allein um den Pol 0- 

Durch Einschalten des Horizontes in die Schlinge erhält man nun 



Bigltr: Poltntial tintr tRiptünhtn Walit. 



--'V^/'.f 



du (Weg eiD kleiner rUcklänfigor Kreis 
allein nm den Pol 0) 

, ._/ys r -— ^- '^^ß ^'°^ Corvo nm dio Pole 

-l-.Y-tfly {-«) ~R' f undt") 

md nach Cauchy erhult man deuinaeh fUr ein pos. z 

= - 2„-\-i-]/jLhfy~ . ^, (Weg wie oben) 

«nd ftlr «n neg. ■ 

Z = 2t - .Y^ / =^ ■ fi' f'^^'B *"¥ vorhin) 

Da nun die Integrale auch für a = einen endlichen Wert be- 
baiUtn, 80 verschwinden für diesen Fnll dio zweiten Tenne, und man 
bekommt fflr einen Punkt der Scheihe 

+ - 
Z—Z-' — 4jr 

wu der Dichtigkeit 1 entspricht. 



S- 14. Berechnung des Diffcreutialparametors 
zweiter Ordnnng. 

Um den Differentialparameter zu berechnen, gebe ich von den 
Integralaaadrflcken der ersten Abgeleiteten aus und benutze als Inte- 
grationsweg dio Schlinge, welche aus dem Ostpunkte allein um den 

( geworfen iat. Weil für alle Punkte der Rand ellipBe die Comp. 
X und T unendlich werden und dio ganze elHptiBcho Scheibe für die 
Comp. Z eine Unstetigkeitsflacbe ist, so müssen wir alle diese Punkte 
Ton der nachfolgenden Betrachtung ausscbliessen. Weil 



' W^ ■ ß+w 



266 ßigter: Potentiai einer eüiptUehen Walte. 



e'- ->'-/(.t) w.-^-/5i; 



du 
llW 



du 



(Weg wie früher) 
folglich 

Nun ist 



i^+tt) 



du 



_i. diogu* _ 2 au 

^-|-t« du ü ' 3tt 

also 

AnfangBW. 
oder 



§. 15. Das Potential einer elliptischen Scheibe von 
der Dichtigkeit 1 ist eine homogene Function 1. Grades 

der Grössen V-4, VB, x, y, «. 

Wenn in der Formel 

0» 

P^2'VAB I ^^ du 



^^-.n 



die Elemcuto VA^ V^, x^ y, a resp. durch ctVA\a^B\a3if^ ay\ ai 
ersetzt werden, dann geht dieselbe in 






BifUn I\>unimi mmt MptiMcUm Waiu. 267 

aber und somit ist P eine homogene Function 1. Grades V A, VBy 
JB, jr, s. Abo ist 

Diese Formel erhält man auch auf folgende Weise: 

Das Potential einer ellipt Scheibe, begrenzt von der Ellipse 

Ist nach fVttherem 



/OD 



wenn 



TT,« - 1 — 



Ifj« — Ua«+u)(jBa«+u)i* 
Ersetzt man nun u und t durch «^ und a't and setzt 

dann sriiftlt man 

CO 



p^^2Vab r^du 



somit ist 



«^ - 2 Vü/I^*. - V^ g^+ VB g^ 



folglich 

was so erwarten war. Nun ist 

OD <m 

demnach 



Potential einer elliptlscben Scheibe Ton der Dichtigkeit 1, 
deren Pnokte den Clelchungen 



genügen, abgeleitet mitteht des dlscontlnnlrlichcn Factors Ton 
Dlriehlet. 

Die CoordiDaten des Bezugspunktes seien a, b, c; diejenigen eines 
Punktes der elliptischen Scheibe x und y. Wird die Entfernung 
dieser beiden Funkte mit r bezeichnet, so ist eine erste Form des 
Potentials 



Pot. 



-ff-^^ 



wo sieb die Integration über alle Punkte der Scheibe ausdeliat. Be- 
deutet nun N eiao pos. sehr grosse Zahl, so ist 



Ich betrachte nun das Integral 






Der Weg dcrselbeu 



sei eine ans dem Westpunkte um den Pol geworfene, rocbtläufige 
Schiingo. Sind die reellen Comp, von a und h pos. und ist e ein 
achter pos. Bruch, so lässt sieb der Weg auf die Re&litätalinie 
zwischen — m und zasammenziebon und weil 



"ft 



•'/'■=^^P''» 



so ist (wrenu — od .., eine aus dem Westpunkte um den Pol 0| 
worfeno Schlinge als Weg bezeichnet) 



— OD .., eine aus dem Westpunkte um de 
lingo als Weg bezeichnet) 

-^u^ ä, = (.;-o+.i - .—»"1)7 —JH.— '" 

— Ot;.,,0 



BigUrz ACmlio/ etiler elUpiüchem Waizt, 269 

00 



WeU 



^^ ^ ^ r{c)r{\—c)J ~^^ ^ 

Ol 
00 »••0 ""00 •••*' 

also nach einem bekannten Satze 

2inb^ 



f^i- 



O+e)* =: 



—00 »"0 

ebenso ist 

2t3rof* 



ft^t-iHc)dt 



— 00™0 

und aomit 

•" y «»+««- r(i+c) 

—00—0 

alBO nach Formel in 

00 


folglich ancb 

j d*-log^ 



Die imaginftre Comp, dieses Log. werde ansgedrflckt durch die Grösse 
der Drehung des Strahles von nach b bis zum Punkte a. Ich setze 
nnn h — — ig — «, a — — t^-j-t, g sei eine pos. reelle Zahl. Dann 
folgt ans VI fflr den Fall, dass g^\ ist 

00 



/-{^'^') " - '- n\ 



mlso 

OD 

e^ff*dt — log 



., *■ r^ 



9+i 

Bomit auch 

00 

2) 



-../a-'.-,,^ _,„;_={. 



Ans 1) und 2) folgt 



270 BiffUrt Fbttniial mmt WAptMctm Wob*. 

Ist hingegen < ^ < 1, so folgt ans VI 

3) 2.y*?^«'»»dt = logi^+f« 
und hieraas 

00 

4) -2»y ?^«-'i^d<-logj^ — Ar 

somit nach 3) and 4) 

OD 

1 /*aiii t 
VIU L I ^ (^ +e-^)dt - 1 

V 

/oo 
sin t 
-- — («•fl^-f6-^)di nennt man den discontinoir- 



liehen Factor von Dirichlet. Ist in demselben <^ ^ <C 1 , so ist 
der Wert 1, nnd ist 1 <C^, so ist derselbe 0. Wird nnn in dem 

Ansdrncke I für das Potential - durch das Integral der Formel II 
ersetzt nnd ist 



so kann man dem Potentiale der elliptischen Scheibe folgende Form 
geben 

In diesem Ansdrucke laufen die Variabeln 9 nnd % von bis -)-qo , 
und die Integration nach x und y erstreckt sich aber die ganze Ebene 
s » 0. Setzt man 



BigUri Potential einer elliptischen Walxe» 271 

und versteht VA^ VB und ebenso die reellen Comp. vonV-i^ — »9, 
V-ö^ — i(p pos., so ist, weil 

r2-(«-a)«+(y-i)«+c«, ^-J+^ ist, 

In Formel IX integrire ich zuerst nach x und dann nach y und setze 

Durchläuft nun x die Realitätslinie vom Westpunkte bis zum Ost- 
punkte, so durchläuft u eine neue Gerade , welche die R. L. unter 

einem Winkel schneidet, der kleiner als j ist. Der Anfang dieses 

Weges werde mit dem Westpunkte und das Ende mit dem Ostpunkte 

verbunden und weil nun die Elemente des Integrals / e-« du i 

diesen Punkten des Horizontes sehr klein sind, und innerhalb der 
R. L. und des Weges von u keine kritischen Punkte vorhanden 
sind, so lässi sich der Weg von u wieder in die R. L. verlegen und 
man hat 

J yA% — »<pt/ yAi^upnJ 

_Q0 =Q0 

OD 



m 






"Vax - itp 



VAx-ifp 
Ebenso ist 

+00 i-OD 



/-'"- - v^'"«'- /-"•■*- vÄ^* 



—00 —00 

-00 

somit 



/ 



272 Bigler: Potential einer elliptischen Walte^ 

+00+00 

-00 -00 



\V(Ai—i<D)(Bt—i9) 



<V{A2-üp)(Bi -üp) ^ V(A%+i<p)(Bx-i-i<p) 
and demnach 



VAß /♦ /»sin <p . / «-^ 





Um eine fernere Integration ausführen zu können, setze man 



8 



:, ^X — — i2^ 



somit 

00 00 

yjB P P Sin (f f er-Sfp 







'^ V{Ä+is){B+ü)) Vi 



Ich integrire nun nach (p. Es ist 



/ 



00 . „0? 







und weil die reellen Comp, von S — i und S-^-i pos. sind, so 
hält man die Formel V 





und 



/?^.-.^-^«.(i^»+-':=J^) 



f^,-s„^ _ r<i)Vs,±ipV«i=i 





folglich 



Bigler: Potential einer eüiptischen Walte, 27ä 

00 



XI Pot -väb/ (ys+i-ys-i 



oder auch 

00 









weil beide lutegrale für sich convergiren. Die reellen Comp, der 
Quadratwurzeln Vä+i, Vä— i werden auf diesem Wege von # pos. 
verstanden, und im übrigen überlasse ich es dem Leser, aus der 
Continuität die Bedeutung derselben für andere Lagen von » zu be- 
urteilen. 

Das Integral / , / , -= r= . -~ verschwindet im Hori- 

zonte wie 7;^- Man setze deshalb den geradlinigen Integrationsweg 

im Ostpunkte des Horizontes bis zum Nordpunkte fort, um die 
Nordhälfte der lateralen Axe zum neuen Integrationswege zu machen. 
Hier setze ich nun 



•2 



durchläuit nun $ von aus die Nordhhälfte der lateralen Axe, so 
fi von aus der Osthälfte der Realitätslinie. Ist nun % die Wurzel 
der Gleichung: 



die dem Ellipsoid entspricht, das durch den Punkt (a, 6, c) geht, so 
ist für das Intervall < n < < die Grösse T stets grösser als 1 
and für < < ti ist T kleiner als 1, wenn 

Aidu d. lUth. m. PhT». 2. BtUM. T. YL ^^ 



gesellt wird. Für das Intervall ^ ti < i hat man denmaeli: 

•SV 



log(Ä+»)-log(r-.i)-^, 



in 



und fllr < < t« ist 



t9C 



logCÄ+o-logd-r)^^. 



in 



logCS-O-logtl + r)- 2 

wo die Logarithmen von 7*^1, 1 — 7, etc. re^l verstanden werden. 
Uan findet somit 



^•2 



^2 

CO ^ t 



VT-i-Vr+i^ 



OD 



yM+u)(ii+«)« 



yM4-tt)(B+t*)tt 



Um das zweite Integral der Formel XI) auf ähnliche Art umzu- 
formen, Bettle man den Integrationsweg im Horizonte vom Ostpnnkte 
bis zum Südpankte fort und verlege den neuen Weg auf die Süd- 
hälfte der lateralen Axe. Hier setze man 



--*2 



für < fi < Mst 



\n 
log{S,-») = Iog(3r-l)-f 2" 



nnd flOr ( < M hat man 



Bigttr: PUtmtkd einer eßiptiwcken Watte, 275 



log(S|+0-log(2f'+l) + *|. 

log(S|-0-log(l-r)-*| 

wo die Logarithmen von 7*-)-l, 1 — T, etc. reell verstanden werden. 
El ist somit 



2 

00 t _ 

y^j— Vs, 'i d» /*yr+i— Vi— r 






yiA + i8)(B+iS) V« J y(Ä^u)(B+u)H 



2 * 2 



r/n 



+* / 



oo _ _ 

1/1+ rH-« Vi^r^ 

— rin 



V(.4 + n)(Z/ + ii)u 



felgtich nach Formel XI) 

00 






xa Pot = iVAB I v7TZrv7«x^~ ** 



Fortsetzung folgt spater. 



18» 



276 Hermes: Determinanten hei toiederhoUer 



XIV. 



Determinanten bei wiederholter Halbiriing cm. es 

ganzen Winkels. 



Von 

J. Hermes. 



Auf die hier betrachteten Determinanten wird man bei Unt^?''' 
snchungcn über constmirbare Ecke gefahrt und können dioBelt^^^ 
auch als Verallgemeinerung der Formol 

8in*a4-C08*a= 1 

fflr gewisse speciellc Winkel aufgefasst werden. 

Die zu Grunde liegende Figur ist eine sehr einfache, nämlich ^*" 
regelmässiges Strahlenbaschel (Stern) mit wiederholt-gerader Strabl^^' 
anzahl. 

„Bezeichnet a einen Winkel, der durch wiederholte Halbiraog 
des ganzen Winkels 2?! entstanden ist, also « = ö»"» ferner wt e*" 

ungerades Vielfache dieses Winkels , wo u die Werte 1, 3, 5 - - - 
(2»-2_i) annimmt, und wird nun eine Determinante gebildet, derC 
erste Colonne der Reihe nach die cos(ua), deren zweite cos (3«^^ 
etc., deren letzte cos (Ana) für 1 = 2^-^-^1 enthält, so stellt der 

numerische Wert dieser Determinante, falls v^3, eine Pote0^ 

von zwei dar, verschwindet^) aber filr einen doppelt so gross^^ 
Wert dos Winkels." 



1) Vgl. Baiser, Detemunanten 9 17, 3 



Halhirung des ganzen Winkels, 



277 



Die wievielte Potenz von 2 wird wol hiebei erhalten? 

Beginnen wir mit v — 4. 

Die Determinante D^ wird dann: 



Da 



cos a cos (3a) 

cos (3a) C0S(9a) 

cos (9a) =" cos 



. 27t n 

für « - gT - 8 



(?)- 



COSa 



ist, und sin a statt cos (3a) gesetzt werden kann, so wird 

Z>4 •=» — cos*a — sin*a — — 1 
-/>4=1=.20 



also 



Wir können aber auch diese Determinante dadurch ausrechnen, dass 
wir die erste Colonne zur letzten legen und 

cosaj+cosy = 2co8( -^^j cos ("2 7 



anwenden. Indem 



C08(j)-sin(^) = iy2 



und zur Abkürzung 



gesetzt wird, ergiebt sich 



cos {ma) B Cm 



— D, 



wie vorhin. 



-V2 



<?B -^8 



2V2ciC^ « V2sin |^ - 1 = 2» 



Dass Z>4 für einen doppelt so grossen Winkel a «j- verschwin- 
det, folgt für 2>4 (wie auch allgemein für Dr) daraus, dass dann 
an Stelle von 

iy2 - cos (J) 

der Factor cosf^ J = ö tritt 

Für V — 5, also 

2» n 

**'^2*"""i6 



wird ^5, indem Zeilen und Colonnen zunächst umgestellt werden 
mögen, 



278 



Hermes: Determinanten bei wiederkoUer 



Ci 



«6 



<?7 <?9 <?5 

+ + + 

+ + + 

+ + + 



wobei dio mit + aasgefttllten Stellen stets ein -f-c» enthalten Mdlen, 
dessen Numcr n das Prodact der Nnmern ist, welche die in der b»- 
treffenden Zeile and Colonno am Anfange befindlichen e haben. 

Wird nnn die erste Zeile znr zweiten, die dritte znr viert«! ge- 
legt nnd der Factor y2* vorgezogen, so erhält man: 



D, 



y2«. 



<Jx <J7 <?s «6 

C, H — 

^S + + + 

(j, -f — - 



Hier deutet das minus aQ, das« das an der Stelle befindliche «b 
negativ zn nehmen ist. 

Es wird sich also die Determinante, wenn die vierte Zeile znr 
ersten, die dritte zur zweiten gelegt i|nd sodann der Factor 2 am 
beiden Zeilen herausgezogen wird, als das Product zweier Partial- 
determinanten darstellen: 



D^ = 2 V 2« 



cz + 



+ + 



2y2».V2.V2 



«1 c. 



falls man mit den Colonnen, wie vorhin mit den Zeilen verAhrt. 
Nun ist 






2« 



folglich das Quadrat » +i ^^^ somit 
Verfahren wir analog bei v — 6 ; 



so zerfUlt Z>« nach Absonderung des Factors 1/2^.8^ in das Pro- 
duct der beiden Teildeterminanten: 



BmUbinmg lUs 



Wmkät. 



379 



"l 


«16 «7 


0» 




«7 


+ + 


+ , 


«» 


+ + 


-f 




«6 


+' + 


+ 





+ + + + 
+ + + + 
+ + + + 



diese, nach Absonderang des Factors V2*^2' fürjede in das Pro- 
dnct der vier Determinanten: 






+ 



welches 



ct + 



+ + 
+ + 



-+'^(i)('^(r)--(T))"'^'(T) 



ist Im ganzen wird also: 



2Uifaa,yj|8aJ4'ia) 
ß« -» gj — 2» 



'6 



= 4* 



Bei V — 7, fllr 



2si is^ 
" " 27 "64 



tritt nach der analog aosgef&hrten Zeilen- and (Jolonnenaddition» ia- 

dem der Factor: 

V2«.2*.fV2*.«*}« 

gewonnen wird, das Prodnct der vier Teildeterminanten 



«I 


«16 


«7 «% 




e, «j< «6 


«^1 


«u 


+ 


4- + 




+ -f -f 


+ 


«I 


+ 


+ + 


• 


+ + + 


+ 


«* 


+ 


+ + 


+ + + 


+ 


«% 


+ 


+ + 




+ + + 


+ 


«1» 


+ 


+ + 




-f + + 


+ 


«6 


+ 


+ + 


• 


+ + + 


+ 


«11 


+ 


+ + 




+ + + 


+ 



auf, welches nach einer zweiten in analoger Weise auznftUifiiidin 



280 



Hermes: DeterminamUn hei wMerhoUer 



Zeilen- and Colonnenaddition ^) in das Prodoct der 8 Deter- 
minanten 



«7 — 


• 


«i 0$ 

+ - 


^6 — 


• 


+ + 
+ - 



S\ i 



übergeht, indem der Factor: 

{(-(?) )'-1 ■•{0»'(?))"-}'KO)*HT)y 

gewonnen wird. Da das Prodnct der 8 Detenninanten za je vier 
Elementen 

{^- cos« (^) (co8(^) cosg ) )*co.«(|) } * 

- &-<lK-(i))*} _ 

- {^i-|i8in«j} =(2iTf) 
beträgt, so erhält man schliesslich: 

A =^ Vh 2>* - 8» 

Bei 

2« 

wird man nach zwei vollen Zeilen- and Colonnenadditionen den 
Factor: 

y 2»« . 2 >«{ V28 . 28} » . ((2cos(|) T '^^ 1 M (^cos- Y2* | * 

.{(2c..|)'.^}*.{(^L-)',.}' 

and als Kern das Prodnct der 16 Determinanten za je vier Ele- 
menten, nämlich: 





«1 «16 
«16 + 


• 


«7 «4 

+ + 


• 


«» «IJ 

+ + 


• 


«6 «11 
+ + 




c, + 


• 


+ + 
+ + 


• 


+ + 
+ + 


• 


+ + 



1) Die letztere ist bei angeradcr Ordnangszahl v onr sar Hälfte anssa- 
führen. 



Balbirung des ffomen WinktU. 



281 









+ 
+ 



+ +!• 



+ + 

+ + 

+ + 

+ + 



+ + 
+ + 

+ + 
+ + 



erhalten, welches, wie sogleich allgemein gezeigt werden kann, 



ist, 80 dass 



1 

21« f 8 



U 



's 



21.16-1-1 J f 4.44-8 J , y 2^1 8-I-S.4 4 2.H4.1) 



21«-» 8 



-2«*-(16)W ist. 



Diese Determinante, die also erst dem regulären 256-Eck ent- 
sprechen {and beim257-Eck in Bezug auf die Bedingungsgleichungen 
daselbst in Anwendung kommen} warde, hat schon bei directer Aus- 
rechnung: 

263 130 836 933 693 530 167 218 012 160 000 000 

nicht verschwindende Glieder und zwar ist jedes Olied ein Product 
von 32 Diagonalen des Ecks [Durchmesser = 1.]. Die Summe aller 

v-4 

Glieder hat aber die einfach e Formel : {2^-^)* far v — 8, das ist 

(16)><^ » 18 446 744 073 709 551 616 

Die dem regulären 65ö36-Eck entsprechende Determinante würde 
eine Gliederzahl haben, welche mit 28504 Stellen zu schreiben wäre. 
Ihr Wert ist 

(2ie-4)« •*■*« (2M)i^ = (4096)^ 

Wird für immer grössere und grössere v (bis oo) die Glie- 
derzahl durch das Product aus der vierton Wurzel der Elementen- 
anzahl und dem Quadrat des Determinantenwertes dividirt, so ergiebt 

sich die Constante y2ii.O *» 0; fllr abnehmende v wird die Formel 

v-4 

(2»-*)« , welche fllr v — 3 den Wert 

(2-1)«^'- (i)4 - Vi = cos (p) - I eos« | 

hat und soweit noch stimmt, natftrlich illusorisch; ftlr v — 2 
z. B. wird 

wie vorhin, dazwischen liegt bekanntlich ftlr « = - ein Minimum der 
Function ^. 



282 B$rm§$i DttendboiiiM M mkiarkobtr 

Ans den voreteheDdeo Ansrechnmigeii der einfiMdwIea FiDe 
V -* 4 ... bis V = 8 unsrer DetermiiiMite ist nun schm der Ctaog 
des Beweises der Haoptsacbo ntch ersichtlich, so wie aach, daas die 
Fälle eines geraden v, we eine volle Anzahl Zeilen- and Colomien- 
additionen stattfinden mnss, bis man anf den Kern kommti und eines 
angeraden v, wo die letzte Colonnenaddition nar rar BUfta Mt- 
führbar, zn anterscbeiden sind. 

Die erste Zeilen- und Colonnenaddition giebt als Exponenten 
▼on 2 nnd V2, da die Determinante (2^-')' Elemente waA ah erale 
Zeile (oder auch Colonne) die 2*~* Cosinas mit den Nomem 

1, (2^'-» — 1), 2^-^ — 1, 2^»-f-l, 2«^ — 1, ... etc. 

enthälti wie ans der Analogie mit dem Vorgehenden folgt: 

1.2»-<4-2.2'-« nnd 2[.1.2«^+2.2»-«] 
die zweite Zeilen- and GolonaenadditUMi: 

4.2^-«+8.2^' nnd «[f-a^^+l.«'^] 
die dritte Zeilen- nnd C!olonnenaddition: 

16.2^-8+ 32. 2»-» und 2[ j.2»-«-f ^.2»-»tl . . . etc. 

Fttr gerade v wird nan die lo'^^)^« ^* ^- ^ leiste iKiile 
Zeilen- und Colonnenaddition: 

'2^"^ 2*~* 

2i'-«,2«+2»-«.a nnd 2\~YIg'^+^ 






Eine Determinante des Kerns, die ja vier Elemente hat, wird, 
wenn p und q zwei ungerade Zahlen bedeuten: 

V 
V V 

+ cpt2-M +c,»-s2(p+e)+M 



i W-a2 



V V 

(|'+«) + 2m + <?«*-« 2(p+fl) -e, 2 (pH-g) - 2pg 



-üjäCji^^} 



EUbirumi dit gmu*n WimUlt. 283 






der Korn selbst also das Product: 



\2 2 / \2 2 / 



0a oon im Prodncte ancb : 



1^)1^) 



vorkommt, wobei 



^•-»5-2- 



P 



«'-2"»-2_, Bud ""'■- 



'"(?)-"(-?)"1?) 



^^ 10 liebt sidi das Prodact in 



2(2« -2) u^-v w-y 

^vu^mmeD. Es wird also der Exponent von 2 am >*2*''^ zn ver- 

^dern sein. Dieser Process lässt sich offenbar noch » —3 mal bin- 
^^^inander anwenden, so dass schliesslich 

n .in {^) - 1 

*^^bt, sonach ist der Ezi>onent sm 

.-4-(r-s) 

— [2.-4+2»-»+2»-« ... 2 ] 

» yertndern. Dies hebt sieb nun gerade mit den von VSß k«r> 



234 Bermes: Determinanten bei wiederhoUer 

rührenden Teile fort ^). Schliesslich bleibt dann für den Exponenten 
(v — 4) . 2»-*, also ist der Wert der Determinante = (2^-*)* 

Für angerade v sind die Teildeterminanten des Kerns im 

V V — 1 

übrigen genan dieselben, nnr dass statt ^ hier ~-ö~~9 di® Zeichen 

4-4- 4-4- 

von den e nicht I I , sondern I J_ nnd die Winkel halb so gross 

zn nehmen sind. Dies letztere hat zur Folge, dass sich jetzt eben- 
falls zwei der vier Cosinns fortheben [obgleich sie dasselbe Zeichen 
haben, so betragen ihre Winkel nunmehr zusammen n nicht 2^ wie 
vorhin]. 

Ueberdics ist das ganze Prodnct noch in's Qnadrat zu erhoben. 

r 11« 

Ans dem Nenner 1 - ;— — ; ,^ | , um das Prodnct anf die Hälfte 



l{/4-4' 



Factoren zusammenziehen zu können , folgt für den Exponenten von 
2 eine Veränderung um — 2"-* wie oben, doch wiederholt sich jetzt 
der Process dieses Znsammenziehcns einmal mehr, also noch 

V— 1 

--n 2 mal, mitbin ist der Exponent im ganzen um 

- [2»'-*+ 2"-«+ ... 2"-*"" V "2 Vj 

zu vermindern. Dies hebt sich aber auch jetzt mit dem von y2* 

herrührenden Teile auf, weil daselbst von der ( — « Ijten, d. i. 

letzten „unvollständigen^^ Zeilen- und Colonnenaddition noch 

— ^^ (I) hinzukommt, so dass wie oben (v — 4)2*-* bleibt 

2 ""2 ^ 

also auch hier Dp — (2"-*)* ist, w. z. b w. 

Anmerkung 1. Unsre Determinanten behalten denselben Wert 
wenn überall, wo cos steht, sin gesetzt wird, denn 

cos (ua) = sin (u'a) 
wenn 



1) So dass man einen einfacheren Beweis erwarten möchte, etwa durch 
Schluss Tonn auf n-|-l. indem man anf Cosinus von doppelt so grossem 
Whiktl in kommen sacht; S« = «'; vgl. Anm. 2. 



WimktlM, 



285 



e08(iiia) « ±ti]l(lai'a) 



vXfVj^ ebemo 

l(ii+ii> — (41* ±1) lu+u')a = 2Vn ± ^a 



Dm gilt Mch flir D, and />4, weil bei enterer 

»-C08(j)=8in(j) 

nd weil bei letzterer nocb eine Umstellang der Zeilen erfordert 
wird, 80 da88 D^ — (—1)', also anch wieder = — 1 , wie vorhin 
»t Durtns fol^ dann anch, dass für e -« 2,718 ..., » =« V— 1 






«^ -« 



«5-« — 



± ,«»•■« - e-3««, 



• • • 



1^ moM, worans wieder Schlflsse aber die Determinanten: 



V m V • • • I 

«3«« i 

V ■ • • • [ 



^^^ogen werden können, worauf wir hier nicht n&her eingehen 
'tollen. 

Anmerkung 2. Durch das Yorsteheudo können anch Deter- 
''^^naaten /§9 von folgender Gonstmction berechnet werden, bei wel- 
^ker viererlei in Betracht kommt. 

1) Abgesehen vom Vorzeichen sei das in der 2h'\-lien 
^^ile und 2k'\-lten Colonne befindliche Element von dp^i n&mlich: 

o2k^u 2*f 1 — dem Product: 0*4-1, *fi .cos l 2»-sy 
i Die vorhergehende Determinante Jv sei nämlich: 



a 



11 



'n 



V 

0,8 



Ste iat fittr y = 5 und V - 6 



286 



Bermet: Dtttrmiimiden hei wiederholter 



2^.- 



-1+1 



= - 2 



+1+1 

-C08(f), +8ill(|), +C08(|), -8in(f) 

+ gin(j), +C08(|), +8in(|), +co8(|) 

+ C08(|), +8in(|), +8ing), -C08(|) 

-8in(|), +co8(f), -co8(|), -8in(|) 



= 2«-( 



ferner: 



UBd 



02A+2. 2k+2 — ± a2Ä+l^+l = ± OA+l, * 1 1 . C08 ( 2^Zs ) 
a2A+2. 2k+l — ±<»2A+1, ak+2 — «A+l, *+l. Sin ( 2^Zi ) 



[oder auch cos mit sin zn vertauschen.] 
2) ist 

v+l V 

aM41, Ak\\ » 0^\\, 2ft^l.C0S 



/ mTi\ 



falls cosfs^nij resp. sin f — oy-4 ")^ ^^^ letzte in azA+i, 



befindliche Factor ist; auch möge 



fl4*+8. 4*48— iflSH-a. 24+2.C08 oder sin 






und 



«u-fs, af 1 



o*+i. 



±fl2Af2. 2»+i.co8 oder sin (2»~ß— «) ;^\ 



ik\Z 



sein. 

3) Ob hierin cos oder sin zu setzen ist, wird entschieden, i 
man bei ^/r durchweg den letzten Factor von dem Ele 

92*4^1, 8k-i>i , der cos oder sin ist, heraus nimmt, diese Gesam 
durch die beiden geraden Verbindungslinien der Seiten mitten • 
um die Determinante beschriebenen Quadrats in vier Gm 

^r teilt und dann die Anordnung 



OH HO 
KLLf 
KL OB 
OH ML tritt. 

4) IK* Zßkl^ eailiek wertta ia ihalMwr W«m fir J^-l 
w ^ bMtiaiBt, iadm ■•■ die Genntbeit der Yorzeidien tm 

4 rnkf ia fi«r OtwSfm ^^ tcflt «ad 

IV jsr r 

K^ A K 
KU—r—H 

*Uet, «oM -r dte; tgugfaftiartilw Zeidbea voa F 
•oü.w^Hawh ^ r 






»Mh 4) a uif fie T 



++++ ++++ 

+ + -f-- + -f- 

-+ 

- + + - 

++++ +-+ 






* 



^^wmä^fmi laäa mt ^m« «ad '>, ~ ^^^ ^, 



• 



«-(=f)=''^--gt)-^* 




288 



Bermßii DaleraiuMmlifi 6tt untdiHMmr 



9f 



$t 



9f 



•9 



9f 



99 



99 



99 







^1 





wobei die Indices nacli 2) folgen, endlieli ±^t selbst nach \) 

«1 <?8 +*1 *8 -T^X *1 —^1 <^1 "Hl ^ -*1 ^ +*1 «1 -Hl *l 
— *1 *8 +#1 <?8 —i?! ^1 — C, #1 - #1 ^8 — #1 #8 — ^ «1 "Hl «l 

"Hl ^1 "Hl «1 +'1 *8 — *i ^'a +*i «8 — *i *8 ^^ «t "Hl *i 

— Cj *1 -Hl <?1 — 'l <?8 — *1 '8 —«I «8 — *1 ^ — «l *l —«1 «l 

-'1 V-f '1 V+^i'^i"-^. V-^1 V-^/'. " -'1 V-f -i'^ 
+*iV+'iV+^iV-HiV-Hi''i''--^iV"HiV-Hi'*8 

-(^6)*-2*-16 
±^8 beginnt mit: 



99 
f 
9^ 99 
99 
if 



C| C| #1 i-tfx <?! <?! 



• • • 



- (^/,)« - 2» 



etc., allgemein wird: 



±z/„+i-(^/,)« 



[Das Vorzeichen ergiebt sich nicht aus dem Beweis]. Erhebt man 
z. B. z/7 nach dem bekannten Determinantensatze iu's Quadrat, so 
erhält man, indem 



cos 



©■ 



sin (I) ; 



2c« — 1; #'+<?'— 2ctf'; 



(*'+ 1:')*+ 2*'(2#'+ C) = 3 ; 2(*0* +<?"=!; etc. ist : 



Ut)* 









<? 


— c 








c 


€ 


— c 


— c 








-f^ 


— « 








eJ 


c'+c*' 


e& 


s'+ce' 


-(c'+c»') 


c«' 


«'+«?' 


—cc* 


-et' 


c'-H#' 


-(t'+c«') 


—cc' 


c'+c#' 


<?#' 


ce* 


-(s'+ce') 



Balbirung des ganten Winkels. 289 

— «' c'+c*' es' — (c'+m') 

— (c'+c#') — c«' — (c'+m') -«' 

— cc' -(,'-[-cc') s'-^-cc' —cc* 

—(*'+<?<?') cc' cc' *'4-cc' 

10 

Q 1 

—10 
0-100 

Indem man die erste Colonne mit minus zur zweiten, die dritte 
zur vierten fügt und analog bei den Zeilen verfährt, erhält man: 





0c 














2c 






— c 









-2c 









es' c' cc' 


s'+2ci 






— (c^+c*') c'4-2c»' #'+. 


cc' s' 






2c'+2cs' — « 









2c*' *'+2 


cc' 




—es' 


c'+es' 







-e' - 


(c'+2c*') 


-(2c'+2c»') —2c»') 




-cc' - 


'W+cc) 


.' -(«'+2c<?') 




— «'+2cc' 


—s' 













1 










1 




—1 













—1 







Hierin mögen, um die c wegzuschaffen, 


die ersten beiden Colonnen, 


nachher die ersten beiden Zeilen mit 2c und c, also mit 1 moltipli- 


cirt werden, so ergiebt sich: 








Ol 












1 






-1 









0—10 









2s'+e' 


•'+c' 






— (#'+c') 


2s' 






s'+e' -2#' 









2/-fc' s'+c' 







▲Mh 


. dar MAth. n. Phn. S. Balh«. TM 


VL 


1» 





290 Hermes: DeUrmmtmUn M wiederkoiter 



-(2.'-H') 


m'+c' 














-('•-K) 


-(2t'+e') 








2«' 


-(•'+«') 


-(«'-K) 


—2«' 














1 














1 


-1 














—1 









Werden nan die 70 Producte je zweier PartialdetermiDanten von je 
4' Elementen gebildet, so ist das erste 1*, das letzte 9'— 81, 34 
dieser Prodnete sind =0, vier werden c+1, vier (c+l)*» »cht 
e*+c+l] vier 2(*')*+l, vier 18(0*+9; vier <?«+ SCO«; vier 
So-f'd) zwei 9, so dass im ganzen: 

192 + 16c«+56c+112(«')* - 200+56 - 256 - 2« 

erhalten wird, ^j also *» +2^ ist. Diese directe Ansrechnang ist 
nun durchaus nicht nötig, wenn wir anf den Zasammenhang mit 
den Dp hinweisen. 

Dp war » X±/7cos(Xuor), wo u und k ungerade Zahlen 1, 

3, .. . (2«'-« - 1) und o = ^^' D-v^Dv — 2:± i7cos(xu'ft). Dann 

wird ein Element von 

(/)„)«= 2:^(-l)*cos (iuo) cos (xu'a) 

worin h in der ersten Hälfte gerade, in der zweiten ungerade; 

Nun gilt 

co8(itua)cos(xtt'a) = |[cos(>ct*-{-ilu')«+cos(xu— ilu')o] 

Da 

cos(2n;j — ac) <-» cosa; 

und 

wenn 

K-f-i^O mod4 

und auch 

(Xtt-Xu>+(xtt'— An)« « (» — ;)(m+u )« =- 2n'n 

wenn 

jc — il = 0, mod. 4 

80 hobt sich entweder 



BaXbirung des ganzen Wmkeh, 291 

(—1)* f— l'i* 

£u —Y- co8(»tt+ Xu')a oder -£- ^—^ cob(xu - lu')a 

fort, zuweilen auch beide, falls 

»^1 = 0, mod. 8 
denn 

C08(xtt+iltt')a ■=» — C08(Ka"+Au*^) « 

wenn fflr 

u+u"«2^-» und u'+u'^-2^-»+2»-2 

das Argument 

ungeradem Vielfachen von n wird, und das ist der Fall, sobald 
schon —j- gerade, indem ja k eine ungerade Zahl bedeutete. 

Somit werden zwei Viertel der quadratischen Fläche, die die Deter- 
minante {DvY einnimmt, das erste und vierte, mit Nullen erfüllt 
sein; der zweite und dritte Flächenteil sind einander gleich, wie es 
sein muss [indem die durchweg entgegengesetzten Zeichen bei einem 
in Bezug auf den andern bei gerader Zeilenanzahl ohne Einfluss 
sind], und wir erhalten somit ±1)^ in einer Determinante mit halb 
soviel Zeilen und Colonnen. In dieser haben alle Elemente den- 
selben Factor, nämlich 2^^.y2. Wird derselbe herausgezogen, als 
(2»-*y2)*»'-*, da 2^-* Colonnen sind, so bleibt, wie sich unschwer 
ergibt, Jv übrig, also muss auch 

(2'^)2»-Mv = ± (2'-*)2'-* — ±/>» 

sein, mithin 

±^/, — 2*^^ w. z. b. w. 

Anmerkung 3. Indem a, wie vorhin ^ ^ \Ai^ folgen ans 
dem Sjstem von 2*^^' linearen Oleichnngen 

(2^2 — 1) 


WO 

u- 1, 3, 5 ... (2»-i — 1) 

für sämtliche x die Werte 0, denn die Determinante des Sjstems 
d-v verschwindet nicht Es wird nämlich: 

^2-1, 



298 



Berm9s: JDtUrmnaaim hü nwiirinftiir 



das ist: 



fllr 



^.- 



1 
1 



Co «1 



— cow 



--.V2 



^4 ist die Determinaote 



fOr 



ite 


« = j 




<V) 


«t ^ 


«i 


Co 


Cf c^ 


«Ä 


<V) 


^ —^ 


— ^ 


Co 


n 
«=8 


—^8 



Wird die erste Zeile zur letzten, die zweite zur Torletzteii gelegt 
und der Factor 2> hervorgezogen, so ergiebt sich 



^4-2« 



Cq c, 



c, c. 



In diesem Producte ist aber die erste Determinante 



«0 



— «I 



n 



fttr den doppelt so grossen Winkel, also für j-, mithin 

^3 =-+1/2 



die zweite ist 
also 



Analog wird: 



etc., endlich: 



^^ « 2«(— ^3)1)4 = — 2V2 D^V2 

^j« 2*.^4Z)5 2»V2 = — Z)6V2 



,»-3 



^t, — 2« . ^„-1 Dp — ^,^1 ,Dv.{ Jv^i)* 

(2^'-«)«''"^ V2 « — Z>,+iV2 

Hiebei ist die Formel: 

8 



benutzt Die Gleichnngen 
fttr 



f»-0, 1 2, ... (2''-2-i) 



können aber hierin als die bekannten Bedingungsgleichungen 



BaXbirung des gauMen WinMa. 293 

(22^-1 — 1) 2^-1 

xq — £x (<*)* —p =0 und xk — £kekex^X — 



für Ä=l, 2, ... 2^-2—1 

wo p eine Primzahl von der Form 2^A'-}.l ist. anfgefasst werden, 
welche Gleichungen sich stets durch ganze Zahlen e identisch erfüllen 
lassen. 

Die Ermittlung dieser Zahlen ist Arch. der Math. u. Phys. 2. 
Reihe, IV. pag. 217. gezeigt 



294 Ctubßr: MUuhütrte^ die Krümmung ebethtr Qtrvw 



XV. 

Mittelwerte, die Kjümmung ebener Curven und 

krummer Flächen betreffend. 

Von 

Emanuei Czuber. 



I. Ebene Curren. Mittlerer Erttmmnngsradias nnd 
mittlere Erümmnng eines Bogens. Die Länge des einförmig 
gekrümmten Bogens ^3f 2? werde mit sq bezeichnet; der Krümmungs- 
halbmesser im Punkte M heisse p, die Krümmung daselbst x, ferner 
sei Bogen AM ^ «, das anstossende Bogenelement dg und der ent- 
sprechende Contingenzwinkel dx. 

Für den mittleren Krümmungsradius pm des betrachteten 
Bogens ergibt sich der Ausdruck 



^•- = ro/^^-/?r^ 



(1) 



wobei die Integration über AMB auszudehnen ist. Das hier auf- 
tretende Integral hat eine einfache geometrische Bedeutung; denn das 
Product Qds drückt den doppelten Inhalt des Dreiecks aus, welches 
von dem Bogenelement ds und den Normalen in seinen Endpunkten 
begrenzt wird, das Integral somit den doppolten Inhalt jener Fl&che, 
welche von dem Bogen ÄMB^ den Normalen seiner Endpunkte A^ B 
und dem zugehörigen Bogen der Evolute umschlossen wird. Be- 
zeichnet man den einfachen Inhalt mit uq^ so ist 

*.-7^ (») 



und krummer Flachen betreffend, 295 

Die Bestimmung der Punkte in AMB^ in welchen der Erttm- 
mangshalbmesser dem mittleren gleichkommt, erfolgt durch Verbin- 
dung der Gleichung p -* ^m mit jener der Curve. 

Die mittlere Krümmung des Bogens AMB ist dargestellt 
durch 



«Ol/ «0 J ^9 *0 t/ 



(3) 



die Integration über AMB ausgedehnt. Ihr Resultat ist aber der- 
jenige Winkel t^, welchen die Tangente der Curve beschreibt, wäh- 
rend ihr Berührungspunkt den betrachteten Bogen durchläuft; mit- 
hin ist 

««-? (4) 

Es fällt also die mittlere Krünmiung eines Bogens überein mit der- 
jenigen Grösse, welche als dessen relative Krümmung bezeichnet 
zu werden pflegt. 

Ftlr eine geschlossene convexe Curve ohne Ecken wird 
and somit 

^ /rix 

»m-- . . . • (5) 

d. h. die mittlere Krümmung einer solchen Curve kommt 
gleich der eines Kreises, welcher mit ihr gleichen Um- 
fang hat. 

Zur Erläuterung der Formeln wählen wir die gemeine Cykloide 
und die Ellipse. 

Bedeutet AMB einen Ast der Cykloide, so ist u^ der Fläche 
eines Rechtecks gleich, das. den Durchmesser 2a des rollenden Kreises 
zur Höhe und seinen Umfang zur Basis hat, also 

femer 

«0 "= Ba und Tq = 9s 

Daraus berechnet sich 

^ = *w 

gleich dem halben Umfang des rollenden Kreises; und den beiden 
Punkten, in welchen 



296 Czuber: Mitteboerte, die Krümmung ebener Curvw 






ist, kommen dio Rollwinkel 

<Pi— 2 arc sin j und <p, =» 2« — <p, 

zu; weiter ist 

n 

und die beiden Punkte, in welchen 
ist, sind durch die Rollwinkel 



€Pi— 2arc8in — 
und 

g>j a^ 2^ — (p^ 

charakterisirt. 

Ist ABM der Quadrant einer Ellipse mit den Halbaxen a, 6, so 
hat der Quadrant der Evolute den Inhalt ög — "^ 5 mithin ist 

**o == 32 ab + 4 "^ " 32 ab 

da ferner 

7t 

8q «=» aE und Xq= ^ 

so hat man 

^ 3a* + 2a*b^+3b^ n_ 

^« "" 16 2^bE ' *~ "" 2a^ 

selbstverständlich gelten diese Werte auch für die ganze Ellipse. 

II. Krumme Flftehen. 1. Schnitte durch eine Tan- 
gente der Fläche. Es sei ( eine Tangente, n die Normale einer 
gegebenen Fläche im Punkte A derselben ; ist R der Krümmungs- 
radius, Mq der Krümmungsmittelpunkt des durch t und n gelegten 
Schnittes oder des Normalschnittes durch ^ in ^, so liegen 
dio Krümmungsmittelpnnkte M aller weiteren durch t geführten 
Schnitte dem Satze von Mcusnicr zufolge auf einem Kreise £, 
welcher AMq zum Durchmesser hat und derjenigen Ebene angehört, 
welche durch n senkrecht zu[t gelegt wird. Trägt man auf den Linien 
AMq^ ^3f die zugehörigen Krümmungen JT, k nach irgend einem Maass- 
stabe von Ä aus ab, so liegen die Endpunkte N^ N auf eiaer dem 



und kntmmer Flächen betreffend, 297 

vorgedachten Kreise inversen Figur, d. i. auf der (Geraden g, welche 
in Nq senkrecht znr Ebene ((, n) errichtet ist 

Bezeichnet ß den Winkel, welchen die Ebene {t, M) mit n 
bildet, so ist der Krammnngsradias des zugeordneten Schnittee 

r =- RcosB 

nnd der mittere Krümmnugshalbmesser aller durch t 
gelegten Schnitte 



n n 

2 2 



r„i — -^ / rdS^ — I COSÖcJÖ — — 



(1) 



Er gibt zugleich die mittlere Länge der aus A gezogenen Sehnen 
des Kreises S an. 

Die Lage derjenigen unter den Schnitten durch «', deren KrtUn- 
mungshalbmesser dem Mittelwerte gleich kommt, ergibt sich durch 
Auflösung der Gleichung 

in Bezug auf B\ man findet 

2 
Ö, — arccos - , ö, = — ö^ (2) 

Die mittlere Krümmung der in Rede stehenden Schnitte 
wäre geometrich dargestellt durch den Mittelwert der aus A nach 
der Oeraden g gezogenen Badienvectoren; sie ist daher unendlich 
gross. 

2. Schnitte durch eine Normale der Fläche. Wie 
vorhin sei A der betrachtete Punkt der Fläche, n die zugehörige 
Normale und t die Tangentenebene, femer seien t^, t^ die auf b be- 
zogenen Spuren der beiden Hauptschnitte, /Z^, R^ ihre Krümmungs- 
radien, £t, K^ die Krümmungen. Auf der Spur t eines beliebigen 
durch n gelegten Schnittes, dessen Krümmungshalbmesser und Krüm- 
mung in A mit i2, bzhw. mit K bezeichnet werden möge , werde von 
A aus beiderseits eine der Quadratwurzel aus | R \ und ebenso 
eine der Quadratwurzel aus | K \ proportionale Strecke abgetragen. 
Die ersten so erhaltenen Punktepaare ilf , 3f ' ordnen sich , dem 
Euler'schen Satze zufolge, nach Kegelschnitten, welche ^, t^ 
zu Hauptaxen und die Punkte M^^ M^\ M^, M^* zu Scheiteln haben ; 
demzufolge ordnen sich die zweitgeoannten Punktepaare iv; N' nach 
Linien, welche diesen Kegelschnitten invers sind in Bezug auf ^ 



299 CxHhtri Mitidvtrü, die KrBnmmg tbeiur Otrmi 

als Pol, d. i. aaf bicircnlaren Carven 4. Ordnung, « 

t,, tj zu Symmetrieaxen, A zum Doppelpunkt and N„ Jü,'; N^, ttfi 

EU cykliBcheu Punkten haben. 

Im übrigen unterBcbeiden wir folgende Fälle. 

a) In einem Funkte mit gleichgericbteten endlichen Haupt- 1 
krümmnugsradien ist die den Verlauf von y R daratelleode Curve^ 
(Af) eine Ellipse mit den Halbaxen V^^, Vi?«, die den Verlauf von 
V Ä darstellende Linie [N) eine Curve mit iaolirtem Doppelpunkt 
in A\ die imagiuären Tangenten iu diesem, zusammenfallend mit den 
Asymptoten der ersterwähnten Ellipse , bilden die Infiexionstangentea 
der Fläche in dem betrachteten Punkte, welcher als elliptischer ] 
Punkt bezeichnet wird. 

Heiast n der Winkel, welchen t mit i, bildet, so ist 

und der mittlere Krümmungsradius der Normalsuhnittel 
iu A kommt gleich 



2 r 2R.Ji. c 



«+if,s 



^"VäjÄ, (3ji 



Man kann ihn zufolge des zwischen R und der Ellipse (M) be- 1 

stehenden Zasammcnhanges als mittleres Halbmesserquadrat der [ 

letzteren ableiten ; als solches stellt er sich in Form eines Bruches \ 

dar, dessen Zähler die Fläche jener Ellipse, d. i nV^jß^, und dessen j 

Nenner n ist, man findet also wie oben das geometrische ] 
Ifittel der HauptkrUmmungsradien. 

Durch Außdsung der Gleichung 



in Bezug auf a ergibt sieb die Lage jener beiden Nonnalschnitte, 
deren ErUmmungsbalhmesser dem Mittelwerte gleichkommt; man findet 



.VI-- 



Die mittlere Krflmmung der betrachteten Schnitte kann auf 
Grund einer Uinlichen Bemerkung, nie sie oben zur Daratellting 



und krummer FVUAen hiireffinuL 299 

von Rm angewendet worden, als Qnotient des Flächeninhaltes der 
Curve (N) dnrch die Zahl n gefanden werden. Sie ist 



J&i = | Aji^C08«a+j:j,8in««)cte- ^^- . • • (5) 



oder dem arithmetischen Mittel der heiden Hanptkrüm- 
mungen gleich. Es ist dies eine natürliche Folge des be- 
kannten Satzes, dass die mittlere Krümmung je zweier zn einander 
rechtwinkligen Schnitte durch n dem obigen Werte gleichkommt ^). 

Aus der Gleichung 

K ^ Km 

ergeben sich die Azimute der beiden Schnitte, welche die mittlere 
Krümmung haben, u. zw. 

«1—41 «« — —«1 W 

die genannten Normalschnitte halbiren also die Winkel der beiden 
Hauptschnitte. 

b) In einem Punkte mit ungleich gerichteten endlichen Haupt- 
krümmuDgsradien setzt sich die Curve (üf), welche den Verlauf von 

y i Jß I versinnlicht, aus zwei Hyperbeln zusammen, deren Axen mit 

einander vertauscht sind, und die den Verlauf von V(ir)dar8tellende 
Curve (N) aus zwei lemniskaten-ähnlichen Linien , deren jede in A 
einen Doppelpunkt hat; ihre gemeinsamen Tangenten in diesem 
Punkte, gleichzeitig gemeinschaftliche Asymptoten jener Hyperbeln, 
bilden die Wendetangenten der Fläche im Punkte A^ welcher nun 
als hyperbolischer Punkt bezeichnet wird. 

Setzt man die dem Zeiger 1 entsprechende Hauptkrümmung als 
die positive fest, so ist mit Beibehaltung der früheren Bezeich- 
nungen 

1_ cos'g sin'g 

R R^ Rf 



1) Bezüglich der in den Gleichungen 3) und 5) niedergelegten 
Sätze vgl. die Abhandlungen Grunert's in dessen Archiv, Bd. 40. 
pag. 269 flg., Bd. 41, pag. 241 flg., und die Bemerkung Beltra- 
mi'B, ibid., Bd. 42, pag. 116. 



300 Czuberi Miudmerle^ die Krümmung eUner Curven 

Dm arithmetitche Mittel der algebraischen Werte tob R itt 
nall, das der absoluten Werte ist anendlich gross; denn das ersteig 

wird dnrch die mit — moltiplicirte Differenz, das letztere durch die 

mit dem nftmlicben Factor maltiplicirte Summe jener Flächen aus- 
gedrückt, welche die oben genannten Hyperbeln mit ihren gemein- 
schaftlichen Asymptoten begrenzen. 

Der Mittelwert der mit ihrem Vorzeichen versehenen 
Krümmungen ist 



Jt*-| /^(JSr,cos«« — Jr,8in«a)da« ^^^-^^ .... (7) 
b 

in Ueberofnstimmung mit (5) ; er stellt zugleich die durch n geteilte, 
entsprechend gebildete Differenz der Flächen vor, welche von den 
beiden lemniskatenartigen Curven (N) eingeschlossen werden. 

Für die Schnitte von mittlerer Krümmung findet man aus der 
Gleichmg 

die Azimute 

«1 —4, «,——«, (8) 

so dass sie wie bei dem elliptischen Punkte die Winkel der Haupt- 
schnitte halbiren. 

Der Mittelwert der absoluten Krümmungen hingegen 
ist, wenn 

oo =- arctg[/-gr 
gleich 

7t 

\ K\ni^-\ f (^iC08*a~i:,8in»o)rfa+ /^(^ssiu««— -^iC08»«)rfa 1 
Oo 

«^|"(X,-i:,)(arctg}/J-^) + Vi^,] (9) 

es ist dies zugleich die mit - multiplicirte Summe der Flächen, 

TT 

welche durch (iV) begrenzt werden. 



mmd krummtr FiMekm Uir^/kad, 301 

In einem Punkte mit gleichen nnd entgegengeaeUt beieiohMleii 
HanptkrQmmnngen ±Kf wird 

Xm = 0, I X I «, -» — * (10) 

und die Cnrve (N) besteht hier ans zwei congrnenten Lemuiskaton. 

c) In einem Punkte, wo einer der beiden HanptkrOrorounga- 
radien — i?^ — unendlich gross ist, wird der Verlauf von y H durch 
zwei zu <s parallele Gerade (M) dargestellt, welche zu beiden Seiten 

von A in der Entfernung V^ liegen , und der Verlauf von V K 
durch zwei gleiche Kreise, welche in A die gemeinschaftliche Tan- 
gente /,, zugleich die Vereinigung der beiden Inflezionstangonten 

der Fläche in Aj und den Durchmesser V K^ haben; A heiüt in 
diesem Falle ein parabolischer Punkt der Flftche. 

Mit Beibehaltung der früheren Bezeichnungen ist 

1^ cos^g 

Der mittlere Erflmmungshalbmesser Rm ist unendlich 
gross; denn er ist der von dem Geradenpaar (M) eingeschlossenen 
Flftche proportional. 

Die mittlere Krümmung ist 



2 
ir«. = | /*ÄjCOS««d«-^ (11) 



und ergibt sich auch als Qootient der FlicbeofiaDoie der Kreise (ÜT) 
durch die Zahl x; sie ist in deo Formeln (5) tuid (7) als Spedal- 
wert fbr iC^ — eoihalteiL 

Für die Sdadtte tob mtOertr KrUmmoBg ergeben rieh aaa der 
Gleichung 

dieselben Änante «ie m &) nd b), nimüA 

a SthBitU 4«r^ii tiiu^ii P«Bkt At^f Flieb«. %iiA 4ms 
Toram«0t9atiddcUiAi i^vüiiut juiu- bei ^aumm dtüf^M^^Ai^ l^«Aii^ 4<^r 



288 



Htrmtii DeUrmmaiUen 6«t wiederholUr 



<' 


<^' 


Ct" 


ci' 


ci' 


h" 


•." 


< 


< 


»." 


c." 


c," 


*'." 


Cl" 


Ol" 


•«" 



wobei die Indices nacli 2) folgen, endlicli ±^7 selbst nach 1) 

+c,V-Ni'«'i"+*i'«i"+*iV-h,'«i"'+*i'*i"+»,V+»,'«. 

*1 <?S +*1 *S +<'l *1 —^1 ^l -Hl *S -«1 «8 -T^l «1 -Hl *1 

— *i *s -r*i «8 ^^i ^1 — <?i *i - «1 ^8 — *i «8 — <4 *1 -Hl <?1 
-Hl <?i -Hl *i -r*i *8 — *i ^3 -r*i «8 — *i «s — ^ ^ -Hi «i 

— ^1«1 -Hl^l — *1 ^8 — *1«8 — *l *8 — '1^8 — <?1*1 — <?1 ^ 

— , V+#, V+c/o/'-c, V-^i'^i"-^/'. " -'1 V+*l'^ 

+'lV-fV^8''-f^lV-HlV-Kl''l''-^l'^''4^l'^3''+'lV 

±^8 beginnt mit: 



99 
99 
99 

m 

9 ^ 99 
99 



+ ^ f^n^m I ^ /.^ 'f- «I 
c, C| #1 -H?i Ci <?i 



• • • 



- (^,)» - 2» 



etc., allgemein wird: 



±^,+i-(z/,)* 



[Das Vorzeichen ergiebt sich nicht ans dorn Beweis]. Erhebt man 
z. B. d-i nach dem bekannten Determinanteusatze iu's Quadrat, so 
erh&lt man, indem 

c = , = }V2, 

(I), *'-sin(|); 2c» -1; .'+c'- 2«'; 

— «'+c' - 2«', («'+«')* -» c+1, (2»'+c')2.' - 2(.')«+l, 
(#'4- «')»+ 2»'(2»'+ C) = 3 ; 2(.0* + « = 1 ; etc. ist : 



cos 



U7)*- 









<; 


— c 








e 


« 


— e 


— e 








-N 


— * 








e«' 


<f-\-c*' 


ee' 


«'-h»' 


-(c'+«') 


c$' 


$'-\-ee' 


— cc* 


-m' 


c'-f-«' 


-(»*+«'') 


— «c« 


e'+c.' 


m' 


cc' 


-(.'+«!•) 



Balbinmg du gamtem Wvüxb. 289 

—et' e'+es' cm' —(<.'+«') 

-(•'+«') «?' cc' *'-fcc' 

10 

1 

—1 

—1 

Indem suui die erste Colonne mit minus zur zweiten, die dritte 
rar vierten fbgt und analog bei den Zeilen verfährt, erhält man : 









c 


















2c 






— e 


















-2c 












et' 


e' 


cc' 


*'+2cc' 






— («'+«•') 


e'+2«' . 


t'-^^c' s' 









2c'+2c»' 


— % 












2et' « 


'+2 


cc* 








—c*- 




c^-^^cs' 










t 


— 


(c'+2c*') 


-(2c'+2c^ 


— 2c«M 




-cc' 




-(*'+cc') 


8' 


-(*'+2cc\ 




—#'+2 


cc' 


— «' 


















1 


















1 




—1 




















—1 









Hierin mögen, om die c wegzuschaffen, die ersten beiden Colonnen, 
nachher die ersten beiden Zeilen mit 2c und c, also mit 1 multipli- 
cirt werden, so ergiebt sich: 









1 














1 


-1 














—1 








2.'-h>' 











-2*' 


2»' 






2.'+*' 


,'-h' 






Ai«li. im Ibtlu V. Pkji. 9. B«ik«, T«U YL 19 



304 Ctuberi MitUboeriet du Krümmung ebener Curven etc. 

Im zweiten BeispieP) sei a die grosse Halbaxe, e die relative 
Excentricitftt des Meridians, ß die Breite eines beliebigen Punktes, 
d. ist die Neigung der zugehörigen Normale gegen die Aequator- 
ebene; dann ist fttr den gedachten Punkt 

^ "" (1 -«« sin»/3)8' ^ ~ (1 - £«8in W*' ^ ^ l - £« sin«/J * 

dS-2^a«(l-e«)(-j:^^^ ^«2«a«[l+i=^'l0gi±?J 
daraus berechnet sich mittelst der nämlichen Formeln 

--_- r t« 17e* 67«« "1 

««„-yi.9t«i-o[l-6-- 36Ö""~3Ö24 "•••]• 

10 — 6«« , 3, 1 + « 

_ Fl «« . 31t« , 1697t« , ] 
~*l^~6+360"^ 15i20 + •• J" 



1) S. Dr. F. R. Helmer t, Die matbom. u. physik. Theorien 
der höheren Geodäsie, Bd. I, pag. 63 flg. 



Saalicnütt: üeber dU EiOtmekelwig von <-l:(l-«) ^c. 9% 



XVL 

Ueber die Entwickelung von e~*^^^"*^ in eine 
Potenzenreihe nebst einigen Anwendungen 

derselben. 

Von 

Louis Saal^chOtz. 



Die erste Anregung zur nachfolgenden Reihenentwicklung lag 

für mich in dem Bestreben e % wobei y eines pontiren echteü 

Bruch oder 1 bedeutet, in einer nach ganzen Functionen von y fort- 
laufenden Reihe darzustellen, welche um so willkommener wäre, wenn 
sie auch noch far y » gtlltig wäre und den richtigen Wert nuU 
in zweifelloser Art lieferte. Dies lässt sich in der Tat erreichen, 
wenn man y durch 1 — x ersetzt und dann nach Potenzen von x 
entwickelt. Dabei stellt sich heraus, dass die Coefficienten dieser 
und einer mit ihr eng zusammenhangenden Reihe in so eigentüm- 
licher Art fortschreiten, dass die nachfolgenden Mitteilungen, wie 
ich hoffe, nioht ganz interesselos sein dürften. Schliesslieh wird 
noch gezeigt , dass und in welcher Art die gewonnene Reihe sich 
zur Berechnung mancher Integrale, deren obere Grenze unendlich 
ist, yerwenden lässt. 

§ 1. 
Unabhängige Darstellungsweise der Coefficienten. 

Es sei: 






306 SaaUekütx: ütUr dU Emiwiektkmg vom r-l:a-Hi) 

Um die Coefficienten ^o^i^ -•• ^ nnabhängiger Art darziuCenea, 

kann man den Taylor'schen Lehnatz benatzen ^), zuvor die von ver* 

schiedenen Differentialqaotienten Ton f{x) ffir x = anfttelleii. 

Setze ich 

1 

80 ist 

fix) = «-' - *(«) 

und dann weiter: 

rf« "" (1—«)* 

Daher wird: 



» «s 



/"* - *'• ^ - - *-'«*; >" * - A • di = '"(«^ - ^) 

ebenso: 

/•(% = «-'(««— 12*7+36»« - 24«*) 

/(6)x =r — e-«(zio__20«»+ 120««— 240*7 + 120»«) 

Diesen letzten Ansdrack kann mau auf die Form bringen: 

fOi)x = -«-*(,i»-l .(4),(5)i2»+ 1 2(4)s(5),^~ 1 .2.3(4)8(5)8»7 
+ 1.2.3.4(4)4(5),*«) 

nnd dass hierin das allgemeine Gesetz ausgesprochen ist, wollen wir 
durch den Schluss von n auf n+1 beweisen. Es sei also: 

2) (—!)"/(*) a;=«-«(*2'»—l.(n—l),(n),*2"-li:... 

+(-l)*-H^— 1)I(«— 0*-l(n)»-l»^-*+H(— l)*.A:l(n— l)»(n)Ma«-*+... 

+(«l)H-l(^ -l)!(n-l)H-l(n)H-l**+i) 

dann wird: 

und der Coefficient von *2~--* ergiebt sich: 



1) Eine andere Methode, die gleichfnlls zum Ziele führt, benutzt die Reihe 
für e— «, in welche dann für * der Wert (i— x)— 1 cinsuführon ist. 



M MM PifUnzreike. 307 

- -(-l)»{fcl («_l)»(»)j+(fc_l)l (n-l)»_i(n)»_i(2ii-iH-l» 

- -(-W*-!) ! («-l)»-i(n)t-i ^ 

=-(-!)**! (n)»(H-l)» 
daher eriialten wir : 

(_l)iity(,+l)a. _. <^,(^f 2_i . („)j (n+1), «8»+» ± ... 
+ (-1)**! («)i(n+l)i«2»+2-» + . . .) 

womit der Beweis geführt ist. Bezeichnen wir nun den Wert von 
/(*) cftr c— oder »•=! mit on, so ist der Coefficient von af in 

der Entwickelang von f(x) r-5 folglich giebt dcrVorgleich mit 1) : 

- Oft 

1 . 2. . . n 

>nd daher wie 2) zeigt: 

^ *^ '^ 1.2. 3. ..n 2.3. ..n ^ 3...n + •• 

^ /(O), /'O folgt io = 1, ^1 — -1 und dann ans Gl. 3): 
Ä. t 1-2 , . , 2.3 , 1.3 , ^ 1 , 

^faie andere unabhängige Darstellnngsweise ergicbt sich bei Entwicke- 
'^g von f(x) in der Form: 

fix) — e-(i+«+«*+ ".) 
^Uebt der combinatorischen Aasdrücke ^) : 

[_1.2 .••p . 1.2*..^ ... 1.2...^J ^ 

Cfj «= Ofj ^ ... ■= Oft ^ ■"-! 

^^beipgr...« so; als positive ganze Zahlen einschliesslich der Null 
^ ^&Üeu sind, dass die Gleichnng: 



5) 



l.|) + 2g4-3r+...n< = n 



O Stern, Algebraische Analysis. Note VII. F. 1). (8. 388). 

SO* 



308 Saalschütz: üeber die Entufükehmg von e-l'-i'i''*) 

erfalt trkd, wonHoh ^r Avsdrack im 4) tn bifdes ^, und fltf aHe 
die Ol. 5) befriedigiNMtoD SysMoe von p^...^ die Snmmation anazo- 
ftllrren ist 

Der Vergleich der (nicüt identischen) AosdrückeF 3) und 4) 
liefert eine Beziehung zwischen Binomialcoeffienten. Z.B. 
ist für n « 5: 

1 I (4)i (b), (4), (5)> (4), (5)s (4), (6), 

"1.2.3.4.5"*" 2.3.4.5 3.4.5"^ 4.5 5 

"•1.2.3. 4.5 "•"1.2.3.1"^ 1.2.1 "•"1.1.2"^ 1.1 "T" l.f "^"^^ 



1.2.3.4.5^1.2.3 1.2 1.2^1^1 * 120 

§2. 
Abhängige Darstellnngsweise der (iOefficienten. 
Im vorigen Paragraphen war die Gleichung gefunden worden: 



d. L: 
oder: 



^'^-»---.^^ 



Differentiirt man diese Gleichung weiter, so erhält man eine Bc' 
Ziehung zwischen drei aufeinander folgenden DifferentialquotlBntes, 
nämlich: 

6) (1 — a;)»/"^*+^^«+(2f«r - (2n—l ))/•(")» +fi(n - l)/X»»-i)x - 

und somit auch, indem man^ as — setzt, zwischen drei aufeinander 
folgenden Coefficienten der Reihe 1). Leichter gelangt man folgeo* 
dermassen zu derselben FormeK DMEerenCiffen- wir Gl; t> nadif ^# 
so kommt: 

ß-l:(l-«) 1 

- -(T^ ^ -(^+2Ä2^+3Ä3a:^+ ...) 
folglich: 

""l— « 

(1 — 2x4.«*) 



1) Dai Symbol O! ist durch 1 zn erscucti. 



M eme Botmsrnk». 309 

Führen wir die Multiplication ans and vergleichen die Coefficienten 
der rechten Seite mit demjenigen In 1), so ef hinten vir die Olei- 
chongen: 

—4*4+6^3— 2J, «- fts 



oder: 

7) (» + l)^H+l — ^2» — l)ÄH+(n — l)Ä,-l = 

Ich führe jetzt die nooe Bezeichnang 

ein, dann nimmt die Ol. 7) die Form an: 

P,.+i-(2-^)Ph+/5—i-0 
woraus folgt: 

9) ßn^i - (2 - i)/?H - /Jh-i 
nnd 

10) (/J..+1 - ßn) - (/Jh-P«-i)+ ^ /^h = 

Ans der Ol. 9) sind nach einander die /3's nnd mittelst 8) gleich- 
zeitig die V% berechnet worden, sowie sie in den Tafeln am Schlosse 
dieser Arbeit aufgeführt sind. Die Ol. 10) bildet die Orundlage der 
weiteren Untersuchung. 

Koch eine andere Formel zwischen den firdssen h und 0, die 
für uns von Wichtigkeit werden wird, erhalten wir, wenn wir in die 
Recursionsformel der allgemeinen Entwickelung 

nftmlich') 



1) A. a. O. f. s.) 8. aas. 



310 Saalschutz: üeber du Entwidcelung wm «-l:a-«) 

12) Am — i(ai^ii-i + 2a,i»-a + • . . + (n— 1) ai»-i A+ ««») 

Statt A^A^,,, 5,6, ... and filr ajo, ... den Wert —1 einsetzen, 
folgendes: 

ebenso: 

Ziehen wir die erstere Formel von der zweiten ab, schreiben statt 
nbn und (ft-f- 1)^11+1 bzhw. ßn and ßn^i and am Ende ^o statt 1, so 
entsteht folgende: 

13) bo+b^ + b^+ ...+bn+ßn^l'-ßn = 

and dies ist die erwähnte Beziehung. Sie folgt flbrigens aach aas 
10), wenn man diese 

schreibt, darin nach einander fi=: 2, 3, 4, ... setzt, addirt und 
ßi — hy ßi =■ 2^1 ^^^ — 1 =" — ^0 snbstitairt. 



§3. 

Die Grössen ß and die Ton ihnen nähernngsweise 
befriedigte Differentialgleichang. 

Werfen wir einen Blick anf Tafel II, welche der Grössen ß ent- 
hält, so sehen wir sofort, dass diescihen in Grnppen von abwechselnd 
positiven and negativen Gliedern zerfallen. Die Anzahl Glieder 
nimmt von Grnppe za Gruppe zu, and zwar beträgt dieselbe be- 
zaglich: 

14) 13 9 13 19 23 

In jeder Gruppe nimmt der Absolutwert der Glieder von Anfang zn, 
erreicht ein Maximum and nimmt dann wieder ab. Diese Maxima 
sind in den sechs berechneten Gruppen: 

16) 1 1,56 1,94 2,26 2,55 

Sie nehmen also zu. Betrachtet man die Gliedzahl n als Absdsse, 
ßn als Ordinate, so macht das Ganze den Eindruck einer Zasammen- 
setzung von Sinus-Curven mit stets grösserer Spannung und stets 
grösserer Pfeilhöhe. Wir wollen nun sehen, wie weit diese Vorstel- 
lung sich mit der Gl. 10) in Uebereinstimmang bringen lässt Wir 



im «M« FbUnsreüU. 311 

tekBB UM n bereits recht gross geworden und betrachten den Zn- 
ncb 1 als ci»; dann ist: 

(/?n+l-/?.)-(/?.-/J.-l) = 

nd daher geht die 61. 10) Ober in 

Wir wollen im Anschlnss an diese Oleicbnng nnr eine bestimmte 
ßroppe in's Auge fassen. Wir bezeichnen den Index des grössten 
ß (iffliner absolut yerstanden) in ihr mit k und setzen : 

^ dass I bei wachsendem n aus dem Negativen ins Positive flber- 
f^t» Dadurch wird die Gleichung 16): 

"lua ist der Maximalwert von £ klein gegen X, wenn n sehr gross 
>it. Das Yerhältniss desselben zu l ist: 

7 
in der Gruppe (13 -, 25) etwa r^ 

MM M (»Ö; 67) ,9 gjg 

^^^ entwickele daher t-t-w nach Potenzen von -z und lasse in der 

(VI ^' 

^^* 18) nach einander drei Annäherungen eintreten, ich setze näm- 

«i «f('-D' »'f(-l+S) 

Allerdings Iftsst sich die Gl. 18) oder 16) streng integriren, doch 
iit die Form des Resultates, ein bestimmtes Integral, als dessen 
Parameter A+f oder n auftritt, fOr unseren Zweck nicht bequem, 
lehon deshalb nicht, weil dieser Parameter immer grttoser wird, in- 



81;i Saalschutz: üehv du EiUwukeUmg von e-l'-a-^) 

dem wir nerad^ imseror Befbraohtsng grosae Werte Yon n a Ofude 
legen mttssen. 

§4. 

Erste Annäherung. 
Die Gl. 18) nimmt in erster Ann&hemng die Form an: 

19) S+i-0. 

Ihr Integral lässt sich schreiben: 
90) jJ-Jcosj'y^) 

Nun soll £ — sein , wenn ß seinen grötsten Wert annimmt , folg- 
lich ist y — 

21) fi-^^^ivl) 

und A der Maximalwert Ton ß. Letzteres verschwindet fttr 
I « qp ^ ^i. Bezeichne ich nun den unterschied des An£Euig8- und 
End-Index der Omppe^) mit 0, so muss sein: 

22) z = n VI oder »* = n^X 

Benenne ich dieselben Grössen für die Gruppen, die der betrachteten 
folgen, mit Aj^i, A,2^, etc., so müssen analog 22) die Gleichungen 
stattfinden: 

«8^ = ^* ^8 

Andererseits ist aber auch: 

Z Zt 

^1 ■=" ^"T ö"r o" 






2 • 2 
^3 = A,+ ^ + J etc. 
also folgt aus 22) und 23) durch Subtraction : 



1) Diese Indices, also auch z, sowie X sind durch Interpolation w be* 
ttimmen; s. sp&ter. 



ui eilte Ihtentreike. 313 

V— V = »*(^ — ^) '=' -j(««+«3) etc. 
und daher: 

2^) «j— «= a^— »1 =--ai — Äj = ...="2 

Die Gliederaiizahlen der aufeinander folgenden Gmppen bilden also 
^ arithmetisdlie JEleihe 1. Ordnung mit der Differenz -q-* 

Wir wollen nun zunächst prafeu, wie weit die Resultate 22) 
uid 23) mit dem berechneten Teil der ß*B übereinstimmen. Die 
Tafel n giebt 

ft, = 0,193 /?i8 = —0,303. 
Durch einfache Interpolation folgt dann: 

Dieaen Anfiangsindex einer Gruppe wollen wir fi, den Endindex der- 
"^ben oder Anfangsindex der folgenden ni nennen, sodass «=f4 — fi 
*d. Dann ist fÄr die Gruppe (13,25): fi = 12,39; fi^ = 25,96. 
ferner ist nach Tal II: 

-/Ji8 = M12; -ft9 = 1,943; -p»- 1,872 

^t«e ich fbr diese Stelle der Tafel: 

sodass glmchzeitig 

( aj = i x^l j a: = 2 

\ ß='ßi%\ \ ß = ft» • t ß'^ßfo 

^Urd, so folgt aus den angegebenen Zahlen: 

a— 1,912 i — 0,082 c = — 0,051 
Und: 

— ^ = *+2tf» = für « — 0,80 

Es ist also der Maximalindex X der Gruppe 18,80. In dieser Art 
eigiebt sich: 



SaalsehStz: ütbtr die Enlwirielumj von c-i-(i-») 

[ Gr.(13;25J j k = 18,80 

i I fi, — 26,96 X = 13,57 nVi = 13,62 

\ *^'<^^'"M *.'.- 44,47 .,-18,51 «V'A, -18,55 



Gr.(45;67) 



i, = 55,81 

Ha =67,91 !, — 23,i4 ;rv'*i - 23,47 



= 4,93,^--J 



Wir köuiicu also sagi'n, dass ilie Gultigkoit unserer j 
trachtunften bereits im berechneten Teil der Tafel B 
beginne, was sich auch weiterhin bestätigen wird. 

Dem Werte 21) von ß gemäss erreicht der Differential qaotieat 



der Gmppe; dies bestätigt auch die Rechnnng; es sind z.B. dieHM^ 
fereuzen ^^^| 

ßii — ßu = ('.-tSG o"d ßn - ßv. = 0.411 ^H 

grösser als irgend welcLc andere im ersten , bzhw. zweiten Teil da'' 
Gruppe; dass diesolbeu verschieilenes Zeichen haben, versteht mcJ» 
auch von selbst, da der Diffcrcntialqaotieut au der Grenze zvei»^ 
Gruppen für beide identisch ist. Hingegen rotisstcu die beiden Dif- 
ferential quo tienten am Allfang und Ende der Gruppe Gl, 21) zafolgc 
gleiche Absolutwerte haben-, damit stimmt aber die Rechnung sicli^ 
fiberein; wol aber stimmt sie hierin mit der Gl. (16), denn denkeD 
wir nus zwei (3 im ersten und zweiten Teil der Gmppe die einaoiie*" 

gleich sind, so ist für das zweite - also ^ff (absolut genommen} 

kleiner als für das erste, also der Krümmungsradius grosser nnil 
der Bogen selbst flacher, also der Absolutwert des Differeutialqac 
tienten kleiner. Aus demselben Grunde muss auch das MaiimDUi 
von ß etwas näher dem Anfang als dem Ende der Grupjio liegen, 
was man aus den Zahlen iu 25} in der Tat erkennen kann. 

Wir dttrfen annehmen, dass die 2to (oder eine noch engere) Ao- 
nJLhcrnng au diu Gl. 18) uns über diese Umstände genauer aotef 
richten werde. 



in eine PoUmreike, 315 

§5. 

Zweite Aonäherang. 

Wir geben jetzt der Gl. 18) die sich ihr besser als 19) an- 
schliessende Form: 



26) 



dt* 



+ f('-i) = o-) 



Ein particnläres Integral von 19) hat die Form e^, es liegt also 
nahe, jetzt mit der Form e^^^^ za versachen, oder indem man 
Imaginäres von Reellem sondert, zn setzen: 

Hierin sind A and y die Integrationsconstanten, während A^A,, 
B^Bt gefanden werden sollen. Dann wird 

2»> 3"'""{a"'(Ä)~Vit'^(Ä)} 

, . / u \ 1 ( „ du dt> , d*u\ 

Ich werde im Folgenden nnter der Yoraassetznng, dass l nnd auch 
schon V^ sehr gross sei, die Glieder trennen in solche von der 

Ordnung —z, r, ^|. r^ etc., so dass also, wie immer, Glieder ge- 
ringerer Ordnnng einen grösseren Absolutwert haben als solche von 
höherer Ordnnng. Dabei müssen wir, um grobe Irrtümer zu ver- 
meiden, streng an dem Grundsatz festhalten, dass, wenn wir irgend 

ein Glied von der Ordnung jj fortlassen, es fehlerhaft ist ein an- 
anderes von derselben oder höherer Ordnung beizubehalten. 

Wir gehen nunmehr zur Ausführung der Rechnung über. Es ist 



1) Bezüglich der strengen Integration dieser Qleibhnng gilt dasselbe, was 
von derjenigen der Gl. IS) am Ende Yon f S. gesagt ist. 



316 Saalsehatz: Utbm' dk Entwidcdung üon e-lrd-«) 

folglich mnss nach 26) und 29) sein: 

+ 8^2^,1« + 2^8 I «0 

Wir setzen nnn in den Coefficienten von Ae^cos ( ittJ ^^^ von 
^e*8in ( wT ) die Factoren von £^ and % einzeln gleich 0. Das giebt: 

a) -J(2^,+V) + 2J32+^i*-0 



32) 



b) -J^,(l+^,)+4J5i5,--^, = 

c) ~(ß,(l+A,)+A^)''0 

d) :^^(Bi^2 + B,a+A))^0 

Nehme ich nnn A^ als von der Ordnung -. an, so folgt ans a), dtfs 
B, nnd Bj* von keiner geringeren, and mindestens eine dieser Grössen 
auch von keiner höheren Ordnung sein können als t|. Ans c) folff^ 

dann A^ von der Ordnung B^, Sind also o^as, b^bi endliche ZaU^ 
so ist es das NatQrlichste: 

ZU setzen. Jetzt haben wir den Factor von ? im GoefBcienten dflt 
Cosinus, nämlich —^ d. i. -^ als betrachtet und mussten dsS) 

weil wir auch das Glied ^ * i s 9 ftlso innerhalb des genannten Coei- 



m ewKe PMmvtreike, 317 

ficienten das Glied ^ fortgelassen haben; nun kann aler, wie die 

TS 

erste Annähernng zeigt, | bis zur Ordnung ä~ VA wachsen; wenn 

wir also das Glied —jj- fortlassen, so lassen wir ein Glied von der 

Ordmmg -, fort, mflssen also alle Glieder fortlassen. Im CoefficIenMt 

des SmoB lassen wir das Glied — T/f^ d- i- ^ Glied, dessen Offd» 

nnng mindestens jw^ ist, fort, wodurch also keine weitere Be- 
schränkung der Genauigkeit veranlasst wird. Sehen wir nun die 
Gl. (32) an, so ist die linke Seite der a) von der Ordnung 

j^ ; wir können also aus ihr keine weiteren Schlüsse ziehen , die 
GL b) lautet: 

-^■(•+?)+*^-^.-o 

ihre linke Seite ist ebenfalls von der Ordnung r|, aber sie erhält 
den Factor S, kann also bis zur Grösse eines Gliedes der Ordnung 
T-Jl steigen und ist daher zu berücksichtigen. Sie liefert, bei Fort- 
lassüng der Glieder höherer (nämlich mindestoas ^Aiter) Ordnung: 



a 
Die Gl. c) lautet: 

2 

in 



(^.(l+?) + a.)=0 



Ihre linke Seite ist von der l|ten Ordnung, ihr Goefficient 1, sie 
ist also zu berücksichtigen. Sie giebt: 

*i — - <^ — i 

Sie Gf. (¥) ist von der Ordnung ^; die Ifnke A^iej^hlit den Goel^ 

ficienten (, bleibt also stets mindestens von der Ordnung r,, ist also 
ausser Betracht zu lassen. 

Wir haben also a^ und b^ gefunden , während! a^ und b^ unbe^ 
sthmit, dk h. fiär den erreicliten Grad der Genauigkeit gleichgültig 
hMben. Wir ktasen sie also aveh =» setsen «ad haben daher: 



; CM«r (Im Bamiduimig v 



ß = ^e"C08(^j) 



= ^-ü+r, v = 



M. 



Nun konnte jemand iu der yorangehenden Dcduction die nötige 
Schärfe vennissen, zumal wir erstere an eine Glciubuug anknüpften, 
die sich später als uuerheblich erwies. Darauf wäre zu erwidern: 
Wir haben in 33) eiuen Ausdruck für ß gcwoDueu, bei dessen Sab- 
Stitotion iu die Gl. 26] sieb alle diejenigen Glieder idcc- 
tiscb zerstöreu, dereu Grüsse gleich oder bedeutender ist als 



die GrdSBC eines Gliedes vou der Ordoung 



i r,^. Solange wir nu 

also mit dieser Genauigkeit beguUgeu uud das müssen wir, iroit 
in der Gl. 26) selbst Glieder höherer als der Ijteu Ordnung fort- 
gelassen sind — haben wir deu obigeu Aufdruck für J3, der awAx 
zwei wiilkttrliche Constanten A und )' u-utbält, als das TOllatAndise 
Integral der Differeutialgleicbung 26) anzusehen. 



Wir bestimmen uuu 
mal wert erreicht. Selze 



wieder y so, dass |3 fttr E » seinen Hui- 
I wir die Werte: 



in ^ ' Gl. (38), ein und dies dann = , so erhalten wir die 
chnng: 

tlao 

VI ivi '■(4yj)' 



oder 



1 



' 192i 



r.±- 

± 



Schon die HinzufUgnng des Gliedes — T^äi z" i wire minded 
aberflOssig, da es für grosse Werte von E das einzige Glied roo 
der Ordnung , wäre-, sie wäre aber auch geradezu fehlerhaft, dt >■* 

u Glieder von der Ordnung -r^ fortgelassen sind, welche erst bd 

der nächsen (3ten) Annäherung hinzugefügt werden. Aber ! 
da noch nicht, erst bei der vierten Annäherung wire 



• • 



i 



BUmgrtiU. 319 

\ Tcneiueden uunmehmen. Dann w&re aber der Coef&cient von 

- nicht — £gÄ} sondern ein ganz anderer. Wir setzen also : 

85) y-i 

Der Maximalwert von /}, er sei B^ ist jetzt: 

odee solange wir andere Glieder von der Ordnung t fortlassen: 
87) B=:A 

Wir wollen jetzt die Werte berechnen, welche ( annimmt, wenn 






vML Sei gleichzeitig: 




8B) \ sowie 

*o werden p und ^ auch nahezn ö VA sein. Setze ich nach 33) 
udd5): 

^ nehme ftr p die Form an: 

WOtitng: 

•»'«Igt: 

«»—4 

^^ dflrfen nämlich keine Glieder von der Ordnung zr^ nehmen , da 

^ die dritte Ann&hemng ein solches Glied in J[(^ £ — \V^) 

''bttnlvingt. — Setze ich E — • g in 33), so erhalte ich die Glei- 
^^Imagen: 



320 Saalschütz: üeber die MkUwkkelung von «-1:(I-«) 



-^VX^-q-fi+i 



und 



4A 



Jv» = ,+ «i 



q^%VX + c' 



, ^«-4 



Also haben wir : 



16 






39) 



2 " ' 16 
n ^, w* -4 

Also auch jetzt ist noch 

p+q — «VA 
aber nicht mehr 

p^q 

sondern : 

40) p-q- "^-g^ « 0,7338 

womit die zweite Bemerkung am Ende des § 5. ihre Erledigung ge- 
funden hat Die in 25) zusammengestellten Zahlen geben ftir p — q 
die Werte: 

(Mi-A)-(A-^) « 0,75 ; (^,-Xi)~(Ai-fii) - 0,75 
(^3-^2)-(A2-^«) - 0,76 

Die verbältnissmässig weniger gute Uebereinstimmung als früher er- 
klärt sich leicht dadurch, dass, abgesehen von der Voraussetzung 

sehr grosser Werte von n, in der Gl. 40) die grosse Zahl s" V^ 
sich fortgehoben hat. 

dß 
Wir wenden uns nun zur Bestimmung der Werte für -rr am An- 
fang und Endo der Gruppe, welche bei der Iten Annäherung sich 
als gleich ergeben. Ersteres mag mit 



( -^ 1 und sein Absolutwert mit (-£c) 



letzteres mit 







in- WM PiXenzreihe. 321' 

und sein Absolntwert mit (^J- 
bezeichnet werden. Nach 28) ist fflr u^ qp^yx: 

Um nna Aber die beizubehaltenden Glieder vollkommen klar zu wer- 
den, schreibe ich mit Rücksicht auf 33) : 

dum sind alle diejenigen Glieder fortzulassen, deren Ordnung mit 
denen flbereinstimmt, welche die (unbekannten) Factoren a oder b 
haben. Aus 41) folgt: 



ibo: 



f=^-^ 2A+ A« ' * J^p ^ + 4A+V^+32y A» 



worin 

iho ebenfedlfl unbekannt ist. Nach 39) folgt dann weiter : 

A 




^■"8Vi"^"64Ä"+ 41/ 



« VI 

Wir mflssen also die Glieder von der Ordnung t fortlassen und haben 
^ Absolutwert, wenn wir dei^enigen von A auch mit Ä bezeichnen : 

'''"» in dendben Art folgt für 5 — — g: 

**«^ 4. mth. ». Pkj». 2. Ä«iht. T. Tl. 21 



322 Saaliehüig; üehBr dU Entwidcdung von c— 1:(1-h^ 

80 dasB in der Tat jetzt der absolute Schlüsswert kleiner als der 
absolute An&ngswert sich herausstellt. (Vgl. § 4. am Schlnsse). Die 
Formeln 42} und 43) ffthren uns aber noch zu weiteren wichtigen 
Resultaten. Zunächst ist nämlich mit dem bisherigen Orade der An- 
näherung : _ _ 

dß 
Femer ist aber der Endwert von ^ bei der vorliegenden Gmppe 

identisch mit dem Anfangswert bei der folgenden; schreibe ich ftr 
diese Aj, «i, »i^ bei den dann folgenden If^ «t, »« etc. statt A, a, «, 
io entstehen die Gleichungen: 










und daher durch Multiplication: 



Ua, "■ W« V ^Vk) V 4y0 0"4vJ •' 

Die zweiten Glieder in den Klammem werden immer kleiner, und 
ich habe daher, indem ich zur Grenze übergehe: 

Setze ich hierin fftr VA, Vkt ... die Werte aus 22) und 23), so 
wird: 

«) -(D.,-(^. ('-£■)(-£)(-£)■■ 

Jetzt bilden aber die Grössen z, zi, z^ ,., eine arithmetische Reihe 
1. Ordn. (s. § 4. Gl. 24)), folglich divergirt die Reihe: 



M MM xWMfTtlM» oZO 



tC-+'=:+^+ ) 



Uer eonveigirt das Prodoct in 44) zur Null hin und wir haben 
An ftr YoriiQgend6 Untenaehong sehr wichtige Resultat : 



«) 



wobei daran erinnert werden mag, dass (^ j und (ö|J 




die 
dB 

grtateii Werte von ^ sind (s. § 4., letzter Absatz). 

Beniehaen wir die den Ä entsprechenden Grössen in den fol- 
gndeii Oroppen mit A^A^ ... und drücken die Gleichheit von 

\rA and f ^) analytisch ans, so folgt ans 44) und 43): 



oder: 



VI, V + svij ■" VI V 8y i) 



2; -TS 

' M 






«« 






46) 



ff> 






»* 



^« MaltiplicaUoii dieser Oleichnngeii ergiebt bei bisheriger An- 
■*henmg: 

81» 



324 Saalschutz: üth^r dU EntwieMung von e— 1:(1-«) 



1 — 






er- 



Pr — »r 



Indem wir zur Grenze ttbergehen, wird (l ■^ör) "* ^ ^^^ ^^^ 
halten: 

47) lim Ar^A g , hm Pr 

Der Wert von Pr lässt sich nicht anmittelbar angeben, da es in A^r 
Form 00. erscheint Es ist aber, wenn ich natürliche Logarithm^o 
mehme, 

logPr=log^- 14^+47,+ •• +47J 

-U(0+©'+-+(0} 

— etc. 
Setze ich nun 

wobei a eine posit. ganze Zahl and o ein positiver echter Brach 
ist, so ist nach 24): 

^ = J (0+1 +a). »8 - J (a+2+a), . .. «r «- y(a + r-1-H») 

folglich, wenn ich zur Abkürzung 

1 , 1_ , .___JL_ u 



(a+a)p'^(a+l+a)P^ •'• ^ (a+r — 1 + a)^ 

setze: 

C7i 1 r/i 1 r/3 1 Ü4 
48) logP« = logsfr — ^"22*^ ""3 2^""42*"~'" 

Jetzt ist 

^'^ "^ S'+ (a + l)P+ ••• + (o + f-l)P 

also: 



J 



in eine 


Potenxreihe» 


u. 


< 


6 


2» 


< 


24' 



325 



ö«<i+^+li+... <(i+|,+i,+ -y 



2* ^ V24' 



also: 

GDODSO: 

11 / 1 1 \' 

^6 "^^ ^ "i 26 ' 3« ' * • • ^ l ^ "1 2* ■" 3* *" * * y 
folglich : 

2« ^\^} 

In dieser Art fortgehend findet man: 



^4 2«^ 6 2«^ -^2 \24^2\24y ^3 \24/ ^ • J 



1 C72 . 1 ü^ . 1 üi 

2 2« 



«« 



also da 01 ^^^ echter Bruch ist, gleich einer endlichen Zahl, die 
kleiner als «^og/ j\ ist und sowol von a wie von r abhängt. 



H^^ ' 



ich bezeichne sie mit X>r und in der Grenze ftr r — 00 mit D, 
Ebenso wird 

3 2»"*" 6 2*"^ 7 27'T- ••— -ß^ 
d. i. ebenfalls gleich einer endlichen Zahl < X>r sein, die fbr r=ao 
in E übergehen mag. Jetzt bleibt noch. ^ *, dies bringe ich auf die Form . 

""2\U"ö4^/+i^+I"" a+l + aj + •• 
+ V^a+r — l"" a+r— 1 +«/ ) 

Der Wert der letzten Klammer ist kleiner als 

^ U*"*" (a+l)»+-- + (a+r- 1)7 



326 Saaliehütx: Otber dU EiUwiekdimg oon «^I :(!-•) 

d. i. wieder eine endliche Zahl < a -g ; sie sei Fr and in der Grane 
oFf daher wird: 



+ a— l+ä+--+a+r — V 



Endlich ist: 



logi*r - log^ +log (14- ^^ *_ ^ j+log(«»+'— 1) 
folglich wird, wenn ich aof beiden Seiten von 48} ^logir abdehe : 

+ |B-a_Ä — j(i +-J+-+ri:7=T-"«<'+'-»>) 

Jetzt ist: 

Um(l + ^ + 1 + . . . + ^-p^— ^-log(a+r-l)) - Conat = 0^7... 
gehen wir also zur Grenze über, so wird: 

d. h. gleich einer von a und a oder von « abhängigen Constanten. 

Pr 

Dasselbe ist also mit der Orenze von — r- selbst der Fall, und be- 
zeichne ich deren Wert, um an ihre Abhängigkeit von m zu erinnern, 
mit Cßy so folgt aus 47), wenn ich diese Gleichung durch V»v 
dividire: 






In dieser Gleichung hängt A sowol wie % von deijenigen Gruppe 
ab, die den Ausgangspunkt bildet. Bezeichne ich die rechte Seite 
mit JT, so habe ich: 



« u» (^) 



in «tiM Potenzreihe, 



327 



d. h. wenn s selbst schon gross genug ist, so gilt fbr genttgend 
grosse r die Gleichung: 



50) 



Ar'^E.VMf 



die sich auch, wenn H eine andere Constante ist, mit demselben 
Bechte (d. h. mit etwa derselben Ann&herong) wegen 22): 



51) 



Ar'-'H.Xfi 



schreiben lässt In beiden Formeln können wir B statt A setzen: 
denn, nehmen wir die Gl. 37) , so bleibt Alles ongeftndert., nehmen 
wir aber die Gl. 36), so hebt sich im Producte der 011. 46) alles 

neu Hinzukommende bis auf den Factor r- anf der rechten Seite 

^ + 32i 
fort, wodurch nur die Constanten K und H eine Aenderung er- 
fahren. Wir können also auch die Gleichungen: 



52) 



Br^KiVMr 



aufstellen. Prüfen wir die Genauigkeit dieser Gleichungen fOr mftssig 
grosse Werte von n, so |ist nach Taf. 11^) und den in 25) zu- 
sammengestellten Zahlen: 



Gruppe 



logB;Vs 
log 10 
9,7222 

9,7212 

9,7206 



logB: yx 

log 10 
9,9699 

9,9694 

9,9690 



(13; 25) 
(26; 44) 
(45; 67) 



1,943 
2,264 
2,545 



13,57 
18,51 
23,44 



18,80 
34,84 
55,81 



Hier stimmen also die in den letzten beiden Rubriken unter 
einander stehenden Zahlen schon gut flberein. Ich bemerke noch, dass 
durch Substitution des Grenzwertes von Ä aus 51) in 43) die Glei- 
chung 



i) Vielleicht wäre es richtiger, den V^ert Ton B TermOge der rar Be- 
•timmoDg der Zahlen 85) angewandten Interpolationiformel sn berechnen, doch 
würden die Beenltate aieh kanm wcsentlicb Terftndem« 



328 Saalaehütt: Ueber die Entwickelung von e— 1.(1— x) 




erhalten wird, die mit 45) in Einklang steht. 

Addire ich die Gleichungen 42) und 43), so entsteht nach Sab- 
stitntion von 51): 



^^^ ® . + (^)a, " aT; ^ genügend gross. 

Diese Gleichung wird für uns von besonderer Bedeutung werden. 
Bezeichne ich ihre linke Seite mit (?, so wird: 

54) G ^ -jj oder Ol^ =- const 

PrtLfen wir wieder die Genauigkeit dieser Formel für die berehnoten 
Zahlen I Es ist Gruppe (13,25): 



daher: 



"- CS). + CD - 0^ 



ebenso Ar 6r. (26; U): <? — 0,7711 
„ „ (45; 67) „ „ 0,841 

* 

Dadurch ergiebt sich für diese drei Gruppen: 

55) ii^(^^0"^'^^^^'' 0,2727; 0,1719 

Diese Uebereinstimmung ist merklich geringer als die frühere. Di^ 
ist dadurch zu erklären, dass in 53) sich das Glied niedrigster Ord- 
nung g-^ fortgehoben hat, und dass somit die Glieder höherer Ord- 
nung, zunächst von der Ordnung t, an Bedeutung gewinnen. Diese 

Glieder lehrt aber erst die dritte Annäherung kennen. — Selbit- 
verständlich werden die Gl. 53) und 54) desto genauer erfUlt, je 
grösser n oder X sind. 



in eine Potenzreihe, 329 

§ 6. 

Dritte Annäherung. 

Da der Zweck der dritten Annäherung von untergeordneter Be^ 
deutung, nämlich eigentlich nur die Bildung eines Correction0glied€)8 
ist, so wollen wir uns bei ihrer Darstellung, zumal die Methodle 
genügend erörtert wurde, kurz fassen. 

Die Gl. 18) erhält nunmehr die Form: 
Setzen wir 



ß " Ae^ cos (^YjJ 



57) ^ «-(l+i4,)E-^(l + ^,)+^5»+y 

so ist der Ausdruck 29) für ^ zu bilden. Wird derselbe in 56) 

substituirt, so lassen sich sechs Gleichungen aufstellen, vermöge derer 
die Glieder mit ^EE' identisch verschwinden sollen. Der Umstand, 
dass die Glieder mit E' vernachlässigt werden, erfordert es, nur 

Glieder bis zur Ordnung r, einschliesslich beizubehalten (bei der 

2ten Annäherung bis rq einschliesslich). Dadurch werden drei Glei- 
chungen bedeutungslos und in' Folge dessen A^B^B^ unbestimmbar, 
während für die andern sich sichere Werte ergeben; nehmen wir die 
ersteren als Mull an, so sind die Resultate: 



58) 



(3 \ ? P 



L J! 

* ~4X~8A« 



59) 



d5 V 32Ay 21^ U* 



dv i_ 5^ 

dl "4* 4Jl» 



930 SaahehMts: üeber di§ JbUwide^kmg von «-1:(1— fl) 

Jeder dieser Ansdracke geht jetzt un eine halbe Ordnung weiteri 

9f 1 1 

tt^ Ar i (nahezn) :gleich ä^^"" ^^11' f' bis «etc. Wledenm 
ist y » i zn setzen, weil in u Glieder von der Ordnung y fohlen, 



(▼gl oben vor Gl. 35)). Die Grössen p und q sind fthnlicli sn be- 
gtimmen wii firOher nnd erhalten ebenfalls ein Glied himm: 



16 64VA 

60) < 

» »* — 4 n 

«""2"^ 16 ""eivl 

woraus Ar « der wenig geänderte Wert 

61) « — p+ g -» »VA— gj^^ 
folgt, während p— g ungeändert bleibt. 

Femer wird jetzt fftr t* — ig VA: 

U/« ""VA d?J^-, 

Ujco "" VA d5jf=p 
du 1 

Hier geht ^ bis ^ herab, entwickeln wir e* ebensoweit, setzen also 

' ■"^"*"4A 32 A« 
so wird: 

V.df >f „ VA V.^ 4A 32A^ 32 X'Jh^ 

d. i. nach 60) bis j in der iUammer einBchliesslich : 

VdfJ. VaL^T^ÖVA^ 128A ^ 

fdß-^ Ar n , 3it«-4 -\ 

VdT J« VA V ~ SVA"»" 128A J 



in eine Potemxrmh«. 331 

Jetzt darf nicht mehr A mit B identificirt werden, sondern muss 
nach 36): 

62) ^-^0+35-0 
gesetzt werden, so dass 

63) j 

sich eigeben i). Hieraus folgt: 

nnd schliesslich (fbr genflgend grosse r nach 52)): 

G^.Al 2B 

— TT- — const 



0+^) " 



Ziehen wir nnn von den Zahlen 55) die briggischen Logarithmen des 
Nenners nämlich bzhw. 

0,0053 0,0029 0,0018 

ab, so bleiben: 

0,2708 0,2698 0,2701 

deren Uebereinstlnunnng viel besser ist. 



S7. 

Die Grössen b und die Convergenz ihrer Beihe. 

Nachdem nns die Auflösung der Gl. 18) in 1 ter nnd 2ter An- 
näherung die hauptsächlichen Eigenschaften der Grössen ß enthüllt^ 
und die 3te Annäherung einen anfEälligen Mangel an Uebereinstim- 
mung zwischen Theorie und Zahlenrechnung grossenteils beseitigt 



1) Bildet man «as den Formeln 63) Qldchnngen, die den 46) analog 
find, 10 ist der Unterschied nnr, dass noch andere convergente Reihen ron 
der Art der oben ü^tl^ ... genannten nnd iwar teils mit negatirem, teils 
mit positivem Vorzeichen hinxnkommen, sodass man schliesslich ebenfalls in 
einer Gleiehnng gelangt (sei es in s oder in X mit Bflckiicht auf 61), die 
genau die Form der Ql. SS) besitit. 



332 Saahchütz: Ueber die BUundcelung von €-l:(l-«) 

hat, köBoen wir nun die bei der Untersachung der Grössen ß gc 
wonnenen Resultate für die Grössen b selbst nutzbar machen. W^ 
können letztere zunächst in folgender Art charakterisiren , wohM 
ich daran erinnere, dass (Gl. 8)): 

bn = - ßn ist 
n 

Die Grössen b zerfallen (vgl. Taf. I) in Gruppen von abwechselnd 
positiven und negativen Gliedern. Die Anzahl der Gmppenglieder wftcbst 

ff' 

von Gruppe zu Gruppe in arithmetischer Keihe') mit der Differenz y 

(Gl. 24) ). In jeder einzelnen Gruppe nehmen die Glieder von nahe 
an Null bis zu einem Maximalwerte zu und von da an wieder ab. 
Die Maximalwerte verringern sich von Gruppe zu Gruppe, und zwar 
schneller als umgekehrt proportional der Anzahl ihrer Glieder; dein 
n ist nahezu prop. ^r^ also^r:n nahezu prop. z~l. 

Die wichtigste Frage ist nun die nach der GonvergenzderBeihe 
in 1): 

65) 8 '^ bQ+biX+biX*+bjiX^+ . .. 

Ich nehme zuerst a; « 1 an und erhalte dadurch: 

Seien jetzt r und « die Anfangsgliedzahlon zweier aufeinander folgen- 
den Gruppen, so ist nach 13) für u= r—li 

dß ^ 
Nun ist aber ßr^ßr-i nach unserer Auffassung soviel als -^ i»< 

das Ende der mit br^i schliessenden oder den Aufaug der mit 6^< 

I 

beginnenden Gruppe; die letztere fasse ich aber in's Auge oa^ 
schreibe daher die obere Gleichung: 

£ benso erhalte ich für den Schluss der mit br beginnenden Gruppe 
bo+ht+b, + ... + *.-i+CÖ. =^ 



)) Hiebeif wie im Folgenden, wird n genflgend gross wot%\ 



i 



m evM Poienzreike* 333 

Die Sabtraction der ersten Gleichung von der letzten giebt: 

66) »,+»r+i:+ ... +5,-, = (1)^ - (|)„ 

Nun ist aber das Zeichen von (^j den]jenigen von f ^ I 

entgegengesetzt, also ist, wenn ich die absoluten ^^'erte einführe 
(mid durch Ueberstreichung bezeichne) und für jede negative Grappe 
(r, I— 1) die Gleichung 66) noch mit —1 multiplicire: 

67) »r+»r«+...+*.-.-(;D„+CIX 

t 

Die rechte Seite ist früher (nach Gl. 53) ) mit G bezeichnet worden. 
Behalte ich diese Bezeichnung in der Bedeutung Grnppensumme 
M, 80 ist nach 54): 

6r Ai = const. 
oder (immer genügend grosses n vorausgesetzt) : 

Ö V« — const = C 
68) 6?=-^ 

^otrachten wir also die Gruppensummen als Glieder 
<^iner neuen Reihe, so convergirt diese, da die wirk- 
lichen Gruppensummen abwechselnde Vorzeichen haben, 
wie 

V« y« +d ^ y«4-2d Vz+sd ' " 

*ö Reihe 8 65) convergirt also für x^l und umso 
•^l^neller, wenn « < 1 ist. 

Nachdem wir die Convergenz der Reihe S^ erkannt haben, ist 
^ ^cb leicht ihre wirkliche Summe zu erfahren. Dazu dient uns 
^P hier schon einmal benutzte Gl. 13). Das so zu nennende Rest- 
^^^4 /9«^i — /3n ändert sich von nahe an bis zu einem Maximal- 
^^M am Anfang oder Ende der Gruppe. Aber auch in letzterem 
*^le ist wie 45) aussagt: 



\im(ßn^i-ßn) - lim (j^^ - 



d. i. 

70) 

Setzen wir aber in 1) » 
Oleich QQg: 



iliettiltt; üebtr dit Enlaidnlting von <— 1'(1— *) 
lim (60 + 6, +61 -H ■■■ +6»)h=30 --0 



- 1, BO erhalten wir die in der Tat ri 



d. L 



8-« — 



Dass die Reihe S auch für negative Werte von i his « = - 
fcbl., nnd zwar noch Bchneller convergirt, ist last sei bstverst&nd lieh ^ 
ich begnüge mich daher, aur als Resultat anzagebeu, dasa sie 'um- 
letztereu Falle, wie die Reihe: ^h 

^-L ^ I ^ ■■ _l_ ^1 

convergirt. 

Bemerkung. Betrachten wir die Grässen ß nnd b als Coor- 
dinaten von Carven, deren AbBcisse >■ ist, so liegen (im weiteren 
Verlaufe) die Maxima und Minima bei der ersterea anf einer Carve,^ 
die sich langsamer öffnet als die Parabel , bei der letzteren aiir~ 
einer zweiästigen Cnrve, die der Abscissenaie die conveien SeitenK. 
zukehrt and sich ihr (von oben bzhw. von unten her) asymptotisch^ 
nähert, aber langsamer als eine Hyperbel, deren Asymptoten die Coor — 
dinatenaxen sind. 



Anwendungen. 
I. Setze ich in 1) i = 1 — y, so erhalte ich j 



1 



IMese Reihe ist ( 
lieh, doch darf e 
stattfinden. 



-(io-Ki(l-y)+A,(l~!,)»+...) 



lüg ftr y von 2 herunter bis znr einachli«»- 
e Umordnong nach Anflösnug der Klammem nidit 



n, Bestimmung des Integrals: 

/ » 

Durch partielle Integration ergiebt sich: 



00 



"- - iTT-f^f 



00 00 

'erifdy 



1 1 

00 00 



also, indem ich diese Oleichmigen der Reihe nach mit 1, —1, 1.2 
—1.2.3, ... (— 1)*-M.2.3 ... (*— 1) multiplicire and addire: 

17= -(1 — 1+1.2— 1.2.3+.. .+(-l)»-U. 2.3... (ifc—1)) 



+(— 1)*. 1.2.3. ..*.J 



00 

1 **** 



73) 



Ffir das Integral rechter Hand setze ich: 



80 wird: 

und daher das Integral: 

OD 1 

74) ü» «y ^^ -.y*«-i:(i-«)(l-aj)»-idr 

1 

Jetzt ist: 

76) /* (1-.)»-.^ - 1; /Ul-«)»-cfc » rg$i^ 

CT 

1 1.2.3...n 



* (*+l)... (h^n) 



336 



Saalschütz: Ueber du Eniwiekelung von «— l:(l-c) 



Substitnire ich also für e 1 — jt die Reihe 1), maltiplicire sie mit 
(1— »)*-! and integrire von bis 1, so erhalte ich: 



76) kUk — - 



1.2 ...(n — 1) \ .-*r 
n-l);+ e 



+ *n-l 



(k+l)...(k+ 



77) 



• ] 



(1 — x)*-i (6n«"+dH+iic*+l+ . . .)da: 



Jetzt nehme ich an, dass hn das Anfangsglied einer Gruppe 
und zwar will ich sagen, einer positiven Gmppe sei; die Ab- 
fangsglieder der folgenden Gruppen seien br^ 6«, bt^ ... oder tun nur 
mit positiven Grössen zn tan zu haben: — cr, -f-^*) ^<^^ ••• ^^^ 
also ba= —Ca gosetzt ist. Dann ist: 

oder wenn ich die Summe einer mit ba beginnenden Gruppe ihrem 
wirklichen Werte nach (d. h. mit Rücksicht auf das Vorzeichen) 
durch Ga bezeichne: 



6h «" 



+ ... -f&^«iajr-l ^a^,Gf 






also: 



etc. 



< 



78) bnx^+bn^i2^+^+ ... in infin. ^ Gna^- GrX^+G,a^T - 

wobei das Gleichheits-Zeichen nur für x ^ l gilt. Nun bilden ^ih 
(7r, ^f, ... eine abnehmende Reihe folglich ist 

aber es ist auch 

*n+&fi+i+ ... in infin. 

eine positive Grösse, denn nach 13): 



m <tJi« Pbt€iutr€ih€. 337 

*0+*l+ ••• +*H-1 — ßn^\ — ßn — (n— l)6n-l — nÄ,» = lieg. 

also wegen 70): 

Äfi+Än+1+ ••• ■" •~(*0+ ••• +^K-l) — P08. 

Daher ist für x ^ 1 die rechte Seite von 78) positiy und ^ Gno^ 
also : 

79) ÄHa:*+^+ia;~+i+ ... < ö^n«* und positiv 

Multiplicire ich diese Beziehung beiderseits mit der positiven QrOsse 
(1 -x)^"^ und summire von bis 1, so kommt: 

1 1 

/^(*H«~+Än+i«"+l+...)(l-aj)*-idr < (?H /^aJ*(l— aj)*-idfl? 

also wird, wenn ich unter ^ einen positiven echten Bruch verstehe : 

1 



r — ^.6?n y «»(l— *)»-irfr 





80) 

^ ^ 1 1.2 ... n 



k'(k + l) ...(Är+n) 

Ich nahm bn als Anfangsglied einer positiven Gruppe an, aber 
durchaus ähnliche Betrachtungen gelten auch, wenn es das Anfangs- 
glied einer negativen Gruppe ist, d. h. wir gelangen wieder zur 
Formel 80), worin dann Gn den wirklichen Wert der Gmppensumme 
und & einen positiven echten Bruch bedeutet. Durch Combination 
der Gl. 73) 76) 80) wird nun : 

81) 17 - ^ |i_l4.1.2:f:...+(— 1)*-1 . 1.2...(Ä;— 1)+ (-l)*.l.MÄr-l). 
/ 1 , 1.2 , 1.2...(«— 1) \ 

Mittelst der am Schlosse der Tafeln aogegebenen Werte der Orup- 
pensnmme 6« ist es also möglich den Mazimalfehler zu ermessen, 
den man bei Fortlassung des letzten Gliedes begeht. 

Die Formel 81) Iftsst noch eine Willkflr flbrig, n&mlich die Wahl 
der Zahl k, mad wir kdnei diese nm so w&blea, dass erwiboter 

Awk. 4. Ksik. 1. m«. s. BiÜi^ T f I. ** 



338 Saalschutz: üeUr die EmHndetlung von «-l:a-^ 

Fehler so klein wie möglich wird. Dabei nehme ich an, es Mi « 
(als Anfangsindex einer Gmppe), also die Anzahl der sn beredmeo- 
den Glieder schon vorweg bestimmt worden. Dann ist dem Bfl■^ 
• oder Fohlergliede — es sei ^. l'i.C— 1)* 

^*"" (*+!)... (Ä: + n)''- " 

nlGn fest gegeben, das Andere hängt aber von k ab. Dieser Teil 
nimmt mit wachsendem k anfänglich ab, dann wieder zu; er wird 
also sein Minimum erreichen, wenn so nahe wie möglich Vh = K%^i 
ist. Nun ist 

1.2...(k^l)k.n\ 

*+'~(*+2)...(ä:+»+1) 
also 

Vijrl k(k + l) 

Dies ist = 1, wenn 

k(k+l) '^ n+k + 1 
(*+l)(Ä:-l) = n 

82) Aj-VH^T ist. 

Ist k grösser als Vn-f^l, so ist Vk^.i grösser als lY Wir mflssen 

also k » Vn-f-l oder, falls dies irrational ist, gleich der nächst 
grösseren ganzen Zahl wählen. Da bei solcher Bestimmung immer 
n grösser als k ist, so heben sich in 81) in den Coefficienten der 
b von bk an Factoren vom Zähler gegen Nenner fort und wir kön- 
nen schreiben: 

83) 17= - ll— 1+1.2— 1.2.3±...+(—l)*-i.(A;—l) I 

+(-. D» (.-1) I (*o+*.i^i + ... +*»-!. (4:i).l^-i) 

+^-^"* i(H-l)..(2*) + - +n(n+l).."(H-n-l)} ) + ^! 

TO- _ f_. .t (* -l)lfcl „ „ IG» Somme der Orappe, deren\ 
^ ^ ^ (»+1) .. (*+«)" V erster ladex n ist / 

Hierin hebt sich noch das Glied mit b^ gegen das Torangehende fort. 



MI «MM PoUnzr«ih§, 339 

Beispiele, n — 4, ifc (^)V^ = 3, ö^« — +M6, also: 

i# • iA.1.1 2 1,16 0,066 

öo e e 

II = 13, * (^j V14 = 4, öf„ = —0,907, also : 

3 0,907 0,0023 



Madmalfehler — — 



1190' « "" e 



IKe Rechnang giebt in diesem Falle für den Wert des Factors von 
~ n 88) aosser dem Restgliede: 

1 — 1 +2 -6+6 (1 —0,23389) = 0,59666 
Es ist also: 

84, ^^0.5967-;».0,0023^ ,^^^^ 

e 

Man kann bei etwa demselben Fehler sich die Berechnung 
^ger Glieder ersparen, wenn man nämlich bei der vorangehenden 
Orappenmitte abbricht. Die 61.81) oder 83) gilt mit Aosschlnss 
^ Restgliedes fflr jedes n, es kommt jetzt also darauf an , dies 
Rest-Glied zu bestimmen. Seien zu dem Zweck n, p^ q die Anfangs- 
indiees dreier anf einander folgender Gruppen, femer in der vor- 
sogehenden Gruppe der Index r so (mit Hülfe der Taf. II.) gewählt, 
^ ßr'-ßr^i den möglich kleinsten Absolutwert hat, ebenso » Qir 
die Gruppe (n, p — 1), t für die Gruppe {p, ^—1), u für die folgende 
Gruppe, also: 



ttod: 



Gmppenmitten bezeichnet durch r a t u 
Gruppenanf&nge „ jt ^ p g. 

Ißr — ßr-l =• ^1 
ßi — ft-1 = ^s 

^obei also S^ö^ö^ sehr kleine positive oder negative Grössen sind. 
^Ua folgt bei zweimaliger Benutzung von 13) : 

*r +^^.1 + . . . + bn-l - {ßr — /3r-l) — (ßn — ßn^i) 

ekenso: - ~(Pn-^n-.i)+a, 

*» + *»+!+ ..• +*•-! — (Ph — /^fi-l) — ^S 
*• + *•+! + ... +Äf-1 =- — (/^p — ft-l) + ^« 

^+*H-i+ ••• +*«-! — (ft— ft-O — ^s 

82* 



340 Saalsehütxi UeUr die EntwkIuUtng wm «-1:(1-«) 

Jetzt nehme ich der Bequemlichkeit wegen, und am die Yoi^ 
Stellung zu fixiren, vorläufig an, dass mit hn eine negatiye Gnippe 
beginne, dass also br .. bn^i positive Grössen seien. Bezeichne 
ich wieder negative ^'s durch — c, so werden die obigen Glei- 
chungen: 

gg. , Ch+ ... Ci-1 = (ßn-l - ßni + ä^ ...b) 

e$ + ... Cp-i = (Pp — ßp-i) —^% ... c) 



\ 



*j» + • • . **-i = (ßp—ßp-i) — ^s . . . rf) 



worin (ßn-i — ßn) und (ßp — ßp-i) positive Grössen sind. Ich ?riU 
jetzt den Fehler bestimmen, der beim Abbruch der Rech- 
nung mit br^i begangen wird. Derselbe ist (vgl. 73) und 76)): 



(-l)*Ä:!f 



87) 



T = y (1—aj)*-! (brz^ +br^i aj^+1 -f . . .) AB 



Es ist aber: 



also: 



brX^-\- ... +Än-l«"-^ < X^{br+ ... +Ä,.-l) 
CnX^+ . . . + C,_ix»-1 > X*-^ (Cn+ .. . +C,-l) 



brtr+ .,.+bn^l2^'^'-(enX*'+ .,.+C,^lX*'^) 

< X'^ibr^ ... bn-l) — x*-^ {Cn'\' . . . <?#-l) 

(Den Grenzfall x = l lasse ich ausser Betracht, weil das entspre- 
chende Glied in der Summation wegen des Factors (1— ar)*-^ ver- 
schwindet), ludern ich nun die Gl. 86) benutzen will, lasse ich darin 
die für die Beurteilung des Fehlers unerheblichen Grössen ö fort, 
und erhalte, nachdem dies geschehen: 

88) brX^+ . . . +bn-{X*'-^ — (Cn X^+... +C,^ixß-^) 

K(ßn-l-ßn)(xr-xß-^) 

Femer ist: 

<?#«*+ . . . + cj»-i xP-^ > «'' (cf -|- ... cp-i) 

&r«*'+...+*«-liB^-l <xPibp+..,bt-i) 

folglich nach 86) c) d): 
daher ist die Differenz 



m «MM jR»leiisrml«. 341 

ciM ponthre Gr&ue, ebenso aach 

udiwar kleiner als die firfthere, wie man erkennen kann, wenn 
niD den 86) fthnliche Gleichnngen bildet nnd daran denkt, dass der 
ilnohtwert von ßn — ßn-i mit wachsendem n abnimmt nnd des- 
gWcheD aneh «*. Bezeichne ich jetzt die Reihe unter dem Integral- 
leJchen in 87} mit B^ so ist: 

T etc. 

also eine abnehmende Reihe von abwechselnd positiven nnd nega- 
tiven Gliedern, also kleiner als das erste nnd daher nach 88) sicher: 

»> R< (ßn^i- ßn) («^-«•-1) 

daher (unter der Voraussetzung: r^ k) nach 75): 

iroija & einen pontiven echten Brach bedentet. Ist nun bn das An- 

^kogifl^ed einer pontiven Grappe, so kommt man dnrch ganz ent- 

QH^eehende Betiachtongen ebenfalls zur obigen Gleichung, nur ist 

^*iUk ßn-i — ßn eine negative Grosse. Somit haben vir, Ähnlich 

»fe 88): 



O) 



ü— Ml -1+1. 2—1.2. 3±...+(—l)*.1.2.3...(A!-l) 

+(-i)*(*-i)'(»»+*>-tii+*«H=iilp)+ - 

.* 1.2...(fc-l) ( bu 

+*»-» • (fc^-i) ... (2fc— 1) "•" * ' \(H-1) ... (2fc) 



842 SaalsehMts: Ikber dk JibiUMctkuig wm «-l:a-Hi) 

Wir hatten nun die Reihe 1) bis h^ benatzt, es war also »=13; 
in der vorangehenden Ornppe ist « •— 8 , ' also die Rechnnng mit hj 
abzubrechen, in der folgenden Groppe #s=: 19, dana: 

endlich, wie firflher, Jb — 4; daher: 

Tr=1.2.3.1.2.3.4(j^^Q^j^2""l9.20.21.22y'^***** 
— ^.0,0019 

und daher: 

^^0.5938+^^.0.0019 ^^^^^ 

Wir haben jetzt also bei etwa demselben Mazimalfehler die Be- 
rechnung von 5 Gliedern erspart. Halten wir aber dies Resultat 
mit dem früheren 84) 

^_0.5967-^,.0.0023 q < *^ < i 



zusammen, so können wir die Grenzen enger machen; a. U kann 
nur zwischen 0,5944 und 0,5957 liegen, so dass wir 

ü « 0.59&0± 0,0007 
schreiben können. 

Anmerkung. Ist das allgemeinere Integral 



P e-lfdy 



zu bestimmen, so convergirt die Reihe noch schneller, es sind dann 
aber Integrale von der Form: 



m 

j a;»(l-«)*-»€te 



zu ermitteln, die man nacheinander, wie man sie braucht, mittebt 
der Formeln: 



M MM /Wmsreile. 



343 



» 





X 



92) 









kereehnen kinn. 



in. BeitJmmnng des Integrals: 



93) 



ü ^ ferff^dp 



^ ▼eraoB bemerke ich, dass nach derselben Methode sich auch das 
allgeiiieinere Integral 



OD 



Ce-^dy 



l^^luuideln lässt, wobei n eine positive Zahl bedeutet. 
Schreibe ich: 



00 



"-/^ 



4y'rfy 



^ ^Wird durch partielle InteraÜon: 



^"■""l4f»Ji ""4./ y* 



^ l^titerem Integral mnWplicire ich Zähler und Nenner wieder mit 



and integrire partiell. In dieser Art fortgehend gelange ich zn 
^^B^nder Beihe von Gleichungen: 



^1 ^ r 



<-»*<% 

tf 



94) 



/ 






17 P 'e-ii'dy 
4« 4j ^ 



844 SaaUehaix: ü^ter dU Enbndubmg o«m «-Itd-«) 

l / ■"?" - 4« 4 ./ y»« 
< 

I ./ »«(»-») ""4«~ 4 J y» 

37 

Hnltiplicire ich diese Oleidmngen der Reihe nach mit 1, — ft ^i^v 

... (— 1)*-^« ' /'[ j — und addire, so erhalte ich: 

''-iO-|+l|T...+<-..-.|l..(V)) 

95) S 4 4 4 

Zar Berechnong von Um setze ich: 

1 
so wird es: 



^» - 4 y « 1—« (1—«) 4 ^dx 



1 



96) 



4*— 1 



Mittelst der Formeln : 



1 





97) 

1 



1 



m eÜM PaUntrtA«. 345 

die für jedes beliebige positive p gelten, wird nonmehr: 
98) IT = j^ (l - ^ + j-^ T ... +(-l)»-i. j- j . . . -^ 

-f-(-i^-4-4-- 4 \*<>"*"4H-3 »■*"(4H-S)(4H-7)^ 

4.8.12. .■4(n-l) \ 1 

+- + (4H-3) . . . (4H-4«-5) **-V ^^ ) 

Ich nehme Dan an, dass die Berechnung mit dem letzten 
Gliede einer Grnppe abgebrochen werde, dass also ^ndas 
Anfangsglied einer neuen Omppe sei; dann ist nach 79) für eine 
positive Grnppe 

also, wenn ich mit der positiven Grösse (1— ocy-i multiplidre und 
integrire: 

1 1 

/ (1— «)i'-U*»«*'+*ii+i«*+^+ ...) < On f a^i—aiiP-^dx oder 



}P-^dx 



1 

Ist bn Anfangsglied einer negativen Gruppe, so ist ebenso: 

1 1 

/ (1— »)p-H<'h»*+c^+i«»+M- ...)<fe <0^ / «"(1— «y-*€to 





1 



^^.Gn fi 



«^1— «)l^l<fe 



also beiderseits mit —1 multiplicirt: 

1 1 

/ (1— a;)i»-H*»«^+Wi«*"*^^+ ...)<te — ^On I «»"(1— «)J^*€to 

& .On 1.2 ... n 

"" P (p+i) •• (p-F^ 



346 Saahekütt: Ugbtr du EiUmdedung v&h «-l:a-«) 



daher in beiden F&Uen nach 99) und wenn ich flkr p den Wert— ^ 
einsetze: 

100) ^^-(-i)».^.^... ^ •(4H-8)...(4H4»-i)'^^ 

oder: 

IT— r— iVk 4m~Hi. — 3.7 ... (41?— 6). 1.2.8. ..n ^ 

H^-( ir.4^ (4ifc+3)(4ife + 7)...(4*+4i»-l)-^^" 

0<*<1 

Die erste Form von HL schliesst sich direct der Berechniing der 
einzelnen Glieder an, die zweite benutzen wir, um den zweckmis- 
sigsten Wert von k zu finden. Der von h abhängige Teil in IT ist 
(ohne Bücksicht anf das Zeichen): 



^ ^ 3.7 ... (4*-5) 



ebenso: 



folglich: 



4»(4*+3)...(4*+4t»-.l) 

3.7 ... (4Jfe— 5)(4I? — 1) 
*^*+i - 4k+i(4ife+7) ... (4ifc+4n+8) 

n+i (4Ä;— l)(4ifc4-8) 
Vk " 4(4ife+4t»+3) 



Dies müsste (vgl. II.) «* 1 sein, und wäre es, wenn 

(4*'l)«-16(n+l) 
oder 

101) k^l+Y;^ 

sein könnte. Gtenau kann diese Forderung niemals erfüllt werden, 
und es ist daher für A; die nächst grössere ganze Zahl zn nehmen. 

Ftlr die Berechnung ist also h nach 101) zu wählen, nachdem 
n von vornherein angenommen ist, dann folgt ü ans 98) und der 
Maximalfehler aus 100). 

Beispiel, n — 13, fc^ J-f-Vli — 3,99 also ifc = 4. 

VM.. ^ 3.7.11 . 4.8 ...62 ^.(-0,907) 
ferner -^=- ^^^ 19 23 ... 67* S 

-—-0.0,00018 
0,6702 4- W 

oder; 



SI7 



m 



17- 0,06154 ±0,0009 



Auch hier kaim, wie beim firttheren lotegnd mit Torteil in der 
Grappenmitte abgebrochen nnd der Fehler mit Hfllfe der Formel 89) 
bestifflint werden, doch wiU ich darauf nicht weiter dngehen. 

IT. Das Integral: 



103) 



.-/ 



• -i 



dM 



Ist nerst im besonderen p der rociproke Wert einer ganzen 2Zahl 
^ 80 Betie man: 

iwm wird: 
nnd dies Integral wird durch die Ol. 73} anf das in II. behandelte 



Ist p oder r = 1, so geschieht diese Reduction durch die erste 
OU. 72). 

Ist p > 1, so kann ü durch die Substitution 

1 



p-1 



^«»1 das Integral 



/ 



-"^=1 



^ttrftckgeflUirt werden, weldhes nach der Methode von IIL zn be- 
l^uideln ist (s. m. am Anfang), z. B. wenn: p — | ist, so wird: 



s — r^; €£• — — 3f-*<fy 

^«1 



/ 



• > 



J ^ 



Saahekütti üeber die Eitiwido$hutg von «— 1:(1<-«) 



und dies ist dardi die erste der OL 94) auf / e-y^d^ zarfld 



/'-"' 



Ist endlich p < 1, so Iftsst es sich auf den Fall eines Exj 
grösser als 1 zarückfthren. Zun&chst gilt nämlich die 61ei( 



1 


-/-■ 


1 

qe «*+* dz 
«+1 ' q 

1 


1^ 
1 






'-' 


q Jo 





9 




_ 1 

" qe 




1 




woraus: 










1 
i 






« 


1 

«4 


104) r e 




.ffidMm 


'(q+l)e'^q 





€2« 


Ist non in dem 


Integral 


1 

Um. r e 


1 

c2i 




p kleiner als 1, 


so setze ich: 

4 










*— 1 — 


P 




dann wird: 











1-p 1-p 

— tt 
1 

e . tf du 

also, wenn ich 



"-^Z 



nUe, Termöge 104) auf 



• • 


PöUnxr^iki, 


r 
if 


'-,-' 




1 
du 



349 



ivad[gefUirt. Jetzt ist q grösser als p; ist es noch kleiner als 1, 

10 wUe ich wiedemm 

1 

ud fUire dadurch das Integral zurück anf : 

1 

e dv 



/ 



worin: 

9 



r — 



1-9 



In dieser Art gelange ich nach and nach zn den Exponenten 
IN ft r, j ... wobei 

_JP_ _?__ ** 

"^ dass schliesslich ein Exponont grttsser als 1 erhalten wird. Z. B. 

3 _3 3 3 

p-Yv * ~ 8' •■ " 5' ' " 2 
^nn aber ist dieser Fall auf den vorigen (p > 1) zurttckgefahrt 
KSnigsberg, im Angnst 1886. 

Einige Diflerenzen. 
ß* -ßt -+0,6667 
ßa - ßa = -0,4962 A - ft - +0,0405 

ßu-ß»- +0,4107 ßn -ßn 0,0316 

ßu—ßu 0,3603 ßa—ßM = +0,0223 

ßm-ßn^ +0,3237 ßt,-ßu = -0,0146 



350 



Saahehütx: üeher die Entwiekehmg tfon ^l:a-«) §te. 



n Am 



Tafel I. 
n 



Tafel IL 



0+1 

1 —1 
2-0,5 

3 —0,166667 

4 +0,041667 

5 0,158333 

6 0,209722 

7 0,216468 

8 0,194469 

9 0,155792 

10 0,109198 

11 0,061182 

12 0,016069 

13 -0,023338 

14 -0,055449 

15 —0,079583 

16 -0,095725 

17 —0,104338 

18 —0,106197 

19 —0,102271 

20 —0,093624 

21 —0,081342 

22 —0,066480 

23 —0,050019 

24 -0,032846 

25 —0,015733 

26 4-0,000669 

27 0,015831 

28 0,029344 

29 0,040914 

30 0,050349 

31 0,057551 

32 0,062504 

33 0,065263 

34 0,065940 



35 -1-0,064580 

36 0,061724 

37 0,057246 

38 0,051498 

39 0,044723 

40 0,037170 

41 0,029078 

42 0,020679 

43 0,012190 

44 0,003810 

45 -0,004283 

46 —0,011930 

47 -0,018998 

48 —0,025376 

49 -0030976 

50 -0;035732 

51 -0,039601 

52 —0,042560 

53 —0,044604 

54 —0,045745 

55 —0,046016 

56 -0,045453 

57 —0,044114 

58 -0,042059 

59 -0,039362 

60 —0,036098 

61 —0,032350 

62 -0,028200 

63 - 0,023735 

64 —0,019038 

65 -0,014193 

66 —0,009281 

67 - 0,004376 

68 +0,000449 





1 -1 

2 —1 

3 -0,5 

4 -1-0,166667 

5 0,791667 

6 1,258334 

7 1,515279 

8 1,555756 

9 1,401764 

10 1,091980 

11 0,672998 

12 0,192834 
18 —03^3399 

14 —0,776294 

15 —1,193740 

16 —1,531603 

17 - 1,773741 

18 -1,911541 

19 —1,943144 

20 —1,872476 

21 —1,708184 

22 —1,462550 

23 —1,150436 

24 —0,788303 

25 -0,393324 

26 +0,017388 

27 0,427431 

28 0,821643 

29 1,186511 

30 1,510465 

31 1,784070 

32 2,000124 

33 2,153674 

34 2,241961 



35+2,264306 
36 2,222075 
87 2,118118 

38 1,956915 

39 1,744214 

40 1,486790 

41 1492196 

42 0,868524 

43 0,524173 

44 0,167632 

45 —0,192719 

46 —0,648787 

47 —0,892925 

48 —1,218065 

49 —1,517829 

50 -1,786617 

51 —2,019673 

52 —2^213128 

53 «2,364023 

54 —2,470814 
55—2,530860 

56 —2,645390 

57 —2,514467 

58 —2,439430 

59 —2,322334 

60 —2,165876 

61 —1,973320 

62 —1,748414 

63 -1,495308 

64 —1,218467 

65 —0,922588 

66 —0,612516 

67 -0,293163 
68+0,080666 



Grappensommen. 



( l;3) 
( 4; 12) 
(13; 25) 
(26; 44) 
(45 ; 67) 



*o-l 
^4+ •••+*i« 



- 1,66667 
» +1,162900 
— 0,906945 
. +0,771063 
*46+ - +^67 — —0,684080 



= ^J3+ ••• +^«6 = 



*«6+ - + * 



44 



: Btwmtnp n <far Forarf tSr da, IXffrrmHÜ tH. 



Bemerkung zu der Formel für das Differential 

einer Function mehrerer Variabeln. 



R. Hoppe. 



Hat maa die Richtigkeit der Formel 

tl) 

uiw der EinschräulmDg bewieseo , däsa die 2 Termo zur Rechten 
jleicbe» Vorzeicheu habcD, so folgt darana leicht ihre allgemeino 
Geltung. 

Diesen Weg habe ich iu meinem „Lehrb. d. Differentialr." zur 
BegrOndnug jener Formel gewählt, d. h. ich habe unter der Vor- 
Uaetinog, dass fix, y) nebst seinen partiellen Differentialquotienten 
1' Uli 3. Ordnung in Bezug anf z und y eiDzela stetig ist, erat 
»oter der genannten Beschränkung bowiesea, dass bei gleichzeitigem 
'«rschwinden von u und r 



" Bf , Sf - 



m 



JR, daun das beabsichtigte Resultat daraus abgeleitet. 

Hierdurch ist die Frage umgangen, ob Gl. (2) ohne Einschrlln- 
i**Bg gilt, ob also die rechte Seite von Gl. (1) ein Aequivaleut der 
«Aen für beliebige unendlich kleine hj-,, hy darstellt. Im Folgenden 
'^'^ diese Frage vemeinoud entschieden und im Gogentoil der Satz 
'•»lesen : 

„Ist /■{*) ff) neljst seinen partiellen Differentialquotienlon 1. and 
Ordnong stetig in Bezug anf x and y einzeln, und mau setzt 



M~f(j^-\-u,!,-\-v) -n^,y); iV ^ 



3/ 

= &"" 



M 



kann, bei beliebigem u duruh Bestimmang von v, lim K (fUr gleich- 
■•itiges Verschwinden von u und v) jeder vorgegebenen Grilsse gleich, 

I K nach Belieben unendlich gross oder unendlich kloin gemacht 
»Brden." 

Beweis. Nach dem taylor'schen Satze, angewandt aach einander 
V V and V, läsBt sich Af in der Form M -^ ku-\-kv-\-au*-i-buv 



Boppt: Bmtrbmg w dm- firmdjtr: ^ Djffinntial a 



: Mittelwerte der Fu 
sntsprechend Mittelwerten von r. 



-\-cv* darstellen, wo Aji+feu — N and a 

tiooeu i^,. ^^, Jg^ smd, 

und y auf dem Wege des WachsenB nm u und f, bo dasa a, b, c 

bei Verachwindeu tou u und v in endliche (oder NuU-JWerte a^, 

6«, Cy stetig übergeben. 

Dnrcb Bestimmung von v kann man ^ — u'mi machen, wo w 
nach freier Verfügung unabhängig von u oder Function da,TOD iat. 
Eliminirt man v uud dividirt die AnsdrOcke von Jlf und N, bo er- 
hält man: 

Ist nun u> endlich, ipg sein Grenzwert bei verschwindendem «, 
und w = ipQ+r, so wird 



flpf 



'""" t*(limÄ'— 1) 
wo r eine beliebige mit » 



i.)Afe + CoA * t op t» — 6„At + eoA* 






4- 



i»(liinÄ-l) 
verschwindende Grösse, der andere 
der Klammer uur von x und g abhängig ist. Dieser Wert entspricht 
jedem eodlichcu und unendlich kleiueu K mit der Ausnahme 
limJT^ 1. Um K unendlich gross zu erbalten, braucht man nur 
tru = 0, also (' ;= m* zu setzou. Ben Fall liraÄ= 1 erhalt man 
uacb Gl. (3), wenn man w unendlich gross, dagegen »ic nicht un- 
endlich gross nimmt. 

Um mit der Bcrechuuug, welche zum Beweise des aufgestellten 
Satzes gedient bat, die geometrische Darstellung zu verbinden, sei P 
ein Punkt der Fläche » = f{.^,y), ferner fdie Berühr ungsebene der 
Fläche in diesem Punkte, und F die Kbcnc, welche parallel der xy Ebene 
durch P geht. E und F schneiden sich in der Geradeu T. Da 
T Tangente der Fläche ist, so kann man auf letzterer eine Curve 
S ziehen, welche T in P berührt. Auf .5 liege der Nacbbarpunkt 
y von '', dessen Cuonliuaten »■-f-i*, y-^-v, /(iC + u, y-)-u) seien, 
wodurch u, [I in gegenseitiger Abhängigkeit dehnirt sind. Mau fälle 
das Lot QR auf F, welches E in L IriSt. Dann ist die Strecke 



I 

richt^^ 




RL - 



" + 



— N 



Beide Strecken sind zufolge der 2 genannten Berflhruagen un- 
endlich kidu mindestens 2 Ordnung. Den Wert ihres Quotienten 
ergibt die obige Rechuung. 




Wtllmann: Die intermediäre Bahn des ete, 353 



xvni. 



Die intermediäre Bahn des Planeten (17) Thetis 
nach Herrn Gyld^n's Theorie. 



Von 

Victor Wellmaiin. 



Die Torliegenden Blätter behandeln die intermediäre Bahn des 
Pianeten (17) Thetis unter dem Einflasse der Anziehung der Sonne 
Bnd des Jupiter und bezwecken eine erste Annäherung der von 
Thetis beschriebenen Bahn darzustellen, während eine eingehendere 
Behandlung des Problems — die Bestimmung der absoluten Bahn 
— einer späteren Untersuchung vorbehalten bleibt. — Zu dieser 
irbeit yeranlasst wurde ich durch Herrn Gyld6n, welcher die Freund- 
lichkeit hatte, mich in seine Theorie des Drei-Körper-Problems ein- 
rafllhren, sowie mich bei Herstellung der folgenden Blätter durch 
seinen Bat zu unterstützen, wofür ich ihm auch an dieser Stelle 
meinen herzlichsten Dank auszusprechen mich veranlasst fühle. 

Die Vorzüge der Gyld^n'schen Theorie ^) vor der Methode der 
Variation liegen auf der Hand. Zwar reicht die letztere hin, inner- 
halb eines beschränkten Zeitraumes die Oerter der Planeten mit hin- 



1) Ueher dieselbe i. 

H. Gyld^o , Undertekningar af Theorien f<5r himUkropparnM rftrelier. 
Bitrag tili K. Svenika VeL-Akad. Handlinger. Bd. V— VII. 

„ Die intennedi&re Bahn des Mondes. Acta mathematica, 7: 2. 

„ Untersuchungen über die Convergens der Reihen, welche cor 

Darstellnng der Coordinaten der Planeten angewendet werden« 
Acta mathematica. 9: 8. 

Az«k. d. Math. m. Phys. 2. Beihs, T. VL 2S 



354 Wellmann: Die intermediäre Bahn 

reichender Genauigkeit darzustellen, aber die Ausdrücke, welche sur 
Angabe der Coordinaten dienen, enthalten die Zeit explidt und 
versagen somit ihren Dienst, wenn t eine gewisse Grenze flber- 
fichrcitet, auch ist klar, dass Entwickelnngen dieser Art, welche fllr 
grössere Werte von t divergiren, der Matnr der Sache — unter Tor 
aussetzung der Stabilität des Planetensystems ~ nicht entsprechen 
können. Diese Uebclstände werden nun durch Herrn Oyld6n'i 
Theorie vollständig vermiedeu. Die Reihen, welche in der absoluten 
Bahn die Coordinaten des gestörten Planeten angeben, enthalten die 
Zeit nur innerhalb des Winkelarguments und können somit fftr keinen 
Wert von t aufhören convergirt zu sein. 

£i mögen hier noch einige Worte tlber den Unterschied zwischen 
absoluter und intermediärer Bahn statthaben. 

Die bei der intermediären Bahn auftretenden Differentialglei- 
chungen enthalten Glieder von der Form 

^= £anCOs{anv+B) 

wo « und a kleine Grössen von der Ordnung der störenden Masse sind. 
Das Integral erhält die Form 

5 = — Z-^COSionV+B) 
Oh 

und hier sind die einzelnen Glieder durch eine Grösse von der Ord- 
nung der störenden Masse dividirt, und erscheinen also als sehr 
gross — als hyperelomentär. Zwar heben sich die grossen Werte 



P Harzer, Quelques remarques sur un cas special da probl^me des troii 
Corps. — Astronomiska iakttagelscr och undersOkningar anitilda 
pä Stocibholms Observatoriam. 
„ Untersuchnngen über einen speciellen Fall des Problema der 

drei Körper. Mcmoires de Tacadcmic imperiale des scicnces de 
St.-Pdtcrsbourg. T. XXXIV. Nr. 12. 

A. Shdanow, Recherchcs sur Ic mouveraent de la lune autour de la tcrre 
d'apres la thcoric de M. Gylden. Astronomiska iakttagclser 
etc. 1885. 

Mn. Brendel , Ueber einige in neuerer Zeit angewandte Formen ftlr die 
Differentialgleichungen im Problem der 3 Körper. Astr. Nachr. 
Bd. 116. 

K. Bohlin, Om en grupp af dififercntialequationer hvilkas lolntion medf5r 
s. k. sma divisorcr. Ofvorsigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiena 
Förhandlingar. 1887. Nr. 5. Stockholm. 



te JfaMlM (17) Tk4iu mach Berrm G$UiiC9 Tktarit. 355 

m der Somnid der einzeliien Glieder fort, das Resolut ist aber, da 
es, adbst eine kleine Zahl, die Differenz grosser Zahlen ist, nicht 
geun in bestimmen. Man mnss sich deshalb bei der intennediftren 
Bahn mit Beihen-Entwickelnngen behelfen, welche nach Potenzen von 
99 fortschreiten. In der absoluten Bahn vermeidet Herr Gjld6n der- 
artige Glieder nnn Tollst&ndig, und zwar dadurch, dass er die pag. 4) 
tiftretende GrOsse e als variabel annimmt — In den folgenden 
Blittem werde ich mich, wie schon bemerkt, anf eine Behandlung 
der intermediären Bahn beschränken und habe es, in Anbetracht 
der verhlltnlssmissigen Neuheit der Gylden*schen Theorie, nicht fflr 
mfttslieh gehalten, auf die analytische Entwicklung der Bahn- 
^Wdnmgen des nilieren einzugehen. 



Die Bedingung, welche eine intermediäre Bahn erfüllen soll, ist 
dav lie sich der wahren Bahn des Planeten nächst möglich an- 
lekmi^gt, so dass die Abweichungen, welche als Störungen der inter- 
nedüren Bahn zu betrachten sind, stets sehr kleine Grössen bleiben 
— eine Bedingung, welcher die Ellipse in fielen Fällen bekanntlich 
niditgenflgt 

Es sollen also die Coordinnten der intermediären Bahn, x^ jr^ 
te Coordinaten der wahren Bahn. x. jr, nahezu gleich seia, d. h. 



xg — xfl + f; I 



il) 



*o f CUM FwBCtkMi ist, die «teti sehr klein UeiU und als Stdruag 
dv iatcmeffilren Coordinaten aufzufassen i«t. 

Demnacb hat nan auch fnr die radü vect/cires 



^ «euB w die wahre Länge des gest^Sru^ Körpen in Mfiatf Bahn 

X — r our r =»• *^^ 

^ Kaa £e Xane der brjuin^ = 1 . die d^ i;^jre9bien K^^rpsrs 
f^^it»)— JM; £e den gess/jrt» K'jr|iers ' 17, Ti^eüi, — m. u&d ks 



356 Wellmann: Die üUtrmediär§ Bakm 

WO fi die Oanss'sche Gonstante bezeichnet, so ist die Bewegung 
gestörten Körpers innerhalb seiner Bahnebene gegeben durch dii 
bekannten Gleichungen 

Ä« "*" r» " dy 

woÄ = tt' ( , ^ „gLJJg-l igt, und die mit^-St 

einem Strich versehenen Buchstaben f&r den störenden Körper geil im ^i 

Führt man statt der Zeit eine neue Variable, die „redudrt^B»« 
Zeit^', T, ein, durch die Gleichung 

^ - (TfV«^" ^^ -"^ 

wo iS eine Grösse von derselben Ordnung wie ^ ist, und ersetzt 
den obigen Bewegungs-Gleichungen «, y, r, < durch xq^ p^ r^ r^ 
findet man 

(4) 
dr^ 1+S dx dt \ dt^'^^ V ■*■ l+iS rfT dx ) 1+^ 

^_ 1 ^^ , f rfV , (1+^)^ 1 1 dSdtf,) yo 
<fr« i'+S rfT dr "*" \ dr« "*" '*» ro» '^ 1+8 dt dt j l+t 

_ (1 +^« aÄ 

Mnltiplicirt man diese Gleichungen resp. mit Vo ^^^ 'o ^^^ 
trahirt die erste von der zweiton, so wird 

*• dt« ""^« c2t«" " 1+SdT V'^dT ^<> dx ) 



(1-fS)«/ aÄ aÄ\ 



des PUMStm (17) Thetis narA Herrn GsUMs Theorie. 357 

Wenn man sich nnn der Relation 

erinnert, so erhält man als Integral der obigen Oleichang 

Nun setzt man 

» — »0 +2 (6) 

and bestimmt vq, — dem Keppler'schen Gresetz entsprechend — 
durch die Gleichung 

dann wird nach Ol. (6) 
also nach Gl. (5) 



oder 



l + ^^-(l+^{l+/(l+5)^f...( 



Die Differentiation dieser Gleichung ergiebt 

Die Glieder der rechten Seite teilt man nun in zwei Gruppen, 
deren eine man dazu benutzt, die intermediftre Bahn zu bestimmen, 
während die zweite Gruppe zur Bestimmung der Störungen der inter- 
mediären Bahn dient; man setzt also 

(1+5) ^* ^ = (1 +>?) Qo+ Ol (A) 

— wobei zu bemerken ist, dass Q^ und Q|, als Glieder der Stö- 
rungsfunction , von der Ordnung der Masse des störenden Körpers 
sind, also in höheren Potenzen vernachlässigt werden können — 
und erhält so 



358 IT« //mann: DU iiUtrmtdiär» Bak» 

Zar Bestiminang der intermediären Länge verwendet man nun i 
das erste Glied, CJ», und hat also : 

wonach man zur Bestimmung der Stömngen zurückbehält 



dvQ 



[l + ^] + (2S+5«)(Qo+Qi) + Qi=0 



Oder, mit Vernachlässigung der Prodncte S*Qq und SQ^ 



dvQ 



[l+|;]+2SQ,==-Q, 



d^l 

Ersetzt man Q9 durch j-% so wird 



d8 



[•+a+-['+a^--['+sj«- 



dvQ 

und das Integral dieser Gleichung ist 



5 = — 



0+4)" 



Zur Bestimmung des intermediären radius vector multiplicirt i 
die Ghi. (4) resp. mit as^ und j/q und addirt sie, so wird 

"^l+i|; \ rfr« "^ '^^ ro« "^ 1+S dx dx j 

(1+5)«/ 8Ä aÄ\ 

""(!+!(;)«*' dr 

Nun ist aber 



Mithin wird ans der vorhergehenden Gleichung 
'• dt» "^^ Kdr) ~ 1 +5 df • *■• rf» + 1+,^ X 

" (1+*)« •■ dr 

Ersetzt man hierin v dnrch «q+X und * dnrch vq gemäss den Formtrlu 

" (- ) '^ C ) 



rfT " ' rfr d», 



dV, 



c^ \>-o/ 

dt* "° ro» di»o» 

10 erhftlt man 



d 



U , ro» 



,J_d8 ° \r,y , rp» ( dV , „ n+Ä)» 1 '1'Sfl.H 

"*" 1+5 rfro de, ■+■ «(1+V) C dt* "'"'^' V "f" l+«d* dTJ 

(1+S)« r, 8Ä 

oder, da 

dif y« dv 

dT r,* dPo ' 
dT* "" r(,* dr»* "*" r»* dr^ «fe,, "*' 
dr.« r,l*^''drt^*drJ)^l4-Ädrt dr, +c''**' 



360 W^Umannt Du inUmudiän Bßh» 

_ (i+^« r«aa 



Diese Gleichung multiplicirt man mit einem Factor, a, — 
chen man mit der mittleren Entfernung des gestörten Körpers iden^ 
tificiren kann — , und teilt sie dann, ganz analog dem firflhere^ 
Verfahren, wieder in zwei Gruppen, durch die DefinitionB-Gleichnn^ 

wonach man wieder nur das erste Glied, Pq, zur Bestimmung d^i 
intermediären radius vector verwendet, das zweite Glied, P^, zcki- 
Bestimmung seiner Störungen. Lässt man femer aus der Gleichnci^ 
für den radius vector diejenigen Glieder fort, welche von der zweiten 
Ordnung in Bezug auf Q, 8 und ^ sind, so erh&lt man 

Nun ersetzt man den radius vector, tq, durch eine neue Variable, 
^09 indem man setzt 

c 

SO wird 



d^9o 



dvt 



^+{'+»s+(^)V-^-aT-'"'. 



(13) 



Es sei noch bemerkt, dass Gl. (12) mit der Gleichung der 
Ellipse identisch wird, wenn po "~ ^ cos^ ^^^ 

Zur Bestimmung der Störungen des radius vector behält mas 
dann aus Gl. (10) die Gleichung zurttck 



(Ö 



l^rs S S - _(l+S)VoP,-(2S+S«-*)roi'. 



d€ä FttmtUn (17) Tk§tis nadk Herrn Gyld^'s Thtorü. 361 

Enetzt man ^ durch 

E ^ 






SO wird nach einigen Transformationen 

= - Px-(2Ä+S«)(Po+P,) (1*) 

Die Bedentang von E ersieht man ans folgender Betrachtang. 

Es war 

«•q «i»_ 1 

a 1+Po 

Büthin 

gf* 1 _^ gf* 

oder, wenn man 
setzt, 

'■"1+^ 

Es ist also lii die Grösse, welche zu der, in der intermediären 
Bahn auftretenden Function Qq zugefügt werden muss, um die ana- 
loge Function Qq fQr die wahre Bahn zu erhalten. 

Die Gleichungen (7), (12) und (18) gilben die Gleichung der 
intermediären Bahn in Polar-Coordinaten, während die Gleichungen 
(9) und (14) die als Störungen au&ufiissende — Abweichung der 
intermediären und wahren Bahn aufstellen.') 



n. 

Entwickelt man die Störungsfunction nach Herrn Gyldins Me- 
thode nach Vielfachen des Winkels H zwischen den radii vectores des 
störenden und gestörten Körpers, so findet man: 



9) Ojld^o, UndersÖkningmr II, p. IS. u. f. 
Harzer, Untertnchnngen p. S5. xu t 



362 W4llmannt DU intermadiSrt BdU 



ar* dSi. 2 



r»aÄ 



Hier bedeaten •^H.r.«), i'(w,r,«'), Q{H,r,i') namerische Constanten, 
welche ans dem Yerhältniss der mittleren Greschwindigkoiten des 
störenden nnd des gestörten Körpers abgeleitet werden and später- 
hin angegeben werden. 

Po ist die durch 61. (12) gegebene Function, Qq' dieselbe Func- 
tion für den störenden Körper, von welcher wir hier jedoch nur das 
erste Glied mitzunehmen brauchen nnd setzen können 

Po' - X' cos [ (1 - ff K- -^'3 (l« 

wo x' die Ezcentricität der Jupiters-Bahn bedeutet, q'vq die Be- 
wegung ihrer Apsidenlinie und F' die Länge seines Perihela. 

Fflr den Winkel H hat man unter Vernachlässigung der Qua- 
drate der Neigung 

wo %' die den % analoge Function fOr Jupiter ist. Bei der nach- 
folgenden Bestimmung von po können in erster Annäherung % nnd i 
fortgelassen werden, während bei der späteren Bestimmung von 

r-f die Function % wieder in obigen Ausdruck eingefiGlhrt wird. Wir 

haben also zunächst 

H '^ Vq — Vq . 

In diesem Ausdrucke muss nun t^o' durch vq ersetzt werden. 

Bezeichnet man die mittlere Bewegung des gestörten Körpen 
mit n, diejenige des störenden mit n' und setzt 

nennt man femer die mittleren Längen beider Himmelskörper n 
einer bestimmten Epoche A und A\ so wird 

wo G eine kleine Grösse ist, welche von den Bahn-Ezentricitftten 
abhängt Dieselbe wird folgender Weise bestimmt 



de* Planeten (17) ITietü nach Herrn Gyld^'s Theorie. 363 

Nach Ol. (61) ist 

dvg Vc 
dx "V 

oder, da man unter Yemachlässigung der Stömngsglieder ip und 8 
die wahre Zeit t statt der redncirten setzen kann: 

dvQ Vc 

und da 

c — ^la^ und r^* «» (I + Qq)* **** 

cft " al fil" U + Po)* ^"^ «* 

Mnltiplicirt man heide Seiten mit /, so wird, da V^^ — 0^1-|-m ist, 






(1 + Po)^ 
Ganz analog wird fOr den störenden Körper 

und dorch Division 

Bestimmt man nun die willkflrliche Constante ^ so, dass ^-»1 wird, 
und entwickelt nach Potenzen von ^q luid qq\ so erhält man 

und endlich durch Integration 

V— f^t'o — 2^ / Qo'dvo—2fkj Qf^dtfQ ... 

Diese, von der Ezcentricität abhängige Differenz ist ahio die oben 
mit G bezeichnete Function, und man hat demnach 



und 






364 W^Umanni Dk iniermBdiärB Bahn 

Indem man den Taylor'schen Lehrsatz anwendet, findet man 

COSn^ = cos [nvQ (1— fi)— n(-<i' — f»-4)] 

+ (:m.€) 

und ferner 
dcosn^ 

"^ ^** V y ^'^^''^^J ^^^^y C08[nüo(l— f*)— n(^'— |i^>] 
— 2n« U / Po'^V— f* / Po^^o) 8in[iit;o(l-^)— «(^— fi-^ 

Darch die Gin. (C), (D), (£), (16) tl7) sind die Componenten der 
Stömngsfnnction bestimmt. 

Die Gin. (C), (D), (E) enthalten non zwar nnendlich viele 61i^' 
der, aber nur eine beschränkte Anzahl derselben — welohe He^^ 
Gyld6n elementare oder charakteristische Glieder nennt — werd^^ 
dnrch die Integrale so gross , dass sie bei Anfstellong der inta^' 
medi&ren Bahn berücksichtigt werden müssen, nnd nur diese Glied^^ 
werden zar Bildung von Pq^ resp. Qq^ verwandt 



Beobachtet man also, aus der dreifachen Summe nur die Glied« 
mitzunehmen, welche durch die Integration gross werden, so folg^*^ 
aus den Gin. (7) nnd (13), indem man zugleich das Quadrat vos^ 

-v^ vernachlässigt, die Gleichungen: 

uVq 



dvQ 



*+ (^ + ^)^o " -2^-22:'2;2;P(H,.,o^VcosiiF(l9> 



m. 

Es ist nun zunächst zu untersuchen, welche Glieder in OL (1^^ 
durch die Integration gross werden. 



(X7) XU« Mcft Bmw* <^Ufe*« TKwni 3$^ 

Die 



wo p eiM UöM Grtoe uL 

Dm iwdte latcignl dieier dadug hat di« Fom 

1^ — jreos(«^— C) + ... 

Dm M n IttwtiiHinfB diffemitüit man dies nrdmal ud erblh, wenii 
maa lodi « — 1 — « lelzt: 



' • 



^ = -ir(i+»)*co8{(i+ff)«v»-c) + ... 

wonun, in Yertniiduig mit den obigen beiden Ralntionen, folgt 

tttUn wird Äi, nnd dmmit ^ gross werden, wenn o klein ist, d. h. wenn 
die Argomente der rechter Hand stehenden Sinus, resp. Goslnns die 
' orm hiben 

^o • eine kleine Grösse bedeutet 

Die Glieder in der dreifachen Summe der GL (19) haben nun, 
^onn man sunftchst nur die ersten Potenzen Ton ^ und ^' in Be- 
^'^cht sieht, die Form 

,^^ a ^cos[iit^(l — ii)+ CJ 

Pesp. 

a%'cos [woCl — f») + Q] 
' «ruer hat Qq die Form 

*'cos[(l-ff>o'+/>] = ik[(l~^')f*t^o+^] 
^^d ebenso hat po« wenigstens in seinem Hanptgliede, die Form 

ifc.cos[(l-ff)t;o+i?] 
''itliin erhalten die zu untersuchenden Glieder die Form 

^ aifecos[«t;o(l-^)+C,]cos[(l-rtt'o + ^ (I) 

aVcos[iwo(l-fi) + ejcos[(l -g')i^vo+D] (H) 

^^miert man sich non der Relation 



366 Wellmann: DU mtermwUäre Bahn 

COSaCOB/J «= iC08(a + /?) + iC08(« -/J) 

80 sieht man, dass die Glieder die Form annehmen 

K*co8[t.o[»a~ff')f*±n(i-fi)]+c,±i>] am 

Nun 8md g nnd g* — die Apsidenbewegnngen — sehr klei ise 
Grössen; femer ist in unserem Falle — bei (17) Thetfs) — /i 
nahezu gleich ^, nämlich fi » 0.3277046. Mithin sieht man, da^»^ 
der Factor von vq von der Form (1 -f- a) wird 

im Falle (I) wenn n » oder n » 3 ist 
„ „ (ü) „ n — 1 „ n — 2 „ 

Auf diese Weise ergeben sich aus der Summenformel der K A. 

(19) folgende Glieder 

-2PioiCOs[ro(l-fi)-i?]po'-2P,oiCOsK2(l-/i)-2^]po' 
— 2Pioo2|*Bin[ro(l-f*)— i^iy Po'<^vo 

wo ß — -4'— ^y4 und k -= 3(1 — fi) ist 

Auf gleiche Weise erhält man aus der Summenformel der ^3^- 
(18) die grossen Glieder, und, indem man dieselben einmal integri.^ 

dt . . 

erhält man als die Glieder, welche für 2 3^ in der rechten Se^^^ 

der Gl. (19) eingesetzt werden müssen, die folgenden 
+12Q800 / cos[Avo— 3J5]dt?o / ö^eodt^o 

+8Q1Q1 y 8in[t;o2(l-/i)-2^]^o'^«'o-4«ioo yco8K(i-f*)--ö]^ 

und für das linkerseits stehende Glied 

— 12Q800 y Bin[il»o— 3-B]«^o 



"11 



des Planeten (IT) Thetis nach Herrn Gyld€h*s Theorie. 367 

Setzt man dies in Gl. (19) ein, und schafft die Glieder, welche 
qq enthalten, anf die linke Seite, so erhält man 

— P3oo8in[H--3B]12/i / QQdvQ 

— I2Q300 / C08[kvQ—3B]dvQ I G^po^ro— l2Q3io/ 8in[At;o-3^1 Q^dv^ 
= -^«>o -2i',oicos[ro(l -f*)-i^]4»o'=»2P,oiCOs[t;o2(l-fA)— 2Ä]po' 

-2Pjoo8in[ro2(l-f*)-2i?]4/iy*po'rft^o 

-HQioiy Bin[t;o(l -f*)-i^]Po'<'t^o-HQtai/'BiB^o2(l-fi) -2J5]po'rft^o 
— 4Q100 / C08[ro(l— jii)— Ä]dt;o / 2/4po'd«'o 
-4Qj^y^cos[ro2(l-f*)-2J9]dt;o J^^m'^^^ (19i) 



IV. 

Die Glieder, welche po Qoter dem Integralzeichen enthalten, 
müssen nnn derart transformirt werden, dass qq nor ausserhalb des 
Integralzeichens vorkommt. 

Bezeichnet man die rechte Seite der Gl. (19) mit ITi, so ist 



l+i'oio'iV^ 1+^10 ••• 

plus einer Anzahl von Gliedern , welche mit der Masse multiplicirt 
sind; diese kann man jedoch in folgender Betrachtung fortlassen, 
da die zu trausformirenden Glieder ebenfalls mit der Masse multi- 
plicirt sind, also der durch obige Fortlassung entstehende Fehler 
von der Ordnung des Quadrats von der Masse ist. Mithin wird 



Ferner 



1 ^ . _J_ Cwä^- 



368 Wellmmnnt DU mUnMdülrß Bßh» 

+ rf^y COsllvo'-BB^dvoJ W^dv^ 
1 X P 

Endlicb 
yPoBm[At;o-3B]dt;o=- jq:^y*BiD[Xt^o-3B]^dro 

+ j:|:^y*8iii[Aifo-3B]Tr,dt.o 

— A«y*eo8in[At;o-3B>o +y* TVi8in[At;o-8Ä]€foö) 
Mithin 

(A«-Poio~l)ypoBin[At;o-3Ä>o'= JjsinCAüo— 3B] 

— A^oC08[At>o— 3Ä]— / Tri8in[ilüo— 3Ä]dt;o 

Setzt man die86 Werte in GL (19^) ein, 80 erhftlt man 

WO i?o = A« — Poio— 1 ist 

In diesem Aosdrnck moss man nnn den ersten Differential'^ 
qnotienten verschwinden machen; zu diesem Zwecke führt man eia^ 
neue Variable, E^ ein dorch die Gleichung 

qq — E<p(vo) 

wo (pCvq) so zu bestimmen ist, dass der Coefficient von — zn noU 
wird. Es ist 



des FlaneUn (/7) Thetis nach Herrn G^Idia's Theorie. 369 

it man min 61. (20) in der Form 

tzt man hierin obige Werte ein, so erhält man 

+^'8in(Aro-3Ä)^^^£;+^"£(p(f?o) - ^^i 
r Forderung gemäss soll sein 

(IVq 

^cos(Avo — 3//) 

<)p(vo) -^ « 
at also zu setzen 

ÖT C08(Avo — 3-Ö) 

Po =- ^« 
man dies in 61. (20) ein, so erhält man 

4-il-Äi-^cos(Ai,o-3Ä)}£;= -^; ^ + TVi (21) 

I zur Abkürzung eingeführten Buchstaben folgende Bedeutung 



-P. 



010 



^ — .** 1 — Po ^0 ^ 



+Ä'^-(^-) 



i-A 

L Math. s. Ph;». 2. B«ih*, T. Tl. 24 



370 fFe/2Mafiii: VU inttrmedUrt Bakm 

^1 iooo— 2PioiC08[t;o(l— f*)-i^]^o'— 2P«>iC08[ro2(l— fi)— 2i 

— P«H>8fi8iii[t.o(l-f*)- 2i^]y ^o'''^^o+4Q,oiyBin[ro(l-^) - B\ 

-32A*Q^y C08K2(1— f*) - 2S\dvQ J Qo'dvo 
TT, — -E -j- 8ln^At;o - SB'] 

V. 
Behufs Integration obiger Gleichung setze man 

Aüö — 3B- 2^« — 180« 

wo K ein vollständiges elliptisches Integral erster Gattung ist, d( 
Modul vorläufig noch unbestimmt bleibt, so wird 

wo 

Q 2 cos(Avo — 3-Ö) 

gesetzt worden ist. 

Betrachtet man nun die Relation 

tej cos2 2-^=-jg--cos2amx j^- r,o)^^) 

und bestimmt (; aus der Gleichung 



itt lUiutm (IT) Hai» naek Htrm Gyldik's ZKem-i«. 371 

/f(l-g«) 

nerkilt man 

Nim ut 9 Yon der Ordnung der Masse , mithin der Factor von E 
uf der rechten Seite von der zweiten Ordnnng und daher zu vor- 
ttchlftssigen. Mithin erhält man, wenn man noch setzt 

\t ' (l-|Jo) - **ro») = 1 - A« sn« »•«. (21,) 

^-[2*«8n»«-l-ife«+i»sn«.M]B = ^\/ {W4- . . .} (22) 

'^ iat die tob Herrn Hermite ') angewandte Form der Lam6'Bchen 
^^erentialgleichong, deren Integral das folgende ist 



X -^TTT-ZX 



Sm 9 (im) 

^er bedeuten Cj und C^ Integrationsconstanten, ^x) die bekannte 
^cobi'sche Thetafnnction und 



S(x+iK') 









^W- 


4 . » 

• 

t 


"^%n setze 


nun 












e'(t(») 
9(1») 


-..jIKv- 


^C V 


eine 


reelle positive Zahl bedeutet. 



1) Hermite, Bar quelques applicationt dea fonctiont elliptiqnei. Comptct 
^^udos» 1877. 2* temeitre* 



372 Weilmann: Die inUrmediätt Bahn 

Da 

2K 



-^««3(1— ^)„^— }B + ^ 



war, wird also 

e(too) 



05 =■ 1 



'•(v-i)((l-/.H-^+0 



Forner ersetze man C, nnd C^ durch zwei andere Constanten, 
und r, gemäss den Gleichungen 



c,- 


X 

2v, 


2jr"^ 


*j. 1 






ff 


• f^ 


c,= 


X 6 
9 4 


- 2if" 


6 


Hithi 


n wird nach 61. 


(23) 






7C 




«(«)£ = ^ 


« 2X 

4 


CD 

Ä( 




4H 


Vq 





«-|-»«»)« ^ ' 

+ir-i(v -i)(B -fj -iiB 

+ 94— H{x—uo)e ^ "' 

^ Vq 

-,T+(v-i)(Ä-j)-H}Ä 
Nun ist die ExponentialgrOsse in der oberen Reihe dieser Gleichntfg 

co8[(v~i)( a-i^H- r-HÄ)]+.-8in[(v- j)( (i-^K-r-Hi>)] 

diejenige in der unteren Reihe 

cos[(v-})( (1- MK-^-H^)J-«in[(v-})((l-^K--r+|Ä)] 

Hithin wird 

(24) e(x)E — 
n 

» J_ 2A- " {^^-„j _ fl(a-»«)} cos [(V - i)((l-»»)fo-r+}i»)J 

Va 



des Planeten (17) Thttis nach Herrn GylätnU Theorie. 373 

Erinnert man sich nun der Entwicklung 

A i TL 7E \ 

und der Relationen zwischen den trigonometrischen Functionen und 
der Ezponentialfunction, so findet man 

H{aD-\-%(o) = ,Vqe le ** — e 

II (x — ta))«-Vg« i« — * ••• 



Mithin 



H(x+i(o)+H(x—m) =TVqe 



7t \ , n ,n 



-N 



4 



Gleicherweise wird 



9inö(l-^K-|B] 
Setzt man schliesslich diese Werte in 61. (24) ein, so wird 

e(x)E - xcosöd— ji)»o-iÄ]cos[(v-j)(i-ft)t»o-r-Hir] 

n 
-»sint|(l-,*)t>o-jÄ38in[(v-i)(l-|»H-J'+i-B] 



!.-.-•} 



— «cos[(i— i*K+t<i— fiH— n 



n 



+ « « ^ " co8[3(1-j»K-8ä-[(1-,»)(H-1K- n ] 



374 Wellman Hl DU üUermediäre Bahn 

Setzt man nan 

1 n 

— l + 2gco825^x ... — 1—25 cos [3(1 — /iK — 3B] ... 



ein, setzt ferner 

fi — v(l — fi) — g 

and resnbstitairt ^0 ^^ -^9 so erh&lt man 
^cos[3(l-fiK-3Ä] 



} 



co8[(i-sK-r][i-3« 



-g« 



n 



-co8[3(l-»iH-3Ä-(l-f)»o-J1[fl-« "^ ] 
-gC08[3(l-j»K-35+[l _ f)t.o-r)] 

-a« 2ir "cog[-6(i_^)^^_6JB_[(i_p)„,_ri]t 

oder, da 

^ co8[3(l - f»H -3B] ^. 

«-** -l+2JiC08[3(l-,»>o-35l+... ist, 



«0 



= X |co8[(l-f )»o-ri 1 1 - g« ^ " 




— C08[it»o 



_3S_[(l_g^„,_r] ][g-« ^ " - ^J 



-co8[Jro-3B+[(i-fH-J1] [a-^J 



H«' ~4il« J' 



-c08]2At.o-6Ä-[(l-s)f>o -rj] 3« -r^e * 1 (») 



Wie man an8 dem enten Oliede, co8[(l — t)v^ — r], ersieht, ist di 
Grösse (Vq ^>o mittlere Bewegung der Apsidenlinie. 

VI. 

Der Aasdmck in 61. (25) ist nan noch nnvollstftndig, weil W 
Herleitung desselben die rechte Seite der Gl. (22) TemacbliiriKt 



(m TUlu Mcl Ikrrm GyUim's TWmt. 375 

'^lurde. Diese rechte Seite, «nter Yernadilissigug der ia £ milti- 
licirtea Glieder, war 



uy^'> 



w 



ii<I die Gorrectioii, welche io Folge dieses Gliedes an den in Gl. 
^3) gegebenen Wert Ton E anzubringen ist, wird 






« 

Wdv, 



1 «^ Owect«) ^(g-»->) 






WdPo (26) 



Fflr TT erhält man, indem man pag. (18) die Werte für g^ nnd 
Po'^o einfahrt, nach einigen Rednetionen 

^ - (i5)V+2Ä,co8(l(-A*ff')t^o-^' -ff'^] 

+2Ä,co8[(l+d+^ff>o+r'-ff'J5-3J5]} (27) 

*o == — Aoo 



*' 






2*, ^«oi»'-^lII7 4Q»i l+d+^5'"^^^^(l-ff')(l+*+Mff') 

d = l — 3f* 

Ersetzt man in 61. (27) wieder vq durch x nnd schreibt 

2j Hd±w: . «. (35-1800) i±£±fi£Lf-r-(3+«')B-ft 

80 wird 



376 Well man ni Die intfrmediärt Bahn 

Diesen Wert hat man in 61. (26) einzusetzen, indem man zogleic 
€lvQ durch -^dx setzt. Femer erhält man leicht 

©'(»H») 4 « 1 « * * I 



//(H-<^) , ~ ©(ÄST * Vi, 21" ]-*2^_~k'^W 

©(«) * .• * '* * I 

Das Glied ^ werden wir später berücksichtigen. 
Durch Einsetzung obiger Werte erhält man 

/ f(aH-*ft>) e(ta)) * / Hix—iia) ^(^j^j 

e(a?) * J Ö(x) ^ 









1 * ^rx^ 



I 

• 6 X 



7C 7C 



f*?+«l fh+«fl 



9C 



«"" Ä'^""*^('^i'"'*«"'"«)+*A 






des PlaneUn (17) Thetis nach Herrn Gyld€n't Theorie, 377 

Das Glied in h^ ist dem in h^ analog, nur hat man a^ and ß^ fttr 
cTj und ß^ zn setzen, nnd es bedeutet 

Der Ausdruck 

e'(k«) r e' (tw) 

WdvQ 



S\ivj) r e' (tw) 

e(x) " / 9(x) ^ 



ist ganz analog gebaut, nur entspricht jedem Glied von der Form 

igx — iC — igx'\r iC 

he in obigem Ausdruck ein Glied von der Form he 

Man kann demnach fOr ihre Summe setzen cos(^«-|-^) 

Nennt man femer den gemeinschaftlichen Factor in Gl. (26) ip 
und ersetzt schliesslich wieder x durch tq, so erhält man 

(28) 



^'..>-^^(#%Mk+^ 



+ (ä+^)~'^'''«-H 



2» 



cos[(X-l+fiff>o-(3-ff')^+^1 



» 



Nimmt man nun das oben fortgelassene Glied mit q mit, so ver- 
ändern sich nur die Coefficienten obiger Cosinus und man hat zu 
dem Factor 



878 



Weltmann : DU mUmtedtäre Bahn 



von 



za addiren 



cos[(l-^ff')üo-ff'^-r'] 



_f *i9« 



n 



hfq 



e—iig' 2(t-iu') 



co8[(A+l-ps>o-(3+s')ß-r'] 






co8[(i-i+fis'K-(3-s')B+ n 







ff 



Es ist Don noch der gemeiDSchaftliche Factor 



2 TT 



^ioMito) 



za bestimmen. Mit Hülfe der Relationen 



JZ^V2 



2VqS{0)s\n(^i(o)n=co / n \ 



^,(.a») = h(ä- + I) 



findet man *) 



1) Sbolofflow, Rerherrbos etc. pag. 19. 



des PtanetM (17) Thetis nach Herrn Gyldin*M TkeorU. 379 

2 n 1 



"^ 12K K'^ 

H=l |»=.l 



n 



e^ -e ^ ) n {(l-9SN.)«_4»»,i| X 

WO 



gesetzt ist, oder, indem man die Producta entwickelt 

^ ._.:_ ^—t: l (29) 



6 



Schliesslich kann man in 61. (28) ^(o)) tfXr E(ta) setzen, da in der 
Gleichung 

^-ä(i + ^co8[H-3J5i) 

das zweite Glied vernachlässigt werden kann. 

Eine weitere Correction ist noch dem Integral Gl. (23) zozn- 
fttgen, um die auf der rechten Seite der Gl. (22) stehenden Glieder, 
welche mit E mnltiplicirt sind, 

4rAV 



^^ ?(1 - «)» [i=^ C0B4 2^*+ •••] ^ 



. Hm) ^'* • f r> 



iB]E 

za berttcksichtigen. Erwägt man, dass 

sin» [A»o - 3B] = i ( 1 — cos 4 ^«t j 
ist, so kann man hierfttr schreiben 



380 



Wellmanni Die interm^diän Bakm 



Das erste Glied, welches nicht mit einem Cosinus mnltiplicirt ist, 
herflcksichtigt man nnn sehr einfach dadurch, dass man es anf die 

linke Seite der 61. (21) nnd zn ßo schlftgt, so dasa man also aar 
statt 

A = "~ -^010 



zn setzen hat 






Das mit dem Cosinus mnltiplicirte Glied gieht als Correction 
von E üin säcnlärcs Glied-, dasselbe kann man jedoch, wie Herr 
Gyld^n gezeigt hat, dadurch verschwinden lassen, dass man m um 
eine kleine Grösse, Jm^ variirt. Da jedoch in unserem Falle Jq 
80 klein wird, dass wir es vernachlässigen können, soll auf seine 
Bestimmung hier nicht näher eingegangen werden^) 

VII 

Wir kommen nun zur numerischen Berechnung der Apsiden- 
Bewegung g und der Function Qq. 

Zunächst findet man durch Entwicklung der Störongafanction 
(pag. 9. Gl. D und £) die in Gl. (20) auftretenden Conatanten 
Pu,$,$' und Qu9f 



■'ooo 


- 5.8340370 «) 


Qioo- 


- 5.0286201 ; 


Qm 


- 6 7858956» 


-^010 


6.3963098n 


Qioi 


5.6616538 


<J.,o 


6.2574656» 


-''lOO 


5.5465697 


Qjoo 


Ö.63034Ö4 


Qiot 


59084426 


-'101 


6.2094726 


'^i 


6.1404250 


^« 


6.4537522 


p 


5.9799200 


«w 


5.2306291 






p 


6.5243287 


Quo 


5.9506802» 






p 


5.7423376 


Quo 


5.7525447» 






^810 


6.3901285n 


Qiu 


6.4044070» 







Demnach erhält man für dass Vcrhältniss der mittleren Bewegungen 



n 



u = - - - 9.5156893 

^ n 

A - 3(1 — f») = 0.3045806 



1) Vorgl. Gylddn, Die intormedi&ro Bahn des Mondes, pag. 158. 
ShoUnuw, Rcchcrchcs etc. png. 30. 

2) S&mtlii'hc Znhlcn sind Logarithmen. 



des Planeten (/7) TketU nach Ihrm Gylikk*» Theorie. Sgl 

% = it* - Aio — 1 = 0.4865992 
Ferner nach den Definitions-Gleichnngen pag. 369) 

ßQ - 6.3963098 J— 7.3290798 

Ans der Gleichnng 

(pag. 371.) findet man 

q - 6.1178586 

und aas den bekannten Relationen 



*=^^M(i+5)(i+?r:.! 



^^-i-t^^ 



ik - 8.6607613 

0.0002279 

Setzt man nnn in Gl. (21x) 

and beachtet die Relation 
80 erhält man: 

/^ = 6^953287 

hUn^ü» - 8.2428393 
Nnn setze man 

a — -a-ant» — 9.1214196 (n. imag.) 

Bezeidinet man ferner e — e mit « , so besteht die Eot* 

wicklnng 



oder 






X 



382 Wellmanni DU intermediärt Bahn 

woraas man die Reihe erhält 

'^Vq{l+q) « r Ml+q)* \nj '"j 

und als Näherungswert von x findet 

x^ » 0.7597264 (n. imag ) 
Setzt man 

., g(l+g)^ 

in Gl, (30) ein, also 

so findet man 

fi - 6.1179X56 

und die zweite Näherung von x 

x^ = 0.7597617 (n. mag.) 



und damit 

n 



2ic" 



0.7460129 (imag) 



X" 



e - 1.4920258 

Wir hatten nan (pag. 372. nnd 374.) gesetzt 

nnd 

S— »» — vU -f*) 

Benatzt man nan die Entwicklangen 






X 



((!-«)* -8*»"*" (l-«»)»-«V+ ••] 



2J^ ij_J«_ V I 

1^ ~^+l-fl~l + «»"'" •• 



so findet man 



deM PUuuUn (17) 2^€iis uaeh Htrm Gylden't Theorie. 383 



= i,_,_3a-rt.(>"+.-Ä")x 



i(i-g)*-g«* + (l -3»)«-5V+-) 



Nach dieser Formel ist jedoch g wicht genau zu bestimmen, 
weil es sehr viel kleiner ist, als die beiden Werte }|i4 und i, durch 
deren Differenz es gebildet wird; man benutzt deshalb die Reihe 

2 n / 

an IM? = - ^r-=> V = 

l+22^x» ((i_5)»_3x«- (1-5«)« -3^* "*"••* 
woraus, nnter Berflcksichtignng, dass A — 3(1 — f») ist, sofort folgt 

- ilo+ift ••• - ff»+i+3(l-**)^*» X 

(1+«) 



(l-5)«-«x« • 

Addirt man diese Gleichung zu obigem Ansdrack fttr s, so fallen 
die grossen Glieder fort, nnd es wird 

. f . , f ^ I I 6(1 - u)g )"■;«",, , 

C - i^o+ i?o+ • •+ (i_g)Qi_,)«_^«j )« (1-«) -«! 

Nach dieser Form ergab sich 

g — 6.1501240 

Die Function Qq ergiebt sich ans den Gin. (25) nnd (28). 

Die Grösse % (Gl. (25)) ist eine Integrations-Constante, welche, 
streng genommen, aus Beobachtungen bestimmt werden mtlsste. Da 
dieselbe jedoch sehr nahe mit der £xcentricität der elliptischen 
Bahn zusammenfällt, können wir sie in erster Annäherung mit dem 
Mittelwert der veränderlichen Excentricität identificiren und setzen 

X - 9.1082931 

Dieselbe Grösse ist fttr Jupiter 



384 Welimann: Die intermedt'Srt Bahn 

W = 8.6835140 
und dessen Apsiden -Bewegung 

ff' - 5.53914 

Damit findet man (vergl. pag. 375) und 377) ) 



ferner 



und 



ÄO- 


5.83404n 


Ät- 


4.52972n 


Ä,«. 


5.67277n 


«1 - 


9.9962180 


«« -= 


0.0; »32973 


fl = 


9.5951300 


^J « 


« 0.2055516h 



womit sich ergiebt 

^o=[9.1082915]cos[(l-?)ro— r]+[8.'26704!5]cos[(l-|ii?')»o -ff'Ä- /^') 
+[7.6144949co8[At;o— 3B— [( l— ff)t;o— r]] 

+[7.2993016]cos[At;o-3i?-[(l— /i?>o--ff'^— ^']] 

- [5.2244026]cos[At^o— 3J5+[(1— ff)t;o— r] ] 

-[4.3868-209]cos[A»o -3Ä+[(1 - f*ff')t^o— ff'^-^'J ) 

— [3.73238]cos[2Aro— 6^— [(l-ffK-'n]-[5.8278775) (SU 

Es möge noch erwähnt werden, dass man das letzte constanti? 
Glied fortschaffen kann, indem man in Gl. (12) Zähler und Neau^'* 
durch 1- [5.8278775] dividirt. 



vm. 

Zur Bestimmung der Variation x ^^^^ ^"^ ^^s ^1- (^8) ^^ 
jenigen Glieder auszusuchen, welche gross werden Durch eine ganx 
gleiche Betrachtung, wie sie in III. angestellt wurde, ersieht maOf 
dass dies solche Glieder sind, welche die Form haben 

-4co8(foo + ^) 
wo 4 eine kleine Grösse ist. 

Solche Argumente treten, wie man sich leicht übet zeugt, nor 
in solchen Gliedern auf, welche von der 2ten, 4ten Ordnung in 
Bezug auf ^q und ^o' si^^^i ^^cl man erhält, wenn man 



des Plantten (17) Thetit nach Herrn Oyld^*s 7%§orie. 385 

setzt ^) 

gi - sin r{-2Qiof Po''-2Q.,»po(>o'- VQioo(/eo'rft,o)* 

cos7{4f4Q,oiPo'/Po'^«'o-Hf*Qiio^/pö'^«'o— ^fiQjoiPo'/M^'o 
+2|iiQ,oo/po'*^«'o— öf*^ioo/PoPo'^«'o} 

C082 V {16fiQ2iopo/^'rfvo— löftQaoiw'/porfvo— 32fiQ2oo/po po'rf»o} 

+8in3 r j-6Qa8oPo*-108M*Q30o(/Mt'o)^ 
-fcosS V {-36fiQ8,oPo/Mt'o+54fiQ3oo/Po*dt;o) 

Setzt man fQr qq' and ^o ^^i*® durch die Oln. (15) und (31) ge- 
gebenen Werte ein, und zieht die trigonometrischen Functionen anf 
die früher beschriebene Weise zusammen, so erhält man 

^\ = - a,sin[(a+2^c')i,o+x-3i/+2r'] 

-a,sin[(a+ff+f*ff')fo+2z-3i?+r+r'] 

— a,sin[(a4.2ff)t^o+3x-3J5+2r] (32) 

und es ist 



«'* «'«4 



Ol 



«1 - "2 ^it- -2^QMi-f**«'*Q«o+V«'«4Qioo+f»»'«'Qi 
+f*»4«'Qno+f**'«4Qioi+-4- f»Qioo 

-3«4*Qsfo-27^VQ5oo+27^VQ»oo-9M«j«iQ5io+9*4«4f»e8io 
27 27 

+ "4 f*«l«lQ»00 — ■4f*»4«4Q800 



1) Hier find diejenigen Glieder fortgelassen, welche nnr c oder c' als 
Factor von v^ enthalten, da dieselben durch die doppelte Integration 
hyperelementir werden würden ; ein Umstand , der vermieden wird , wenn man 
diese Glieder in S schiigt, nnd also als Störungen der intermedi&ren Bahn 
behandelt, 

Azek. 4. lUtk. a. Thjw. 2. KtUie, T. TL 25 



i — ^Qlll+V«'«8Ql00+l^«8«'Qll0+f*x'fs<il01 

— 54ft»e,£,Qjoo+5VV4QMO— 9(«i«f+«««i)l«Q9io 



'900 



27 

WO x^, »s . . . X4 der Reihe nach die Coefficienten der vier 
Cosinus in 61. (31) hedeaten, and 

I ** *i *t *a 

* " (i-ff')f« *' " i-ff ** " i-i^e' *• ~ A-(i--s> 



**-JRi^,.s') •«*• 



Bohafs Integration der Gl. (32) entwickeln wir die Cosinus ntL€^ 
Potenzen von %, wodurch, unter Vernachlässigung des Quadrats, wird : 

^,+a>,x=a>, (93) 

a>o=o,cos[(a+2fiff')t?o-3J5+2r]+2a,cos[(d4-H-f*ff')t'o-3B+r+ra 

a>i aiSin[ „ ]-a,sin[ „ ] 

— «sSinC „ ] 

Integrirt mau zunächst unter Vernachlässigung des in % ^^^' 
plicirten Gliedes, so erhält man 

Setzt man diesen Wert in 0^% ein, zieht wieder die Winkel n 
sammen, und integrirt von neuem, so wird 



ife» FUuuUm (17) ThtÜM nach Herrn Oyldin^M TUont. 387 



«^ - (2a+ff+3ftg>o-6J5+r+8r' 
*» " 2(a+5+f*5')«"*" (^+2Mff')« 

*'« ■" /;i -i_ 0/,\« 1" » 



^i« Eiosetzang der numerischen Werte ergiebt 

oj — 4 . 0390434„ (6+ 2(ig')* = 5 . 4562256 

o, - 4.5119368h (*+ff+f5')* = 6.4628780 

o, » 5 .0503829 ('+2ff)> - 6 . 4694798 

X — [8. 590903 l]sin[(«+2rtt;o—3i3+2r] 
— [8.0490588]8in[(HH-Mff'H-3Ä+r+r'] 
-[7. 5828l78]8in[(«+2^ff>o-3J5+2r'] 
+[6 . 7558375]Bin[2{(6+2g)ro-3Ä+2jn] 

wo die flbrigen Glieder ihrer Kleinheit wegen fortgelassen sind. 

Im Maximum wird % ^ 3^5'. 

Nachdem % gefunden, könnte man eine zweite Näherung für ^ 
ableiten, indem man den Wert von % in die Differentialgleichung f&r 
fo einfuhrt. 

Doch soll hierauf an dieser Stelle nicht näher eingegangen 
werden. 

25* 



888 



Weltmann: Dm i 



Bahn 



IX. 

Durch die bisherigen Betrachtungen ist die Bewegung des PI 
neten in seiner momentanen Bahnebene bestimmt; es erfibrigt no< 
die Bewegung der Bahnebene selber zu untersuchen. 



Aus der Bewegungsgleichung 



dz 



erhält man durch Einführung der Breite b^ 2 = rsinft 2= r^ 









WO 



c 0» 



Ersftzt man, gemäss den Gl. (3) und (61) t durch v^j 



so wv 



^J 



dS d^ 



und da 



-+(l+5)«7 (S+S)» " <H-^>*^ 



ist, erhftlt man, indem man « durch seinen Wert vq-I-x ersetzt: 



^ L 

dvo* 1+8 <feo 






Erinnert man sich nun der Relationen 



SO sieht man, dass 






des Planeten (17) Thetia nach Herrn QyldinU Theorie, S89 

ist. Wählt man nun die Bahnebene Jupiters als Fundamental-Ebene 
so wird »' -> 0, und man erhält 

dV 1 +5 dv^ dv^ "^ r ^ rft^O ^ \dH) 

und mit Vernachlässigung der Glieder zweiter Ordnung 

Aus der Entwickelang der Störungsfunction ist bekannt 

7 S^^iH^ 2^^^ÄHt.'Pö«^o'*'coBn^ (F) 

Durch eine, der in in. angestellten analoge, Ueberl^ung ersieht 
man leicht, dass in der mit ) multipücirten Klammer (Gl. (35) die- 
jenigen Glieder gross werden, welche das Argument vq mit oder 
2 mnltiplicirt enthalten. Man erhält somit 

r* SSI 

7 ä^;ii:ff^8JI=Äioo + (Ä«)0 + Ä40o)COBrAt;o-3Ä] ... 

dt 

Aus zr" erhält man das Glied 

2^-TQiooCOBlitv,-3Ä] 
Mithin hat man 

^,+ {(l+i^oo)+(T Q8oo + Ä«x) + Ä4oo)cos[K ' 3Ä]} j =0 
oder, indem wir 

j««oo+Äioo+Ä«o-/»<» 
setzen: 

^ + {1 +/»(^> + |3<<>Jcos[ilro-3B]}j - (36) 

Die Integration dieser Gleichung wird auf dieselbe Weise aus- 
gefOhrt, wie die der Gl. (21). 

Setzt man 



390 Wellmann: Die inUrme^hare Bahn 

Xvo — BB'^2^x 

so erhält man wieder die Lami'sche Differentialgleichung 

— pifcsn«« — 1— ifc«8n«»a]i = ti? (37) 

wo to als von der zweiten Ordnnng der Masse fortgelassen werden 
kann. Das Integral der GL (37) ist 

ect«) * Km») * 

* ^^ e(x) * +^* ö(a:) "^ 

Man führe die neuen Constanten Jj 2 nnd v ein durch die Old- 
chnngen 

>/ 1 

^ Vq 

J 1 

SO wird nach Ansfühmng der in Y. angegebenen Transformationen 

n 

je(«) — Je sin[-£— 3B — t>o(l — f») (v - 2)] 

2E^ 

+Je sin[(l-f»)(v+l)t;o-2] 

nnd da 

gpv— 1+22 cos [ilüo — 3B] ... ist, 



(17) IUUm mach Herrn G^^UUk's Thtoru. 391 









T — v(l — ^) — ^ 
2t ist und die Bewegnng der Knotenlinie angiebt. 
Analog dem Aosdrnck fOr g erh&lt man 

ßW _ jj(0) + 8i»g»(l 4- 2g» + . . .) ist 
Die nnmerische Rechnang ergiebt 

|3«Q = 6 . 2607944 ßW — 6 . 313Ö699 



(37) 



(38) 



9 -»5.1023487 


tf- 9.1086880 


2Jr 

— = 0.0000217 


»1 «1.2546941 


^«» = 6.2608069 


^=5.1023487 


ifeSsin^ta» « 8.2173760 


aj, — 1.2547034 


e =1.2560419 


TS 
... OH 

2K 
e -8.7439581 


T » 5.9588269 



[1 . 2560419] sin [(1 + t) vq — 2Ö+[8 . 7421670] sin [(H - 3-Ö) 

-[(1+tK-^] 
l+[6.3583906]sin[at?o— 32^)+[(1+t)üo— -^ri] 

+ [3. 8463068] sin [2 a^o -3J3)— (l4-T)t^o— ^T] 



882 Zahradnihi EigmuchaftM gewüs^r I\MkuHpd auf dar CbMOMb. 



XIX. 



Eigenschaften gewisser Punkttripel 
auf der Cissoide.*) 



Von 

K. Zahradnik. 



I. 

BerfUkTungtiMpeh 

Die Oleichnng der GisBoide in Parameterdarstellang lautet: 

(1) 

a 
Die Gleichung der Verbindungslinie zweier Punkte u^j u^ ist: 

welche fUr ti, = U) -> u in die Gleichung der Tangente im Punkte 

u, nämlich 

(l + 3tt»)x — 2u«y-a - (2) 

übergeht. Die Berührungspunkte') uj, 14, u^ der aus dem Punkte 
P(fl;,3f) an die Gissoide gelegten Tangenten bilden das dem Punkte 



1} Siehe !n diesem Archiv meine diesbezüglichen Arbeiten: Rationale ebens 
Conren Teil 56, pg, 114; Beitrag zor Theorie der Gissoide T. 57, pg. 9SS; 
Weiterer Beitrag zor Theorie der Gissoide T. 68 pg. 443. 

8) Fonkt u d. ist, dessen Parameter gleich u ist 



Zakradniki Eigtucke^Un gewisser PynhUripeL auf der ObMOub. 393 

P entsprechende Berflhrangsdreieck ^). In diesem Aufsätze wollen 
wir nun die Verwandtschaft untersuchen, in welcher der Punkt P 
zu den ausgezeichneten Punkten des Bertthrungsdreieckes steht Den 
Punkt P werden wir kurz als den Pol des Berfihrungsdreieckes be- 
zeichnen. 

Pol und Sehwerpunkt. 

2. Für den Schwerpunkt S(\^ 17) des Bertthrungsdreieckes fanden 
wir mit Rücksicht auf die Relationen 

P, - (3) 

X — g 

welche sich ans (2) ergeben: 

5 = a 



y*+(«+iy 



(4) 



iy = — a 



y«+(x+iy 



Diese Gleichungen geben uns die verlangte Relation zwischen dem 
Pole P und dem Schwerpunkte 8 des Bertthrungsdreieckes. 

Wir erkennen aus diesen Gleichungen , dass zwischen P und 8 
eine quadratische rationale Verwandtschaft und zwar eine Ereis- 
verwandtschaft besteht Wir können nämlich die erste der Gl. (4) 
schreiben: 

G+0^ (4') 

Addiren wir zu dieser die zweite Gleichung (4), nachdem wir sie mit 
t -" V— 1 mnltiplicirt haben, so erhalten wir: 



1) Siebe: Weiterer Beitrag ur Theorie der Cissoide. Hoppe's Archiv d. 
Mathematik ond Physik Teil «8, p. 448. 



394 Zakradniki EigtiudiafUit gewUter Punkttripü auf der CwMÜb. 

„1 « + §+»» 
5 — a+»lj ^ 



2... 



aus welcher Gleichung wir nach Kürzung mit dem Zähler erhalten; 



(? — a + iri) (* + ^ — <y) =— I 



(5; 



Setzen wir nun 

z ■■ a; — iy 

80 können wir die Gleichung (5) schreiben^): 

fe+^t-««-0 .(6) 

Aus dieser Gleichung erhellt, dass jedem Punkte z nur ein Pankt \ 
und umgekehrt entspricht. Die Gleichung (6) ist nämlich in Bezi^ 
auf t und .? linear, und wir erhalten 

Wir können aher auch direct aus Gl. (6) die Coordinaten voie ^ 
mittelst der Coordinaten von S ausdrücken. £8 ist nämlich 

, a . a* 1 o* 5 — a-- tri 



somit 

2 (5-a)« + i,« 






(7) 



Somit hahen wir bewiesen, dass die angeführte quadratische Ver- 
wandtschaft eine rationale ist, und aus der Form der Gleichung (6) 
erheUt, dass sie eine Kreisverwandtschaft ist, d. i. die zugehörigen 
Punkte P und S entsprechen sich durch Inversion. 



1) Es besteht somit ^ =i f{z). Die Curven, welche P beschreibt, stehen 
mit den Cnrven, welche der zageordncte Fankt I beschreibt, in isogootler 
Verwandtschaft, d. i. schneiden sich unter demselben Winkel. Siehe Sieber: 
lieber die graphische Darstellung imagin&rer Fancttonem Crelle Bd. &^ 
pg. 228, 243. 



Zairadnik: Ei/eiKkaften giwüicr Puikllriptl auf dir CUioidt. 395 

Die Hauptpunkte des Systemes P sind (— =. o] und die zwei 

SnuginiroD Kreiapnokte, die Hauptpunkte im Systeme ä sind (o, 0) 
«Kud die beiden imagiullren Krei^unkte. Bezeicbneu wir den Punkt 

(- 1, o) mit Of nnd den Punkt (n, 0) mit O, (Fig. 1). Denken wir 
'ans, daas wir das System P parallel verschieben, so dass der Uaupt- 
pnnkt Of zusammcnßillt mit dem Coordiuatenanfang ; gleichzeitig vor* 
Schieben wir auch das Punktsystem S parallel, so dass 0, in den 
Oiordiuateuaufaug fällt. In dieser neuun Lage beiteichnon wir dio 
xngebörigen Punkte i'„ S'. Drehen wir unu das Fnuktsystem 3' um 
den Coordinatenanfaug um läO" und bazeicbnou die Punkte S' in 
dieser neuen Lage mit Sj , dann liegen die entsprechenden Punkte 
^1, rS, auf einem Strahle ans O, so dass 

Vir gelangen so zur nachstohenden Constrnction der entsprechenden 
fiUikte. Wir construiren zuerst den Modul der Inversion -t~, welcher 
tfeich der Sehne OpB eines Kreisquadrauteii vom Halbmesser OfO— s 
*t, bescbrcilien aus o den Invcrsionskreis / mit dem Halbmesser 
y-g. Den Punkt /' verbinden wir mit Op , ziehen zu OpP ans dem 
^^o«rdinatenanfang eine Parallele; ebouso aus dem Punkte /' zar 
A:xe X. Der Durchschnitt dieser Parallelen ist P,. Auf OPi can- 
•trniren wir S, mittelst 



Verlängern S^O Ober den Coordinatenanfaug um seine Länge, womit wir 
den Punkt S' bekommen, und die Parallel projection mit der Aie X 
Uf die durch O, zu OfP gezogene Parallele gibt uns den Punkt S. 

Anmerkung. Die Substitution «'— s+g '" "^'^ Gleichung (6') 
bewirkt eine Parallolversc hiebung auf den neuen Anfangspunkt 
Op(0, — öji ebenso für f — £— n nehmcin wir 0, als den Anfangs- 

Edee Pnnktaystems £'. Aus (6) erhalten wir: 
.■.r--j" (8) 



396 Zakradnih Eigenicha/Un gwtiMtr PMitripel muf der Cita ndt . 

somit: 

Op P.Ob 8 = r^€g*-f ) — 2 e** 
woraus 

in Uebereinstimmnng mit (8) folgt, da 

OpP= OP^ 
0.8=08'=— 08^ 

Auch diroct können wir die Relation 
dartan; es ist nämlich 



OpP^ 



(.+!)+ 







0,Ä«-(E-o)«+iy» 




somit 


wegen (4) und (7) auch 






O.S« 


(-0" (- 


2/ 




(.+i)'+ ^ "■ 


.^* 


woraus sofort folgt: 


j 








0,P.0,8— -2 





FOr die Praxis können wir die Construction bedeutend vereiB* 
fachen. Wir können Op als Inversionscentrum nehmen; wir erhalten 
so P^ P^^ und die Construction von 8^ und somit von iS ist wie 
früher. Somit haben wir die Verwandtschaft ^) zwischen P niHl ^ 
vollständig erklärt und können somit die allgemeinen Ressltatfii 
welche für die quadratische Transformation gelten, hier verwenden. 
Beschreibt z. B. P eine Cnrve n-ter Ordnung und m-ter Classe, 80 
beschreibt der entsprechende Punkt ^S eine Cnrve 2n-ter Ordnung 
und (2n— m)-ter Classe, welche die Hauptpunkte des Systemes iSn 



1 ) Ueber diese TrsDsformation siehe Salmon-Fiedler: Höhere ebsM 
Canren pg. 363, Kegelschnitte 8. Aofl. pg. 536, BelUTitii: Teori* detU 
figure inrerse e loro osa nelU geometria elementare. An. delle tdeiiie dd 
regno Lombardo-Veneto 1886 T« VL, wie aoch die Arbeit LionTills*i i> 
dessen Joamale Bd. XII. 



Zahradnik: EiffeiuchqfUn gewuwtr PunkUripti oMtf dtr CiM9M§* 397 

n-ÜAchen Punkten hat. Geht die Cnrve toa P ibmal darch den 
Hauptpunkt Op und 2 mal durch die imaginären Kreispnnkte hindurch, 
so zerfällt bekanntlich die Curve von 5, welche von der Ordnung 2n 
ist, in die il;-fach zu zählende unendlich ferne Oerade und in die 
/-fach zu zählenden Verbindungslinien von O» mit den imaginären 
Kreispunkten, dann in die eigentliche Inversionscnrve, welche somit 
2» — ifc — 2^ter Ordnung und 2n— »— 2i— 4^ter Classe ist, wenn 
m die Classe der Polcurve ist Der Punkt 0$ ist ein » — 2^facher 
Punkt, und die imaginären Kreispunkte sind (n — il;~0-fache Punkte 
der Schwerpunktscurve. 

Beschreibt z. B. der Pol P eine Parabel, deren Parameter p 
gleich ist dem Halbmesser des Gmndkreises fOr die Cissoide, nämlich 

5, und deren Brennpunkt im Hauptpunkte Op liegt, somit eine Para- 
bel, deren Oleichung 

so beschreibt der Schwerpunkt 8 eine KanUoide mit dem Rflckkehr-. 
punkte in 0« und a als Durchmesser des festen Kreises. Die Olei- 
chung dieser Kardioide lautet: 

Beschreibt der Pol die Punkte (Scheitel in Op) 



.•=-i(-+i) 



so beschreibt der Schwerpunkt wieder eine Cissoide , welche mit der 
gegebenen congruent ist, nur um die Länge a parallel verschoben 
in der positiven Richtung der XAxe. 



Pol und Mittelpunkt des Umkreises. 
3. Die Oleichung des Kreises durch drei Punkte lautet 

Liegen nun die Punkte (a;^, y^) auf der Cissoide, so ist 



Xu «— 






898 Zakradniht EigtnMchafttn gewisser Ihitikttripel auf ikr CÜMOMk. 

80 erhalten wir mittelst ähnlicher Bednctionen, wie wir sie schon 
anderorts in diesem Archiv entwickelten 

Pi (?»+iJ») + ^ (l+Pi*-P.)? - r- (PiPi-P»)V -^ - (9) 

Fi PS FS 

Fahren wir nnn mit den Gleichungen (3) die Bedingang ein, dass 
das Dreieck u^u^u^ ein Berühmngsdreieck des Poles P ist, so er- 
halten wir die Oleichung seines Umkreises 

Die Coordinaten E|, 171 seines Mittdpunktes C sind : 

^^"" 2 3a;(a;— a) 






(11) 



Aas diesen Gleichungen folgt, dass der Pol P in quadratischer Ver- 
wandtschaft mit dem Mittelpunkte des Umkreises seines BerflhniDgs- 
dreieckes steht. Wir wollen jetzt beweisen, dass diese Verwandtschaft 
eine rationale ist, d. i. dass jedem Punkte P der Ebene der Cissoide 
mittelst dieser Transformation nur ein Punkt C entspricht und um- 
gekehrt. Aus den Gleichungen (11) folgt nämlich 

2a% 



12i?,* + 2aEi + 3a« 

(12) 

,, — ^«?i Vi 

^""12V+2a?j+3o« 

womit die Behauptung als erwiesen erscheint. 

Im Punktsysteme P vereinigen sich zwei Hauptpunkte in un- 
endlicher Feme, und der dritte Hauptpunkt liegt im Coordinaten- 
anfang. Das Punktsystem C hat zwei imaginäre Hauptpunkte 

(0, - -ly y (0, 2 j, und der dritte Hauptpunkt ist in un- 
endlicher Entfernung. Wir wollen jetzt zeigen , wie wir die Coordi- 
naten dieser Hauptpunkte finden können. Unsere Transformation ist 
eine quadratische, d. i. der Geraden in einem Systeme entspricht ein 
Kegelschnitt im anderen Punktsysteme. Nun ist die Gerade durch 
zwei Punkte bestimmt, durch welche sie hindurch geht Da nun den 
Kegelschnitt fünf Punkte bestimmen, da femer jeder Geraden in 
einem Punktsystem ein ganz bestimmter Kegelschnitt im anderen 



Zahradnikz Eigentchaften gewu$er PunkUnptl auf der CHstoide. 399 

Punktsystem entspricht, so folgt, dass jeder Kegelschnitt des einen 
Systems, welcher einer Geraden des zweiten Systems entspricht, durch 
drei feste Punkte hindurchgeht, welche als Hauptpunkte oder 
Fundamentalpunkte ') bezeichnet werden. Dem Durchschnitte zweier 
Geraden cutspricht ein einziger Punkt, nämlich der vierte Durch- 
schnitupunkt der den Goraden entsprechenden Kegelschnitte. Hiermit 
ist in kurzem der Weg angezeigt, wie wir zu den Hauptpunkten 
gelangen. 

Betrachten wir den Punkt P(^, y) als Durchschnitt zweier mit 
den Axen parallelen Geraden, so sind die diesen Geraden entsprechen- 
den Kegelschnitte 

(12iy,« + 2a{, + 3a») x « 2a» ?, 
(12V + 2a?, + 3a»)y^ 6a5,iy, 

Führen wir aus der ersten Gleichung den Wert für E| in die zweite 
Gleichung, so erhalten wir: 

welche Gleichung uns die Ordinatcn der vier Schnittpunkte der 
Kegelschnitte (13) gibt Dieselbe ist aber bloss vom dritten Grade 
in Bezug auf i^^, somit muss die Ordinate eines Schnittpunktes unab- 
hängig von der Lage des Punktes Pipaf) unendlich gross sein. Der erste 
Factor gibt uns die Ordinaten weiterer zweier Schnittpunkte, nämlich 

ni ^ 2"~ ' ^^ 2" 

und aus dem zweiten Factor folgt die Ordinate des dem Punkte P 
entsprechenden Punktes 

^^"""3i 
Die zugehörigen Abscissen folgen aus (t3). Wir finden so 
Ji — 00 für i/i — Qo 

$1=0 „ i^j = ± g- 

^ a 4y»-}-9a;» ay 

^»""■"S'arCx — a) "" V^^ "" 3» 

Die drei Schnittpunkte, deren Coordinaten ganz unabhängig sind von 
der Lage des Punktes (a-, y\ sind die Hauptpunkte des Punktsystems C, 



1) Salmon-Fiedlor Höhere ebene Curven p. 369. Magnus Samm- 
long Ton Aufgaben, ISSS: I pg. 829. 



400 Hakrndnit: Bfgeiuehqfm goBÜur Pmkuriptl auf dtr Gtmih. 



Anf dieselbe Waise IcOnnen wir von den Gleichungen (11) i 
len. Pie Elimination von y gibt: 



3i[{I2V + 2a|, + 3o*)' — 2a'|,] = 







(U) 



Da flieh nun zwei Kegelschnitte in vier Punliten schneiden , und die 
Gleichung (14) nur vom zweiten Grade in r ist, so folgt, dass zwei 
Wurzeln unendlich gross sind, und eine den Wert i -= U hat. 
Die vierte Wurzel ist 

""ISV+SaSi + Sa» 

Die zugchOrigeu Ordinateu sind somit: 




Wir erkennen wieder, dass drei von den Schnittpunkten von der" 
Lage des Punktes (^ii?i) unabhängig sind, und der vierte Schnitl- 
punkt gibt den dorn Punkte (|,, %} eutsprech enden FuukI (xy). 

Somit haben wir wieder diese Verwandtschaft vollständig be- 
stimmt , und könnten nun der allgemeinen Resultate uns bedienen, 
welche die Theorie') der quadratischen rationalen Verwandtschaft 
darbietet. 

lieber die Verwand tHchaft vierten Grades zwischen dem Schwerpuakle 
und Hittelpunkle des Umkreises des BerÜhrnug'BdreleekeB. 

4. Durch den Pol P wird eindeutig die Lage des Schwcrpunkles 
S sowie des Mittelpunktes C des Umkreises des zugeordneten Be- 
rUbrnngsdreieckes ; da nun dnrch den Punkt 5 oder C auch dsr 
Punkt P eindeutig gegeben ist, so folgt, dass auch ä mit C in einer 
eindeutigen Verwandtschaft stehen muss. Den Grad der Verwandt- 
schaft bestimmen wir folgendermasseu : Der Geraden von S entsprich! 



1) In Bezug auf dio Theurie der quadratiichcn rationalen V«rn'iniiUcli>ft 
»iehd Salmon-FiBdlor: Höhere ebene Gurren pg. 359. Wejr Ed.: Au- 
Ijrlischo CnienaehDOg der quadratischen VerwnadtachaTt. ScblSmtlch ZeiUcbriA- 
1869 pg. 445. Roys Th.: Geometrische Verwanduchaft dreiten Gradea, 11»^ 
Teil XI, pg. 4, eowio dessen Geometrie der Lage. !. Aufl. HannoW. 
Magnus: Anfguben aiia d. annl. Geometrie d. Ebene, pg. S39. Schii- 
pareili: Sulla Trantrorniaiione geometrica delle fignre cd in particoltn mll* 
Tran*IoriDs>ione iperboliea. Uem. d. Accsd. di Torino Ser. II. Toow XXL 



Zahradnik: Et'genschajUn gewUätr Punkttripel auf der Cisioide, 401 

ein Kegelschnitt von P nnd diesem Kegelschnitt entspricht eine 
rationale Curve vierter Ordnung von C. somit entspricht der Geraden 
im Punktsysteme S eine rationale Curve vierter Ordnung im Punkt- 
systeme C\ Die Coordinaten des Punktes C müssen sich somit aus- 
drücken lassen als rationale gebrochene Functionen vierten Grades 
in den Coordinaten von S mit gleichem Nenner. Dies führen wir 
aus, indem wir die Werte für x, y aus (7) und (12) gleichsetzen nnd 
nach den Coordinaten des Punktes C($], i/i) auflösen. Wir erhalten so: 

*1 ^ Ä /t8_l 



6 (5» + ^5i-a|j(3[{« + iy*]_5a| + 2a') 

(15) 
a 2arj 

Aus diesen Gleichungen folgt die biquadratische rationale Verwandt- 
schaft zwischen C und /S, wie wir früher durch einfaches Resume ge- 
zeigt haben. Diese Verwandtschaft ist somit eine Cremona'sche^) 
Verwandtschaft und wir können jede solche biquadratische Trans- 
formation durch zwei quadratische ersetzen. Wir konnten ja statt 
vom Punktsysteme C direct auf das Punktsystem 5, zuerst vom 
Punktsystem C auf das Punktsystem F mittelst einer quadratischen 
Transformation und vom Punktsysteme P auf das Punktsystem 
S wieder mittelst einer quadratischen Transformation übergehen. 
Es liegt somit ein interessantes einfaches Beispiel vor zu den Cre- 
mona'schen Transformationen. 

Euler'sehe Gerade. 

5. Da wir nun die Coordinaten des Schwerpunktes und des 
Mittelpunktes des Umkreises für das Berührungsdreieck kennen, 
können wir die Coordinaten des Höhendurchschnitts H(aß)^ sowie 
auch des Mittelpunktes C dos Feuerbach'schen Kreises sogleich 
aufschreiben. Es ist nämlich 



{ 



«=-2"- 

r ■" o 



I) Ueber die Cremona'sche Transformation find die Arbeiten von 
A. Clebsch, M. Nöther, Rosanes, Clifford besonders aafxofQhren. 
Siehe Dr. Em. Weyr: Cremonovy geometrick^ transformace ütTarfi rovinn^ch 
Prag 1872, Salmon-Fiedler 1. c pg. 888, Clebsch-Lindem ann Vor- 
lesungen pg. 478, 489. 

▲reh. der Matk. u. Phji. 9. lUUie, T .VL 26 



402 Zakradnik: Eigemekaften geunaser I^tnktir^l am f der Cisgoide, 

In diese Oleichungen sind nur die Werte fQr (, 17, (', ti' einzufahren, 
and wir bekommen sogleich die Coordinaten von H nnd C wlU 
Functionen der Coordinaten des Poles P. 

Fassen wir etwas allgemeiner die Aufgabe auf. Es sei i S^ts 

Teilverliftltniss des Punktes M in Bezug auf die Punkte C nnd ^1 

nämlich 

CM 

Die Coordinaten des Punktes M sind in diesem Falle 

Vi — ^V 
Fahren wir nun die Werte fflr £, 17, $„ rj^ ein und schreiben: 

80 erhalten wir 

^ (4y» -)- 9x*) K-\-6lx(x-a) (y»+ [« + 11 x) 

*' ~ Ä^^ * 3x(x-a)jr 

(16) 
a x(K — 3ax) 

Beschreibt nun der Pol P irgend eine Curve f(x^ y) = 0, so erhalten 
wir die Gleichung der vom Punkte M beschriebenen Curve, wenn 
wir aus den Gleichungen (16) und der Gleichung f{x^ y) = die 
Coordinaten x, y des Poles P elimiuireu. 

Beschreibt nun P eine rationale Curve n-ter Ordnung, so be- 
schreibt joder Punkt der Geraden SC^ welche den Namen der 
Euler'schen Geraden führt, eine rationale Curve 4ii-ter Ordnung, aus- 
genommen A =: 0, A « 00 , d.i. die Punkte « und 8 beschreiben eine 
rationale Curve 2n-tcr Ordnung. 

Jeder Lage von P entspricht eine ganz bestimmte Enler'scbe 

Gerade Ey als Yürbindungslinie SC, Sind nun r^, y^ Coordiuaten 
des veränderlichen Punktes der Geraden E, so ist 



E^\ y^+[x^vt)- -ly y'+{-+t) 

! 4y« + 9a;« 2y(« — a) —^{x — a) 

die Gleichung dieser Geraden. Beschreibt nun P die Curve 



(17) 



Zahradnih: Etgemchaften gewhxer Fankltripel au/ der Ciasoide, 403 

F(.r, y) - (18) 

80 bekommen wir die Gleichung der Envaloppe von U, wenn wir 
aus den Gleichungen (17), (18) und aus 





dE 


dE 






dx 


dy 






dF 


dF 






dx 


dy 




die Grössen r, y eliminiren, in 


der Form 




A-^: 


11 yi) - 


»0 



Ist nun F{x^ y) = eine rationale Curve n-ter Ordnung, dann 
ist auch die Enveloppe von E eine rationale Curve und zwar der 
4n-ten Classe. Ihre Gleichung ist die gleich null gestellte Discri- 
minante von (17), nachdem wir ar, y in dieser Gleichung durch ihre 
Ausdrücke im Parameter ersetzt haben. 

Aufgabe. Kann der Pol P eine Curve beschreiben fQr welche 

SC ^ d '^ constant 

wäre? Wir brauchen nur die Werte für (, i}, E^, t^i in die Gleichung 

(?-fi)*+(i?-^i)*«ei« 

einsetzen, womit sich sogleich die Gleichung der Polcurve ergibt. 
Diesdbe ist von der achten Ordnung und die entsprechenden Cnrven 
des Schwerpunktes S und des Mittelpunktes C sind von der sechs- 
zehnten Ordnung. 



Enveloppe des Umkreises des Berflhrungsdreleekes. 

7. Im Art 3 fanden wir die Gleichung des Umkreises K eines 
dem Pole P(x^y) entsprechenden Bertthrungsdreieckes. 

K^Sxix- a)(5«+ ij») 4- a (9x»+ 4y«) {+2ay («- «) i? — 4a«y» = (19) 

Beschreibt nun der Pol P eine Curve, deren Gleichung 

F(x,y) = 

so ändert sich dieser Kreis der Lage und Grösse nach. Auf diese Art 
erhalten wir ein der Polcurve entsprechendes Kreissystem, und die 
Gleichung der Enveloppe dieser Kreise erhalten wir, wenn wir aus 
der Gleichung des Kreises JT «• 0, der Polgleichung F(x^ y), und der 
Gleichung 

26* 



404 Zakradnih: Eigtnuhaft$n gewuser PttnhHripd mmf dar CYtwAfc, 



dK dK 

da djf 

dF dF 

ilx dy 



-0 



m 



die Parameter ac, y elimiDiren. 

Am einfachsten ist der Fall, wo die Polcnrvo oioe rationale 
Gnrve ist; statt F(x,y) — 0, können wir hier schreiben 



X — 



/(*) 

wo q>j ^, f ganze Functionen n-ten Grades des Parametera < sind. 
Die Gleichung des Kreises K ist hier von der Form 

ä:=<P(e, 1^,0=0 

welche Gleichung von 2n-tem Grade in t und quadratisch in E und ^ 
ist Die gleich null gesetzte Discriminantc dieser Gleichung in Bezug 
auf den Parameter t gibt die Gleichung der Euvoloppe des Kreis- 
systems, welcher der gegebenen rationalen Polcurve n-ter Ordnung 
entspricht. 

Die besagte Discriminantc ist 4(2n — l)ten Grades in ( und ^, 
d. i. Envcloppe ist in diesem Falle eine Curve 4(2n — l)-ter Ordnung. 
Den einfachsten Fall erhalten wir hier für n = i, d. i. wenn der 
Pol eine Gerade beschreibt, wo die outsprechende Enveloppe eine 
Curve 4-tcr Ordnung ist. Sei 

y = bX'{-C 

die Gleichung der Geraden, Gl. (20) lautet in diesem Falle: 

dK (iK 

dx dy =0 
— ^ 1 

Statt zu differentiren und dann zu eliminiren, können wir umgekehrt 
früher aus /T » und der Gleichung der Polgeraden die Grösse y 
eliminiren und dann differentiren. 

Die Elimination gibt: 

Jt=3«(^-a)(5« + i?») + [9a:»+4(i.x+c)«]?4.2a(6aj + c)(a;— a)i| 

— 4a«(te+c)«-.0 
oder geordnet nach den Potenzen von x: 



Zmkradniki Etgnnsehaßen p€wi88€r Punktiripel auf der CüsoüU. 405 

«« M+ gN+ P = (21) 

wo 

M= 3(5*+iy«)-f.(9a4-4a6«)E-f.2aÄiy — 4rt«6« 

i\^ = — 3a (5« 4- fj^) + SabtX + (2ac - 2a«Ä) ly - Sa*bc 

P = 2a<? (2cE - Ol? — 2ck?) 

Die DiscriminaDte von (21) in Bezug auf x ist 

i\^«— 4AfP— (22) 

die gesachte Gleichang der Enveloppe. 

Der veränderliche Kreis (21) berahrt die Enveloppe (22) in zwei 
endlich gelegenen Punkten und in beiden imaginären Kreispunkten 
im Unendlichen, was schon aus den Gleichungen 

xN+P = 

erhellt, welche die Berührungspunkte bestimmen. 

Die Verbindungslinie der endlich gelegenen Berührungspunkte 
ist die Chordale der Kreise, welche die Gleichungen (23) ausdrücken ; 
ihre Gleichung lautet : 

aaj[MB+iV] + (aj — a)(i\fe+P) — 

welche Gleichung man auch schreiben kann: 

(aJlf-f. i\^) x«+ ife— aP « 
Nun ist 

die Chordalo der Kreise M = und iV^ = 0, somit können wir die 
obige Gleichung schreiben 

**Äm+(*-fl)P-0 

und aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass alle Verbindungslinien 
der Paare der Berührungspunkte im Endlichen durch den Punkt 

Rmn .P hindurchgehen, d. i. sie bilden einen Strahlenbüschel , dessen 
Scheitel der Schnittpunkt von P mit der Chordale der Kreise 1/ » Ch 

iV=:0i8t 

Der Mittelpunkt des veränderlichen Kreises K beschi*eibt einen 
Kegelschnitt, dessen Gleichungen: 

9a;«+4(&r+c)« 



i,=r-a 



6aj(x — a) 



wo X den Parameter des veränderlichen Punktes dieses Kegelschnittes 
bedeutet 



406 Zakradniki EigeMdm/Un gewisser I\inkiirqtel mtf d§r Ci$uidt, 

Kehren wir nun zur Gleichnog (22) znrflck; anageschriebcn 
lautet sie: 

+ 72a«c5iy+(4oc«+8a«^+4a»&«)iy«+144a»c«{ = (24) 

Ans dieser Gleichung erkennen wir, dass die Enveloppe eine Canre 
vierter Ordnung ist, welche die imaginären unendlich fernen Kreis- 
punkte zu Rackkehrpuokten hat, und die Ordinatenaxe im Coordinatea- 
anfange berührt; somit ist die £nveloppe ein Descartes'sches OfaL 
Geht die Polgerade durch den Rflckkehrpunkt der Gissoide, so ist 
c »B 0, und die Enveloppe zerfällt in zwei identische Kreise, deren 
Gleichung 

Schneller kommen wir zur Gleichung (24), wenn wir die Punkte der 
Polgerade parametrisch ausdrücken. Ist die Polgerade: 

nur -|- «y - 1) = Ü 
80 ist 

P 



X 



y — 






und die Gleichung /T == geht nach Einsetzung obiger Werte Dir 
X und y über in 

<« [4apg — 2ahiri — 4a V] + < [— 3aw^* + 2a (p — am) tj] 

+ [3(i)-am)p«+9cy|] -0 
wo der Kürze wegen 

Die Discriminante nach t gleich null gesetzt, nämlich 

a [ -3np«+2(;)— am)i?]«-|- 24 [- 2p5-|-a»iH-2«ri[(l>— «»»)?H-3^] — 

gibt uns wieder die Gleichung der Enveloppe. Diese Gleichung 
stimmt natürlich mit der Gleichung (24) überein, wenn wir m — — b, 
n — 1, ;> = c setzen, d. i. von gleicher Form der Gleichung der 
Polgeraden ausgehen. 

Da nun ilf — • 0, iV — 0, P^) =» Gleichungen dreier Kreise 
sind, welchen die imaginären unendlich fernen Kreispunkte somit 
gemeinschaftlich zukommen, folgt aus der Gleichung 



1) P=0 besteht aus der Geraden 

2t? — ajy — 2ac = 

und aas der nnendlicb fernen Geraden, aof welcher die nnendlich fernen ima- 
gin&ren Kreispnnktc liegen. 



Zakradniki EigwtchajUn gewisser Punktiripel auf der Cissoide, 407 

dier Enveloppe, dass diese Pankte Doppelpaukte und zwar Rflckkehr- 
ponkte siDd, was wir sclTon aus der Form der Oleichung (24) er- 
Icanut haben. 



Die Cissoide als Polearve selbst. 

Nehmen wir nun den Fall näher in Betracht, wo der Pol P die 
f^egebene Cissoide selbst beschreibt. Zwei von den Scheiteln des 
Berülurnngsdreieckes fidlen mit dem Pole P zusammen. Es sei nun 

< = U, — Mg 

der Parameter dieser zwei mit dem Pol zasammenfallenden Scheitel, 
nud ttj der dritte Scheitel des BerühruDgsdreieckos. Der Pol P ist 
somit der Taogentialpnnkt von u^-^ führen wir seine (Koordinaten 



* "^ r+ ? 



y = 



«(!+««) 



in die Oleichnng (2) ein, so kennzeichnen wir den Pol als einen 

Pankt der Cissoide, die er bei veränderlichem Parameter t erzeugt. 

In diesem Falle ist: 

Sx 3 



X — a 



«8 



2y 2 

und die Gleichung (2) geht ttber in 

Q #3 

Da nun im Punkte P zwei Berahrungspunkte zusammenfallen , muss 
i eine zweifache Wurzel dieser Gleichung sein. Scheiden wir den 
hierbezttglichen Factor (u — 0' aas, so erhalten wir 

Es ist somit der Parameter des dritten Bertthrungspunktes - der 
dritten Ecke des BerQhrungsdreieckes — gleich 

t 

Im engeren Sinne können wir auch hier vom Schwerpunkte reden. 
Wir erhalten hier für die Coordinaten des BchwerpuikteB 



408 Zahradniki £i(f€nachaften guouHr PunkUripd wij dw CubMu 

*"■ 2 

n 2~ 

wo a;, y die Coordinaten des Poles sind, dessen Parameter <, m 
'd ^1 ^^0 Coordinaten der dritten Ecke mit dem Parameter 

t 
«iT2 

Mit BQcksicht auf diese Werte erhalten wir wegen 

3 

p^^O (25 

Pz 2 

nach Kürzung mit dem Factor {t^-^-l): 



1 1 ^ * 



-6 



somit sind die Coordinaten des Schwerpunktes 



(«*+l)(«*+4) 

(26; 



— 2a 



(i»+l)(««+4) 



Die Schwerpnnktscurve ist somit für gegebene Cissoide als Polcorre 
eine rationale Curvo vierter Ordnung. Dieselbe ist eine geschlossene 
Cnrve und hat im Anfangspunkte einen Backkehrpunkt entsprechend 
dem Parameter t^cp. Die unendlich fto&en Punkte haben als 
Parameter 

t8 = 2V=T, «4 2V=Ö[ 

Es bestimmen aber je zwei der Parameter, nämlich ^ und I4, dann 
<f und <3 denselben Punkt und zwar den unendlich fernen imaginären 
Kreispunkt, d. h. die Curve hat die unendlich fernen imaginären 
Kreispunkte zu ihren Doppelpunkten. Dieselbe ist von der fänften 
Classe. Wir erhalten die Gleichung der Curve in der Form F{Ji^ ^) =0i 
wenn wir den Parameter t aus der Ol. (26) eliminiren, nämlich 



Xmkraduikt J^cmcMm ^eirÜMr PwkUripd mmj dtr CUmtid^ 409 

(P+ ilV- «f («"+ ^+ 2aV = 

Vtt die Constnictioii der Carve (Fig. 2) betrifft, so ist 

OM 

« = cot(P01f) = pj^ 

▼critagem wir PM Aber M bis zum Punkte Q, ro dass MQ — 2PAf 

ist; dian gilt 

OM 10M_ i 

QM"'"2PJf"" 2 
Die Yerbindangsliiiie OQ, deren Gleichung 

Kimeidet die Gissoide im Ponkte u^ , dessen Parameter 14-» — ^ ' 

^ »t Tangente der Gissoide in ti,, nnd der Schwerpunkt bestimmt 
bBalation 

Auf diese Weise können wir zu jedem Punkte P der Gissoide den 
entsprechenden Punkt 8^ und somit auch die Ortscurre von^S construiren. 
Ftlr den Flftcheninhalt der Curvo (S) erhalten wir 

+00 CO 






'^cft 



Nan ifit 



-QO 

QO « 



/ 



OL ^ /* di_ 



/• dt_ 



2n — 3 , 



!)•• ^* 2n - 2 



somit 



16a»r 9 , , 17 ^ ^1 , /aV 

^--2fr4^»+4^«-^^j-*''w 

Bemerken wir nun, dass die Fläche, welche die Gissoide mit ihrer 

f^en Asymptote begrenzt, gleich 37c(^j ist, so erkennen wir, dass 

die Flflcbe der Gurve (S) ein neuntel der Fl&che der Gissoide ist. 

Der Umkreis des Berühruugsdreieckes geht hier aber in einen 
Kreis, der die Gissoide im Pole P berflhrt und durch dessen Tan- 
gentialponkt hindurchgeht 



410 Zakradnik'i Eigenschaften gewisser PankUripel muf dmr 

Für die GlcichuDg dieses Kreises ist mit RQcksicht auf die 
Werte (25): 

Den weiteren Schnittpunkt von Kt mit der Cissoide erhalten wir 
leicht, denn die Summe der Parameter der Schnittpunkte eines Kreises 
mit der Cissoide ist gleich null. Somit ist 

n « - ^ = - 3u 

der Parameter dieses vierten Schnittpunktes. 

Aus der Gleichuiiu: iC/ === folgt, dass durch jeden Punkt in der 
Ebene vier berührende Kreise gehen, und jeder von ihnen schneidet die 
Cissoide im Punkte, der den Berührungspunkt des betreffenden Kreises 
zu seinem Taugeutialpuukt hat. 

Wir fanden früher, dass der die Cissoide im Punkte i berflhreode 

Kreis Kt dieselbe in weiteren zwei Punkten schneidet, deren Para- 

i 3 
mcter — ^. —^t sind. Ihre Verbindungslinie hat zur Gleichung: 

und die Enveloppe dieser Verbindungslinien ist eine zur Cissoide 
affine Curve. Der Durchschnitt der Verbindungslinie mit der Cissoide 
ist ein zum Pole P in Bezug auf die X-Achse symmetrischer Ponkt; 
sein Parameter somit gleich 2^ 

Die Coordinaten des Mittelpunktes von Ajt « sind 

a 4 + 9«^ 

^^ "" 2 • 3/* 

(28) 
a 

'»' "= 3« 

Beschreibt der Pol die gegebene Cissoide, so beschreibt der Mittel- 
punkt des Umkreises des ihm zugeordneten Berührungsdreieckes eine 
rationale Curve vierter Ordnui'g und fünfter Classe (mit einem drei- 
fachen Punkte im Unendlichen, der durch Vereinigung zweier Doppel- 
punkte und eines Kückkehrpunktes entstanden ist). Ihre Gleichung 
erhalten wir in der Form F(l^ rj) durch Elimination von t ans den 
Gleichungen (28); sie lautet: 

27i?i»(a2-f 4t/,2) — 2a^^ =0 

Was die Construction des Mittelpunktes C betrifft, constmiren wir 
zuerst im Punkte r der Cissoide eine Tangente, welche die Corvo 
im Punkte u^ schneidet. Die Normale in P schneidet die Senkrechte 

im Halbirungspunkte von Pu^ im gesuchten Punkte C, 



Zakradnik: Etgenscka/ten gewisser PunkUripel euif der CUeoide» 411 

n. 

FasspunktetrlpeL 

Dio Gleichung der Nonnalen an die Cissoide im Punkte u lautet 

a 2ii' 



(""tr) 



oder: 

(l + tt«)[u(l + 3t*«)y+2u*a; — a(l + 2t*«)]— 

Kürzen wir nun mit dem Factor (l-f-t^^)« welcher besagt, dass die 
Cissoide durch die unendlich fernen imagin&ren Ereispunkte hindurch- 
geht, was die Normalenanzahl um zwei reducirt, so erhalten wir als 
Gleichung der Normalen 

iV=u(l-f 3tt«)y+2tt*aj — a(l+2tt»)-:iO (1) 

Diese Gleichung gibt eine Relation zwischen den Coordinaten eines 
beliebigen Punktes (xy) der Normalen und dem Parameter ihres 
Fusspunktes an. Nun ist die Gleichung (1) in Bezug auf den Para- 
meter vom vierten Grade, woraus folgt, dass wir aus einem beliebigen 
Punkte der Ebene der Cissoide auf dieselbe vier Normalen fällen 
können. 

Die Coordinaten der Normalen sind 

2u^ 
£ 



a(l+2t*») 

(2) 
__ tt(l+3 tt») 

^ "" a (1+2««) 

welche Gleichungen bei veränderlichem u die Gleichungen der Evolute 
der Cissoide abgeben. 

Den Berührungspunkt der Normalen mit der Evolute, d. i. den 
Krümmungsmittelpunkt des Punktes u der Cissoide erhalten wir aus 

dN 

den Gleichungen -A^ — 0, 3~ = ö» nämlich: 

6i«» + l 

(3) 
4a 

y-3i 

Es ist somit die Evolute der Cissoide eine rationale Curvo vierter 
Ordnung und vierten Grades; ihre Gleichung in Form F(x,y) lautet: 

612a>0+288aV+27y« — (4) 



413 Zahrarlttikt Eigtiuetnfltn gtwi 

Lirgt der Punkt {x,y) auf der CiEsoide, und ist u' sein Parameter, 
sü repra«ciilirt dieser Paukt u' selbst eiuon Fusspuokt. Aas oincm 
Punkte der Cissoide köunon wir somit nur drei Normalen fällen; die 
Paiamcter dieser Fuespuiikte erhalten wir, wenn wir die Worte fOr 
j-, j/ in die Normal engl eichung eiufßhren. Wir crbaiten so; 



« (1 + 3«') + 2u*u'- (1 + 2«*K1 + «' V — 



(5) 



Nauh Kürzung mit dem Factor u — u 
Fusspunkte selbst eutspricht, können ' 



welcher dem Punkte x, y als 
ir die Gleichung schreiben 



2„V-l-(3+2.."}»»-|-«'«+(l+u'«). 



(6) 



Diese Gleichnug gibt uns die Parameter der aus dem Pnukte u' ge- 
fällten Normalen (den Pnnkt «■ nicht mitgerechnet, da wir mit dies- 
bezUglichem Factor gekürzt haben} j zwischen den Parametern be- 
steben folgende Relationen: 

3 + 2t. '' 






3u' 
-i 



m 



Die Gleichung (6) hat nur eine reale Wureel. H 

Dass die Gleichung (6) immer zwei complexe Wurzeln \üa, 
künnen wir so beweisen, indem wir zeigen, dass das Dreieck der 
Kusspunkte imaginär ist. Sind nun »,, »j, "a die Wurzeln der 
Gleichung (6), 80 erhalten wir für das Dreieck d •= u, 



2d — 









1 



nu^d+tt^"^ 






ixua isi: 

und nach einiger Rednction 

I 1 u, u,* j» j 3 p, pi 

I 1 «, %* = p, p, 3p, 

somit mit Rflcksicht auf die Gleichungen (7): 



I 



Zakrainihi ESgmueka/Un getnistr PwikUrqHi am/ dar CtMsaidß* 413 

D% nim das Qaadrat der Determinante für jeden Wert von u' negativ 
>^ ist der Wert der Determinante selbst imaginär, somit auch zf. 
N'un bat die Oleicbnng (6) immer eine reale Wurzel, die übrigen 
QaHnen komplex sein. 



Sehwerpnnkt des Fasspanktsdreieeks. 

Der Schwerpunkt des Fusspunktsdreieckes ist reell , trotzdem 
^Ims Dreieck selbst imaginär ist, denn, sind 1%, u^ die Parameter 
<ler imaginftren Fnsspnnkte und zwar 

^o ist: 

%omit 

^"" 3 " 3 

>^ell, dasselbe gilt anch für 17. Führen wir somit in die Gleichungen 

£x £y 

für Xj^ und y^ die Werte, so erhalten wir mit Rücksicht auf die 

Gleichungen (7): 

g 3 + 4tt« 

'■^ 3 1+u» 

(8) 



a u* 



v-—ä 



3(l + tt«)(4+t««) 

Verschieben wir das Coordinatensystem auf den Punkt 0'(a^ 0) als 
AnCsugspunkt, so erhalten wir für (8): 



&- 



^1- 



a tt* 



31 + u« 

(9) 



a tt* 



3(l+u»)(4 + u«) 



Die Schwerpunktscurve ist eine geschlossene Gurve; ihre unendlich 
fernen Punkte sind nämlich imaginär, denn ihre Parameter sind 
±i, ±.2>; ihre Gleichung in Form F(i 17) = ist: 



414 Zahradnik: Etgtnscka/ien gewiMser PünkUnpei amf der Cüsoide» 

9fc* (f 1* + Vi*) - Ml «1» + 24i?,«) + 16 a^ni* = (10) 

Wir erkennen leicht, dass die Cnrve zwischen Ei -» ond £i *" ö 
liegt, und ihr Flächeninhalt ist 

4a* P u^du 



9^ (l+n«)»(4+ii»)"*3''\18J 



Mittelpiinlrt; des Umkreises* 

Wir fanden (1, 9) für die Gleichung des Umkreises, der einem 
Dreiecke amgeschriehen ist, dessen Ecken auf der Cissoide liegen: 

Pi(i'+n*)+^(i+Pt'-p*)S - ^ (piP,-P»)v-f - o 

P8 Pz Pn 

Drücken wir nun mittelst der Gleichungen (7) die Bedingung aus, 
dass das Dreieck ein Fusspunktsdreieck ist, so erhalten wir: 

(l+u«)(3+2u«)(S*+i?*)+a[9+14w«-f4tt*]E+ct«iy— 4aV — (11) 

Die Coordinaten des Mittelpunktes sind 

a 9 + 14u«-f.4w* 

^3 ^ "l 



Vi 



2(l4-tt«)(3 + 2tt*) 

a u 

2 (l + M*J(3-f.2u«) 



Verlegen wir den Anfangspunkt in den Punkt (— a, 0), so gehen die 
vorstehenden Gleichungen über in 

t f ^ 3-f-4i** 



2(1 + i4*)(3+2m«) 

(12) 



, a u 

% = - 



2(l+M«)(3+2f*») 

Der Ort der Mittelpunkte der Umkreise ist somit eine rationale 
Curve vierter Ordnung und wie wir uns leicht überzeugen kOnnen 
fünfter Classe. Sie besitzt nämlich, ausser zweien unendlich fernen 
Doppelpunkten in den Kreispunkten, einen realen Rückkehrpunkt im 
Anfangspunkte der Coordinaten O' , Die ganze Curve ist endlich 

gelegen auf linker Seite der F-Achso von J,' = bis £,' " "" o* 

Das Kreissystem X« » bei veränderlichem u hüllt eine Cnnre 
zehnter Ordnung ein. 



Zahradnik: üehtr einige WinkeJ- und Utngenrelationen etc. 415 



XX. 

Ueber einige Winkel- und Längenrelationen 

am Dreiecke. 

Von 

K. Zahradnik. 



Es sei Cs der Mittelpunkt des grössten Kreises, welcher einen 
gegebenen Kreis K im Punkte D^ und seine Sehne A^A^ in ihrem 
Halbirungspunkte B^ berührt. Was den Punkt Q betrifft, so nehmen 
wir an, dass er nicht auf derselben Seite der Sehne mit dem Mittel- 
punkte S von K liegt; den Mittelpunkt solch grössten Kreises, der 

mit S an derselben Seite von Ä^A^ liegt, bezeichnen wir mit C^' und 

sein BerOhrungspnukt mit K sei D^*. Dass SB^ in D^ D^' liegt, ist 
klar. Ferner bezoichuen wir mit K^ den Kreis mit dem Mittelpunkte 
Q, mit Xg seinen Radius und mit U^^F^ seinen Umfang und seine Fläche. 
Aehnlich mit K^' den Kreis vom Mittelpunkte 63' etc. Ist nun R 
der Halbmesser des Kreises JfT, so ist 

*3+<=Ä (1) 

U^+U^'^V (2) 

/^--Fs-Zi'^iüi.^i' (3) 

Die letzten zwei Relationen besagen uns, dass im Dreiecke D^A^D^'B^ 
mit den Halbkreisen D^B^, ^s^sS A'^^s ^^ Seiten, die Summe 
zweier seiner Seiten der dritten grössten Seiten gleich ist, und dass 
sein Flächeninhalt gleich ist dem Flächeninhalte eines Rechteckes, 
dessen Seiten U^ und Xg' oder ü^' und x^ sind. 

Dieses Resultat ist von der Grösse der Sehne A^A^ unabhängig, 
und wir konnten sagen: beschreiben wir über den Abschnitten, in 
welche ein Punkt B^ den Durchmesser D^D^' innerlich teilt, Kreise etc. 



416 Zakradniki Ueber eüng^ Winkel- und 

n. 

2. Nehmen wir nnn an, dass die Sehne A^A^ eine Fnnctio 
ihrer Richtung ist; dann beschreibt der Punkt Q bezflglich C^' ein 
Curve (C3) bezüglich (Q')« welche wir nun näher untersuchen wollen 

Schreiben wir für jetzt x statt B als den Halbmesser des Kreises 
K, Nach der Annahme ist 

die Polarcoordinaten von C^ mit S als Pol seien p, 6^ so ist (Fig. II 

wegen 

i?jQ = *8 = yx»-f/«(9) 

ist die Polargleichung von (63) 



X 



H-^/^Mf+«)r 



2 

9S 



(3L 



Was den Ort von Cg betrifft, ist wegen 9 = 0i — 4 



h-J/h*-J[/(ö,~^) 



^1 = 

dass der Ort (C3) mit dem Orte (C\*) congrnent ist, erkennen wir 
schon aus der Gleichungsform. Femer ersehen wir aus (3), dass 
die Curve (C3) eine Konchoide von der Curve (E) 



V^Ml+o)! 



ist, deren Vectoren wir nur um ^ zu verlängern haben, um (€^) 
bekommen. 

Dass 2x>'/r2+^) d. i. 2%>AiA^ sein muss, ist geome- 
trisch ersichtlich. 

3. Als besonderen Fall wollen wir annehmen 
Hier ist (E) Fusspunktscurve einer Ellipse der Halbaxen 

X 

«-2 



l 



Längenrelationen am Dreiecke, 417 

und deren grosse Axe zur Coordioatenaxe um a geneigt ist, dessen 

Grösse aus 

2mn 



tg2a 



m^ — n* 



folgt. Somit ist (C^) in diesem Falle eine Koncboide der Fusspnnkts- 
curve der £llipse. Es ist in diesem Falle x*>> «^*-f-**^ ^^ ^^^^ 
kleine Erwägung sogleich gibt. 

Im Falle 

f{q>) — n Vsin q> COS q^ 

haben wir es wieder mit einer Koncboide der Fnsspunktscnrve einer 

Ellipse zu tun, deren Hauptaxe mit der Coordinatenaxo den Winkel 

n 

j einscbliesst. Möge noch der Fall 

A9) ==• Vm*siu*g)4-w*cos*g> 

erwähnt werden. (Cs) ist wieder eine Koncboide der Fusspunkts- 
curve einer Ellipse, deren Hauptaxe mit der Polaraxe zusammenfällt; 
die Halbaxen der Ellipse sind hier 

Die Anzahl der Beispiele lässt sich leicht fortsetzen. 



III. 

Es sei K ein Umkreis des Dreieckes A^A^A^\ aber der Seite 
A^A^ als Sehne construiren wir nach (1) zwei Kreise iC,, K^* mit 
den Mittelpunkten Cg^), Cg' (Fig. 2), welche die Seite A^A^ im 
Punkte ^3 berühren. Aebnlich für die Seiten A^A^^ A^A^ mit cykli- 
scher Vertauschung der Indices. Den Flächeninhalt des Dreieckes 
A^A^A^ bezeichnen wir mit zfa» den Winkel bei Ak mit o^ und die 

gegenüberliegende Seite mit a^. Der Halbmesser dos Inkreises von 

Ja, sei r, und r^ der Halbmesser des die Seite a^ aussen berührenden 

Inkreises. Die Flächeninhalte der Dreiecke B^B^B^y ^j^sQ? C^^C^*C^' 
werden wir mit zf», ^c, ^c bezeichnen. 

Relationen am Ja» 

4. Die Verbindungslinie SAk teilt den Winkel a^ in zwei Teile, 

welche wir mit ß und mit Index des beiliegenden Scheitels bezeichnen 
werden. So z. B. SA^A^^ >- ß^ u. s. w. Es besteht somit 

1) Der Mittelpunkt des Berührungskreises, der ansserbalb des Dreieckes 
A^A^A^ liegt, sei C^. 

▲rch. d. Math. n. PIits. 2. Beihe, T. YL 27 



ßk+ß, — tti, » g « ^.- - 1, 2, 8 
wonns 

J/J.-J oder «,+/», = f (1 

Der Kürze wegen gei 

2«— Xa, 2iy==J?8ina 
somit wegen 

a^ = 2Ä8in«^ ( 

^ = 2ä, 2:Bino — ^ ( 

5. Aas dem verallgemeinerten Pythagoreischen Satze 

Oj^ — öj^-j-oj* — 20^03 cos a^ 
erhalten wir (2): 

sin'«, — sin^Of-f-sii^'A« — 2s]nas8inasCOBai 
woraus durch cyklische Vertaaschnng der Indices and Sanunation:^ ^: 

2:8in>o = 2nsina2:cota (1)^1^ 

Mit Rücksicht auf die bekannte Formel 

Xsin^a»- 2(1+ neos a) 
können wir dieselbe schreiben 

27cotot -a iTcota-f^^^oseco (II) 

wo sich die Sammation und Moltiplication wie auch im folgenden 
auf die drei Winkel des Dreieckes erstreckt. 

6. Die Formel 

geht über na^h (2) in 

sin «9 "- sinaiC0SO9-f~Bino9C0sai 

woraos wir wieder darch (^klische Vertaaschnng der Indices and 
Sammation erbalten 



J^sino =" J?sina^cosa^ h ^» «- 1, 2, 3 (Hl) 

oder 

-rsin(a^+«^) — J?sin«^cosa^ 

7. Für den Flächeninhalt des Dreieckes gelten bekanntlich: 
^a-^^-^'sin«rf ä5«<» = 1.2,3 (4) 



Längtnreiaiionen am Dreiecke. 419 

^a = y*(«-ai)(«-a,)(« — a») (5) 

— r* — nC* — «i) ■=- «•2(« — oj) — «-sC*— «s) (6) 

-"2- (7) 

^m (5) nnd (6) folgt der Satz von Mahiea: 

rr^r^r^ =• ^a* (8) 

Ans der Gleichung (4) mittelst (2) folgt 

Ja=2R^nsma (9) 

"fm ist aber 

Somit w^;en 

Wkl. AkSAx =- 2a, Ä ^ « ^ » « 1, 2, 3 

R^ 
^a — "2 2:8m2a = Ä* 2: sin c cos a (10) 

dergleichen wir nun (9) und 10), so erhalten wir 

4nsino» ^ sin 2a (lY) 

^der 

227 sin a » 2^ sin a cos a (IV) 

^08 der ersten Gleichung (6) folgt 

^a = Är2:sina (11) 

^omit wegen (10): 

2r2:sina = i2 27sin2a (12) 

^ns der Formel (7) erhalten wir 

2 Ja = AxAx »> 2Axi2sinox 

Somit : 

jL R . #-«v 

^-^-Bin«, (13) 

Voraus wieder 

2:.- = ^2:sina 

hx ^a 

und somit wegen (11) : 

5 1 1 

MoltiplicirMi wir die Gleichungen (13) fflr » » 1, 2, 3, erhalten wir 

1 jR» 

mr ■" ":rä ^»in a 

welche Relation mit Rücksicht auf (9) in 

2^fl«=ÄÄiÄ,Ä, (15) 

übergeht Vergleichen wir nun dies Resultat mit der Gleichuig (8), 
so erhalten wir 



420 Zakradmik: UAer emim ffaM- nmd 



ÄAiÄ,*s = 2rr,r,r, (16) 

Aus den Gleichangen (6) folgt: 

was den Satz von Stoiner^)-Bobil ier aasdrflckt, olmlich: 

^ ^1 *i ^s 

Ferneres erhalten wir aas den Gleichangen (6) 

nun ist aber wegen s =^ Za der Aasdmck in den Klammem gleich 

womit sich der zweite Satz von Bobilier^) ergibt: 

4Ä = r,+r, + r3-r (18) 

Ans den Gleichnngeu (11) nnd (12) folgt: 

r üTsina 
2E "" £suia 

was mit Hülfe der bekannten Relation 

^siu er = 4ncos.3 



in 

n —2 



4i78in.^ (19) 



«A 



übergeht. 

8. Es sei SBh = p^, wo 

g^ = Rs'iüß^ =» 72 cos a^ = ^^^°k ^ 

Für den Flächeniohalt von Jb erhalten wir: 

Jb = iZQ^g^ sin Bh SBy Ä ^ X r= 1, 2, 3 

Nun ist 

Wkl. BhSBx = :r — «., zfa = 4^^6 

somit 

^ia = Ä*iIcoso2:tgo 
was mit (9) verglichen gibt: 



1) J. Steiner'8 Werke I. Bd. pg. 2U. 

2) Erschien in Gergonne-Annales des math. Conf. Steiner 1. c 



LängtnrdaUonen am Dreiecke, 421 

ntgo=2:tga (V) 

oder wegen (IV): 

£ sin or cos a = 2nco8 a£tga (VI) 

Relationen am de 
9. Fttr Q^ gilt aach 

ferner ist (Fig. 1) 

\ •=- *A+^ 2 2 (^+^*^"a> 

wo 

Fttr den Flächeninhalt von de erhalten wir 

de «=■ \E%i%^^%\iia^ — g J?(l4-co8ai)(l + cosff9)sinffs 

« y 2: cos« J cos« 1* sin a, = Ä« ilcos« ^ ^ tg ^ (21) 
Es ist aber anch 

-Tcos* 2* cos^o* sin oj — 2 ilcos 2 -2? cos ^ cos ^ sin- 

woraus wegen 

_ Ci «• . «s 34"-^cosa , - ,« 
-iScos 2 cos 2 suig^ — T — J -2 cos* g 

folgt: 

^^c — y ^^^® i "'^^^^ i ^^^^ 

Vergleichen wir nun die Resultate (21) und (22), so erhalten wir 

2 JIcos 1 2: tg ^ - 2: cos* ^ (VII) 

Nun ist aber bekanntlich: 

2:cos«^ - 2(l + ^8in0 
somit können wir (VII) schreiben: 

^tg^ = ntg2 + ^8ec? (Vni) 

Bemerkung: Sind die Dreiecke ^^a, de nicht in einer beson- 
dnren Lage zu einander? 



422 Zahradnik: Ueber mjm^ Wmkd- und 

Relationen am Ac* 

10. Für den Flächeninhalt des Dreieckes Ac' erhalten wir: 

^c* = i'^Xi«88ina3 — "ö- -2 sin*? sin* ^ sin o^ 

= Ä* 77 sin* ^.2: cot I (23) 

oder wegen 

4 -2 sin 2^811*2 cos^ = Xsino — 4ncosg 

de' ^ R*n sin 2 ^^^ 2 *" "8" ^^^^ " ^^^^ 

Durch Yergleichnng der Formeln (23) und (24) ergibt sich: 

2:cot5=.i7cotg^ (IX) 

Femer folgt aus (24) mit Rücksicht auf (9): 

Ja — 16ijfc' 

ähnlich aus (21) und (24) : 

Die Dreiecke Ja — D^D^D^ und Ad* « D^*D^*D^* sind congment 
Ihr Flächeninhalt ist 

somit gilt wegen (10) und (12): 

Ad R ^sina 
;5ä " 2r "" 27 sin 2a 

IV. 

11. Im Artikel 8 zeigten wir, dass 

SBh ^ Qf^'^ Rcosa^ 
somit gilt 

2g — Ä-Scosa = Ä + 4i2iIsins 

und wegen (19): 

£Q = R+r 

12. Nach dem Artikel 7 und 9 besteht 



Längenr$lation€n am Drmdo^ 423 

Vi - 2n%i — ü%\Xi*~ 

somit : 

ü/— ürf — r/cos ff« — 2nqi 

Durch Sammation erhalten wir 

X(üi'— ü.) = 2ffÄ+2jfr 

nämlich der Unterschied der ümil&nge der Kreise am C nnd C* 
(Fig. 1) ist gleich dem Umfange des ans S beschriebenen and beide 
Kreise gemeinschaftlich in B berührenden Kreise; die Snmme der 
Unterschiede der Umfange der Kreise Ki and Kt' ist gleich der 
Samme der Umfange des Umkreises and Inkreises. 

Femer gilt 

-R'— -Ff — n («,'* — »fl — nRa, = F. cos ot 
somit 

Z (F/— Fi) = »Ä«+ itRr 

Endlich sei noch nachstehende Relation aafgefbhrt: 

F/'-Fi ü/'-üi 

somit ist 

F/— Fi F R 

Ui'-- Vi "" U "" 2 

f&r i => 1, 2, 3, d. i.: Das Yerhftltniss der Unterschiede der Fl&chen- 
inhalte nnd Umfange der Kreise K^ and JT^ welche wir nach Art 1. 
aber einer Sehne constroiren, ist gleich der Hälfte des Halbmessers 
des gegebenen Kreises. So ist in der Fig. 3 der Unterschied Fi^F 
gleich dem schraffirten Teile and r//— üi gleich dem Umfange des aas 
dem Mittelpankte 8 die Sehne bertthrend gelegten Kreises. 



424 ClaüBs: lieber magische QuadraU, 



XXI. 



Ueber magische Quadrate. 



Von 

Felix Clauss. 



Die Aufgabe x,x Zahlen von Ip — x^p (wobei p ein beliebiger 
Factor) in ein Quadrat von x.x Feldern so einzuzeichnen, dass die 
Snmme aller Glieder je einer der x wagerechten oder senkrechten 
Reihen oder einer der beiden Diagonalen dieselbe ist, zerftllt nach 
dieser Methode in zwei Hanptgrnppen, je nachdem die Basis x eine 
gerade oder ungerade ist 

Die Grösse der jedesmaligen Summe bestimmt sich, da x Reihen 
vorhanden, mit Hilfe der arithmetischen Progressionen nach der 

Im I sc n sc ob 

Formel: S^ ^^ ^ -.- oder: S= ^{i+x^)^. Der Einfachheit 

halber soll in folgenden Ausführungen der constante Factor p, den 
man ja jedem Endergebniss nur anzufügen hat, weggelassen werden. 
Die Aufstellung der Zahlen geschieht nun vollständig symmetrisch. 

I. Die Basis x eine gerade Zahl. 

Das erste Glied der ersten wagerechten Reihe heisst 1; das 
letzte 27. Demnach lautet in ders. Reihe das zweite 2 ; das vorletzte 
a; — 1, das dritte 3 u. s. w. Das erste Glied der zweiten (wager.) 
Reihe lautet demnach x-f-l; das letzte 2x\ die übrigen Glieder ders. 
Reihe: ^ + ^1 ^4*^ u* s. w. 2x — 2; 2x — l, Ebenso verhalten sich 
die folgenden Reihen. — In der letzten heisst das letzte Glied x^\ 
demnach das vorletzte a;^ — 1; ... das o; letzte (d. h. das erste) Glied 
der letzten Reihe x^ — a;-f-l u. s. w. Ebenso findet man das letzte 
Glied der vorletzten Reihe x^ — lx-^ das erste Glied ders. Reihe 
«* — 2»-}- 1 u. s. w. u. s. w. — (vergl. die am Schlüsse angefftgte Tafel). 



Clavii: Oeher magistke QfiitinUt. 



Ana dieser völlig symmetrischen Aufatelluag der : 
I ergiebt sich sofort: 



1). Je zm 
znsammen l-(- 



skh diametral gegenüberliegende Zahlen botragen 
*. Mithin ist dio Samme alter Glieder jeder von 



beiden Diagonalen, da jede x Glieder hat, je gfl+a:^), 

IIa). Die Somme des ersten und letzten, des zweiten nnd vor- 
letzten n. s. w, Gliedes der ersten wagcr. Reihe betr. jedesmal 1+a; 
die Snmme je ders. Glieder der letzten wager. Reihe jedesm. 2»;*— z+1; 
mithin die Samme je zwei sieb entsprechender Glieder der ersten 
und letzten wager. Reihe zns. jedeam. 2-\-2x* oder 2(l + a;*), 

IIb). Die Snmme des ersten nnd letzten, des zweiten und vor- 
letzten u. s. w. Gliedes der zweiten wager. Reihe betr. jedesmal 
1-j-3k; die Summe jo ders. Glieder der vorletzten wager. Reihe 
jedesm. 21* — Si^-l; mithin die Summe je zwei sich entsprechender 
Glieder der zweiten und vorletzten wager. Reihe zus. jedesm. 2-|-2!e' 
«der 2(1 +ir»). 

i IIc>. Bei allen folgenden Reihen ßndet dasselbe Verhältniss statt. 

Illa). Die Samme des ersten uud letzten , des zweiten und vor- 
letzten u. s. w. Gliedes der ersten senkrechten Reihe hetr. 2-)-z'— z; 
die Snmme je ders. Glieder der letzten senkrechten Reihe jedesm. 
Bi-\-x*; mithin die Summe je zwei sich entsprechender Glieder der 
ersten und letzten seukrechteu Reihe zus. 2-\-2x* oder 2(1 -]-a'). 

lUb). Bei allen folgenden senkrechten Reihen findet dasselbe 
Verb&ltniss statt. 

Vertauscht man nun aus jeder R<'ibe ^ mal je zwei sich ent- 
sprechende Glieder mit den ihnen diametral gegenüberliegenden Zahlen, 
doch so, daas die Diagonalzahleu als solche gewahrt werden, d. b. 
dass man aus der ersten wagerechteu Reibe das zweite und vorletzte, 
vierte und vicrtletzte Glied u. s. w. ; aus der zweiten wagerechten 
Reibe jedoch das erste und letzte , dritte und drittletzte Glied u. a. f. 
immer abwechselnd mit den ihneu diametral gegenflbcrliegcnden Zahlen 
vertanscht. so müssen nach den obigen Ausführungen allemal vier 
Glieder in jeder wa^erechten oder senkrechten Reihe nnd zwar das 
erste, zweite, vorletzte und letzte; oder das dritte, vierte, viertletzte 
und drittletzte Glied u, s. w, immer die Summe 2(1-1-«') ergeben. 

Uauptregel ist nnn, doss man zuerst die beiden mittelsten Qua- 
drate, dann die beiden um diese sich gruppirenden Quadrate u. s. w. 
behandelt. 



A. Ist die Basis x eine durch vier teilbtre Zahl, so erhält mu 
in jeder Reihe ^ mal die Summe 2(1 + «*) d. h. 2(1+**) vr.ß. b.w. 

B. Ist die Basis x eine gerade, aber nicht dnrcb vier teObue 
Zahl, so wird zuletzt allemal nur ein einzelnes Quadrat Abrig bleilMO, 
das man nach folgenden Regeln zu behandeln hat. 

Die Summe aller Glieder einer jeden Reihe der inneren Quadrate 

betrftgt nach den obigen Ausföhrungen (1-j-g') ■ ,, ■ Von dem 

äusaerstcn Quadrate mdssen demnach ansaer den Eckzahlen je zwei 

X «—3 

sich direct gegenüberliegende Glieder zus. allemal gCH-'*)— {!+* J "ö" 

d. h. l-t-a)* betragen. Dieses ist aber die Summe je zwei sich ein- 
ander diametral gegenüberliegender Zahlen; die Aufgabe wird also 
gelöst sein, wenn nur zwei aneinandorBtosBeude Seiten des ansseraten 
Quadrates aus den noch vorhandenen Zahlen so gebildet sind, dass 

die Summe je ihrer Glieder ^ (1 + x*) beträgt, und jede Reihe allemal 
nur eine der sich einauder diametral gegenüberliegenden Zahlen 
enthält Die einzelucu Glieder der beiden anderen Quadrat^eilen 
mUsseu dann die Üianietralzahleu ihrer direct gegenüberliegenden 
Zahlen sein. 

Die beiden zu bildenden Seiten des äussersten Quadrates seien 
die untere und die rechle QnadratseitQ. Man bildet sie nnn folgender- 
massen: Zunächst vertauscht man in beiden Diagonalen die Endglieder 
mit einander. Die Übrigen angeraden Glieder ausser den letzten 

— j — ungeraden Gliedern der unteren Reihe, die durch die letzten 

— j— ungeraden Glieder der oberen Quadratseite ersetzt werden, also 

das dritte, fünfte, siebente u. s. w. Glied bebalten auf beiden Seilen 
ihren Platz bei; während die geraden Glieder der unteren Seite, also 
das zweite, vierte, sechste u. s. w. Glied durch die geraden Glieder 
der rechten Seite, und die geraden Glieder der rechten Seite durch 
die ungeraden Glieder der oberen Seite (ansser natürlich der Eckzahl) 

ersetzt werden; nur dass an Stelle der letzten —7— ungeraden Glie- 

X— 6 
der der oberen Seite, die ja schon verwertet sind, die letzten —^ 

no^eraden Glieder der unteren Quadratseite treten, Ist dies alles 



cu», 



: Ütbtr majütlie QHodratt, 



427 



geschehen, so vertauscht man in der unteren Quadratseite nocli das 

letzte und das (ö-f-l) ffl'ßd i"'t einander. 

Dann erbält die untere Qaadratseite : 

1). das erste und letzte Glied der oberen Quadratseite, d, h. die 
beiden Summanden 1 und sc, 



. eine arithmetische Reihe von - 



- Gliedern, deren Anfangs- 



glied das dritte Glied der letzten wager. Reihe also i'— a:+3, deren 
Endglied das vorletzte Glied der letzten wagcr. Reibe also x' — 1, 
-^+3 + x'- 



deren Summe mithin - 



' beträgt. Hierbei ist 



jedoch — T— mal die Differenz zweier sich direct gegcuflbcrliogcnden 

Glieder einer senkrechten Reihe zuviel genommen, die von der Summe 

wieder abzuziehen ist, 

X— 2 
3). eine arithm. Reihe von —^ Gliedern, deren Anfangsglied 

das zweite Glied der rechten Quadratseite, also 2x, deren Endglied 
das drittletzte Glied der rechten Quadratseitu, also x^ — '2x, deren 
ax+x*—2x 



I 



Summe mithin ^ . —ä— beträgt. 

für die untere Quadratseite die Samme; 



S 



= (4-Mx+ite»-«H-2s 



Es ergiebt sich daher 
'2x+et*—!tx x-~2 






')A 



4x*+2x- 
oder: |(l4-i«*) w. z. b. w. 
Die rechte Qnadratseite enthält dann: 

1). das erste Glied der letzten wagerechten Reihe d. h. *'— i+l, 
2). das letzt« Glied der (ö + i)- wagerechten Reihe d.h. (ö+iVi 

3). eine aritbra, Reihe von -^ Gliedern,deren Anfangsglied das 
dritte Glied der rechten Quadrataeite, also 3^; deren Endglied das 
vorletzte Glied der rechten Quadratseite , also *»— a'; deren Summe 



mithin — —^ ■ 



■ beträgt, 



i). eine aritbra. Reibe von = Gliedern, deren Anfangsglied das 
dritte Glied der ersten wagerechten Reihe, also 3; deren Endglied 



428 Clausa: lieber magu^ß QwiäraU, 

das vorletzte Glied der ersten wagerechten Reihe, also * — 1; deren 

3-Lar — 1 «—2 «-—6 

Samme mithin — —^ ~^-- beträgt. Hierbei ist jedoch — j- mal 

die Differenz zweier sich direct gegenüberliegenden Glieder einer 
senkrechten Reihe, die, wie sofort ans der Symmetrie der AnfsteUnng 
erhellt, x* — x beträgt, zu wenig genommen, was dnn zur G^esamt- 
snmme noch zu addiren ist. 

Es ergiebt sich daher fflr die rechte Qnadratseite die Summe: 

= (4«*— 4aj+4+2a;«4-4aj+2x*4.a;»--.43;— 2x«+2«+x«— 4 — 2x 

23.4-2«« X 

■=» 7 — oder: ö^^ i ^) w- z. b. w. 

n. Die Basis x eine ungerade Zahl. 

Die Aufstellung der x,x Zahlen geschieht ebenso wie bei den 

Quadraten mit gerader Basis , nur dass noch in jeder Reihe das 

mittlere Glied besonders auszudrücken ist; und zwar ist dieses allemal 

gleich der halben Summe des Anfangs- und Endgliedes einer jeden 

Reihe. In der ersten wagerechten Reihe wird es also, da das erste 

14-« 
Glied 1, das letzte Glied « heisst, — ^ ; in der letzten wagerechten 

2x* — «4-1 
Reihe, da das erste Glied «* — jr-j-i, das letzte «* heisst, ^ 

lauten. Ebenso berechnet sich das mittlere Glied der ersten senk- 

/p2 a; 4- 2 

rechten Reihe aus 1 und «*— «-f-1 als ^ ; das der letzten 

«4** « 
senkrechten Reihe aus « und x^ als ö"— (vergl. die am Schlüsse 

angefügte Tafel). 

Bei der Verschiebung der einzelnen Zahlen ist nun namentlich 
zu beachten, dass man jedes um den Mittelpunkt sich gruppirende 
Quadrat einzeln nach den im folgenden aufgestellten Formeln zu 
behandeln hat. Sie teilen sich in Quadrate mit ungeraden Grund- 
zahlen, deren Basis um eins vermehrt eine durch vier teilbare Zahl, 
und solche, deren Basis um eins vermindert eine durch vier teil- 
bare Zahl ist. 

A. Die Basis « um eins vermehrt eine durch vier teilb. iZahL 

I). Die vier Eckzahlen und die vier je in der Mitte einer Seite 
stehenden Zahlen, kurz Mittelzahlen genannt, verschiebt man so, dass 



dauMt: Dfbtr nagiicht Quadrate. 



42fl 



die aotere Mittelzahl in die linke obere Ecke, die rccbte Mittelzabl 
in die rechte obtre Ecke, die linke Mittelzabl iu die linke untere 
Ecke, dio obere Mittelzabl in die recbte untere Ecke zu stehen 
i^mmt; und die linke obere Kckzabl obere Mittplzahl, die recbte 
obere Eckzabl iiuke Mittelzahl, die linke untere Eckzahl rechte 
Mittelzabl und die rechte uut<'re Eckzahl untiTc Mittelzabl wird; 
aia Figur durch zwei Parallelogramme, die sich in ihren Eckpunkten 
■uf einander zu verschieben, verdeul liebt-, also 



a b 



/ 



t und: 



IIa). Die zweiten und vorletzten Zahlen der beiden w&gerechten 
und Benkrccbteu Rciheu vertauscht inan so mit einander, dass die 
zweite und vorletzte Zahl je einer der beideu parallelen Reiben in 
die ihuen gegenüberliegende lietbe zu stehen kommen, doch so dass 
die zuersl sich diametral einander gegenüberliegenden Zahlen nun 
direct sich gcRcntlb erliegen; al^ Figur dargestellt durch ein Rechteck, 
dessen Ecken aicb auf einem der beideu Parallelenpaare und den 
Diagonalen fortschreitend vcrscbiebcu; also 



IXI 



nnd: 



IIb). Die dritteu uud driltletztcu, die vierten nnd viertletzten 
g. s. w. Zahlen der beiden wagerecbten und seukrechteti Reihen be- 
handelt mau nach demselben Prinzip wie die zweiten und vorletzten 

! — 3 



hat man so auf jeder 
3 Zahlen zu behandeln. 



Zahlen (vergl. IIa); uud ; 
nebeneinanderstehende 

III). Auf jeder Seite werden danu noch zq beiden Seiten der 
Hittelzahl je — ^ -r-- d. h. -j- Zahlen übrig bleiben, von 

denen man noch aber nur anf zwei aueiuanderstossenden Quadrat- 
Beiten je zwei sieb cntsprecbondo Zahlen mit einander zu vertauschen 
hat, so dass dann jo zwei sich erst diametral gegenüberliegenden 
Zahlen sich nun direct gegenüberliegen, zusammen addirt also jedes- 
mal die Summe l-f--^' ergeben. 

Es enthalten dann: 
Die obere Quadratscite: 

1). die untere Mittelzahl 

2). die linke obere Eckzahl d. b. 1; 



2a;'— z+l . 



430 Clausa: üeber magische Quadraie, 

3). die rechte Mittelzahl d. h. — 5— .«; 

jp 3 

4). eine arithm. Reihe von — ä~ Gliedern, deren AnCangsglied 

das zweite Glied der letzten wagerechten Reihe d. h. «* — «+2; 

deren Endglied das \^^ lY Glied der letzten Reihe d. h. 

2»*— «4-1 

ö— ^ 1 ; deren Summe mithin ^ " "ö" 

a- — 3 
beträgt. — Hierbei ist jedoch —7— mal die Differenz zweier sich 

X — 3 
senkrecht gegenüberliegenden Glieder d. h. —r-- («*—«) znyid ge- 
nommen, was von der Gesamtsumme wieder abzuziehen ist — 

X —3 
5). eine arithm. Reihe von —^ Gliedern, deren Anfangsglied 

das vorletzte Glied der letzten wagerechten Reihe d.h. os*— 1; deren 
Endglied das {-^ ~l~^)* ^^^^^ ^^^ letzten wagerechten Reihe d.h. 

2a;«— aj-4-l -^ "^ 2 ^ x 3 

Q + 1 ' deren Summe mithin 5 • — 5- 

X — 3 
beträgt. — Hierbei ist jedoch --.— mal die Differenz zweier sich 

X — 3 
senkrecht gegenüberliegenden Glieder d. h. - t—{^ — o?) zuviel ge- 
nommen, was von der Gesamtsumme wieder abzuziehen ist 
Die obere Quadratseite besteht also aus: 

S 2 +1+-^-^+ 2 -"2" 

- -4- (^-«')+ 2 2 — r ^*^"*^ 

— (8a:2«.4aH-4-f8-f4a;2-{-4a;+4a;3 -3x2+3a;— 12a^4-9«-9-2«»+8x» 

— 6aH-4a;3— a;2+fl;-l2«2+3aj— 3— 2aj»+8»a— 6x) : 8 

= —^ — d. h. 2 (l+ic^) w. z. b. w. 

Die linke Quadratseite: 

2^2 xA-l 

1). die untere Mittelzahl d. h. o"^^' 



et au 8 81 lieber manische Quadraie* 431 

2). die rechte obere Eckzahl d. b. o;; 
3). die Hnke Mittelzahl d. h. ^""^"^^ ; 

fl!— 3 

4). eine arithmetische Reihe von -h— Gliedern, deren Anfangs- 
glied das zweite Glied der letzten senkrechten Reihe d. h. 2x] deren 
Endglied das ( -y — l) Qlied der letzten senkrechten Reihe d. h. 

( I - V 2X -\- f ö 1 J . fl? Q 

-$ — ijaj; deren Summe mithin ^ — ^ — . — ö^ be- 

— 3 

trägt. — Hierbei ist jedoch —^ mal die Differenz zweier sich wage- 
recht gegenüberliegenden Gliedern, die wie sofort aus der Symmetrie 
der Aufstellung erhellt, x — 1 beträgt, zuviel genommen, was von der 
Gesamtsumme wieder abzuziehen ist — 

X — 3 
5). eine arithmetische Reihe von — h- Gliedern, deren Anfangs- 
glied das vorletzte Glied der letzten senkrechten Reihe d. h. x^ — x\ 
deren Endglied das (-4^^ — (-iV Glied der letzten senkrechten Reihe 

/x+1 \ **'*+(t+V''«-3 
d.h. ( — ^ — 1-1 J*i deren Summe mithin s '~~2~" 

flj— 3 
beträgt. — Hierbei ist jedoch — j— mal die Differenz zweier sich 

gegenüberliegenden wagorechten Glieder zuviel genommen d. h. — ä~* 
X — 1), was von der Gesamtsumme wieder abzuziehen ist. 

Die linke Qnadratseite besteht also aus: 

2,«-'a^fl ««-aH-2 , ^^+(^4 V'^a:-3 «-3 
S 2 +X.J 2 + 2 "2 4"^'"^^ 



«»--+(T+0- -3 x^ 



- (8a;«-4(r+4+8a;+4aj«— 4x+8+«».f-3a;*-3a;«--9«— 2««-f-8<r - 6 

-f 3««-|-«*— 9»«— 3x— 2«^ar— 6) : 8 

= 8^^ d. h. |(l-f «*) w. z. b. w. 



432 



etat 



ti ÜAm- mo^^nJU UnadraU. 



Id den beiden anderen Quadratseiten ist jedes Glied das i 
Bprtluglkbe Diamentralgliod Boines gegenUbcrlie^oodeu Gliedes, also 
allemal das Sopplement zu l-J-^^^ Bezeichne ich nuu üie entsprechen- 
den Glieder der gegenüberliegenden Reihe mit e, ß, y, S a. s. w., 
so erhalte ich für jede der beiden vorliegenden Qoadratseiten 
l+i* — o + l+a;* — jS+l-f"'"'' ""J* 1. B. w.; im ganzen jedocL 
a;(l + !i;*> — (a-f-|3-f-j'+ ...). e-\- ß-\-Y -{-■■■ geben aber zasammen 

»(l+x^); mitbin ist die Summe der einzelnen zu addirenden Gliedert 
»(1+»J«)-|(1+^) = |(1+!^) w. z. b. w. ■ 

B. Die Basis i nm eins vermindert eine durch vier teilbare Zahl. 

I). Jede Eckzahl vertausi^lit man mit einer beuachbarten Mittel- 
zabl, doch so, dass raan immer von jeder Ecke aas die gleiche Rich- 
tung beibeliQlt; als Figur dargestellt (die Bogen geben die Rich- 
tung an, in der die Vertauschung geschieht): 



(., ..-,. 



"L^* 



) 



II). Die zweiten und vorletzten, die dritten und drittletzten 
a. 8. w. Zahlen der beiden nagerechteu und senkrechten Beihcn be- 
handele man nach denselben Formeln wie dieselben Zahlen der Qua- 
drate, deren Basen um eins vermehrt durch vier teilbare Zahlen siuil 
(vergl. 11. A. IIa); nur doss man hiernach diesem Principe auf jeder 



Seite allemal nur - 



- nebeneinandersteheade Zahlen bebaDdelL" 






III). Auf jeder Seite werden dann noch zu beiden Seiten 

Mittelzahl jo IC — f 3 + 2 . -_;— 1 d b- — ö" Zahlen Übrig bleiben, 

von denen man, jedoch nur auf zwei aneiuanderstoss enden Quadrat- 
selten, noch je zwei sich einander entsprechende Zahlen mit einander 
ZQ vertauschen hat, so dass dann je zwei sich einander erst diametral 
gegenüberliegende Zahlen sieh nun direct gegenüberliegen, : 
also allemal die Summe 1+«^ ergeben. 

Es enthalten demnach; 
die obere Qnadratseite : 

1). die linke Mitt«lzah! d. h. ^l > 

2). die rechte obere Eckzahl d. h. x; 



ClauBsi Ueber magmkt Q/uadraie» 433 

3). die obere Mittelzahl d. h. ^- ; 

aj— 3 
4). eine arithmetische Reihe von —^ Gliedern, deren Anfangs- 
glied das zweite Glied der letzten wagerechten Reihe d. h. x^—x^2\ 
deren Endglied das ( -y 1 Jte Glied der letzten wagerechten Reihe 

2a^-.aH-l "" "^+^^ 2 ^ x-3 

d.h. ö"- 1; deren Summe mithin ^ '~9'* 

X 5 

Hierbei ist jedoch — r- mal die Differenz zweier sich gegenüber- 

liegenden Glieder einer senkrechten Reihe d. h. —r—isi^—x) zuviel 
genommen, was von der Gesamtsumme wieder abzuziehen ist — 

5). eine arithmetische Reihe von — ö— Gliedern, deren Anfiangs- 
glied das vorletzte Glied der letzten 'wagerechten Reihe d. h. x^—l] 

deren Endglied das( -^^+l)te Glied der letzten wagerechten Reihe 

2*2 -ar-f-l 

d.h. rt^^ +1 ; deren Summe mithin s . -«- 

X 5 

beträgt Hierbei ist jedoch auch wiederum — v— mal die Differenz 

zweier sich direct gegenüberliegenden Glieder einer senkrechten Reihe 

d. b. - ^T— («2 _ x) zuviel genommen, was von der Gesamtsumme noch 

abzuziehen ist. 

Die obere Quadratseite besteht also aus: 

^^x+2 , ^ 1+x . «^2-0^+2+ g 1 ^_3 

'^ = 2 ^^'^ "T" "• 2 • ~2" 

- -^(x2-x)+ 2 ."2 :^i^-x) 

=(4a^— 4x+8-f8iH-4-|-4r+4«» - 3a:2^3a;- l2««+9x -9— 2x»-)-12«« 

-I0a;+4x»— ««+«— 1 2x2+3« - 3 -2^? «+I2a;«-l(>r) : 8 

= L d. h. 2U+«*) ^' z. b. w. 

AnK a. lUth. n. Phyt. 9. Reih«, T. VL ^ 



434 Clausa: ütber magiseke Quadraie, 

Die linke Qaadratseite: 

1). die linke Mittelzahl d. h. "2'^^ ' 

2). die linke obere Eckzahl d. h. 1 ; 

3). die untere Mittelzahl d. h. > 

X — 3 
4). eine arithmetische Reihe von — 0— Gliedern, deren Anfangs- 
glied das zweite Glied der letzten senkrechten Reihe d. h. 2x; deren 
Endglied das ( ^^^ ijte Glied der letzten senkrechten Reihe d.h. 

^^ 1)-«; deren Summe mithin ^ — 5 • ""ö" beträgt 

X 5 

Hierbei ist jedoch —7— mal die Differenz zweier sich wagerecht gegen- 
überliegenden Glieder, die, wie sofort aus der Symmetrie der Auf- 
stellung der Zahlen erhellt, a;~l beträgt, zuviel genommen, was von 
der Gesamtsumme wieder abzuziehen ist — 

X 3 

5). eine arithmetische Reihe von — 0— Gliedern, deren Anfangs- 

glied das vorletzte Glied der letzten senkrechten Reihe d. h. x'— a;; 
deren Endglied das ( T~ +1 )^ ^li<^^ ^^^ letzten senkrechten Reihe 

V 2~ » ) • *' d^röß Summe mithin 5 ' — • — o" 

beträgt. Hierbei ist jedoch — v— mal die Differenz zweier sich wage- 

recht gegenüberliegenden Glieder d. h. — 7- (o;—!) zuviel genommen, 

was von der Gesamtsumme wieder abzuziehen ist 
Die linke Quadratseite besteht also aus: 

a;«— aM-2 . . 231^-^x4-1 . ^^"'"V~2 V* «—3 ar-5 

+ ^^2 —' -2- - -4- ^*-^> 

- (4flj«--4aj+8+8+8«2-4aj44+a;»+3fl:2_3a^-9a._2x2+12«-10 

-f 3a:»+a;2__9aj2 . 3a:— 2ir2-f 12«— 10) . 8 
4aJ+4a;' 



8 
/1 



— 0(1+«*) w. z. b. w. 



Clausa: Üebtr magische Quadraie. 



435 



In den beiden anderen Quadratseiten ist jedes Olied das ursprüng- 
liche Diametralglied seines gegenüberliegenden Gliedes, also allemal 
das Supplement zu l-|-x^. Bezeichne ich nun die Glieder der gegen- 
überliegenden Beihe mit a, /?, y n. s. w., so erhalte ich für die 
Glieder der vorliegenden Beihe 1+**—«; l+ar^— /? u. s. w. Ihre 
Summe ist also »(l+a^^) — («+/'+y+...)- «+/?+/+.. ist nun 

aber 0(1+^^); Summe aller Glieder der vorliegenden Beihe also 
jr(l+x2)— 2-(l+iB2) d. h. |(l+a2) w. z. b. w. 



So 



+ 



I 
+ 



% 
I 



% 






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+ 
I 1 



I 



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INS 



So 



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486 



Clmu»»: UA«r m o fü d i» Q/tadrata. 



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CD 

D 



2- 



I 



T i. 




XXII. 
MiacelleiL 



Neuer Punkt und Oerade In der Drelecksebeue. 

IkzeicbDot man die Scitenmitten des Dreiecks ABC resp. mit 
^4>ß, dio Tangentialpnukto des Inkreises J mit D^D^D^, die der 
3 Ankreise J'.V'J'" ebenso, nur gestrichen: ß/ bis 0^*1 so geben 
■die geraden VerbiDdungHÜnien der Ecken ABC mit diesen 12 Tan- 
gentiftlpnnkten bekanntlich') 8 ausgezcicbocte Pnnkte, einmal die 
■vier Grebe'schen Punkte: 0®'®"®*' für die Dreiecke D^D^D^ bis 
D"D*D^, dio wir im Gegensatz zu dem primären Dreieck ABC 
die secnndären Dreiecke nennen wollen , und dann die vier Grebe'- 
Beben Nebenpunkte GG'G"U'". Die Strecke J® ist der Grebe'ache 
Dorcbmesser des Brocard'schen Kreises, dessen Mittelpunkt L zu- 
gleich der Mittelpunkt des Lemoino 'sehen Kreises ist, JO der Gre- 
be'sche NebCDdurchmesser , beide fQr das inbeschriebene Becoodftre 
Dreieck: analog fflr die drei anbeschriebenen. Man hat nun f(d- 
gende Sätze i 

I) Die vier Grebe'schen 'Nebendurchmcsser der ac- 
cundären Dreiecke schneiden sieb in ein- und dem- 
selben Punkt S, dem Schwerpunkte des primären Drei- 
ecks. 

n] Die vier Grebe'schen Durchmesser der Bro- 
card'schen Kreise in Bezug auf die secnndtlren Drei- 
ecke schneiden sich in ein- und demselben Punkte; ® 



1) V|^1. Fuhrmann: Uebsr den Brocard'schen Winkel. Archiv dar Mkth. 
o. Fh7*. I3BT. T, VL S. I. Daaclbal aach Lilteratnrnachwcii. 



438 

nnd zwar liegt dieser Puukt ') anf der Eulor'scLen Geraden ebcnK 
woit vom MittclpuDkte M dos Umkreises für das primüro Dreiodt 
entfernt, nur nach entgegengesetzter Richtung, als der Höhenachnitt- 
punkt: H. Auch sind dann HSMB vier harmonische Punkte ebenso 
wie HNSM, wenn N der Mittelpunkt des durch die Seitenmitten uud 
die Höh enfussp unkte XVX gehenden Feuerbach 'sehen Kreises ist. 
Des letzteren Berührungspunkte mit dem Inkreise nud den An- 
kreisen seien; IT"!"?'", während tt-t"T" die vier Tarry'scheu 
Punkte der aecunditreu Dreiecke sind. 

Der Tarry 'sehe Punkt ist der eine') Endpunkt des Tarry'- 
schen Durchmessers, dessen Richtung durch den Punkt Q bestimmt 
wird, and zwar verhalten sich die Abstände des Punktes Q von den 
Seiten des secundareu Dreiecks umgekehrt wie die Kuben dieser 
Selten*). Es gilt nun der folgende, zwei Gruppen merkwürdiger 
Dreieck spuiikte die des Feuerbach'schon Kreises nnd die des Bro- 
card'schen Winkels mit einander verknüpfende Satz, der auch ttbcr 
die fortrückende Bewegung des Feuerbach'scheu Tange ntialpnnktes 
anf dem Inkreise bei verändertem primären Dreieck Anfschluss giebt: 
III) Der Berührungspunkt:^ des Fenerbacb'schen 
und des Inkreises für das primlLre Dreieck, der Mittel- 
punkt L des Lemoine'schcn und Brocard'achen Kreises 
und der Tarry'sche Punkt: ?'*) liegen auf einer Ge- 

1) Bewegt lii-li C niif lUm Umkreisa Af mii Rnrlius r, so iKgl naf einem 
Kreiie »ns 3/ mit liudiuB r. wobei MM' =2<iM Ut. Vgl. Zelbr. ArchW der 
Math. u. Phjs. S. Kcilis Teil II. pag. 32*. 

2) Welcher? kunn aal mthrfai^hc Art enuchiedcn werden) durch Sat» 
III) £. B., oder nueh diidurch, dosB man von ilcn Ecken des »eoundaren Drei- 
cclti auf die Seilen des Brocard'eclien Dmecks Lote lUlt. Die Ecken: £,Xi,}1, 
des Brocard'schen Ureieeks entelehen auf dem Brocard'sehcn Eni«« durcb die 
Winke Ihalbirenden dei primtren Dreiecks, JJ,D^1>f = D,D,S), = etc. iat 
dann der Bmcard'irhe Winkel #. Der andere Endpunkt des Tarry'scbeii 
Durchmeeiers sei: £, beide nnt Krcie J. 

3) Man conatruirt Q, indem man die durch die Ecktranaveranle D^fi, 
. . . anf Seite If^^i ■ ■ ■ enUtehenden Abseh'iitte verianscht and ao den Gegei- 
punkt 9Ier An von U4 heretellt. Der Opgenpunkt erster Art, indem die dnrefa 
die Ecktransvariale entstehenden Teilwinko! vortäuscht werden , wird d« 
Schwerpunkt des secundiren Dreiecks. Bei dies» Spic|,'e1ung an den Winkel- 
balbirenden des seeuudlLren Dreiecks werden die Seilen des primären 9 Farn- 
beln, der Kreis J selbst wird eine Curre 4ter Ordnang, die jedoch in die « 
entfernte Gerede nnd die Seiten des aecundiren Dreiecks lei-flllt. Vier Panklc 
entsprechen sich selbst. Das SlrahlenbOschel , dessen Strahlen Eora Grebc- 
schcn Durchmesser senkrecht 'stehen, verwandelt sich in ein BtUch«! Kegel- 
schnitte, die durch Ü.U^D^ nnd E ifchcn, etc. 

«) Die Punkte L und T sind lunlcbsl in Bciub auf diis inbeschrieb«! 
(ccundlre Dreieck %a nehmen. 



MUedkn. 439 

raden. Ebenso in ßezng anf die Ankreise, so dass im Ganzen 
Yier Gerade entstehen, die ein vollständiges Yierseit bilden. 

Ein synthetisch-geometrischer Beweis für Satz I) ist leicht zu 
führen. (Man weise NJ und GM als Parallelen zn einander nach, 
indem man die Bedeutung von J für Dreieck Wd^ angiebt) 

Dagegen dürften II) und III) eher in Dreieckscoordinaten zn 
behandeln sein. 

Der Beweis ist gegeben, sobald gezeigt wird, dass die aus den 
9 Loten der drei Punkte auf die Seiten gebildete Determinante ver- 
schwindet Das Coordinatendreiseit sei das primäre mit den Seiten 
abe^ den Winkeln' a, /?, y, dorn umfange u, der Fläche F und mit 
den Tangenten an den Inkreis J nämlich: 

. u u u 

Sind p^PtPt die Abstände eines Punktes P von den Seiten, so ist 

eine nicht verschwindende Constante für das Dreieck und 

/il?,sina-f ijpjsin/J+/3P3siny = 

wenn l^lj^ die auf irgend eine durch den Punkt P gehende (}erade 
Ton den Ecken ABC gefällten und im richtigen Sinne genommenen 
Lote bedeuten. 

Beweis zu IL 

Man stelle die Abstände der drei Punkte «/, Q) und ® auf oder 
auch nur ihre Verhältnisse, was weiter keine Schwierigkeit hat Für 
den Punkt J also 9: 9: 9 oder auch 1:1:1, dann für Q) ') 

öi:8.:88--: ^: 7 
endlich ftür @, indem die Punkte M 



01 ■«llxtt ist durch Anwendnog des harmonischen Mittels im voHst&n- 
digen Vierseit: C($D,D^AB sun&ehst dasBedproke von -r-, 1 7—^ 

* * ^ {sina^iysin/J Ä, 

wo Af = — • Durch UmformoDg wird : 
c 



440 MUeMm. 

{rcoscv, rcoB/9, rcosy) nnd H 



\ 8aF * SbF ' SeF ] 



benatzt werden, 



9},:»,:9}3 = '^: -« : -*, wori 



tt ^ , ^ . , . .«. t*2 



(»1 - 5i?ta+2S(V^+^f+£')-T*^ 

tff und «3 ein entsprechender Ausdruck ist. Nun kann aber bei der 
Determinante das erste und letzte Glied von 0|, tf^, 03 als Propor- 
tionalanteil der andern Zeilen fortgelassen werden und man erbilt 
die Determinante: 



A 



a , b y c 

iiv'+vtW), viP+U+i*h f(i»+6i?+i?*> 



Indem sich der Factor 9{ » i;^-|- CS + iv absondern Iftsst, bleibt die 
Identität: 

übrig, CS geht also die Gerade J& durch ©, ebenso •/'©', J"®", 

Beweis ftlr III. 

Die Abstände Zi, /^i ^ des Mittelpunktes L des Lemoino'schen 
oder des Brocard'schen Kreises verhalten sich wie: 

worin aber r^t^Xz ^^ Proportionalanteile der folgenden Zeile bei 
der Determinante unterdrückt werden können '). 



1) /} selbst nämlich wird: 



dÜseeUm. 



441 



Die Goordinaten des TaDgentialpanktes Z and des Tarry'- 
schen Punktes T^) sind: 



und: 






worin ^i^s^s ^^ Winkel des inbeschriebenen secnndären Dreiecks 

= "~2 * 2~"' ~2 '^^^ ^ ^^^ Brocard'sche Winkel hiezu, der 
durch die Relation 

8in(^, — &) 8in(^, — d) sinC^, — (^) « sin»4> 

(Tgl. Fahrmann a. a. 0.) definirt sei. 

F 
Es wird aber tang^ » g^i somit 



£s handelt sich also um die Determinante: 



2 



y 



K'+Ö • i G+i> i (*+0 



^(«j-O^ , |({:-5)=^ , f(5-i?)« 



a 



a 



5(P-i?ö^ ^(ir'-fS)-^, YP-^v)^ 

Abgesehen von Factoren mm . . . kann dieselbe sehr verschiedene 
Formen annehmen, so z. B. wird: 



1) Ist AD^%i=:p, 80 ist: i^ = 9^\n*v and diet 



/ 2F \ C 



4A< 



für Fankt iV benatzt 



wird« Hierin sind p nnd q die Höhensegmente aaf c 

2) Ist Wkl. /),/), T= D^ETz=e, so ist <,=2(>8in««= ^^ ^.^^ ^^^ »L ^^ 



denn § ist anch 2)iO«/ und 



5),J- *(8m*,tang*-cos*,) - _ g«^»^»»+»> 



442 MUeelUn. 

m,^ — 

I [^,(Ä_fl)— c(<?-a)]a , [c(c— 6)-a(a-6)]3 , [£t(a -c)--Ä(&— <?)]> 

! [ab(b - a)+ac(c -a)J2, [Ä<?(c' - b)+ba{a-b)Y, [ca(a— c)+c*(6 -c)P 

Durch Subtraction uud Addition der Colounen zu einander erhält 
man hieraus auch: 

aWc-5)-a(a-&))(a(a-c)-&(Ä-c)), &(-)(-), c(-)(— ) 
(e(c_5)+a(a_5))(«(«_^)-|.i(5_^)), (+)(+), (+)(+) 

Die zweite Zeile kann a(c— «) (a— Ä)i?f , . . . , ... oder a^&yf — adcif{; 
. . . , ... geschrieben werden uud geht um Proportionalanteile der 
ersten Zeile verändert einfach in: 97^, f^tj^ tfi über, die letzte Zeile 
endlich, in ähnlicher Art*) verändert, wird: aHvt+be — ^ — cC) — 
aÄ<?(^ + Ö, ....... und da fj+t^a, t+? — &, E+i7 = c ist, 

kann dafür: «^(i^J— äi? — cf), ..., ... oder auch — cWl, — i*9l, 
— <^3l gesetzt werden. 

Mithin verschwindet ^ identisch und liegen somit die Punkte 
'XLT auf einer Geraden. 

J. Hermes. 



2. 

Momentaner Bewegungszustand eines in der Praxis viel 

angewandten Mechanismus« 

Man stelle sich vor zwei Ebenen, von denen jede mit einem 
curvenförmigen Schlitz von gleicher Breite versehen ist Beide Ebe- 
nen drehen sich auf einer festen Ebene; die eine, welche den Schlitz 
^fN enthält, um den Punkt i4, die andere, welche den Schlitz ÜV 
besitzt, um den Punkt B, In den Raum zwischen den beiden Schlitzen 
denke mau sich einen cylindrischen Stift mit kreisförmiger Basis 
gesteckt, dessen Radius genau die Breite jedes Schlitzes hat. Femer 



i) 1(<^H«* -Kc f a))=(c+a>, -ac und i{6«+«' -<<*+«))=(«+ «►)•?• a*. 
Wird multiplicirU so ist in dem Product das Glied -\'(ab-\-bc-\-ca)tfi wegen des 
Factors ab-\'bc-{-ca ohne Einfluss auf den Wert der Determinante m'. ^ and 
fällt mitbin fort. 



MiticUen. 



44S 



foSgeu die beidoa Ebeuon durcli cino starre Stange FG (Fig. 1.) 
gelenkartig mit oinauder verbundon sein. Setzt man nun die eine 
£bene iu Kotation, so wird vermittelst der Stange FG ebenfalls die 
) udere Ebene in Dn<hnng koiiimen und der Mitlelpnukt £ des Stiftes 
I (und zwar nur er aileiu desselben) eine bestimmte Cnrve, die soge- 
LaaaBte Eingriffslinie bescfareibeu. Die Tangente uconstructi od an die 
I IS n griff sliuie ist bereits in der voriycn Abhandlung dieser Zeitscbrifl 
f gegeben worden. Hier ist das Vcrliältuiss der Rotationsgeschwindig- 
II Iceiteu der sich um A und li drehenden Ebenen unmittelbar ge- 
lben ; nennen wir uümlich die Rotationsücscbwindiglieiten um A uud 
tt: a resp. ^ und bilden den Schnittpunkt Q. von AB und FG , m 
dt bekanntlich: 

AQm --= BQ.ß 

(Diese Gleichung findet sich abgeleitet in nnserm Aufsatze: 
Dbeoretische Untersuchung einiger in der Praxis angewandter kine- 
■Batischer Cyiiuderketton, Jahrgang 1881 der Verhandlungen des 
r'ereiüB z, Beförd. des Uewerhfl. Seite 439— 44iJ.) 

Aas der Gleichung ergiebt sich das Oeschwindigkeitsverhältiuss : 

ß~ AQ 

XTm nun die Tangente an die Eingriffslinie in E zu construiren, 
zeichne mau zunächst die Mittellinien der Schlitze und lege daran 
in £ die Tangenten. Vom Punkte A fälle man darauf die Normale 
anf die Tangente der Corve Jt/A', letztere sei Aa, ebenso fälle mau 
■von B die Normale auf die Tangente der Curve Ul', dieselbe sei 
Nunmehr ziehe man ah und consiruire auf ab den Punkt y so, 



dasB 



'"l _ 



iat. Endlich ziehe man qE und zeichne zn qF den coordinirten 
Schenkel FF; letzterer ist die verlangte Tangeute. 

Han construire ferner die Normalen der Curven MN und UV 
in F, auf der Normalen der Curve MN nehme mau den beliebigen 
Punkte an und verbinde deoselbou durch eine starre Stange goleuk- 
artig mit A; ebenso nehme man auf der Normalen der Curvo UV 
deu Punkt IJ beliebig au uud verbinde denselben geleukartig durch 
eine starre Stange mit li. Endlich verbinde mau auch die Nor- 
malen, die man sich vou C bis F uud von D bis F als starre Stangen 
denkt, nud F drehbar mit einander. Man kann sich nun dio dreh- 
baren Ebenen mit ihren Schlitzen entfernt denken und mau erhAlt 
den Mechanismus in der Figur 2. Die von dem Punkt F beschrieheue 



444 MUeeBmi. 

Gurve hat dieselbe Tangente als die vorher constmirte der Ein- 
griffslinie. Darch diese Tangente ist bekanntlich der momentane Be- 
wegnngszastand der Stangen (Glieder) CE und ED vollkommen be- 
stimmt 

Der Mechanismus in Fig. 2. , welcher als sechsgliederige Qy- 
linderkette in der Maschinenwissenschaft bekannt ist, findet An- 
wendung bei der Quintenzwaage, bei einer besondern Art der Stephen- 
son'schen Locomotivstenernng , bei der Hart'schen GeradfOhrong 
n. s. w. 

Man kann nnn sagen, dass in Bezng auf die Bew^nng des 
Punktes E *der Mechanismus in Fig. 1. mit dem Mechanismus in 
Fig. 2. momentan identisch ist Sind die Punkte C und D in beiden 
Figuren zugleich die Krümmungsmittelpnnkte der Curven MN und 
UV^ so sind beide Mechanismen in Bezug auf die Bewegung des 
Punktes E doppelt momentan identisch, d. h. die von E beschrie- 
benen Curven beider Mechanismen haben dieselben Krümmnngs- 
radien. Die Construction dieser Krümmungsradien werden wir in 
einer späteren Abhandlung geben. Sind endlich die Curven MN und 
UV Kreise und die Punkte C und I) beider Figuren derselben ihre 
Mittelpunkte, so sind beide Mechanismen in Bezug auf die Bewegung 
des Punktes E absolut und continuirlich identisch. Interessant ist der 
Spocialfall, wenn die Schlitze geradlinig sind, und deren Mittellinien 
durch die Punkte A und B hinduroligelien, es fallen dann die Punkte 
C und D in die Unendlichkeit (Fig. 3.) und die von E beschriebene 
Curve ist die feste Polcurve einer beweglichen Ebene, deren Punkte 
F und G Mxa A und li Kreise beschreiben. Um die Tangente an 
die Polcurve zu zeichnen, braucht man nur EQ zu ziehen und zu 
EQ die Coordinirte ET zu construiren, letztere ist die verlangte 
Tangente. Ebenso werden wir in der späteren Abhandlung den 
Krümmungsradius der Polcurve ünden; eine allgemeine Lösung seiner 
Construction ist meinem Wissen nach bis jetzt noch nicht gegeben 
worden. 

Um, wenn auch nicht die Tangente, sondern die Normale der 
von E beschriebene Curve (Fig. 1.) zu finden, kann man anch fol- 
gendermaassen verfahren : Man bilde die Schnittpunkte L und K der 
Linie FG mit CE und ED, Hierauf bilde man den Schnittpunkt P 
der Geraden LA und KB^ zieht man nun die Gerade PE^ so ist 
diese die verlangte Normale. (Diese Construction haben wir in der 
vorher genannten Abhandlung in den Verhandlungen des Vereins z. 
Beförderung des Gewerbfleisses (Seite 438—439) gegeben.) Es wäre 
wol interessant, den Zusammenhang dieser Normalenconstmction 
mit der vorher gegebenen Tangentenconstruction zu finden. 



MiseeUen. 445 

Wir haben demnach fQr die Constraction der Normale der Pol- 
carve in Fig. 3. anch folgende Lösung: Man errichte anf AE in E 
die Normale EL und auf BE in E die Normale EK^ bilde die 
Schnittpankte K und L von FG mit den Geraden EL und EK^ ver- 
binde A mit L and B mit iT, der Schnittpunkt P dieser Verbin- 
cloDgslinien giebt mit E vorbanden die verlangte Normale. 

JoU 1882. 

August Bamisch, 

Lehrer der Mathematik und Mechanik in 

Treuenbrietzen. 



3. 
Zar Lehre der quadratischen Formen. 

Dieser Aufsatz beantwortet die Frage: welche quadratischen 
S'ormen mit n Yerändcrlicben können durch lineare Transformation 
lo andere mit ni(< n) Veränderlichen transformirt werden? 

Die Antwort lautet: Diejenigen, deren Determinante und 
sämtliche Diagonalunterdeterminanten ^) bis zum (m-|-l)-ten Grade 
incl. verschwinden, — wenn aber die Diagonalunterdeterminanten 
m-ten Grades nicht sämtlich verschwinden, so kann die Form in 
eine weniger als m Veränderliche enthaltende Form nicht trans- 
formirt werden. 

L 
Die quadratische Form 

A«i» ««? ••• fl^n) •=" £aaxtxk, (aa = a»i) 

i, ifc ■=» 1, 2, ... n 

gehe durch die lineare Transformation 

xi «— £cayk (» -= 1, 2, ... n) 
A; ■=■ 1, 2, . . . n 

fiber in die quadratische Form 

?, k = Ij 2, ... n 



1) DiftgonalanterdetermiDanten lind diejenigen, deren sämtliche Hanpt- 
diagonftlelemente sar Hanptdiagonale der ursprOnglichen Detemünante gehören. 



446 MiiceÜM. 

Die Derivirten der beiden Formen 

1 ^ _1 a^ r 1 o ^ 

'• ^ 2 8x,' ^' ^ 2 a^r. ^ "" ' ''' ••• •*^ 

sind durch die Belationen verbanden: 

9i(y if ^21 ••• Vn) =- ^fkistj, iCg, ... a'H).ai=- 

Ä: «« 1, 2, . .. n 
= £fk(cii, C2f, ... Cm).«** 
Ä; =» 1, 2, ... w 

Die transforinirte Form enthält yi nicht, wenn gi -= 0, also 

/»(^ii , C2i , . . . fwi) =-0 (Ä: «- 1, 2, . . . n) 

sind. Dann verschwindet aber die Determinante der quadratischen 
Form /: 

D=^\aikl 

?, A; =■ 1, 2, ... n 

Hieraus folgt: 

1. Wenn D nicht » ist, so kann die Anzahl der Veränder- 
lichen durch lineare Transformation nicht verringert werden; 

2. wenn Z> = ist, so ist die Rcduction möglich, und zwar 
können ebenso viele Veränderlichen weggeschafft werden, wie viele 
linear von einander unabhängige Lösungen das Gleichungssystem: 

fi(^u ^2J ••• ^h) = (/ =• 1, 2, ... n) 
zulässt. 

II. 

Es seien D und die sämtlichen Diagonalunterdeterminanten 
bis zum (w+l)-ten Grade «==0, während die Diagonalunterdeter- 
minante m-ten Grades 

d = I aik I 

/, ^• «= 1, 2, ... m 
nicht verschwinde. 

m > , denn wenn die sämtlichen Diagonalunterdeterminanten 
zweiten («n a** — «ijt^) und ersten (a„) Grades verschwinden, so ver- 
schwinden auch die sämtlichen Elemente von Z>, dieser Fall kann 
aber ausgeschlossen werden. 

Wir bezeichnen mit ^a^i die Determinante (m-|-l)-ten Grades, 
die aus d hervorgeht durch Ilinzufügnng der o-ten Beihe und der 
/3-ten Colonno von />>, als (T/i-f-l)-^^ Reihe resp. Colonne. 



Mi»c§IUn. 447 



Die sämtlichen Jaß verschwinden. Denn wenn a oder ß^ m 
ist, so sind zwei Beihen resp. Colonnen identisch; 

wenn a ^ ß'^ m, so ist Jaß eine Diagonal unterdeterminante 
(m + l)-ten Grades; 

wenn a ^ß und beide >• m sind , so verschwindet die Deter- 
minante (m4-2)-ten Grades, welche aus d durch Hinznfügung der 
o-ten und ß-ien Reihe und Colonue von D entsteht, mit ihren sämt- 
lichen Diagonalunterdeterminanten erster Ordnung nach der Yoraus- 
seszung, dann verschwinden aber die sämtlichen Unterdeterminanten 
erster Ordnung, nach einem bekannten Satze über symmetrische 
Determinanten, also ist auch Jaß = 0. 

Hierauf begründet kann es nun leicht gezeigt werden, dass unter 
den genannten Umständen das Gleichungssystem 

/i(a?i, iTj, ... xh) — ü (* == 1, 2, ... n) 
(fi— m) von einander lineare unabhängige Lösungen znlässt. 

£s sei daß diejenige Determinante m-ten Grades, welche ans d 
durch Weglassung der a-ten («^'h) Colonne und Hinzufügung der 
ß'ien Colonne von Z), und des Zeichens ( -l)«»+«+» entsteht 

Dann sind die (n -m) Lösungen: 

Xa — da^m^ß (« =- 1, 2, ,. . m) \ 

Xm^ß — rf / (/^ — 1» 2, ... n — m) 

a^mfy - (y- \,2,..,ß—l,ß+ly,.n^m) ) 

Durch Substitution ergiebt sich nämlich: 

fi(XiXi ... Xn)== ^i,m\-ß = 

Wenn also die Form f durch die lineare Transformation trans- 
formirt wird: 

Xa^ya-^r ^da,m-^ßtfm^ß (« « 1, 2, . . . m) 

/? = 1, 2, ... n — m) 
Xm^ß — d.y,M+jJ 0? — 1, 2, ... n-^m) 

deren Determinante « e^~"* nicht verschwindet, so fallen die Ver- 
änderlichen ym^ß (/? -» 1, 2, ... fi — m) aus der transformirten Form 
weg, und die transformirte Form wird 



448 MiMctüen. 

sein mit der nicht verschwindenden Determinante d. Die Anzahl 
der Veränderlichen kann also durch lineare Transformation nicht 
weiter reducirt werden. 

Klansenhurg (Ungarn) 1887 Juni 

Prof. Dr. J. Välyi. 



4. 

Zur Function r{x). 

Seien a und n ganze Zahlen, dann wird offenbar 
lim r(a -|-w) « limpr(ii) limn =oo 



um 



lim 
oder 



imp = limn(n-|-l) ... (n-fa— 1) = lim?*« !l-| — | ... Il-J > 

limp » Ümn" limn — oo 



daraus 

limr(a+w) =- limn«r(w) limn = od 
und 

a ^ a 

Ersetzen wir nun n durch x, a durch «/.r, so wird 

dFix) „^ ^ , 

._^u = r(x)iogx 

Schreiben wir nun nx an die Stelle von t, so folgt 

/F'inx) r 

oder 

logr(wx) = njrloga: — rj -}- ru: log n -}- C 

und demnach 

lim - {logr(Hx) — nx} = A log r — x lim n ■= oo 

Wir haben also durch ziemlich einfache Betrachtungen eine Reihe 
von Sätzen gewonnen, die sonst auf einem viel umständlicheren 
Wege abgeleitet werden. 

Prag, im Juni 1887. W. Läska. 



LUUrariacktr Berieht XXL 



Litterarischer Bericht 

XXL 



Geschichte der Mathematik und Physik. 

Balletino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e 
fisiche. Pnbblicato daB. Boncompagui. Tomo XIX. Roma 1886. 
Tipografia dello scienze matematiche e iisiche. 

Der 19. Band enthält folgende Abhandlungen. 

A. Favaro: lieber einige in der Biblioteca Nazionale zu Flo- 
renz kürzlich entdeckte Galileianische Documento. — Weitere Unter- 
BQchangen über das Leben und die Werke des Schweizer Mathema- 
tikers aus dem 17. Jahrhundert, Bartolomeo Severe. — Die 
Optik des Claudio Tolomeo da Eugeuio, Admirais von Sicilien, 
Schriftstellers des 12. Jahrhunderts, lateinisch hergestellt auf Grund 
der arabischen Uebcrsetzung eines unvollkommenen griechischen 
Textes, dann zum erstenmal nach einem Codex der Biblioteca Am- 
brosiana zur Beurteilung von Seiten dor königlichen Akademie der 
Wissenschaften in Turin veröffentlicht von Gilberte Govi, Mit- 
glied derselben Akademie. Turin, königl. Druckerei. Von Seite 220 
(XLIX— 171) mit neun Tafeln. — Die tBibliothek des Galileo Ga- 
lilei, beschrieben und erläutert. 

A. Genocchi: Kurze Bruchstücke aus dem Leben des Inge- 
nieurs Savino Realis. 

P. Riccardi: Zu einer vollständigen Sammlung der mathemati- 
schen Werke von Lorenzo Mascheroni. 

Arcli. i. Math. n. Phyi. 2. Reih«» Teil VI. 1 



LitUrariicktr Bemhl XXI. 



S. Realis: Giovanni Plana, geboren zn Voghcra den 8. | 
vember 1781, gestorben zu Turin den 29. Januar 18G4. 

Ch. Henry: Ueber einige uDgedruckts Bl&tter von Lagri 
— Ungedruckte Briefe von Euler an d'Älembert. — UngedrocS 

Briefe von LaplacB, vprilffontlicht mit einer ersten Redaction seiner 
Methode die Kometenbabnen zu beBlimraon und einer Notiz über dio 
Mauuscripte von Fingrä. 

E. Narducci: Ungedruckte Lebensbeschreibungen italioDM 
Mathematiker, verfasst von Bernardino Baldi. 

J. Dupnis: Note Über eine gooinetriache Stelle der Republik 
des Piaton. — Note Ober eine georaetrisctae Stelle des Meuon von 
Piaton. 



lik 

'On 

I 



Bibtiothcca Matbematica berausgegebeu von Gusta f EnestrSm, 
Stockholm ldd6. E. n. G. Beijer. Berlin, Mayer n. Maller. Paris, 
A. Uerniaun. 4". 

Mit diesem Bande scbliesst die erste Reihe der Bibliotheca 
Matbematica, welche seit 1084 (a. btL Bericht U. S. 37) im An- 
Bchluss an die Acta Matbematica uud in gleichem Format mit den- 
selben erschienen ist. Er besteht aus 4 Numuru, deren jede für 
sich mit dem alphabetischen Verzeichnias der Werke, Abhandlungen 
und Noten, dann der Itocensiuueu beginnt. Die darin berücksich- 
tigten Journale sind in Nr. 4 aufgefobrt. Hierauf folgt ein sachlich 
eingeteiltes Register der Namen der Verfasser mit Verweisung auf 
die Numern. Unter den vermischten Notizen ist in Nr. 1. und 3. 
besonders zu nennen die Kritik, welche B. Boncompagni der 
Schrift von Maximilicn Marie: „Sur l'hisloire des scieuces matbä- 
maticiues et phjsi'iueB" — zuteil werden läast, indem er derselben 
zahlreiche Ungenauigk eilen und Mängel in den Angaben nachweist. 
— L. De Marchi rechtfertigt die Namensangabu „ManroJicio" statt 
der gewObnlicheu „Manrolico'*; doch mag der Numo von dem Mes- 
siner Mathematiker selbst verändert worden sein; man findet dafür 
auch Maruli. — Enuström stellt in Nr. 1. 2. und 3. die iu 
Schweden publicirtcn Schriften von Auslandern und schwedische 
Ueberaclzungen ausländischer Werke zosammcn. — S. GOntber zieht 
den Auteil, den Albrecht Dürer au der Begründung der Curventbeorie 
hat, ans Licht. — P. Mansiou und G. Enestrüm geben histori- 
sche Aufschlüsse über Newton's allgcmciuu Interpolationsforrael. — 
Ausserdem sind in den einzelnen Numuni mehrere Fragcu gesta 
uud I BeaatwortUDg gegubea. 



Litterarüchtr Berieht XXL 3 

Bibliotheca Mathemutica. Zeitschrift fUr Goschichte der Mathe- 
matik. Herausgegeben von Gustaf Eneström. Stockholm 1887. 
Meue Folge I. 8». 32 S. 

Die neae Folgo der Zeitschrift beruht auf dem Beschlüsse die 
FortfUhruDg des Verzeichnisses der Werke und Abhandlungen auf- 
ingebOD Die Geschichte der Mathematik soll vou da an den Haupt- 
gegeusland bildeu. Sie gibt nnn kurze historische Aufsätze ia 
grösserer Anzahl als bisher. Dann folgon Recensionen, Mitteilung 
nen erachieuener Schriften und Fragen. Das ]. Heft euthlllt folgoade 
Aufsätze : 

G. Eneatröm; Kurze Ueberaicht über die neuen Forschungen 
der Geschichte der Mathematik. — Neue Notiz über eine Ab- 
handlung vou Chr. Goldbacb betreffend die Summation der Reihen, 
1718 in Stockholm publicirt. 

S. Günther: War die Cykloide bereits im 16. Jahrhundert be- 
Iniint? 

P. Riccardi: Note bezüglich auf eine Ausgabe des Nuncius 
flidereoB von Galilei. 

P. Tanuory: Die Auazicbuug der Quadratwurzeln nach Nicoiaa 
Chnquet 

G. Allmau: Uuber den Namen des sogunannlun „Theorem des 
Gnomon." H, 



Praktische Geometrie, Geodäsie. 

Lehrbuch der praktischen Geometrie. Von Dr. Ch. Auguat 
Togler, Professor an der landwirtschaftlichen Hochschule zu 
Berlin. Erster Teil. Vorstudien und FeldmesBcn. Mit 248 Holz- 
atichen und 10 Tafeln. Braunschweig 1887. Friedrich Vieweg und 
Sohn. 688 S. 

Das Lehrbuch ist für Anfönger der Geodäsie bestimmt, macht 
daher geringere Ansprüche an Vorkenntnisse und Uebuug als das 
Taschenbuch der praktischen Geometrie vou Jordau, logt dagegen 
Gewicht auf die strenge Fohlertheorie und Ausgleicbungsrechnung. 
Es behandelt nach einander die mathematische Geographie, die ge- 
bräuchlichen Masse, die Brechung des, Lichts in kugelförmig be- 
grenzten Medien, sämtlich beschreibend, die Instrunioute. Fernrohr, 
Libellen uud Aseu, Krds und Alhidade nebBlU\i\\^\QTt\t'Mtt"&%t'tt, Si» 



Lilleraritchtr Ben'cJit XXI. 

■graphiscben und mechanischen Ilulfsmittel der Rechnnog, die ThDOH 
Idi^rBüobachtuDgEfehlor, die AusgleicLung derselben nach der Molho« 
I der kteiDStea QuadraUommen, das Feldmessen, hierzu das Absteclc 
von Liuien zar LütigeumcEsuug, die WinkclBbsteckung zur Coor— i 
natODanlriabine , die Metstischaufnahnie , die Tbeodolitaafnahme, E 
tygonmcBsang und Triangulation, die Bassolenaufnabme , das E^ 
werfen der Siluationspläne önd die Flächeuberechuuiig, die Fläche 
teilung, das Abstecken langer gerader Linien, die Curvenabstecki»^ 

H. 



Anleitung irar Berechnung geodätischer Coordinaten. Von P ^r— « 
Dr. Otto Barsch, Scctionsuhef im K5nigl. pronssiscfaen geod£fc_«j 
sehen Institut. Mit zwei Figuren tafeln. Zweite, vollständig nnr^^^e 
arbeitete und vermehrte Auflage. Cassel 1685. A. FreyBch]EB.ä«f{. 
165 S. 

Das Buch setzt, nach der Abfaagnngsweise ku nrteilen, cia ^^■ 
wisses Mass mathematisctaer und das volle Mass technischer Kokk nt- 
nisse voraus und gibt dem mit der höliern Geodäsie Vertrauten «ite 
zur Praxis crfordcrhcbcu factiscben Angaben in Grössen und F^oir- 
mein, übwoi die Titel der Abschnitte: Matbomatisdio Hülfslebr-eo, 
Erdsphäroid, geodiUiscbe a. zw. geographische, rechtwinklig gphftr^- 
dische, rechtwinklig sphärische, rechtwinklig ebene Coordinaten, Aof- 
lösung einiger gcoilätischen Aufgahcn -— auf einen fortschreitendeo 
Entwickeluugsgaug hindeuten, so findet man die entsprechende Tren- 
nung und Ordnung des Stoffs in der AusfuhriiDg nicht beobacbtet 
Möge der Leser entscheiden, oh ihm die gegebeneu Erblärnug«'' 
und die Auordnuug des Buchs zum Gebrauche ausreichend sclieioea 
Die '2. Auflage berichtigt zablreicbo Fehler, die durch die uotweu- 
dige Eile in der ersten Abfassung outstanden sind, B- 



Erd- und Himmelskunde. 

Elemente der theoretischen Astronomie für Studirende bearbcitrtj 
von Dr. Karl Israel-Holtzwart, Realgymnasial-Oberlehreru 
Frankfurt a. M. Wiesbaden 1«Ö6. J. F. Bergmann. 711 

Das Buch Ist im echten Sinne fikr Studirende verfasst, d. h. 1 
gibt nicht Unterweisung in der ausübenden Astronomie, sondern ^ 
ducirt die Losung von deren Aufgabe aus mathematischen Principl 
Diese LJlsung wiederum ist nicht bloss aus den Quellen zosarnnT 
Bestellt, sondern nach eigner Methode des Verfassers verarbeilctB 



Lilterariielier Btricht XXJ. 



«reia&iciit. Dass zu diesen) Zwecke ein grosser Teil der Frincipieii 
«l-^r analytischen Mechanik und manche sehr bekannte Gegenstände 
«l«r Analysis besonders vorgetragen werden, möchte wol bei natür- 
licher Sachlage als aberflüssige Zulat erecheinon, da zu einem wirk- 
Ixcben Studium der Astronomie die Vertrautheit mit diesen Principien 
■s eibstverBtändlicU notwendig ist Wir können aber andrerseits darin 
«3ia ZeugniBg dafür erblicken, wie weni^ der Verfasser auf das Vor- 
tM andensein jener natürlichen Sachlage geglaubt hat bauen zn dürfen, 
-wie Qberwiegcnd die Äatronomio bisher ohne ausreichende Vorbildung 
^^ctrieben worden ist, und wie sehr es an Büchern gefehlt hat, die 
«las Stadium begünstigen. Hiernach kann wol das gegenwärtige ünt«r- 
uebmen als eiu erster, bahnbrechender Versuch gellen eine wesent- 
L,acke der Litteratur auszufüileu. Das gesamte Werk besteht aus 
^ Teilen, deren jeder als selbständiges Ganzes gestaltet und einzeln 
kftaflich ist. Der 1 Teil: Elemente der sphärischen Astronomie — 
^ad der äte: Nachträge und Tafeln dazu — behandeln nur die geo- 
metrische Seite der Astouomic; der 'S. und 4. Teil, beide betitelt: Ele- 
mente der theoriscben Astronomie — die Dynamik des isolirten Systems 
Zweier Himmelskörper, die elliptische Bahubestimmung, Finsternisse, 
Meteorbahnen u.a.; der 5. Teil: Elemente der Astromechanik — die 
CtArnngen, und zwar nach einer orientircnden Einleitung erst mathe- 
xnatische Hülfsiehren (approxlmalive Lntegrations mittel, Mechanik], 
-tiann die von den Bahnexcentricitäten unabhängigen — dann ab- 
li&ngigeu Störungen des Radiusvectors und der Lauge, daou die 
etArangen der Bi-eite, die Säcularstürungen der Elemente, dann die 
SIethodc, die bei specicllen Störungeu, wo die Couvergenz nicht go- 
' nfigt, anzuwenden ist, dann die Un Veränderlichkeit der mittleren 
Bewegung der Planeten. Ausserdem enthält der 5. Teil die Berech- 
nung der Störungen der Kotatiouen, schliesslich die historische Ueber- 
sicht der Astronomie von den ältesten Zeilen bis zur Gegenwart. 

H. 



Erdkunde und Mathematik in ihren gegenseitigen Beziehungen. 
Von Dr. Siegmund Günther, Professor an der k. technischen 
Hochschule zu München. München 1887. Theodur Ackermann. 
30 S. 

Diese Schrift soll beim Uebergauge des Verfassers von der mathe* 
matiscbcn zur geographischen Lehrtätigkeit die Stelle einer Antritts- 
rede vertreten und seine Auffassung von seiner Lehraufgahe darlegen. 
Die Beziehung zwischen Erdkunde und Matheraalik ist die offen zn- 
tage liegende, der gemäss die Erdknnde die Dienste der Mathematik 
zu Hülfe nehmen muss, und letztere von ihr Aufgaben empf&ngt; 




Lnlerar,,cher BtriAl XXI. 



eine andre wird ftoch bier nicht geaucfat. Die Geographie bietet ia 

grosser Mann ich faltigkeit, extensiv nnd intensiv, quantitative Fragen 
dar, die der Mathematik zufallen. Eb kam nur darauf an die spre- 
ehendstcn Beispiele hierzu in vielseitigster Weise vorzuführen, vas 
denu auch, mit Beginn in der alten Geschiebte (Name „Geometrie** 
als deutlieher Beleg] geschehen ist. Wir wollen indes nur solche 
Paukte hervorbeben, in weirben disputabele Ansichten des Verfassers 
euthalten sind. Er führt aus, dass mit der Bezeichnnng „Geogra- 
phie" die Doctriu zu eng gcfasst und ihr durch Bescbränlning auf die 
bcscbreibendo Methode ein wesentliches B il dungsei cm ent , somit ein 
grosser Teil des Interesses entzogen werde; er befürwortet daher 
den umfassenderen Namen „Erdkunde". Da ii<t es denn zun&chsl 
auffallend, dass er von der „Geologie" — ein Wort das als solches 
gleichbcdcntcud mit „Erdkunde" ist — gar nicht spricht Die gewöhn- 
liche. Eintoilnug der Geographie in mathematische, physiscbo aiid 
politische wird, als wäre sie nur ehon herkömmlich, kaum berührt, 
und was wir als Gebiet der Geologie betrachten, die Genesis de« 
Erdkörpers, mit in die zur Erdkunde erweiterte Geopraphio gezogen. 
Die bisherige Spaltung des Lehrstoffs wird verworfen ohne deren 
praktische Gründe zu erwägen. Dass jede Forschung vor allen Er- 
kl&mngsidoen die Tatsachen ins Auge fassen muss, dass für die Erd- 
kunde die Tatsachen ein sehr weites Gebiet umfassen, und dass 
dieser 0msfand uns nötigt hei der Beschreibung länger zu verweilen 
als in andern Wissenszweigen, ist ganz unbeachtet gehlieben. Zur 
Rechtfertigung möchte man vielleicht anfuhren, es handele sieb um 
das'Verfahron an Hochschulen, wo eine genügende Kenntniss der zu 
beschreibenden GegenslAnde vorausgesetzt werden könne. Allein 
oineraeits ist von verschiedenem Vori'ahreu für verschiedenen Stand- 
punkt der Hörer gar nicht die Kede; audrerseits liegen zwei kurze 
Aeusserungeu vor, die, da sie nicht näher erläutert sind, ein sehr 
charakteriatiscbes Licht auf die Aulfassung zu werfen scheinen, die 
dem Auftreten zu Grundi; liegen möchte. Die Gcstaltuug der Erd- 
oberfläche ist zum Theil Werk der Natur, zum Teil Werk der Men- 
schen, infolge dessen verzweigt sich anch die derselben gewidmete 
Doctrin, nnd wcudet sich der eine Zweig der Physik, der andre der 
Völkergeschichte zu. Der Verfasser versucht nun auf Seite -J. die 
Einheitlichkeit der Erdkunde dadurch zu retten, dass er gestützt auf 
bekannte und berüchtigte Philosophcmo die menschliche Tätigkeit 
für Naturwirknng ausgibt. Wir wollen anf den logischen Fehler 
jener Philosopheme, die Verwechselung der vom Menschen geilbton 
Comhination der Katurkräfte mit den Naturkräften, nicht eingehen, 
sondern fragen nur. ob der Verfasser, wenn nach seiner Ansicht dio 
Entstehung von Städten Nalurwirkung ist, den Beginn der Wissen- 
schaft solange vertagen will, bis diese Wirkung erkannt ist, und die 




LiUtrantelitr Btriekt XXI, 

'Auaftigca Slidte nach bestimmleo Gesetzen ermittelt werden könnco? 
Offenbar lag dem Verfasser nur daran nicbt eiDgestehcn za mOssen, 
dass er sich in seinen Vorträgen mit der historischen Seite der Erd- 
kunde mcbt befassen wollte, doch möchte einer solchen Auskunft du 
offene Bekenntniss wol vorzuziehen sein. Die zweite Äeusserung auf 
S. 3. erwähnt, dass nnler gewissen Umständen (im besten Wori sinne) 
die bloss rhotoriscbe Darstellung einer Frage der physikalischen Erd- 
Iconde der analytischen Untersuchung gegenüber gewisse Vorteile dar- 
biete, wenn nämlich die Menge dor zu berücksichtigenden Factoreu 
«sine allzQ grosse wird. Letzteres ist meistens der Fall, daher will 
die Einschränkung auf solche UmsUtnde wenig sagen. Die Vorteile 
der rhetorischen Darstellung bürden wir gern einräumen, wenn wir 
die Beifügung: „im besten Wortsinne" — dahin deuten könnten, 
dasB die Darstellung nicht „bloss" das Ziel der Rhetorik, augon- 
blicklicben Eindruck zu machen, sondern auch die Bedingung didak- 
tischen Vortrags, iutellectueile Coutinuität, im Auge haben muss, was 
der Wortlaut zu verwehren scheint. Die Möglichkeit beides zu ver- 
einen sei unbestritten, aber die gewöhnlichen Beispiele rhuloriacher 
Behandlung scientiver Fragen geben nur Zeagniss vom Gegenteil, 
indem sie die Uörer sprungweise, ohne stetigen Eutwickelungsgang, 
■Wfic auf einem Jahrmarkt, von einem Gegenstande zum andern führen, 
so dass dieselben viel gesehen haben, aber nichts mit nach Hause 
nehmen. Dies sind zwei Punkte, die noch richtig zu stellen waren, 
im Obrigen kann es uns eher auffallen, dass manches erst versichert 
^Verden musste, was wir längst als ausgemacht zu betrachten pflegten. 
£iiien wesentlichen Bestaudteil der Schrift machen die historischen 
und litterariscbou Nachweise zu bezüglichen Stellen aus, die am 
Schlüsse zasamm enge stellt sind. Hoppe. 

Practiscbe Anleitung zur Uimmelspbotugraphie nebst einer knrz- 
sefasBtcn Anleitung zur modernen photographi sehen Operation und 
BpecLralphotographio im Cabinet, Von Nicolaus von Konkoly, 
Dr. phil., Ritter des eis. Kronen-Ordens III. Cl. ; Besitzer Sr. Maj. 
dos Kaisers von Oesterreich grosser goldenen Medaille für Kunst 
und Wissenschaft; Mitglied, resp. Ehrenmitglied vieler wissenschnft- 
lichen und technischen Vereine und Gesellschaften. Mit 218 Text- 
abbildungen. Halle a S. 1887. Wilhelm Knapp. 372 S. 

Der Gehrauch des Buches setzt vollkommene Vertrautheit mit 
der Chemie und Physik, besonders der Optik, andrerseits die Ge- 
legenheit voraus die Kunst in einem vollständig eingerichteten La- 
boratorium dauernd auszuüben. Der 1. Toll behandelt die Einrich- 
iBDg des Laboratoriums, namentlich der (nur rot odtr nur gelb be- 
leacbleten) Dunkelkammer, dann das Präparireu von Platten; der 



1t Lm^wk^K^ Bs^idkr 



• 



jj, 74ä) 4iü \0S^ , iA#fr tsoA tmt Vmkßktam^KaL fTnpri>%wg -C»- 

4irti» m ^A»xMimm 4k 4ar ^mmr. 4w Mono«, te- Fbneim nnf 
KH«!«ii*V4f. <lv f'^xuiUrM:. <kr fitaniidban^^iEm. ö» S iB d Büflfe ^ der 
MjiUs«^ <kr ^M^noL CtewMpItfcre vrf S t muBul kidg« der Fiotors- 
^ft^t%,, «ud J^vtir «^rdw imrvvl 4iM; Ttneinlua ffir du TeriUiFBii 



J(«iw^<4<^t$ddii«e Zftttftdbffiit H wjM f tfe fcei vm der Oofeer- 
r^MkMitm ißt(i¥iMk»ti f«r JfeUiorolajpe od der Diliifci« Ifcta»- 
f<Ar^0#^t;k^ (ptftiaU^käH. tUMpn tob Ilr. i. Ha» (Wi»^ Hote 
Willig) «Md W, Hifpptin (HaAbvf , 6eewaite). Dritter iaki^ng 
14^. (;(di^lMd» XXL Bd. d. ,,Z«tUdir. d. Oettor. Get. £. MeC^) 

hUin^r Jithrn^nfi hi 6er ertie, welcber too beiden Genenifhaftf 
l^tmiiuui'MäfÜkU b4frftaig<fgebefi wird Die Zeitfchrift endieiiit in 
iM4;Mtttlii;lMtfi li«fUfti (zu 4H Selten) , deren jedes erst 3 oder 4 Anf- 
Him^ dünn i^iiM gr(HH»ere Anzahl kleinerer Mitteilongen, dann einen 
I/Mu»raturb«rkbt critbält Die Aufsätze im Torli^;enden Jahrgange 
dlfid folgi^ndo. 

A, Wo'Ukof; Klima an der LenamOndnng nach einjährigen 
Umthiu'Uimiinmt. 

O. J(YNNi): IMo auffallenden Abendorscheinungen am Himmel im 
.tlltll iiiiil Juli IHHr». 

II llilihfliraudNMon: Dio mittloro Bewegung der oberen 
laifUtrOmn. 

K. Kr kl Dor KOliuHturm vom 15. und 16. Oct. 1885 und seine 
WlrltuiiKt^u Im ImlorlHchon (lobirgo. 

A. MaKolNNtui: IJobor Wüllonbildnngon in der jährlichen Pe- 
rltiilit Aov Luiltoniporatur. Tomperaturvorhältnisso kommender Jahre. 

J Ll/nun KiutluBM dos Moudüs auf die mcteorol. Elemente 
unoh t|(M) Uooburhtuugn zu Hatavia. ■— Das Klima von Batavia. 

NV. Sohapor: Uobor dio Hostimmung der magnetischen Incü- 
uaKou nUttolü Knliuduotor uud Tolophou. 

%1, llanu: Zur Kouutuiss dor Verteilung des Luftdruckes anf 
iler Kid\d»orlliuho. (lowittorperiodeu in Wien. 

II llottmauu: rbauolo^i$ohc Studien. 

K. «I buo; Karte dor Auf Mtthroit von S>Tinga vulgaris in Europa. 

r Sohvoiher: K^wv^^ rmformungen der FormeJ f^ barone* 
tru\bo ll«^heum(^!l$ttn;^^n lur Verwendung bei Redndion tom 



Läierariseher Bericht XXI. 9 

meterstftndcD. — Bestimmung der Bewegung eines Luftballons durch 
trigonometrische Messungen. 

W. Koppen: Die Untersuchungen von Dr. J. van Bebber über 
typische Witterungserscheinungen. — Der Orkan vom 14. Mai in 
Crossen a. d. 0. — Der Orkan vom 12. Mai zu Madrid. 

J. M. Pernter: Ueber Langley's Untersuchungen der Sonnen- 
strahlung. — Augot*s theoretische Untersuchungen über die Vertei- 
lung der Wärme auf der Erde. 

J. Maurer: Temperaturleitung und Strahlung der ruhenden 
Atmosphäre. 

F. H. Buchholtz: Fahrt des Militär-Ballons Barbara am 
10. Dec. 1885. 

£. Reimann: Einiges über Gewittererscheinungen im Biesen, 
gebirge. 

N. Ekholm: Ueber die tägliche Variation des Luftdruckes 
während des nordischen Winters. 

J. van Bebber: Untersuchungen von Elias Loomis über die 
Form und die Bewegung der Cyklonen. — Die Veröffentlichungen 
des Kgl. Niederländischen Instituts. 

E. B r ü ck n er : Die Schwankungen des Wasserstandes im Schwarzen 
Meer und ihre Ursachen. 

F. Vettin: Luftströmungen über Berlin in den 4 Jahreszeiten. 
— Einwirkung der barometrischen Maxima und Minima auf die Rich- 
tung des Windes und des Wolkenzuges. 

Hugo Meyer: Gewitter des obem Leinetales am I.Juni 1886. 

A. Hazen: Thermometer- Aufstellung. 

F. M. Draenert: Verteilung der Regenmengen in Brasilien. 
A. Richter: Tägliche Drehung des Wolkenzuges. 

G. Hell mann: Beiträge zur Kenntniss der Niederschlagsver- 
hältnisse von Deutschland. 

R. Assmann: Der Orkan vom 14. Mai in Crossen a. d. 0. 

F. Lingg: Ungewöhnliche Anomalie zwischen gleichzeitigen 
Barometerständen von München und dem Wendelstein. 

G. Schubring: Reduction des Barometerstandes auf den Meeres- 
spiegel mit Hülfe einer graphischen Tafel. 

K. Dove: Der Orkan vom 10. Aug. 1886 bei Northeim und 
Cattenburg. 

F. Busch: Zur Polarisation des zerstreuten Himmelslichtes.— 
Beobachtungen über den Gang der neutralen Punkte. H. 



Physik. 

ThermodyDamiqae. Par J. Bertraod, de I'Acad^ic I 
^isc, SecrelAiro perp^tuel de I'Acad^mie des scieaccs. Paris 1 
Gauthier- Villars. 291 S. 

Eine uene Bearbeitung der Wärmetlieorie nach ihrem henligO 
StaDdpankt unlerDimmt der Verfasser aas dem Gesichtspunkt Jf 
strengst inüglichen logischen Kritik. Er sagt, mau könne iu dioscr 
Bcziebaug nicLt alles leisten, aher docli sehr viel bessern und di* 
hauptsächlichen logischen M&ngel beseitigen. Seine logischen Graacl" 
Sätze hat er nicht formulirt ausgesprochen, sondern nur in Beispiele" 
augedentel, aus denen sie sich einigermasseu abstrahiren lassen. &' 
rügt CS, dasä mau Ideeu als Axiome — sei es als Hypothesen od»*" 
als ursprünglich gewiss — betrachtet, in denen notwendige Frage» 
gar nicht zum Bewnsstsein gozogcn sind. Hiermit ist in der Tat ei«» 
herrschender Fehler der Forscbungslogik ans Licht gezogen, dersict* 
aber weit bestimmter hezcichn'^n Ifisst, wenn man nur nicht bei de*" 
vagen Auffassung des Wesens der Hypothese stehen bleibt, welche 
darin nichts als oine interimistische Stütze einer noch nnferUgeo 
Theorie, slatt eines wesentlichen Elements alles exacleu Wisseos 
sieht. Theorie hat nur Sinn relativ zur Hypothese . und nmgekobrt, 
und apriori hat nur Sinn iu der Auwenduog der (empirisch be- 
festigten) Theorie auf die neue Wirklichkeit Die angebliche Er- 
kenutniss apriori, in welcher der Verfasser die Nennung der wesent- 
lichen Momente verjnisst, ist eben nichts als ungeprüfte Ueiunng. 
Mit Recht begrQsat man den orstcn verbindendeu Gedanken (z. B. 
Descartes : Erhaltung der Kraft, Schiaparelli : Identität von Kometen 
und Sternschuppen) als grosse Entdeckung. Mit ihm ist der Bacil- 
lus, die Universal -Ursache der Erscheinung aufgewiesen und die 
Hoffnung auf ihre Erklärung erweckt, Aber von da an können Jahr- 
hunderte vergehen, ehe es den Austrengungen der Forscher gelingt. 
eine brauchbare Hypothese, d, h. nicht nur im allgemeinen baltbar, son- 
doru auch uach allen Seiten ausscbJiesseud und nursoviel unbestimmt 
lassend, als im Gedanken durchlaufen werden kann, aufzufinden. Der 
sehr verbreitete Fehler, um den es sich handelt, ist die Verwechse- 
lung jeucs verbindendeu Gedankens, dem zur Erklärung der Krscboi- 
nung das Notwendigste noch fehlt, mit der Hypothese als detiniUver 
Erningonschaft. Im Vorliegenden geht der Verfasser, nachdem er 
in der Kürze eine Uebcrsichl über die Wärmethoorie für vollkommene 
Gaso gegeben hat, vom ersten verbindenden Gedanken aus, den w 
Sadi Camot zuschreibt, entwickelt zuerst dessen Ideen, dann die 
Ideen von Robert Mayer und geht dann zu Thcoromen, 



LUlerarischer Bericht XXL 11 

von Carnot, dann ergänzend and berichtigend von Claasius über. 
Die folgenden Capitcl behandeln die Differentialgleichangen, die cha- 
rakteristischen Functionen, einige Sätze, einige Probleme, einige An- 
wendungen, die Condensation der Dämpfe während des Aupströmens, 
Cyklus des Dampfes und Diagramme der Maschinen, nicht umkehr- 
bare Cyklen, die Arbeit der Elektricität Hoppe. 

Zeitschrift für den Physikalischen und Chemischen Unterricht. 
Unter der besonderen Mitwirkung von Dr. £. Mach, Professor der 
deutschen Universität zu Prag, und Dr. fi. Schwalbe, Professor 
und Director des Dorotheenstädtischen Realgymnasiums zu Berlin, 
herausgegeben von Dr. Fritz Poske. Erster Jahrgang. Erstes 
Heft. Berlin 1887. Julius Springer. 4^ 40 S. 

Die neu erscheinende Zeitschrift setzt sich die Aufgabe, einer- 
seits eine Verständigung über die leitenden Principien wie über die 
specielle Behandlung des Unterrichts herbeizuführen, und andrerseits 
es zu Termitteln, dass die von Einzelnen gewonnenen Erfahrungen 
und Einsichten zu allgemeiner Anerkennung und Wirkung gelangen. 
An erster Stelle wird die Methode ins Auge gefasst und deren plan- 
mässige Ausbildung auf histor'scher und logischer Grundlage ange- 
strebt werden. In Hinsicht auf den experimentellen Teil des Unter- 
richts sollen neue Unterrichtsmittel und Verbesserungen von solchen 
beschrieben', sowie Anleitungen zum Gebrauche der Apparate und 
zum Anstellen von Versuchen überhaupt gegeben werden. Auch der 
mathematischen Seite des Unterrichts wird Aufmerksamkeit und Pflege 
zugewandt. Namentlich ist eine regelmässige, nach rationellen Ge- 
sichtspunkten ausgeführte Zusammenstellung von Aufgaben in Aus- 
sicht genommen. Ferner werden aus der Fachlitteratur des In- und 
Auslandes Berichte geliefert, und neu erschienene Schriften bespro- 
chen werden. 6 Hefte bilden einen Jahrgang zu 30 Bogen. Das 
erste Heft enthält an grossem Aufsätzen E. Mach : Ueber den Unter- 
richt in der Wärmelehre. A. Weinhold: Eine Influenzmaschine 
ohne Pol Wechsel. M. Koppe: Der Foucault*sche Pendelversuch. 
Fr. C. G. Müller: Ein Demonstrationsthermometer. Joh. Berg- 
mann: Ein neuer Apparat zur Darstellung einfacher Schwingungen. 

H. 



Vermischte Schriften. 

Jornal de S«iencias Mathematicas e Astronomicas. Publicado pelo 
Dr. F. Gomes Teixeira, Professor na Escola Polytechnica do 



Porto, Antigo Professor na Uuivcrsidado de Coimüra, Socio d« ^<*' 
demia dus Scirnnns do Lisboa, etc. Vol. Vif. Coimbra 1886. '""' 

pronsa da Universidade. 

Der 7. Band enthält folgeudo Abbaodlungon and Noteo. 

E. Ceaäro: Arithmetische Bemerkungen. — AaszOge aas oii^^ 
Briefe au Herrn d'Ocagne. — Bemerkungen aber die Theorie ^^^ 
Reiben. 1 

J. C. d'Oliveira Ramos; Uehcr die Zerlegung der Kre^ ^* 
fanciionen. 

Ramos und Casimiro J. de Faria: Ueber die Coefßcicnt^^ *" 
der Formel, welche die Derivirte beliebiger Ordnung der insamme»- '"' 
gesetzten Functionen gibt. 

M. d'Ocagne: lieber gewisse Bestimmungen von Grenzwerieu^ •' 
mittlere Grenzwerte zweier Zahlen. — Auszug aus einem Briefs ai-^B" 

F. Gomes Tcixeira. —Ueber gewisse arithmetische Snmniationen, ■ 

Ueber gewisse symmetrische Functionen-, Anwendung auf die Berect»^^ 
nung der Summe gleichhoher Potenzen und Wurzeln einer Gleichar^ -^i- 
— Ueber die reetiäcabeln Ellipsenbogeu. 

L. F. Marrecaa Ferreira; Ueber die Theorie des Hyj 
boloids. 

J. M, Rodrignee: Theorie der Rotation. 

H. le Pont: Geometrische Note. — Neuer Beweis deB Ch. '. 
pin'schen Satzes. - Note über die Bewegung eines von füstem Ceci^"i- 
trum aus getriebenen materiellen Punktes. 

Giuo Loria: Kote über die Moltiplication zweier Setenii=3- 
nanten. — Ueber eine Eigenschaft der Determinante einer Orthc:»' 
gonalsubstitntion. 

Rodolpho Güimaräes: Ueber einen Satz betreffend dieVer^ 
gleich ung von EUipsenbogen. 

J. Brnno de Cabcdo: Ueber eino Formel von Taylor. 

F. Gomes Teixetra: Anwendungen der Formel, welcie di» 
Derivtrten beliebiger Ordnung der Functionen von FnnctJonen pb( 

Duarto Leite: üober den transcendenten Teil des Integnli 
einer rationalen Function. H. 



American Journal of Mathematics. Simon Newcomb, Editor- 
Thomas Craig, Assoeiale Editor, Published undcr thc Anspicei 
of the Johns Hopkins Univcrsity. Volumo IX. Baltimore 188T. 
Publication Agency of the Johns Hopkins UniTersity. 



Hyp«2| 



Lüierarüeher Bericht XXI, 13 

Der 9. Band enthält folgende Abhandlungen. 

J. J. Sylvester: Vorlesungen über die Theorie der Recipro- 
canten. 

W. E. Story: Eine neue Methode in der analytischen Geometrie. 

F. N. Cole: Kleines Ikosacder. 

A. G. Greenhill: Wellenbewegung in der Hydrodynamik. 

A. S. Hatheway: Eine Abhandlung in der Zahlentheorie. 

H. B. Fine: Ein Theorem betreffend 'die Singularit&ten von 
Curven mehrfacher Krümmung. 

H. Dallas: Eine Note über Kegelschnittbüschel. 

P. A. Mac Mahon: Beobachtungen an Erzeugungsmethoden der 
Theorie der Invarianten. 

Cayley: Ueber die Transformation der elliptischen Functionen. 

G. Faxten Young: Notwendige und hinreichende Formen der 
Wurzeln uniserialer AbePscher Gleichungen. 

W. Pitt Dnrfee: Symmetrische Functionen der 14*« (s. Bd.V. 
p. 348). 

M. D'Ocagnc: Ueber eine Classe merkwürdiger Zahlen. 

M. Hermite: Auszüge aus 2 Briefen au M. Craig. 

F. Franklin: Zwei Beweise für Chauchy's Theorem. H. 



Journal of the College of Science, Imperial University, Japan 
Vol. I. part II. III. Tokyo 1887. Published by the university. 
97+126 S. 

Die Herausgabe wird von einem Comitee der Universität besorgt 
bestehend aus den Professorou D. Kikuchi, K. Mitsukuri, C. G. 
Knott (aus Edinburgh) und S. Sekiya. Der 2. Teil enthalt eine 
deutsche Abhandlung: 

Diro Kitao: Beiträge zur Theorie der Bewegung der Erd- 
atmosphäre und der Wirbelstürme. 

Der 3. Teil enthält ausser 3 zoologisch-physiologischen, folgende 
physikalische englische Abhandlungen: 

Aikitu Tanakadate: Ein Taschen-Galvanometer. — Die 
Constanten einer Linse. 

B. Koto: Vorkommen von Piedmontit in Japan. 

S. Sekiya: Das starke japanische Erdbeben vom 15. Januar 

1887. 



14 Lüteraris<Aer Btricki XXI. 

C. G. Knott: Elektrischer Widerstand von Nickel bei hohen 
Temperaturen. — Elektrische Eigenschaften des hydrogenisirten Pal- 
ladiums. H. 



Nova Acta Regiae Socictaüs Scientiarnm Upsaliensis. Seriei 
tertiae Vol. XIII. 1886. 

Von den im 13. Bande enthaltenen 11 Abhandlangen gehört eine 
der Mathematik, eine der Physik an; diese sind: 

A. Berg er: lieber eine Anwendung der Theorie der binomi- 
schen Oleichungen zur Summation einiger Reihen. 

K. A^'ngström: Ueber eine neue Methode absolute Messungen 
der strahlenden Wärme zu machen, sowie ein Instrument um die 
Sonnenstrahlung einznregistriren. H. 

« 
Annuaire de Fobservatoire de Montsouris pour Tan 1887. Me- 
teorologie, agriculture, hygiöne. Paris. Gauthier-Yillars. 

Der diesjährige Band enthält ausser dem Kalender die tabellari- 
schen Resultate der in Paris und auf dem Montsouris gemachten 
meteorologischen Beobachtungen, insbesondere betreffend die Sonnen- 
strahlung, Kälte, Wasserdampfspauuuug, Feuchtigkeit, Lufttemperatur, 
Regenmenge, Erdmagnetismus und den Wind; ferner die chemische 
Untersuchung der Luft, des meteorischen und fliossendeu Wassers; 
schliesslich die 9te Abhandlung von Dr. Miquel über die Bacterien 
der Pariser Luft. H. 



IdUerariicUr Bericht XXII. 15 



Litterarischer Bericht 

xxn 



Lehrbücher. 

Lehrbuch der Algebra. Theoretisch-praktische Anleitung zum 
Studium der Arithmetik und Algebra. Zum Gebrauche an höheren 
Lehranstalten, insbesondere an Gymnasien, bearbeitet von Prof. Dr. 
J. van Hengel, Oberlehrer am Königlichen Gymnasium zu Emme- 
rich. Freiburg i. Br. 1887. Herder. 489 S. 

Das Buch macht weniger den Eindruck eines Lehrbuchs als 
vielmehr der Darstellung einer muntern , ungebundenen Handhabung 
des Unterrichts. Nur in diesem Sinne, nur als augenblickliche Ein- 
fiüle zur Erhaltung der lebendigen Teilnahme und des Selbstdenkens 
der Schüler kann man die Freiheiten billigen, die sich der Ver- 
fasser nimmt, indem er z. B. die Gleichungen einteilt in richtige 
lud falsche, Begriffiserkläningen gibt, die nichts sind als Setzungen 
eines Namens für den andern u. s. w. Ihm selbst mag ersteres gute 
Dienste tun um zur Probe aufzufordern , letzteres um Bekanntes zu 
vergegenwärtigen. Aber eine dauernde, auch für andere Lehrer 
brauchbare Grundlage wird darin nicht geliefert, wenn wir auch ein- 
räumen, dass alle jene Freiheiten geschickt genug angebracht sind 
um, selbst ohne Kennzeichnung des wissenschaftlichen Kernes, wel- 
cher in der Tat in keiner Weise hervorgehoben wird , den zu er- 
lernenden doctrinären Inhalt nicht zu verhüllen, oder die Uebersicht 
merklich zu beeinträchtigen. Hiervon abgesehen ist an der Lehr- 
methode eigentümlich der Gang vom Allgemeinen zum Speciellen. 
Während man sich grösstenteils dafür entschieden hat, dass die Be- 
grifie der Arithmetik durch successive Erweiterung zu entwickeln 

Aldi. i. Math, xu Phyi. 8. Beihe, TeU VL % 



16 



LiUtrarUektr BitMt XXJl 



Bind, bat der Verfasser die entgegengeBetzte Wahl getroffet). Hu 
Bollte meinen, tlass der Ausfall der Bearbeitung den Misgriff deat- 
lieh genag an den Tag brächte. Die Operationen werden erst ins- 
gesamt, dann einzeln behandelt. In dem Capitel von der uinzelueE 
wird eine alle Falle nrnfasson sollende Definition an die Spitze p- 
stellt, eine Definition die vom Begriffsinhalt gar nicbts sagt, sondern üid 
nur durch Bedingungen umgrenzt, überdies auf lieinen Spezialfall u- 
wendbar ist, sondern nur verschiedene in Beziehung setzt. Der ScbtUer 
wird daher weder ans ihr den Sinn der Operation verstehen leraeu, aocli, 
wenn sie ihm bereits bekannt ist, Einsiebt gewinnen, ob sie mit seiii«a 
Begriffe vereinbar, ob sie richtig oder vielmehr — dass sie falscli ist- 
Nun werden durch Specialis irung eine Reihe arithmetische Süue il< 
leichte Folgeruugen aus der Definition gezogen, endlich ei ue An- 
zahl Boisiiielc gerechnet. Letztere holen dann leidlich das VersantiilB 
nach und können allenfalls einen Begriff von der Operation gebet, 
nogut er eben in der elementaren Bechenschule gegeben wird. Ea 
Beispiel einer solcheu Definition ist die folgende. (S. 32.) „Mni- 
tiplication ist das Ableiten einer Zahl (Product) aus zwei oder mehr 
Zahlen (Factoreu), weun sie von diesen so abhängig ist, dass du 
Kesaltat ist, wenn irgend einer der t'actoren Ü ist, und dass, weun 
au die Stelle irgend eines der Factoren alle seine Suuimauduu ein- 
zeln eintreten, die Summe dieser Einzel resul täte gleich dem ti 
Bucheudou Resultat ist." Die Operation des Multipücirens bleibt 
hiernach Problem, nicht einmal eine Probe irgend eines ßeaoltlll 
ist aufgestellt; mau weiss nur, wenn mehrere Resultate vorliege! 
und der Bedingung nicht entsprechen, dass miudesteus eines (alKb 
sein muss. nicht aber, welches. Die Bedingung ist nur eine Co- 
Schreibung der Functionsgleichuug ft^+y) = /"W+Ay) auiuweuJeu 
i>Df jeden Factor. Es ist klar, dass diese Bestimmung der Function 
nicht ausreichti es muss auch ein Specialwert gegeben sein, aud 
hierfür ist der aufgestellte Specialwert f(0) = gerade der einzig 
unbrauchbare; Überdies ist er ganz Überflüssig, da er schon aus 
/■(i+O) —/-W-fz-toj folgt. Deranaeh bedarf die Definition einer 
zweifachen Berichtigung. Allein mit der leichten Ergänzung und 
Beseitigung ist es nicht getan, Es mUssten auch alle Folgeniogeu 
darnach revidirt werden. Unter den Beweisen stQtzen sich manch« 
stillschweigend darauf, dass das Product durch die Factoren be- 
stimmt wäre, was zu beweisen gar nicht versucht ist; ein Bewvii 
(Satz 12.) ist geradezu falsch, weil er das Zubeweiseude voraussetil; 
ausserdem wQrde der Nachweis des Zutreffons des Specialwerts Ober- 
all hinzukommon mQsseu. Im ganzen kaun daher fast nichts stehen 
bleiben. Im Vorwort äussert der Verfasser, die Algebra müsse dea 
Schüler ihre Wahrheiten an sich erkennen lassen. Gesetzt, Ja 



Lüttrarudttr BtrüAl XXll. 



17 



Fehler in obiger DefiDitioa and in ihren Folgenmgen wflreD berich- 
tigt, was hat der Verfasser dazu getan, den Schüler ihre Wahrheit 
erkennen zn lasBen ? Können wir nun auch dem Bnche koino Leistung 
fUr den Untorricht zn erkecDen, bo mag doch wenigstens die eine 
Leistung fUr das Studium der Methode genannt werden: die Bear- 
beitung stellt aufs neue die Verkehrtheit von Grassmann's Ansicht 
ans Licht, wenn eine mathematiscbe Lehre dem Anftnger nicht ein- 
leuchte, so sei sie nar noch nicht allgemein genng anfgefasst. 

Hoppe. 

Lehrbuch der plementaren Mathematik znm Schul- nnd Selbst- 
ODterricht fOr Lehrer und Lehramtskandidaten sowie als Vorschule 
auf das eigentliche mathematisdio Studium. Von C. E. Enhottz. 
I. Theil. Reine Arithmetik. Aarau 1887. H. II. Sauerlaendcr. 

Die Bearbeitung des Buches deatct mehr auf die Bcatimmang 
bin, NichtmathematikcrD Kenntniss von der Mathematik zugeben, ala 
An&nger für das eigene Betreiben derselben vorzubilden, wodurch die 
Möglichkeit nicht ausgeschlossen ist, dass Mancher dadurch Neigung 
tum Studiam gewinnt. Der Vortrag ist vorwaltend pragmatisch; 
nur mit Auswahl werden Lehren in formnlirteu Siltzen oder in syste- 
matischer Stellung zusammeugefasst. Die Begriffe werden bei der 
Erläuterung nicht sonderlich scharf gefasst; es scheint aU solle der 
niedere Standpunkt dcrVerstandesentwickeluog der Leser respectirt 
und conaervirt, aber ja niemals erhöht werden Soweit indes dieses 
Princip es zulicss, ist auf Correctheit des Ausdrucks sichtlich Fleiis 
gewandt worden. Zu erwähnen ist noch, dass reichliche historische 
Angaben jedem Abschuittc folgen. Gegenwärtig ist die erste der 3 
Lieferungen erschienen; das Ganze soll 17 Bogen stark werden. 

H. 



Lehr- nnd Uebungsbnch der allgemeinen Arithmetik und Algebra 
für die untern Claaseu der Mittelschulen. Von Moriz ßret- 
Bcbueider, k. k. Oberlieutunant im Infant Keg. Nr. '28, Lehrer 
der Mathematik an der k. k. MilitJlr-Unlcr-Realschnlo zu Eiscustadt 
I, Tbeil. Mit 6 in den Teit eingedruckten Figuren. Wien 1S87. 
Gerold n. Comp. Stuttgart, Julius Maier. 118 S. 

Dieser erste Teil umfasst nur die Operationen an natürlichon 
Zahlen, nnd zwar mit Einschiusa des Fotenzirens uud Badicireiis, 
mit Ausschluss des Logarithmirens. Bedeutung uud Gebrauch der Ope- 
rations- und GrüssenbezeicLunngon werden im grössten Umfa:;go 
loiehtfasshch , kurz und correct erklärt, auch die geschichtlichen 
Angaben nebst etymologischer Erklärung hinzugefügt. Formello 



I 



18 



ihcrtttift fie logi- 



Die BoHm^e der GconeGrie Ür den 
roB H. Seef er. Diiwtor des Eet^^sriiiBuiiBff im Gtetro 
SKis Fiearatftieii. WisBir ISST. 



Die E^Rattmüchkeil der tob 
pkn skk sdu» ia der AxvdBne •» Lpärffrutfr zb crtemem. Um 
Hssfcmhsiciijne s^sd aiaük^z Die ge am u LLiM ABa Gimmagekädt wd 



ÄMweadLiDg der Alreiffm aaf die GMonftne; BkviisGick mas te 
M«a«B Geomecrie: t^ Ar.nfa'pe; Aa^aatm 7aBfcf%ffi tedel ■•■, 
dftss die Leäme tos der FÄftcbeBÖeidäieäx m TensickaiB gaax UÜL 
Avf die C-iocTKaiz ic*~i£t sapeäck die Aflkaäcbkfät . dsaa fie redh 
wffide Gftcoiiftrie. C^fnkir erreboi sdt loaiicke Sitze tter Fiickei- 
fköckbcät T«a se^bs «k der Iiüiftltsnciannip lüreiMfee tob fkicte 
Bu» «Bd Habe sni cköck. veü nftK ibr» lühah aai beides be- 



Lehmiöet der Tcndadhinc der IipireB Üd- AbaAtesäg jrbiltfi 
bAbcn sfiZie« wträe kuun ^iftabücb scbexiKx« wenn licbi veitere 
Besr^tirciipen bininkljuc^. Sc-bes vir ers zu« icie mngeOuft der 
B<«bnerDgni2^scniDd iä. Ltass m&s aBe eiemeDtaneB ArcalreiatioDei 
nmcbtnclicb ans den IiibahsfarmelA berieätes kum, sei cagtfebea 
rnmjn^'lbu' evident sa>d danas die werngstsas. SoO aber fies der 
oianre Weg seäa, auf drm äf7 Sditler dif ersiesien keaaea lerat, 
so ejit^bi ihiE der cmtadie ZBsamiDe&banff. ia vek^ea £e ooa- 
siracrive >jroTbps!S dir ^anze Bfdbe von TerwaadhmgBAtzea ait der 
Coiumc&zjcbre hriiur:. and CrrfissenbsziebnBFnL die aac^ ^i^m^mAm' 
dnrcb If^rbte FolireraaeBn berrorpe^an, treien anf ak bedii^ dardi 
die iToataickeit der Aasmesnioc. doien TbMirie wMler basirt vodei 
mauste an: die cnnsiOicine rnterstcbeidaac der f^nw i i a wi iff n ab ela aad 
iacomaiensaiabcihi Linien: liberdies eax^ebea ibai die if wuaniiii 
Ter«'aad]QTijfsan^abon. Lies^ man abar die B^aadlaafaaaiae da 
I^hr9t<vfi» vom S. Abscbaitt an, so kaaa auA aicfat miter duai 
rwcifela^ dtss der Tcaiasas däfc T^^DQjgBsoL ^e^ 



LiUerarüeker BtricAl XXll. 



19 



: nichts achtet und das Anarcchnen allein fUr inatrDctiv hält. Denn 
Bit der Einfuhrung der Proportionen (deren Theorie freilich arith- 
lotische Begründung nicht entbehren kann) wendet sich der fernere 
johrgang ganz der Arithmetik zu. Einmal äuEsert sich auch der 
pTerfasser in Betreff gewisser Sätze dahin , dass man sie zwar auch 
tometrisch herleiten könne, aber der arithmetische Weg vorzu- 
lehen sei; eiu andcresmal, dass die Beweise an der Figur milhe- 
'vollcr zu lesen seien, weil der Blick auf zweierlei sich zu richten 
gezwungen werde. Letztere Bemerkung ist gewiss zutreffend, doch 
gerade vom geringsten Belang iu den Elementen der Geometrie. 
•ßtL alle Messung mit einem Fehler behaftet ist, so pflegt die etn- 
■^tigc Bevorzugung metrischen Verfahrens mit Geringschätzung 
Hjuiiler Strenge verbunden aufzutreten. Es ist daher hervorzuheben. 
Hin das Lehrbuch ttber die Forderungen exactcr Logik nicht leicht- 
Krtig hinweg geht; nur zeigen sich dabei einige leicht zu besoi- 
Bgende U&ngel. Btti Begründung der Propertionslebre wird der Fall 
'der locommensurabilität eingehend erörtert, und die strenge Gültig- 
keit der Gleichsetzung irrationaler, nur durch Grenz eneinschliessnng 
zu dehnirender Verhältnisszahlen wenigstens ausgesprochen. Warum 
fehlt aber die iudirecte Scblussfolgerung , welche den Satz Über die 
Grenze neinschliessuug sofort in voller Allgemeinheit evident macht? 
ist sie zu schwer oder zu leicht zu verstehen? Von selbst versteht 
sie sich nicht, denn grosse Mattiematiker sind daran vorbeigegangen 
ohne sie zu tindeu; wird sie aber richtig geführt, so versteht sie 
jeder Anfänger. Ferner ist die Begriffsbestimmung des Winkels 
richtig gegeben , und der Parallelensatz , zwar nicht als Grundsatz, 
sondern als Lehrsatz bezeichnet, ohue Versuch eiues Beweises auf- 
gestellt. Dagegen hat der Verfasser im Anhang, auf den er hier 
verweist, einen falschen Beweis von Bertrand rein historisch, ohne 
eignes Urteil aufgeführt und durch Nennung des Autors sich selbst 
von der Verantwortlichkeit frei gemacht. Seine eigne Bemerkung zu 
dem Satze sagt: der Beweis könne „ohne Zuziehung unendlicher 
Flächenräume" nicht geführt werden. In der Tat ist dies wahr, der 
Satz, kann weder ohue noch mit Zuziehung derselben bewiesen 
werden. Freitich verleitet der Beisatz ,zu falscher Meinung, doch 
sind Meinungen nicht Sache mathematischer Lehren. Auch die im 
Anhang vorgetragene Methode der Untersuchung von Linienverhält- 
nissen auf Commensurabilität meidet äusserst umsichtig den im 221. 
litt. Beriebt, S. 6. gerügten Irrtum eines andern Lehrbuchs und stellt 
die Folgerungen in exacter Beschränkung auf. Aus der neuern syn- 
thetischen Geometrie sind die Lehren von den harmonischen Punk- 
ten, harmonische Strahlen, Pol und Polare am Kreise, Potenzliaie 
zweier Kreise und Kreisberuhrungen aufgenommen. Hoppe. 



30 lÄtttrantduT Bmckt XXJJ. 

Elemente der reinen Mechanik als Torstadien fOr die aaalrlische 
und aoKOwaudte Mechanik and fUr die mathematische Phjriik u 
Universitfileu ncd technischeD Hochschulen sowie zum Seibstunio- 
lichL Von Dr. Jos. Finger, o. ö. Professorder reinen Mechmil 
»n der k. k. technischen Hochschnle und Docent an der k. k. Uni- 
versiUt in Wien. Mit 200 Holzschnitten. Wien 1886. AIM 
Holder. 792 S. 

Die 2 Jahn frtlher erschienene erste Lieferung ist im 'S. litt 
Bericht S. 19. besprochen. Wie daselbst bereits erw&hnt , ist ib 
oberste Einteilaiig gew&hlt die in Mechanik des Pnnkts ud te 
Pnnktafstems , dann erst eine jede in Statik «od DyBainilL Dit 
Statik des Punktes wird erst für die Ebene, daiui Ar den Iv 
behandelt, eine Zerlegung die nicht weiter föngeüLhit wird , n4 ft 
bei analjtiscbcr Methode sich wol atets alt uptsktiach tsmäm 
möchte. Weiter wird die Statik des Puklcs eisgetalt is fc 
des freien Punktes nnd die fftr feste FUcte oder liair. ^eäd 
knapft sich an die Statik der SchwetCL Die l>jv»m^ des PldSi 
wird erst filr ge/«dlinige , dann fttr krmmoiliaige Dew«png bf 
haudelL Die Statik des Pnnkt^steBs bssetetakt n^ nf At 
Kette, d. k anf den Fall, wo limissn,»« aar iwuchi» 4mttt 
Beihe Dsch folgeudeo Pnnkts irifttsdni Ib de« sUgeMeif W>- 
äpiu der Mecbsaik wird ■mUmt Stitik Vki Draunfe ia 
I Ncna beka^dt, alss Pl 

P toälM «ad AliwbBrtltfcw PttMir aamiwrihar 

[ Triia Dua«at dM Bwh sMMcficfc wd fia 

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t*rH|iiwiifcaaa Dar Aalng < 
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Btridit XXU. 21 

setz folgen eine oder mehrere Bestätigangen dorch Beobachtaogen 
ohne oder mit Experiment, letzteres mit Abbildung. Die Gesetze 
werden grössten Teils nor von ihrer qualitativen Seite an^fasst, 
die Quantität kommt nur vor, wo das Gesetz wesentlich duin be- 
steht, und dann auch meistens bloss comparativ ohne bestimmte An- 
gaben. Offenbar bieten der erste und dritte Gursus hinreichend viele 
qualitativ charakteristische Erscheinungen dar um eine Beschr&nkung 
auf dieselben zuzulassen. H. 



Natnriehre im Anschluss an das Lesebuch von Dr. J. Bu- 
mflller und Dr. J. Schuster. Blustrirte Ausgabe, neu bearbeitet 
TOB Dr. Max Wildermann, Gymnasial-Oberlehrer. Mit 108 Ab- 
UMungen. Freiburg L Br. 1887. Herder. 150 S. 

Das Buch flberliefert in leichtfasslichem , beschreibendem Vor- 
trage alle Kenntnisse, welche Jeder auf der Schule erwerben mnss, 
um sich bei dem, was er wahrnimmt, soweit es der anorganischen 
Welt angehört, Aber die darin enthaltenen Vorgänge und deren Zu- 
sammenhang deutliche Rechenschaft zu geben. Die Abschnitte sind 
der Reihe nach : Bewegung und Gleichgewicht, Schall, Wärme, Licht, 
Hagnetismus und Elektricität. In gewissem Umfange werden auch 
die technischen Verwendungen und Vorrichtungen beschrieben und 
erklärt. Die zwischen dem Text stehenden Abbildungen sind zur 
Orientirung sehr günstig gewählt. H. 



SammloDgen. 

Beispiele und Aufgaben zur Algebra. Für Gymnasien, Real- 
gymnasien, Realschulen und zum Selbstunterricht. Von Dr. Georg 
Lauteschläger. Zwölfte, vielfach vermehrte Auflage bearbeitet 
von Dr. Fr. Graefe, Professor. Darmstadt 1887. Arnold Berg- 
strässer. 132 S. 

Als Beispiele sind bezeichnet zu lösende Gleichungen 1., 2., 3., 
4. Grades und höherer Grade, bereits in Zeichen gegeben, deren 
bekannte Grössen Specialzahlen sind, als An^ben solche, die in 
Worten aufgestellt sind und vor der Lösung in Zeichen umgesetzt 
werden sollen. Letztere, die den 2. Teil des Buchs bilden, führen 
auf Gleichungen 1., 2. Grades, diophantische Gleichungen, Pro- 



Beriekt XXII. 



greHsiODen. Im Anbang steheu Anfgabcn fQr die Dcterminuiteii- 
lohro. In 12. Auflage sind die „Beispiele" sehr vermehrt, oid W 
dor Anbang hinzugekommen. Losungen sind nicht angegcbeu.' 



Dr. Ernst Kleinpaulacho Anweisung zum praktischen Bechnu 
Ein methodisches Handbncb für den Unterricht und SolbEtanterriclA 
im Itechuon, Fünfte, umgearbeitete und erweiterte Auflage. Von 
Dr. F. Mortona. Bremen 1886. M. Heinsins. 546 S. 

Das Buch ist eine methodisch geordnet« Sammlung ¥0n Fngoo 
and Aufgaben znr gründlichen Erleraung und Einübung des bSiyT' 
liehen Rechnens für Kinder, bei denen man noch keinen Begriff m 
Zahlen voraussetzen darf. Auch der voran sgescbickle kleine id- 
sati: „Allgemeine Gesichtspunkte" — welcher vielleicht mit der Bt 
«oiehnung „Anweisung" auf dem Titel gemeint ist, sofern dem Vor- 
wort lufülgo die neue Ausgabe als Anweisung sich von dem Bechsi- 
buche selbst unterscheiden soll, ist der Uaupteacbe nach nor An^ 
s&blung der verschiedoneu Seiten , von welchen aus der Begriff der 
Zahlen und 0|>crationen zur Deutlichkeit zu bringen ist, welche man 
abor aus der Keihenfolge der Uebungeo schon besser und volist&o- 
dlgor ersieht Das Buch erscheint in 3 Heften. Das erste schreitet 
in stutt'uweiser tj-weilerung des Zahlengebiols bis 6, 10, 2U, lUO, 
lOÜÜ fort and ^gt auf letzter Stufe die gemeinen und Decimal- 
hrache hiaiu. Das zweite Heft übt die Operationen au unbenannten, 
dann b^uiaunten Zahlen, dann Brachen, das dritte die bürgerlichen 
Bud kaufm&uniscbeu Rechnungsarten ein. H. 



iOoSr 



Tafeln. VoaTheoa 
Zweite Auflage. Hannover 



l^tlliltti, Dr. rUL n4 Pnftoar. 
F«»r. HftU. SOS. 

IM« l.T»Mj|Mt mT 4 SttHB iäb LoganUimen der Zahlen lOÜ 
, 4m 3li auf 3 SeitAQ die LogaiithmeB 
4m 4er Zahlen, die 3t« auf S 
9*4« #• tritnio— Iriw^a F^mImmb te di« ganzen und balbeo 
Bwlk. «Mt 4« w( « SvIlN «• LaganthMeo derselben durch die 
ttHhaM ttl«*K #» tl« M< Mf a SriHB tm Antüogaxittmen. 



IMUrmiaehMr BmOu XXU. 23 

Tafeln zur Berechnung der Mondphasen. Znm Grebranch beim 
Unterricht in der mathematischen Geographie entworfen und mit er- 
klärendem Texte herausgegeben von Gh. Paulus, Professor am 
Obergymnasium in Tübingen. Tübingen 1885. Franz Fues. 72 8. 

Der erklftrende Text, welcher den Tafeln vorausgeht, gibt Aber 
die gesamte Berechnung der Phasen, sowol der einzeln gefragten, 
als auch ihrer Tabellen, in Formeln Auskunft, so dass der, welcher 
mit der Himmelsmechanik, nicht aber mit der astronomischen Praxis 
bekannt ist, Aber die Entwickelungsmethode daraus Belehrung ent- 
nehmen kann. Die Berechnung ist, u. a. durch Annahme des julia- 
nischen Jahres, vereinfacht, nach Aussage des Yerfeuusers gleichwol 
für den Zeitraum von 800 vor bis 2000 nach Chr. Geb. bis auf 1 
Minute genap. Werden nun auch selten Schulen soviel Zeit er- 
übrigen können, um die auf 29 Seiten gegelj^ne Erklärung zumVer- 
ständniss zu bringen, so wird dieselbe doch einerseits Autodidakten, 
die den (Gegenstand aus eignem Interesse treiben, gute Dienste tun, 
andrerseits können auch Schaler, ohne sich vorher in den Zn- 
sammenhang vertieft zu haben, bloss nach den Tafeln unter Bei- 
hfllfe des Lehrers Beispiele rechnen. Hierzu ist noch eine kurz 
ge&sste Gebrauchsanweisung gegeben. Die Berechnung besteht aus 
2 Teilen: erst wird die Zeit der mittleren, dann der wahren Phase 
berechnet; hiernach wird noch untersucht, ob der Neumond und der 
Vollmond von Verfinsterung begleitet ist H« 



Vermischte Schriften. 

Bulletin de TAcad^mie Boyale des sciences, des lettres et des^ 
beaux-arts de Belgique. 55 — 57 annte, 3** sirie, t IX — XUI. 
Bmxelles, F. Hayez. 

Mathematischen Inhalts sind folgende Artikel. 

P. Mansion: lieber die Methode der kleinsten Quadrate. 9. ^ 
Ueber eine Form des Bestes in der Taylor'schen Formel und in der 
von Gh. Lagrange. 10. — Bestimmung des Bestes in der Gauss*- 
schen Quadraturformel. 11. — Ueber das letzte Theorem von For- 
mat 18. 

Gh. Lagrange: Neue Formel fdr die Entwickelnng der Func- 
tionen, insbesondere der Integrale. 9. — Lösung des allgemeinen 
Problems von Wronski und eines andern Problems betreffend die 
Integration der Differentialgleichungen. 10. 



Über 



r Btricki XXU. 

6. Leman: Noto betreffend dto Untersuchung der BiegDi 
momeoto and Schwerkräfte erzeugt in einem Stabe, der in seinea 
Enden unterstützt ist and unter dem Eiuflusse eiuer bewegten Last 
sich biegt. 9. 

J. Doruyls: Uebor gewiaao Reihenentwickelnngen. (Bericht). 
9. — Dcbcr die approximative Berechnung gewisBer bestimmten Inte- 
grale, 11. — Ucbpr eine Classe conjugirtor Vielecke {Bericht). 12. 
— Ueber einige Eigenschaften der Semünvarianten. 13. 

J. De Tilty: Ueber die Riccati'sche Gleichung nnd ihre dop- 
pelte Verallgemeinerung. 9. 

M. da Silva: Ueber eine Frage der Theorie der elliptischen 
Functionen, lü. 

E. Catalan: Aufgabeu unbestimuiter Analytik. 9. — Mathu- 
matiscbc Belustigung. 9. — Ueber eine Claase vob Differcntial- 
glcichungcu. 1^. ^ Btfmerkuugen über gewisse bestimmte Integrale 
(Bericht). 13. — Ueber eine iinmerischo Tafel und ihre Anwendung 
auf gewisse Transccndenten (Bericht). 13. - Uemerkungen über 
eine trinomiscbe Gleichung. 13. 

Jamet: Theorem Über die geodätischen Linien der ßotaüc 
flächen. 

£. Cesäro: Ueber das Studium der arithmetischen Begel 
heilen (Bericht). 11, 

C, L, Paige; Ueber die Anzahl der Gruppen, welche höhere 
Involutionen auf demselben Träger gemein haben. II, — Ueber die 
Homügraphieu in dor Ebene. 12, ~ Untersuchungen über das Pen- 
taeder. 13. 

Physikali schon Inhalts sind folgende. 

Hirn: Experimentelle und analytische Untersuchungen ttber die 
Gesetze des Ausflusses und des Stoffes der Gase in Function der 
Temperatur (Bericht), 9. — Die moderne Kinetik und der Dyua- 
niifimns der Zukuult (Bericht). Vi. 

Gerard, Van Wediliugen und Jacquot: 3 HitteiluDgcu zor 
Verbosacrung der Aerostaten (Bericht), 9. 

P, DoUoen: Ueber die Spannnug der gesättigten Dämpfo. 
Muditicatiouen anzubringen am Gesetz von Dalton, 9. — Bestim- 
mung des Compressibililätscocfäcientco einiger Flüssigkeiten und 
Variationen dieser Grosse mit der Temperatur. Theoretisches Ge- 
setz der Variationen jenes GoeHicientcn. 9. — Bestimmung einer 
empirischen Relation zwischen der iiampl'spanuuiig und dem Coeiä- 
cienten der innern Heibnng der Flüssigkeiten. 10. — Note in Bo- 
treff eiuer Arbeit von Robert Schiff über die specitiscbe Wilrme der 
Flüssigkeiten. Vi, — Bestimmung der Variationen des Coefficienteo 
der innern Reibiing der Flflasigkeiten mit der Tempentor. Theore> 



lÄtUrantduT Bairit XXII. 



25 



tische Belrachtnugcn , welcbc ans der Beobacbtang dieser Grösse 
fliesscD. Bestimmaag einer theorctiEchen Formel, welche die elasti- 
Echen Kräfte der gesältigien Dilmpfe ia Fnnctioa der Temperatur 
ausdrückt 11. — Note betreffeud das Gesetz der Ausdehnbarkeit 
der FiassigkeiteE. 11. 

G. Vau der MeDsbrngghc: Versuch über die mechanische 
Theorie der ObertiäcbenspaDouDg , der Verdampfung der FlOssig- 
kciten. 9. — Ueber die NichtStabilität des Gleichgewichts der Ober- 
ä&cheoscbicht einer Fiassigkeit. 11. 12. — üeber einige merkwürdige 
Wirkungen der Molecularkräfto bei Berührung eines festeu Körpers 
Dod eioer Flüssigkeit 

£. Van Anbei: Experimentelle Untersncbungen über den Ein- 
duss des Magnetismus auf die Polarisation iii elektrischen Uedien. 
lU. 12. — Transparenz des Platins. 11. 

P. Stroohant: Nene Untersuch nngon über die scheinbare Ver- 
" grössemug der Gestirne, der Sonne und des Mondes am Horizont 10 

£. G^rard: Anweadang des Telephons bei Untersuchung der 
Verrück ung der elektrischen Liuien. 11. H. 



Annuairc de l'Acadcmie Royale des sciences, des lettres ot des 
bcanx-arts de Belgique. 1886. 1887. Cinquante-troisiäme annöe. 
Dniielles, F. Hayez. 

Das Auuatre enthält ausser dem Kalender Geschichte und Jahres- 
bericht, Statuten, Organisation und Eigentum der Akademie, erteilte 
und aasgeschriebene Preise und Biographien. H. 



Annales de la Facult6 des sciences de Touloose poor les sci- 
ences matb^matiques et les sciences pbyBiques, publikes par uu co- 
mitä de redaction composä des professeurs de math^maqucs, de 
physiqoo et de cbimte de la FaculC^, sous les auspices dn^Minist^re 
de rinstrnction publique et de la Municipalit^ de Toulouse , avec le 
concours des Conseils gen6raux de la Hante-Garonne et des Hautes- 
Pyrönees, Tome I. Anu^e 1887. Paris, G au thi er- Villars, 

Bieso neue Zeitschrift pnblieirt mathematischo und physikalische 
Abhandlungen, grösstenteils vcrfasst von gegeuwärtigun und frOheren 
Professoren der FacuUät, und gibt zum Schluss ein sachlich ein- 
geteiltes biliographischesVerzoichuias begiunüud mit dem Jahre 1858. 
Der erste Band enthält folgende Abhaudluugeu. 

E. Picard: Ueber die linearen Differentialgleichungen und die 
algebraischen Transformationsgrnppen. 

P. Appell: Ueber das Gleichgewicht eines biegsame» und nicht 
dehnbaren Fadens. 



LHUntrüdttr Birickl XXL 

E. Gonraat: Ueber ein Problem bezüglich auf Curven dop*l 
I>till«r KrUmmaDg. 

G. KocDigs; Ueber die Form der Curven constauter SpaunDng.l 

— Uebor die Curven , deren Tangenteu einem linearen Complea 
angelitiren. ~ Ueber die Anwendung gewisser quadratischer Formaaa 
in der Geometrie. 

P. Garbe: Experimentelle UuterBUchangeu Qber die Strahlung,! 

H, Audoyer: Beitrag zur Theorie der intermediären Bahnen. 

M. Brillouiu: Fragen der Hydrodynamik. H. 

Acta Mathematii'a. Zeitsehrift herausgegeben von G. Mittag-V 
Leffler. 10. Mit Inbaltsverzeiciiniss der Bände 1—10. Stock«! 
holm 1887. F. u. G. Beyer. Berlin, Mayer n. Müller. 
A. Hermann. 

Der 10. Band eutbtllt folgende Abhandlungen. 

J. Uacks: Ueber Summen von grösstcn Ganzen. 

U. Ä. Stern: Ueber den Wert einiger Reiben, welche von derl 
Funcüon EM abbangen. 

K. Schwering: Ueber gewisse tiinomiscbo complese Zahlen. 

M. Lcrch: Ein Satz der Reihentheorie. 

G. Kobb: Ueber die Bewegung eines materiellen Punkts auf 
einer Rotationsfläche. 

K. Bohlin: Ueber die Bedeutung des Princips der lebendigeD 
Kraft für die Frage vou der Stabililitt dynamischer Systeme. j 

R. Lipscbitz: Zur Theorie der krummen OberHacben. — Bfr 1 
weis eines Satzes oos der Theorie der Substitutionen. I 

H. Dobriuer: Die MiuimaiUächeu mit einem System spbflri- I 
echur KrUmmungsliuien. J 

S. Pinchorle: Ueber gewisse dnrcb bestimmte Integrale dar- I 
gestallte functionole Operationen. I 

0. Stande: Ueber eine Gattung transcendentcr Ranmcoordi- I 
naton. J 

L. Locorna: Ueber die Flächen, welche dieselben Symmetrie- 1 
ebenen bcBitcen wie eins der regelmässigen Polyeder. I 

0. Uumbort: Ueber die algebraisbon Integrale der algebrai* 1 
sehen l>ilTun>utialo. 1 

T. J. Slieltjos: Tafel der Werte der Summen 5* -- £n-\ I 

J. Weingarten: Zur Theorie des Flächenpotentials. I 

H. Poincar£: Bemerkungen über die irregulären Integrale decM 
linoarun Gleichungen. J 

G. Koonigs: Ueber eine Classo von Formen von Differentialen J 
und über die Theorie der Systeme von Elementen. 1 

E. A. Stenberg: Ueber einen Specialfoll der Lame'schen Dif- I 
ferentialgleicboDg. H. | 



Litterarischer Bericht 

XXIII. 



Arithmetik, Algebra und reine Analysis. 

Curso de analfso infiuitosimal. For F. Gomes Teixoira, 
Director da Academia Polytechnica do Porto, profcasur na mesma 
Academia, antigo {irofeBsor ua Uoivrrsidade de Coimbra, socio cor- 
respondente da Academia Real das Sciencias de Lisboa, etc. (Cal- 
cnlo differencial). Porto 1887. Typographia Occidental. 356 S. 

Äugensclieiulich ist das Buch zunächst für die \'orle8angeu des 
Verfassers an der polytechnischen Akademie in Oporlo bestimmt und 
erwirbt sich das Verdienst die Eenntuias der Diö'ereutialrechnnDg in 
Portugal namoDtlich anter den Technikern zu verbreiten. Es be- 
bandelt in der Einleitung die Theorie der Imaginären, der Summen 
und Producte unendlichor Reihen, der KcltcnhrUche und der Func- 
tionen , dann der Reihe nach dio Begriffe der Grenzen und Stetig- 
keit, die Differentiation der Functiousciasscn, Anwendungen auf Curren 
und Flachen, höhere Diffcrentialquotieaten , den Taylor'schen Satz 
mit Anwendungen, u. a. auf Maxima und Minima, geometrische An- 
wendungen desselben, Functionen in Roihen dargestellt und Fanc- 
tionen von Imaginären. Die Einleitung erklärt und erörtet die- 
jenigen Grundbegriffe, welche hei Uebcrgang von der niedern Algebra 
zur Analysis hinznkummon. Die Art wie dies geschieht entzieht 
sich unserer Beurteilung, da es uns nicht wol begreiSich scheint, 
vie jene Begriffe, uamentlicb der der Irrationalzahlen, durch das 
Beigebrachte zum Vorständnifig gelangen künncu. Wir müssen eben 
ka dem Verfasser das Vertrauen haben , dass er den : 
Anh. l. tUih. a. ny. S. Beihe, Tiil TL 



lÄtterantdier Btndtt XXMI. 

der PortQgie9en besBor kennt und die Verantwortnng dafür anf sich 
uchnieu kann, daas seine Methode für acino Zahörer die angemesscae 
ist Der eigeatlielie Carsua ist davon uuabliäagig and ohne Be- 
Kngaalime daranf; er ist auf Ueberraittelung des heotigcu Staad- 
Punktes der Theorie and besouders auf ausübende Praxis gcrichl«V 
der Vortrag leicht verstttudlich. 



i 



Gmndrifis der DifFerenlial- und lutegral-Rechnuug. I. Theil; 
DitFerontial-Rechuung. Von M. Stogemann, L)r. phil., weil. Pro- 
fessor an der technischen Hochschule zu Hannover FUufte , voU- 
slündig umgearbeitete uud vermehrte AuHago mit 06 Figuren im 
Texte herauBgcgcbeu von Dr, Ludwig Kicpeit, Professor der 
Mathematik au der technischen Hochschule zu Hanuover Uaunover 
1888. Helwing. 465 S. 



Das Buch gehört zu denjenigen Lehrbüchern , welche dem 
fänger das Lernen leicht machen wollen, in der Tal aber es thu 
nur leicht machen nicht zu lernen, viel 7.u treiben ohne darüber 
ins Klare zu kommen. Der Bearbeiter sagt i^war, dass er zahlreiche 
Irrtümer, die sich in den früheren Auflagen befinden, richtig zu 
stellen hatte. Gleichwol ist der bekannte elementare Fehler anbe- 
rechtigter UmkehruQg stehen geblieben. Gleiches kanu man fUr 
Gleiches setzen, aber nicht umgekehrt: Grössen sind darum nicht 
gleich, weil ihre Substitution ein Resultat nicht ändert Dem ent- 
gegen wird hier der Satz aufgestelltr endliche Grössen würden durch 
Addition uneDdlich kleiner nicht geändert, und zwar geht zur Be- 
gründung nichts voraus als eine kurze Erörterung des Begriffs des 
Grenzwerts, so dass die Behauptung sich bloss auf deu Schiusa von 
lim(i-|-f) = lim* auf x-\-t=^x stUtzL Der Fehler ist kein vor- 
übergehen der, der sich im Fortgang ausgliche; nein, in ebenso 
sorgloser Weise geht es weiter. Die ganze Theorie der Uuendiichen 
wird durch ausweichenden, schiefen Ausdruck in ein für den An- 
fänger undurchdringliches Dunkel gehüllt. Gleich anfangs wird auf- 
gestellt, eine veränderliche Grösse werde unendlich klein, unendlich 
gross, wenn sie sich der Grenze Ü nähere, bzhw. grösser als jede 
beliebige Grosse werde. Hiernach würde offenbar die Grösse erst 
dann unendlich kloin, unendlich gross sein, wenn die Grenze er- 
reicht, bzhw. alle Grenzen überschritton wären, d. b. es würde sich 
ergeben: unendlich kleine Grössen (die nicht null) nnd unendlich 
grosse sind überhaupt undenkbar. Der Anföngor wird also sogleich 
in die alte Sackgasse geführt, in welcher ihm uichls übrig bleibt als 
auf Selbstdunkeu und Verstehen der Theorie zu verzichlcn und die 
Schlüsse des Lehrers uacLznahmcu. Dass wirklich der Verfasser den 



M 



Begriff des UaencUicheD in das Jenseit alles Denkens verlegt, be- 
stätigt Qberdies die HiDzafüguii)^ , dasa die BczeichniiDg der kleinen 
(grossen) Grössen, mit denen wir rechnen, als unendlich klein (gross) 
ein abgekürzter Ausdruck sei, bei dem man den fraglichen Deok- 
process als nachfolgend im Bewussteoin zu halten habe. Ton jenem 
endlosen Denkprocess weiss die analytische Praxis nichts; jene Be- 
griffe sind hier in gleichem Falle mit denen der Elementarmathe- 
matik. Es ist klar, dass ein einzelnes Dreieck ein allgemeines Drei- 
eck repräsentirt, bloss weil keine Besonderheit anfgestellt ist. Ebenso 
repräsentiren auch irgend wieviele Teilbogen einer Curve nebst 
Sehnen, solange die Zahl nud Kleinheit nicht festgesetzt ist, jede 
Zahl und Kleinheit. In dieser Eigenschart, also vermöge der blossen 
Nichtbcstimmong , ist und beisst (nicht symbolisch oder abgekürzt, 
■ondern im einfachen eigentlichen Sinne) die Zahl unendlich gross, 
der Toilbogen uebst Sehne nneudlich klein, und durch einen be- 
kannten indirecten Scbluss (in welchem von fortgesetzler Teilung 
■:gßT nicht die Itede ist) beweist mau die genaue Richtigkeit der 
.Quadratur- oder Uectilicatiousformel. Gerade der Satz aber, welcher 
diese Schlusaweisc lebrt, gerade das Fundamentalprincip der Inlinite- 
.■fanaltheorie fehlt in Stegemaun's Differentialrechimng und ist auch 
TOm Bearbeiter nicht ergänzt. Nach dessen Darslollung muss der 
Leser glauben, die Formel werde erst genau, sobald das Ziel der 
Terftnderung erreicht sei, sobald das Polygon mit der Curve zusam- 
nenfailt, also nie, weil das nie geschiebt. Durch Äufweisung der 
genannten Fehler ist wol zur Genüge gezeigt, daas die Grundlegung 
der gesamten hier behandelten Theorie eine sehr mangelhafte ist. 
'Die Lehrmethode steht noch auf einem überwundenen Standpunkt. 
Dafür ist es keine Entschuldigung, dass das Buch fUr Techniker be- 
fltimmt ist, die kein intensives Studium beabsichtigen. Denu die 
exacten Principien der luHuitesimaltheorie sind weit einfacher als die 
hier gegebenen Erklärungen, welche um die Sache herumgehen ohne 
den rechton Pnukt zu treffen. Der Inhalt des Lehrbuchs ist der ge- 
wöhnliche: ausser der Differentiation der Functionen wird behandelt 
der Taylor'sche Satz, die Maxima und Minima, Bestimmung von 
Functions werten durch die Stetigkeit, unendliche Reihen, Anwen- 
dnngen auf Curveu und krumme Flächen , Theorie der complexen 
Grössen. Zu jedem Thema sind üebungsaufgabon gestellt. 

Hoppe. 

R^Bumä du conrs d'analyse infiuitesimale de l'universite de Gand. 
Pai P. Mansiou, Professeur ordiuaire k l'universite de Gand, 
Corr ■spondanl de I'Acadßmie Royale de Belgiquo, de la Sociötö Roy- 
ale des Sciences de Li^ge et de la Societä Mathgmatique d'Amster- 



80 LüUrarueh^r BeridU XXiU. 

dam. Oalcul difförentiel et principes de calcnl integral Paris 1887. 
aauthlar-Villars. 800 S. 

Das Vorliegende ist der Inhalt der Vorleflangen des Verüassers; 
üi lehrt die Principien der Theorie der elementaren Fanctionen; 
ändert« als die in den Elementen vorkommenden Functionen sind 
also ausgesohlossen; dagegen werden die nnabh&ngigen Yaiiabela 
allgtunoin als complex anfgefasst, ohne Anwendung jedoch der knimm- 
Hnlgen Integrale von Gaachy, ausgehend von der Definition 0V*s= 
i'os^-f^'^nyi «« = tf» «ii^", wo « — y+y»' I^or Beweis für die Begd 
dor Dortvatiou der insammgesetzten Functionen wird aus den he« 
sondern Kegt>ln beiOglich auf Summen, Prodncte und Ezponential- 
f^notioneu atgoloitet, ebenso far den Satz der Inversion der Den- 
vaUoiit>n ohne Recnrs an ein Postulat Hieraus liessen sich die ge- 
»amton Formeln der Differentialgleichung in gleicher Allgemeinheit 
K^^ftrandfu, Die Abschnitte des Buchs sind: Einleitung, fundamentale 
l^n^'haft«!4i der Derivirten« Integrale und Reihen, Differentiation, 
Ki|^Mk«chaftx''tt dfNT Futtclionen« Anbang, ergänzende Noten. Die zwei 
K'MIlim sind w^^tjeiNi der kurzen Fassung der zwei ersten Abschnitte 
htwiii^'^. l>ie drei etslen Oapilel des Anhangs enthalten eine 
hblorischi^ Skiu« der Fimschritte der Analjsis des Unendlichen, 
\Ui^ Vi4«rrMiwi||t der ersies Artikel von Leibniz und Newton aber 
dk" l>0l^rv«iisiJ^j^Wkh^^ wad etae Noüi aber die Terschiedenen Auf- 
tiik*Miii|p$%yteii «kr The^wW 4er UKadlichkkiaen von Kepler bis 
i>Mfecl^ ^ wv«ia dji»' Vertfessner bevmi» wm haben glaubt , daas schon 
l4Nib«w iMtet S^w%Mi die IniiBiliessuttlnKhnuig so Terstaaden haben 
w^ UV JN^I«y ^H^^^ser Oittc^. Die zwei lolgeBdea Capitel beweisen 
«Aa» y\w»Hwiettifrfci|f€iaM|^ omt äKOfuaeuwae: Eise b<^stiadig wachsende 
X^NnaMr bdi; <M»eii etaalaicfti^ft «nwr uuMMÜcheA Greazwert**. Die 
¥ll^Nr%e ^wr ^c^rv«a««irc^ isc mmw vorher biphsiklr £u Capitd 
t^Mi^A^^ ^VM V>ttto<tf <ier :^^mactKaMi UaeaJtkhkitiaiT bU neuer 
¥M|t!NMM$iM^ »WiWiifl^A 91 Awaww^ aal fiKtiacatäiMi, Quadratur, 
V > ti^a» fcc - tia t^üMw i>9tiiei aour 4itf mmiamir'arüea ^geMchaftea 
>JMr V^mxti^^Nft wiML «m ^«fisuuMUdiiai^ «wr DtifcnniiaN und Inte- 
jp^Mi^^v^^aü^nt %aNL 4iiir $iiss >r«a(iNa. «na» Fi 
^NM^xaiik^ xVi»t$<iMOit iM^f^mtf hatKnw 
viM ^it^^ Vul^t^M^Mik WnKNiAHi. 3l(L AhaHBi«$ <!■» Bfecks crUiit 
^^ ^^mtmIk»^ ihr Xv»äHhiiSh!r ^tm Sctnur. CafiiiBiL Giften. Caacfaj, 
sNUWi»ttv^t ^ ;{»<»«. Oiia ittü $^^ihtm vqq wanKiL Ftea» «ad Daiboui 








Liltararüehtr Birlckl XXJJI. 31 

miliansgymnasiam in München. Zweiter Abdruck. Müncbon 1887. 
Theodor Ackormann. 80 S. 

Die Schrift bat zwei verschiedene Beatimmungen , die der Ver- 
fasser mit grosBom Geschick zar Deckung zu bringen bemüht iet, 
die wir aber der Beurteilung wegen aus einander ballon müBsen. 
Der Titel bestimmt sie inr Einführung für Auföngar. Von diesem 
Geaichlapunkt aus betrachtet würden pädagogische Mllngel das Tur- 
treffliche ganz In Schatten stellen. Aber das Vorwort selbst stellt 
diesen Zweck in zweite Linie; es geht von einer formell analytischen 
UnterBucbnng aus, deren Gang durch ihr Ziel schon vorgezeicbnct 
ist, nnd fügt nur zum Schlass die Aenaserung hei, dass derselbe Lehr- 
gang auch für einen strebsamen Schüler eines Gymnasiums verständ- 
lich und nutzbringend sein solle. Die Ausführung zeigt folgenden 
Grundgedanken. Durch die Bäzont'sche Methode der Auflösung hin- 
reichender Systeme linearer Gleichungen wird jede Lösung sogleich 
als homogene lineare Function der bekannten Glieder dargestellt. Die 
CocIScienten stehen im Verh&ltniss von Unterdeterminauten. Betrachtet 
man also die Theorie der Glcichungssysteme für n Gesuchte als bekannt, 
so bietet sich hierin ein Üebergang zur Theorie für ti-|-1 Gesnchlo. 
Demgemäsd wird hier nach einander die Theorie für 2, dann 3, dann 
beliebig viele Gesuchte entwickelt und dabei einige Eigenschaften 
der Determinanten hergeleitet Um dies indes in Ausführung zu 
bringen, waren gar manche Discussionon und Beweise in Betreff 
der Identitäten, der Vorzeichen etc. nötig. Alle Deductionen sind 
mit ausgezeichneter Klarheit nnd PriLcision vorgetragen nnd zeugen 
von ungemeiner Beherrschung dos Stoffes. Fragen wir nnu, abge- 
sehen vom didaktischen Zwecke, nach Wert und Bedeutung des Ge- 
leisteten, so kann man unter der genetischen Behandlung, wie es der 
Titel nennt, wol nnr jene recurrente Darstellung verstehen, die statt 
der gewöhnlichen independenten Form der Entwickelnng der Deter- 
tninauten lehre gegehen worden ist. Im allgemeinen pflegt man der 
independenten Form vor der recurrenten den Vorzug zu geben-, im 
vorliegenden Falle verdient sie den Vorzug ganz besonders: die 
Rechnung mit ganzen Determinanten ist elegant und durchsctiau- 
licb, mit Zerlegung schwerfällig und mit allerhand Umständlichkeiten 
verksüpß; jede Zerlegung annullirt teilweise, was durch die Deter- 
minante erreicht war. Von dieser Seite aus betrachtet lässt also 
die veränderte Bchandlungs weise nnr einen Rückschritt erkennen. 
Was aber nicht auf dem Titel steht, der Aufbau der Determiuanten- 
theorie auf der Basis der Theorie der Gleichungaayiteme, ist wenigstens 
eine, wenn auch willkürlich selbst gewählte, durch nichts geforderte, 
doch originelle Aufgabe gegenüber der gewöhnlichen, combinatori- 
Bcbeu BegrflDduiig, welcher die Lösang der QloichuDgssfsteme als 



^2 Lifterarüehtr BtriAl XXIIl. 

AnwGndnng nachfolgt. Die AusfOhrniig hat gezeigt, welche i 
dabei zu behandeln sind. Hieriu ullciu ist die eigcntlicbe Leistoog 
der Arbeit zn sehen; das anccesBlve Aufsteigen war der Weg. 
dem der Verfasser dazu gelangte, vielleicht der einzige mögliche, "o 
nicht, wol kaum der empfehlenswerte. Was nun die Verwendang 
der Methode znr Einführnng der Anfänger betrifft, ao ist in vorlie- 
gender Bearbeitung die KenntoisB der Anflösnng der linearen Glei- 
chungen nach irgend einem Verfahren vorausgesetzt , das Ordnangs- 
princip im Änsdrnck der Lösungen hingegen soll eben erlernt wer- 
den. Der Lehrgang beginnt mit einigen Beobachtungen am Sysieai 
zweier Gleichnngou, deren Zweck dem Schüler verborgen bleibt, lo 
Forlschritt zum Systeme dreier Gleichungen wflrde er den Zweck 
alinen, wenn die Beobachtungen analoge wären. Allein hier wird 
erst nach Reductiouen nnd Discussioneu das Ziel erreicht überhaupt 
die analoge Form herzustellen, deren Uebercinstiramung der Schttlcr, 
dem die Idee der Anordnung fremd ist, nicht wahrnimmL Er bat alio 
wiederum keine Aufklärung erhatten, moss Schritt für Schritt dem 
Vortrage rcceptiv folgen und bat für den wciteru Fortschritt 
nur den Blick auf unabsehbar ausgedehnte Discussionen , die bei 4 
und 5 Gleichungen bevorstehen. Ist endlich nach andauernder Aof- 
merkaarakeit das Ziel erreicht, 30 kann er gewisse Eigenschaften der 
Determinanten rcgiatriren, ist aber in deren Gebrauch zu des 
einfachen weitreichenden Schltlssen noch immer nicht eingeweiht und 
wird sich bei Anwendung mit Zerlegung in Unterdcterminanten b«- 
hclfon. Wenn man weiss, wie leicht — freilich erst bei einiger Ver- 
trantheit der Schüler mit den Elementen der Combtnatorik und mit 
Substitutionen — sich sämtliche Hauptsfttze der Determinantenlehro 
ohne alle Dednct Ions ketten durch directe ScblQBse entwickeln lauen, 
so muBS es als eine unbillige Zumutung erscheinen, dass sie sich 
erst durch alle Schwierigkeiten des successiven Aufsteigens hindurch- 
arbeiten sollen. Andere Antoren haben hei Bearbeitung der Deter- 
minantenlehre für den Schulgebrauch den gleichen Ausgaogapunkt 
wie in dieser Schrift gewählt, verbanden aber damit die Bestimmung 
für die Mittelclaaaen der Gymnasien, um die Schaler der AlgebnJI 
schon am Gewinne teilnehmen zu lassen, ein Gewinn der fttr i 
offenbar ganz illuBorisch ist. Der Verfasser hat nach allem uor d 
höchste Classe im Sinne. Hoppe. 



Allgemeine Onterauchongen über die unendliche Itoihe 



I Allgemeini 




BtrtdH XX1U. 33 

Von Carl Frirdricli Gaass. Mit Einschluss der nachgelassoiicu 
¥oT\wlixtn% a\K dem Lateinischen Übersetzt vod Dr. Uoiuricb 
Simon. Berlin 18tW, Jnlins Springer. 66 S. 

Diese bei ihrer KOrze so reichhaltige Arbeit, deren Inhalt als 
wesentlicher Teil jedes Lohrcorsas über bestimmte Integrale allge- 
mein bekannt ist, von der vor nicht lauger Zeit nur wenige Exem- 
plare cxistirten, bis sie in der Gesamtaasgabe der Werke wieder- 
crscliien, ist nau, weniger durch die Verdeutschung, deren das Gauss"- 
sehe Latein kaum bedarf, als durch die gesonderte Ausgabe, dem 
Gebrauche des Einzelnen nilher gerückt, was gewiss dem Wnnsclic 
Vieler entspricht. Dem historischen Interesse bat der L'ebersetzer 
einerseits durch treue Wiedergabe, andrerseits durch Sondening des- 
jenigen Teiles, welcher als Fortsetzung aus dem Nachlass aufgenom- 
men iät, Rechnung getragen uud am Schlüsse des Ganzen Anmer- 
kungen litterari scheu , historischen und erhlärendcn Inhalts hinzu- 
gefügt. Die Fortsetzung enthält die Entwickcinng der linearen Dif- 
ferentialgleichnng 2. Ordnung, welcher die Gauss'sche Function C 
genügt. H. 



Ueber zwei universelle Verallgemeinerungen der algebraiachon 
Grundoperationen. Von Dr. Oskar Simon y, a. o. Professor 
au der Wiener Hochschule fUr Bodencultnr. Sitzungsber. d. kais. 
Akad. d. Wisseusch. XCI. Febr. 1885. 

Das Vorliegende ist ein neuer Versuch, imaginäre Zahlen von 
höherer als zweifacher Mannichfaltigkeit 

''(i+ni'i+°»ii+ ■■■ «"■" 
in die Rechnung einzuführen. Die Begriffe der Operationen, von 
denen Addition, MultipHcation und Potenzirung in Betracht gezogen 
werden, werden durch Forderungen bestimmt, so dass deren Ver- 
mehruug und Weglassung Verengung und Erweiterung des Begriffs 
bedenten. In der Wahl der Anordnung leitet die Analogie; Not- 
wendigkeit wird nicht beansprucht. Es ergibt sich, dass die Coef- 
ticienten des Resultates jeder Operation immer erst nach Hinzu- 
fUgung weiterer beschräukender Bedingungen vollsländig bestimmt 
werden können. Durch eine geomotrischo Charaktcrisirung soll dauu 
die Unbestimmtheit gehoben werden. Dies führt zur zweiton Ver- 
k.idlgemeiuernng. Auf das Nähere einzugehen wUrde zu weit führen. 

* a 



84 LUtsroHsdier ßeridä XXIIL 

Geometrie. 

Cour» do g6om6trie de la Facult^ des Sciences. Lebens sur la 
tb^oria ginirale des surfaces et les applioations g^om^triqnes du 
calcul iofinitisimal. Par aaston Darbonx, Membre dellnsäUt, 
ProfoBHOur k la Facoltö des Sciences. Premixe partie. G^n^nlit^s. 
Ooordonnies carvilignes. Sorfaces minima. Paris 1887. Oanthier- 
Vülars. 618 S. 

Das Buch bebandelt die Tbeorie der Curven and Fl&chen in 
analytisch kinematischer Auffassung, und gehört hiernach der zur 
Zeit noch am wenigsten vertretenen Classe geometrischer Arbeiten 
au, die sich in wesentlichem Gegensätze gegen zwei gegenwärtig weit 
mehr im Vordergründe stehenden Classen, den synthetischen und 
algobraisohon, d. h. die Gebilde als Gonstruction primitiv gegebener 
Gloiohungtm betrachtenden, befindet und ihre verdiente BeachtuDg 
uebeu jonou lu erringen hat Der kinematische Aosgangspiinkt ist 
aUgomeiuer gewählt, als es für die geometrische Verwendung erfor- 
dert wird. £s ist die momentane Rotation eines Trieders, das mit 
oiuom Parameter variirt. Sind p, q^ r die Componenten der Rotations- 
lliM«hwiudigkeit, die sich bekanntlich a«ch verlialteii wie die Rieb- 
lii^rHH>sinus der Rotationsaxe, so sind für festen Sckeital die Rkh- 
IUHgscosiniis jeder der 3 Triederkanten % ßy f besüBml dvch das 
Sy^^tem dreier Difii^rentialglelehangeft 



d^'ss^'ii voUsOiidiif^es Integral dvck OrÜog^oalabsciKKtioa aas jeder 
»|KvieU<^ LOdttü^ henrorheht. Far varürviideii Sekieitei koBaen 
noch Teme käu«, deren Benlcksichcigwig inies jeaet IntegnCa» 
«»^ aackiM^ Wird nan das Triieder voa da* Tangieiifie. Hnpc- 
ai»d KutoNnaale einer Canre gebildet ad darck em Trieder voa 
Dtletcker Sleltta^ «nd festem SekeiM enetsC so &Bt (fie BotalttniB- 
a\e ift dJBe etae Seilenläk^ie. <| versckwindec nmi r. p vorhalten sck wk 
die CoiacideiuwiBkel der Tangente und SrtmmmigBKDe fmztftm wie 
Kr^mitmwt^ und Tv)rstoa.\ Pie 3 Difliexencxalgfeickiinsen snd isiin & 
»mdaitteatalf^niielh der CtErrentheorie. und ihr« Inte^ratnin üht iK 
FtixbtiMi^ aa» der i^ii^ebettea Relaoon ^n Srlmmimgs- :ind Tanaras- 
wiitke^ die Oinre 2ti indes. Die Bedoctioa *ies FroUems nf ani 
imat^iuarv lineare Gleickang i. Ordhong war bekannL ffier wirf « 
tftAck ;j:{ftHcker Mediode iügememer behandlet Tr^j^-^^ fahrt Iflia- 
Wf^ vü^ v^infett B!ewe^pitt)gr$«pt*icaiuigea :»ine» b^üeirig^ 
dw^wib^ b\inii saniiau ud seÜM aii»e werien mnor 



'iii^htr Btrichl XXIU. 



Si 



• Aa-\-Bß-\'Cy\ etC 



£b folgt nau als Basis der Flächoutbeorie die Botrachtnng eiues mit 
2 Parametern u, v variirenden Tricdcrs. Variirt u allein, v allein, 
80 ei^ebeo sich 2 Systeme (8), aus denen 3 Bcdingnngsrelationen 
zwischen pqr, p,q,rj hervorgehen, wenn eine gleichzeitige Variation 
von u, f möglich sein soll. Sind diese erfüllt, und man hat eine 
Lösung fOr das eine System (8), die dem andern nicht genügt, so 
ergibt sich daraus eine zweite LOsung für das erste, genllgt sie aber 
dem zweiten für Irgend ein » = uq, so genügt sie ihm fUr jedes u. 
Nach einigen Folgerungen und specielleu Anwendnngen werden dann 
die Theorien der conjugirten Liniensysteme, der KrUmmungslinien 
der asymptolischen Linien, der conformen Abbildung, der Fünfkogel- 
coordinaten und der Krümm angslinien in tan^cutiellen Ceordinaten 
entwickelt. Fast die Hälfte des Buchs nimmt daim die Theorie der 
der Minimfilflächen ein. Nach einer bistorischen Uebcrsicbt werden 
die kleinsten Flächen in pnnctaellen und tangentiellen Ceordinaten, 
ihre conforme Abbildung, die adjungirte Fläche von Bannet, die 
Formeln von Monge, die algebraischen Miuimalfiäcbeu, die Formeln 
von Schwarz, das Problem von Plateau, die Formeln von Woieratrass 
nnd verschiedene Anwendungen behandelt. U. 

Üeber Flächen zweiter Ordnung. Ein Beitrag zu deren Theorie. 
Von Wilhelm Schmidlc, Lehramts praktikant. Beilage zum Pro- 
gramm des Gymnasiums in Baden. Baden-Baden 1887. 4". 15 S. 

In den „Beiträgen zur Geometrie der Lage" beweist von Staudt 
>'p. 28. einen Salz, welcher einen Teil der Flächen 2. Ordnung de- 
fiairt. Diesen wählt der Verfasser als Ausgangspunkt fOr eine Theorie 
der FlOcfaeai 2. Ordnung, discutirt die Schnitt« der Ebenen mit der 
Fläche, indem er die Principien der Slaudt'scben Geometrie als be- 
kannt voranssetzt, nnd beweist rein geometrisch 26 Lehrsätze. 

\ 

Einführung in die Geometrie der Kegelschnitte. Zum Gebrauche 
■far höhere Lehranstalten bearbeitet von Dr. Richard Heger, 
a. o. Honorarprofessor am Königl. Polytechniknm und Oberlehrer 
am Wettiner Gymnasium zu Dresden. Mit Holzschnitten im Texte. 
Breslau 1887. Eduard Trewcndt. 61 S. 

Der Lehrgang nimmt seinen Anfang beim ebenen Schnitte des 

p^^radeu Kegels und entwickelt 'daraus mit ZnbnVfeiiahme einfacher 

iReohnsag die Tangenten- und Focaltheerie. Dana ec«t ^n^ 4Äib 





atndii XXIII. 



Gleicbong der Curvo zngezogen. Es folgt weiter der Reihe nach: 
dio quadratisclic Punkt- niid Strahleninvolntion, der Kreiskegel, deatsi 
ebene Scbnitte, projoctivo Puuktreihen und Strahl IjQBchcl, dieKegol- 
ichDitle als ErzeDgnisse, FläclicoiDbalt. Mit den einzeloen SUiea 
siod viele Uebangen verbunden. H. 

Methodik der stetigen Defonnation von zwoibl&ttngen Riemano'- 
Bchen Flächen Vou Fritz Hofmann. Mit vielen in den Tcö 
eingedruckten Figuren. Halle a. S. 1888. Louis Nebert. 50 S. 

.gRicmannVhe Flächen" wenletj zur AbkQncung die hier allein 
in Betracht gezogenen Flachen gcn;inut, welche zugleich zweibllttrig, 
sowie gCBchlossün sind, aber ancli Si'lbstdnrchdriDgangscurven be- 
sitzen. Die erste hier gelüste Aufgabe lautet: einfache Methoden 
anzngeben, nach welchen eine Riemann'Bche Flftcho durch stetige 
Verzerrung identisch gemacht werden kann mit andern, besonders 
Charakter! Et i sehen Flachen von einer solchen Besc li äffen hei t , dus 
sich auf ihnen die Untersuchung topologischer Fragen besonder« 
übersichtlich gestaltet; für welche insbesondere jener den Riemann'- 
sehen Flächen anhaftende raissliche Umstand wegfällt, dass die geo- 
metrische Vorstellung durch das Auftreten der Selbstdurcbdringungs- 
curven gehindert wird. Dio zweite gelöste Aufgabe ist die uinge- 
uragehrte: Methoden anzugeben, welche eine directe Umwandlang 
einer beliebig vorgegebeneu < geschlossenen Fläche in eine Rieniann'- 
Bcbe Fläche gestatten. H. 



Axonometrie und Perspektive in systematischem Zusammenhangs 
dargostcllt von Dr. Christian Beyel, Privatdozent am eidgenöSB- 
Bchen Polytechnikum in ZQrich und Assistent fUr darstellende Geo- 
metrie. Mit 9 Tafeln in Steindruck. Stuttgart 1887. J. B. Metzler. 
57 S. 

Unter der Bezeichnung „centrische Axonometrie" wird nach Vor- 
gang von Guido Hauck die Axonometrie, Perspective und schiefe 
Parallel perspective zusammeu begriffen. Bei Behandlung dieses Lehr- 
gebiets, bestimmt für Zeichner, ist die Anwendung von Rechnung 
mit einigen wenigen Ausnahmen vermieden worden. Die HaDp^ 
abschnitte sind: Einleitung, centrische Axonometrie, schiefe Parallel- 
spective. Der Klarheit des Vortrags können wir kein Lob spenden. 



Ueber den Znsammenhang gewisser topologischer Thatascben mit 
neuen Sätzen der höheren Arithmetik und dessen theoretische Be- 



Litterarischer Berieht XXllL 37 

deutang. Von Dr. Os kar 8i in on y, a. o. Professor an der k. k. Hoch- 
schule für Bodencaltur in Wien. Mit 2 Tafeln and 1 Holzschnitt. 
Sitzungsber. d. kais. Akad. d. Wissensch. XGYI. Jnni 1887. 96 S. 

Es wird eine Methode Torgeftthrt die möglichen Enotenverschlin- 
gungen eines nndorchdringlichen geschlossenen Fadens, d h. solcher 
Gestalten, welche aas dem kreisförmigen Faden darch keine stetige 
Deformation hervorgehen können, anter fassliche Gesetze zn bringen. 
Zuerst handelt es sich um gesetzm&ssige Erzeugung solcher Knoten- 
vcrschlingungen. Sie werden dadurch zuwege gebracht, dass der 
Faden zerschnitten, gewissen Enden gemeinsame Rotationen erteilt, 
und die Enden nach verschiedener Anordnung verknüpft werden. 
Ein dazu dienender Apparat wird beschrieben und abgebildet. Die 
Berechnung führt zn Sätzen über die Primzahlen und über Ketten - 
bräche. Zu einem eingehenden Bericht möchte wol der Gegenstand 
zn complicirt sein. H. 



Mathematische 
und physikalische Bibliographie. 

XLX. 



««selddite der MatlmMlIk. 

Anualeii« mathematische. Hrsg. v. F. Klein, W. Djrk, A. Mayer, 
31. Bd. (4 Hfte.) 1. Hft Ldpiig, Teobaer. prq4L » ML 

BoltimaDD, L.. GqsUt Robert KirchhoiL Festrede. Leipzig, 
J. A. Barth. 1 Mk. 

Jahrbuch üb. die Fortsehritte d. Mathematik, begrtkndet t. C 
Ohrtmanii. Unter Mitwirkuig t. J. Mftller n. A. WamgeriB. Hrsg. 
Y. M. Henoch n. £. Lampe. 17 Bd. Jhig. 18d&. 1. Hfl. Berlia, 
G. Reimer. 11 Mk. 

Dedekind. R. Was sind m. was woUea die ZaUea? Bran- 
sch«^. Vieweg * S. 1 Mk. 60 PI 

Zimmermann^ W. F. A.. XatarkriLfte a^ Xa Uige&etie. 4.Ai. 
11— i;J. L%. Berüa. Dftmmlers TerL i 50 Pt 



t>anle. A.« Samminng t. An%abea d. praks. Ge 
knner Anletoug *. LO«ug derseiben. B^fibk Spriagier. 

Brockmann. F. J « Sammüug ^ An^ubnA ami alLem G«hKttn 
4 tttfmieiiCirmittlKnBafiik neb« LJ^dl oiL Lfev^samAettaiigsiL F^ 
*Mrb*»n^ F. ^^bOniogb. l Mk. 

Baue. W. pby^tki:. Anilpaben L <L «ibeceiL CmiML bd^ Ldr 
•imtalten. l^r^uui^^cbweig. V:i«weg »i S. 2 Mk. 50 Pt 

Ps^bne. F. ^rakTL IiMh:aeitbiica. 1. TL 3. AiL 8am. StMa's 
VäL l ML ^^ 

U#i:^. ^^ ^ammimig v. Bnapnmm it. IniiMliiw ami <L ^^bb. 



Liaerarüeitr Beriet XXIV. 



Litterarisclier Bericht 

XXIV. 



Anaytische Mechanik. Von J. L. Lagrange. Deutsch her- 
igegeben von Br. H. Servns. Berlin 1887. Julius Springer. 
640 S. 

Die erste Auflage der MScani^ae analytiqne erschien 1788, von 
der 2. Auflage der 1. Band 1811, der 2te 1815. Der 1, Baud and 
die erste Hälfte des 2ten ist von Lagrange selbst horausgegebOB ; die 
Tollendung dca 2. BaDdcs übernahmen Prony, Garnier und Lacroix. 
Eine dritte, von Burtrand veranstaltete und mit Aumerkangen ver- 
sebene Ansgabe crachion 1853—1865. Der gegenwärtigen denlschea 
Uebersetznng liegt die 2. Ausgabo zagrundo. Ihr voraus geht die 
Lebensgescbichte des YerfaBsera, Joseph-Louis comte de Lagrange, 
geboren in Tarin am 25. Jannar 1736, gestorben in Paris am 10. 
April 1813. Der Verfasser derselben ist uicbt gonanat; als Quellen 
Bind angeführt: Mem. de l'inatitut 1812, Journal do l'Empire 1813, 
Virey et Potel und Cossali. Hierauf folgt das Verzeicbniss der 
Schriften. Lagrange war Stifter der Turiuer Akademie, ward 1766 
von Friedrich 11. an die Akademie in Berlin berufen , nach dessen 
Tode er sich 17S7 nach Paris begab und auch während der Bevo- 
lation daselbst verblieb. H. 

Elemente der Statik. Von L. Poinaot. Autorisirte deutsche 

Aasgabe. Nach der von Bertrand bearbeiteten zwölften Auflage 

I des franzöBischen Originals heransgegeben von Dr. H. Sorvus. Mit 

4 lithographirten Tafeln. Berlin 1887. Julius Springer. 173 8. 

Äiti. t. lUtli. B. Fbfi. 3. Haih«. I«ll VI. A 





80 JUMtny^eW BeriAi XXIV. 

Das Werk, welches zuerst 1803 erschien, ist schon zweimal ins 
Deutsche abersetzt, nach der 4. Aoflage von Lambert, nach der 5ten 
von Hartmann. Es enth&lt in 4 Gapiteln die Zusammensetzung der 
Krftite und der Kräftepare, die Bedingungen des Gleichgewichts der 
Systeme von Kräften^ die Theorie des Schwerpunkts und die der ein- 
fachen Maschinen. Der Herausgeber hat eine kurze Lebensgeschichte 
des Verfassers vorausgeschickt. Hiemach ist letzterer am 3. Januar 
1777 in Paris geboren und am 15. December 1859 ebendaselbst ge- 
storben. Er war von 1806 bis 1824 General-Inspector der Univer- 
sität, ausserdem ?rar er Lehrer am Polytechnikum und ward Mit- 
glied der Akademie. Zwei Entdeckungen, die seinen Rahm begründet 
haben, bezeickuea wesentlicht Fortsckritte der Wisseucbaft: die 
Theorie der Kriltepare und die der Nutation and Prioession. 

H. 

Xetie Theorie der Reibuig. Toa X. Petroff, kaiaeri. rast. 
Geaeral^Mi^ des Geaie-Coips, Professor aa der Müitir-lBgeaiear- 
Akadeaue aad am teckaologiackea laaülate la St Ftter^bmrg. Mit 
Qeaehttigaag des Ver&ssers aas den Rassiachea ftbersetzt von 
L. WarieK kais. rass. CoDc^giearatii. lageaiear des Mbusteriams 
der VeilM^rsaiitl«!l. Von der kaxs. lasa. Akad^sie der Wissea- 
acbaftea ca St. Petersbaif mit dem Loimoaosowpreüe gekieste 
Sdffift Hambai« aad Lei]»g 18S7. Lec^old Vok. 187 & 



Die Ari^t mchwA seh aas dardi die angemeiae B^anüchkeil, 
Witt wek^cr der Ter£a8ser die Ursachen det gro»en lüfferenzen 
cwischea alkia Theorien and Beobacfatiiagen Terfolgt bat. Er be- 
mbi|!t sicii bd keiinciii aagenaa zntnsffcmdcn Er^refams. sondfim zieht 
SIMS die Teirsc^iedeab«it der Vmst&nde, unter denen £c abweichen- 
dem Resaltate ^wonaen ^-ordcm «ind. and alle mö^chen Einflfisse 
ia die Tatiirsachaii^. ADcirdxQgs bleiben bis zuletzt nnberechenbare 
Kk^Rwoiie ia den Formeln« 90 dass fie Anwoa^ttriEBit aar nnter 
bMtilfiailoa BeschrHakaa^en coastatirt werden konnte ; jedenfalls sind 
aber die Formoln hraachbait^r als dif^. weiche or vorfand. Sein 
^Igeatliobeis Ziel ist, die B<nbnn|^ zwischen aasreichend geschmierten 
fosiien Flao.hea zu bestimmen. Er tassi.. wie es schon vor ihm ge- 
^scAi^hea i^ den Torgaiig in diesem Falle als Roibang Ton Flfiasig- 
k«ilMi aaf. T^eimnifolfrc- betrifft der grösstc Teil seiner rnter- 
«aehaafKffi di<^ Reihaair von Fltkasigkeitmi, die durch Bohren, and 
rwar von krotsförmifreni ^nerschniti. strömen. Taraas geht die 
Theorie d«r fieibaai: Twicben trockeaen Fliciiea. jedoch aar der 
Voltsiiadiirtwit w<)f!M) aat btsberifresQ Standpaaki. liie baaptsich- 
H«k^ ^SobkiMiiotfKvraiipon. die er aas den Ilatanadmafeea zieht, 
«(nd MeNKl^. $iad die Idasoiiiaeateik' igai aa irmradtn- jnurhloannn. 



Lilttroriidier Btrklit XXIV. 



40 



rejcblicli goscbniiert and der Drnck nicbt übermässig, berUbren sieb 
die Metallteilo nicbt, so ist der Reibungawiderstand das Resaltat der 
iuaeren Reibung der Scbmierschiclit, jode Ursacbe also, welche die 
innere Reibung dieser Schicht ändert, wird aucii den Rcibungs- 
widerstand des Mascbinentoils ändern. Unter sonst gleichen Be- 
dingungen ist die Reibung der Maschinenteile der Grösse der Be- 
rühm ugaflächQ der sich reibenden Teilo proportional. Der Rcibuilgs- 
widerstand ist der relativen Geschwindigkeit der sich reibenden 
Flächen proportional. Er steht in umgekehrtem Verhältnisse znr 
Dicke der Schmierscbicbt. Letztere ist bei reiclilicbcr Schmierung 
der Quadratwurzel aus dorn relativen Nurmaldrnckc proportional. 
Wird die Form der Rcibungstlächon durch die Belastung umgestaltet, 
Bo verändert sieb mit der Dicke der Scbmierscbicht der Reibungs- 
coeHicient. Der Verfasser bat soiue theoretischen Resultate mit den 
Versnchen von Hiru, Kirchweger, BOckelberg und Thurston ver- 
glichen und auch selbst umfangreiche VerBUchc angestellt. H. 

Zar Ermittelung des Luftwiderstandes nach der kinetischen 
Theorie. Von Edmund Toepler, Dr. philos. Wien 1886. Carl 
Oerold'a 8ohn. 24 S. 

Es wird der Widerstand der Luft gegen die Bewegung einer 
Fläche, unter der Annahme, dass die LuftmolecUle nnabbängig von 
einander sich in allen Richtungen bewegen, berechnet und als llanpt- 
resnltat die Formel gefunden: 

WO V die Geschwiudigkeit der Fläche, Sl das arithmetische Mittel 
der Geschwindigkeiten (der Molecüle?) bezeichnet. Wegen allzu- 
grosser Häufung dunkler, mehrdeutiger Ausdrücke und unvollstän- 
diger Sätze würden wir nicht im SUtndo sein mehr über die Schrift 
zu berichtcu ohne Gefahr den Gedanken des Verfassers zu ver- 
feblen. H. 



Die WirknngBgeaetzc der dynamo-elck Irischen Maschinen. Von 
Dr. P. Auerbach, Privatdocent an der Universität Breslau. Mit 
84 Abbildungen. Wien, Pest, Leipzig 1887. A. Hartleben. 250 S. 

Entsprechend dem wirklichen gcs ehielt tlicben E utwi ekeln ngs- 
gange, derogomäss die Theorie der technischen Very;cada?>% ^'^'1%^'^^ 



41 ZjUUrariidMr Beridd XXIV. 

lieh in wenigen Jahren zn einem om&ngreichen Wissenszweig ent- 
faltet hat, wird auch hier die Theorie auf ihrem neuesten Stand- 
punkte im Anschlags an die Technik vorgetragen. Die Lehrgegen- 
Btände sind der Reihe nach: Batterieströme, Bewegung im magneti- 
ichon Felde, magnetelektrische Maschinen, Gesetze der Magnete und 
Kloktromaguoto, dynamoelektrische Maschinen im allgemeinen, Be- 
obachtungen an solchen, ihre Theorie, HauptschlussmaschineD, 
Nobonschlussmaschinen, Compoundmaschinen, specielle Probleme. Die 
Abbildungen sind weiss auf schwarzem Grunde. Voraus geht ein 
Namen- und Sachregister und eine Zusammenstellung der Litteratur. 
Das Buch bildet den 88. Band von des Verlegers „elektrotechnischer 
Bibliothek.'' H. 



Die ConstrucUon der magnetelektrischen und dynamoelektrischen 
Maschinen. Von Gustav Glaser-De-Gew. FOnfte, umgearbeitete 
und vermehrte Auflage von Dr. F. Auerbach, Privatdocent an der 
UuiversitAI Bn^slau. Mit 80 AbbUdnngen. Wien, Pest, Leipzig 1887. 
A. Hartieben. i53 S. 



Der Inhalt dos Buches ist: Pnncipien und historische Entwicke- 
luug« Maschinen für WechsdstrOme « Maschinen f^ gleiehgerichtete 
Sirtoe« und zwar Ringmaschinen« TrommelBaschineii, vcfscbiednie 
^teme« rnipolaniaschiBeii« ferner ConstractioBadeCails rnnd Halfii- 
ai^parale^ Anwendung der elektrischen MascMnen znr Erzevgoig d« 
ei«4tr»chen Lichte«« verschiedene andere Anweadungea, niMlifh zar 
Galvanoplastik« mm Schmelzen und zur BeiumeuUgevinnung. zsm Teie- 
iprapidren« flu- LalK>r;itoriea und medkinisehe Zwecke und zar Kraft- 
tWrtra^un«. Der Anhang enthAlt Fonneis znr CoastrwctuA von 
Kktevoia^necea. Ans den äntihen Aub^ea ist der ^hytam aber 
dW pftQTüikalfesc^a Ge«eue weg^ehiaieö«» « der jützt duck das ce- 
;WiiRte(te AiiHpiübe de» voriiier tefpcucaieatfft B^ncns ^W u kmga^imn ze 
e^"»** — viKtreCen wif>i H. 



V;feiMlcc1uu5lr£Iek:^v^^:hJlikär. Pra^tssciu» Hiiä^ umi > 
5far ttt^oMtuv^ KleiLtTtioeciiiüjfier« W^rianaonsr. X^fUftoiker u. s. w. 
Bw>inwip>iy5<f n . v\iii !^. Sjirb(«ck. La^enieur f^ Elfikaxifieduuk. 
unser MiiJC^uriuiii): iü» Eerm £. Grlxwizli. XatceBiear. FSofbdr 
Mx^pSii^ vfai Sbileian}» ^ £I«ka:ua!ciuiikiiir I?^. Kt wi» 
ttutec^ttiam. Htta«» s. S^ WUlniüK sLapp. :S:i Sl 

$i>«ti^ Sfecli IKh !)to«wr Dorchatdir ia» ^uhes iime ^«gnsK Be- 
alKl nf d wi M kAiwi Aa^wdtt^a viardt aniBiadn 



LiUeraHtehtr Bericht XXIV. 



4li 



rekhcndo Angaben, begiaaeiid mit der abstracten Wissenschaft und 
eingohcnd auf dio speciellea Erforderuisao der Praxis, gesorgt. An- 
zeigen Gventncller Desideraten zur Ergänzung für spätere Jahrg&ngu 
würden sonach nnr Sache derer seien, die das Buch gebrauchen. 

H. 



Zeitschrift für Elektrotechnik. Organ des Elektrotechnischen 
Vereins in Wien. Redacteur: Josef Kareis. IV, Jahrgang 1886. 
Wien 1886. Selbstverlag, 

Der i. Jahrgang, der erste welcher im Selbstverläge des Vereins 
erscheint, enthält folgende Abhandlungen und Vortrage: 

A. V. Waltenhofen: Beiträge zur Anwendung der Gesetze des 
ElektromagDetisraus. — Torsionsgalvanometer. — Accumulatoroa 
von Farbaky. — Magnetiairungscurve bei verschiedenen Eisensortcu, 
Anwendung zur Bestimmung der Harte. — Fröhlich'sche Theorie dor 
dynamo elektrischen Maschinen. 

J. Sack: Die elektrischen Uhren. 

W. Penkert: .Berechnung der Elektromaguote bei Compoand- 
Maschincn. — Transformation der Wärme in elektrische Energie. 
Beetimmung des Wirkungsgrades eines Transformators. — Mittlere 
Intensität des magnetischen Feldes bei Dynamomaschinen. 

Rysselhergbe: Telepbonie aaf lange Distanz. 

Hammerl: Verhalten ringförmiger Magnete. 

R. ».Fischer-Treuenfeld: Militär-Telegraphie. 

J. Zacbarias: EloktricitAt als Motor für Land- und Wasaer- 
&hrzeuge. 

M. Burstyn: Elektrische ZUndung. 

H. V. Jüptner: Universal-Elektriciiatsmesser. 

J. Stephan: Charakteristik einer Wecbselstroromaschine. 

M. Jüllich: Best. d. Intens, per. verAnd. elektr. Ströme. 

D. Tumlirz: Blitz ableitersyatem von Melsens. 
C. Zickler; Magnetisirungacurve. 

B. Lewandowski: Neuerungen an IndactionBapparaton. 

E. Gerard: Selbstinduction in elektrischen Leitern. 

II. Sack: Specitische luductionsconstanten von Stahlstäben. 
J. Kolbc: Magnetische Kraftlinien. 

C. Grawinkel: Ersatz von Telegr. Batterien durch elektrische 
Maschinen. — Stromarbeit in oberird. Telegraphealeitangen. 

Kleiner und Hofmeister: Helligkeit und Arbeits verbrauch 
elektrischer Glühlampen. 

J. Kessler: Normalinstrnment für abs. Messungen. 

F. Bechtold: Elektrische Feuermelder. 



F. Dreiler: Elektrischo Messiustrumento. 
J. Moser: Elektr. u. therm. Eigenacli. r. Salzlösungen. 
Stroiutz und Äulinger: Galvanische Polarisation dos I 
Ausserdem ?iele kürzere Aufsätze. E 



Eni- iiiul Himmelskimde. 

Geonomie (mathematische Geographie) gestützt auf Beobachtung 
nnd elementare Berechnung. Für Lehrer, Studirende und zum Selbst- 
unterricht bearbeitet von Dr. Th. Epsteiu, Lehrer an der Roal- 
Bchule „Philautropiu" in Frankfurt a. M. Mit 166 Holzschnitteii iui 
Test und 18 Figuren tafeln, wovon 12 mit Sternbildern auf blauem 
Grande. Wien 1885. Carl Gerold's Soha. 576 S. 

Der Name „Geonomie" soll der bezeichneten Doctrin die Stel- 
lung des bcsonderu Teils der Astronomie geben , der sich auf die 
Erde als Astron bezieht. Eine cigentQmlicbo Auffassung möchte 
dadurch kaum ausgedrückt sein, da die mechanische Theorie für die 
Erde keine andre ist als fjlr die andern Planeten, die toUnriacheu 
Vorgänge nicht ohne Zuziehung der übrigen Himmelskörper erklärt 
werden können, bei Begrenzung des Lehrstoffs aber die gleiche Frei- 
heit bleibt wie in jeder mathematiaehen Geographie. Die Haupt- 
abschnitte des Buchs sind: Hutfsmittel nnd Vorbereitungen, Gestalt 
und Grösse der Erdo, Bewegung der Sonne, Uoborgang zum Cop- 
pcrcanischen System, der Mond, geonomische Physik, in welchem 
letzten auch Ebbe und Flut behandelt ist. Besonders ausführlich ist 
Über die Messungen Auskunft gegeben: es werden nicht bloss die 
Bulfamittel und Berechnung erklärt, sondern mehr noch die focti- 
scben Messungen, ihre Schickaole und Erfolge mitgeteilt. Die An- 
wendungen der Mathematik beschränken sich auf die elementare 
der Schule, welche durch Vortrag einiger Lehren von den Coordi- 
iiaten und von der Ellipse erweitert wird. Dagegen sind alle Gegen- 
stände der Uimmelsdynamik, also auch die Planetenbahnen nur qua- 
litativ in Betracht gezogen, die Kepler'schen Gesetze gar nicht er- 
wähnt H. 



Astronomische Geographie. Ein Lehrbuch angewandter Mathe- 
matik. Von Prof. U. C, E. Martus, Direktor des Sophien-Real- 
gymnaaiumB in Berlin. Mit 100 Figuren im Texte. Zweite Auflag«, 
mit vielen Zusätzen. Leipzig 1888, C. Ä. Koch. 388 S. 



i 

athe- 
Heal- 
äago, 

J 



Litt4raTÜth»r Btriehi XXIV. 44 

Die 1. Auflage ist im 260. litt. Bericht beaprochen. Die gegen- 
wärtige '2. Auflage bringt mehrere Verbesserungen und viele Zusätze, 
anter andern eine VeranschauHchung der Krümmung der Erdober- 
fläche; auch sind viele geschichtliche Bemerkungen hinzugefügt, für 
welche die Geschichte der Astronomie von Rudolf Wolf (in Bern) 
hauptsächlich als Quelle benutzt worden ist Da der Gesamtstoff 
för ein Ualbjahr bei 4 wöchentlichen Lehretuudcn ah zu gross er- 
achtet ward, so hat der Verfasser darauf gerechnet, dass das Capitel 
über das £rds))häroid in einem andern Halbjahre im AnBchlu8B an 
das stereometrische Gebiet behandelt werden könnte. H, 



Hydrologische Studien. Von Heinrich Gravö, behördlich 
,&Dtorisirter nud beeideter Zivil -Ingenieur, Architekt, Mitglied mehrerer 
gelehrten Gesellschaften und wissenschaftlichen Vereine, Korrespou- 
dcnt der k. k. geologischen Reich saus (alt, etc. I. Heft Wien 1887. 
Alfred Holder. 69 S. 

Diesem 1. Hefte soll eine noch nicht begrenzte Reihe weiterer 
Hefte folgen. Die darin enthaltenen Arbeiten gehen aus dem im 
Vorwort dargelegten Gedanken hervor, dass künstliche Anlagen zur 
Gewinnung von Naturproducten und zur Bekämpfung verderblicher 
Elemente noch grossenleils ohne gehörige Kenntniss der Wege, anf 
denen die Natur dem Menschen ihre Gaben zufuhrt und die Schäden 
nässigt und ausgleicht, unternommen werden, dass daher der mo- 
mentane Gewinn beträchtlichen Schaden für die Zukunft nach sich 
ziehen kann. Die einzelnen Artikel sollen nun der Uuterauchang 
dabin einschlagender Fragen gewidmet sein. Das 1. Heft enthält 2 
Artikel. Der erste gibt eino Uebersicbt über die Höhonmet- 
saugen in einem Teile Ocsterroichs , namentlich ausgehend auf die 
Bestimmung der Hühcu der Pegel Österreichischer Flüsse, und stellt 
die Resultate zusammen. Der zweite, „Studien über die Bildung 
Und Ergibigkcit der Quellen", geht hauptsächlich auf den Durch- 
gang des Wassers durch Steinarten ein und erörtert die Verände- 
rungen, welche der naturliclie unterirdische Wasserlanf durch kUnst- 
liche Ableitung des Wassers erleiden muss. H. 

Wetter-Telegraphie und Sturmwarnungen in Nordamerika. Von 
J. G. Hagen, S. J. Scparat-Abdmck aus don „Stimmen aus Maria- 
Laach". Freibnrg i. Br. 1886. Herder. 49 S. 

Die Schrift berichtet über die Voran stal langen, welche von Seiten 
der Vereinigten Staaten znm Schutze der Landesproduction , des 
Handels und der Seefahrt gegen zerstörende Wettervorgänge durch 
Anwendung der Tclegraphie und der Signale getroffen worden sind. 



ZätUrarüektr Btrieil XXIV. 



tvrickelDiig ^^i^l 
Die ScbaU>^^H 



Ihre 3 AbBchnitt« bebaadeln einzeln geschichtliche EntvrickelDiig 
Wetterdienstes, dessen Organiscttioa and Tätigkeit. Die Scbatfri 
massrogeln begannen 1819, mehrten and erweiterten sich, bis 1870 
auf Betrieb des Brigade-Generals Albert J. Myer eine Organisatioii 
ins Leben trat, ^reiche ganz nutor militärischer Verwaltong stand, 
aber aach von vielen andern Seiten Unterstütznng &md. Von ihr 
giengen täglich 3 mal Wetter-Bniletins ans, die anfangs au 24Stbdtfi 
telegraphirt wurden, bald nachher auch Wetterprognosen ; das Ein- 
treffen angesagter Stürme stieg von 70 proc. mit der Zeit aaf 88 
proc. Die Tätigkeit der Institution dehnte sieh bald auf immer mehr 
Ziele aus: auf dem Wiener Meteore logen -Congress 1873 gewann 
Myer die Mitwirkung aller europüischun Staaten uud Calturstaaten 
aller Erdteile zu dem Plane gleichzeitige Beobachtungen anzuordnen. 
Die neueste Geschichte meldet von Rückgang der Erfolge, an dem 
die Wendung der öffentlichen Meinung zunächst gegen die Nordpol- 
fabrten, dadurch vermittelt gegen alle Unternehmungen zugunsten 
der Institution schuld war. Die 2 letzten Abschnitte enthalten Spe- 
cialien. B. 



ichB«m 



6ezei< 
Text von 



Astronomiscber Wandkalender fOr das Jahr 1688. 
von P. Manojiovits, königl. serbischer Vice-Cousul, 
Dr. K. Zelbr. Wien 1888. Carl Gerold's Sohn. 

Die Gesamttafel besteht aus 3 Himmelskarten, die sich aber die 
Zone der Ekliptik erstrecken und die Bahnen der Sonne, der Pla- 
neten and die Oerter des Voll- uud Neumondes , bei festen Fixster- 
nen, im Laufe des Jahres 1888 darstellen. Tabellarisch stehen dar- 
unter die Himmciaerscheinungen fUr jeden Tag. H. 



Meteorologische Zeitschrift. Herausgegeben von der OesI 
reich! sehen Gesellschaft für Meteorologie und der Deutschen Meteoro- 
logischen GesellschafL Redigirt von Dr. J. Uann (Wien, Hohe 
Warte) und Dr. W. Koppen (Hamburg, Seewarte). Vierter Jahr- 
gang 1887 (zugl. XXII. Bd. d. ZeiUcbr. der Oesterr. Ges. für 
Berlin, A. Aeher u. Co. 

Der 4. Band enthält folgende Abhandlnngen: 

Biermann: Zum Klima der Eanariscbon Inseln. 
Kleiber: Periodische Schwankungen der Atmogphftre zw 
beiden Halbkngeln der Erde, 

Lang: Beobachtung der Schneebedecknng. 
Grossmann: Znr synoptischen Karte d. nordatlant ( 
Obermayor: Beobachtungsstationauf dem Gipfel des £ 



ite^H 



lAtteToriichtT Btridtt XXIV. 46 

Uann: Gescliicbto der roet. Station auf dem Sonnblkk. — Be- 
obacbtuugcD daselbst. — Beobachtungen der Üsterr. Polarstation auf 
Jan Mayen. 

Erk: Verticale Verteilung des Niederschlags am Nordabbange 
der bairischen Alpen. 

Ekbelm nnd Hagström: Höhe der Wolken im Sommer zu 
Upsala. 

Draonert: Küstenklima der Provinz Pernamboco. 

Qellmann: Jährlicbe Periode der Niederschläge iu den deut- 
Ecben Mittelgebirgen. 

Läska: Gewitter in Prag. 

Ha^o Meyer: Unters ucbungen über das Sätlignngsdeficit. — 
Häufigkeit gegebener Temperaturgruppen in Norddentscbland. 

Hoffmann: Phänologie nnd Wetterprognose. 

Fritz; Resaltate der Polarlkhtbeobochtungen. 

Woeikof: 2am Klima von Korea. 

Reimann: Gewittererscheinangen im srblesischen Gebirge. 

Neumayer: Magnetische Landesaufnahme von Frankreich. 

Koppen: Einiges über Wolkenformen. —Gewitter vom 13. bis 
17. Juli 1884. — Hann's Atlas der Meteorologie. 

Vettin: Einwirkung der bar. Minima und Maxima auf dioRicb- 
tnng des Wolkenzuges. 

Upton: Met. Beobachtungen bei Sonnen uns tcrnissen. 

Brückner: Ueber die Zablung der Regentage. 

Ule: Beob. der Wasserte mperalur in der Saale bei Halla 

Thirring; Zum Klima von China. 

Weihrauch: Met. Beob. zu Fort Rae. 

Seidl: Temperaturvcrteilung im Gebiete der Earawanken. 

Müller: Ueber Verluste äusserer Energie bei der Bewegung 
der Luft. 

Linsa: Ueber einige die Wolken- und Luftelektricität betref- 
fende Probleme. 

Wachlowski: Die Niederschlagsverbältnisse iu der Bukowina. 

Brandis: Regen nnd Wald in Indien. 

Bnys-Ballot: Ueber simultane Beobachtungen. 

Volger: Quelle ntlieorie auf raotcorologiscbcr Basis. 

Augnstiu: Jährliche Periode des Windes. 

Werner Siemens: Zur Frage der Lufstströmung. H. 



Vermischte Schriften. 

Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg. Nr. 5. 
aoBgegeben lljBä. Redigirt von Krüss, Ablboru und Bock. Nr. 7. 



47 



fiUfwMdUr BtriBht XXIV. 



auBg. 1887. Red. v. Wagnor, Koldewey nud Bock. Nr. 8. 
ausg. 1888. Red. v. Koldowcy, Hoppe und Bock. 

Der Inbalt von Nr. 6. ist im 15. litt. Ber. S. 38. aufgefllhrL 

In Nr. 5., 7. und 8. sind folgende Vorträge (Referat) und Ab- 
handlungen mitgeteilt. 

Hoppe: Historiscbe Mitteilungen zur ElektricItäUlehre und 
Potential theorie. 5. 

F. II. Reitz; Ucber den Mareograph für den Hafen von Mar- 
Beille. 5. 

Eüpcke: Uebcr die Reihe £9ia{ii\xn). S. 

Bock: Hydrodynamik nach dem Hamilton' schon Princip. 
Ucber eine neue za bloutli cor eti sehe Function, ß. 7, 

Schulze: Zur Geschichte der hypcrgcoractriB^hen Reibe. 

Kefcrstein: Beitrag zur Theorie des Billardspiclei 6 ~ 
Kino Methode zur Bestimmung der iirimltiven Wurzeln der Cod- 
grncnz gt-^ ^ 1 mod/i, für einen rcclleu Prinizablmodnl p. 8. 

P. Jaerisch: Zur Theorie der Lanie'achen Functionen. 7. 

Köpke: Uebcr das Princip von der Coudensation der Singa- 
laritätcu bei Hankol und Dini. 8. 

Koldewey: Ueber einige Kntwickclungen aus der Theoris 
Deviatiou der Compasso an Bord eiserner Schiffe 8. 

£. Liebcnthal: Das Potential des Ellipsoids. 8 



i 



1 



Proceedingg of thc Canadian luBtitut«, Toronto. Being a con- 
linuation of thc „Cnnadiau Journal" of science, literaluro and hi- 
story, Third acnes Vol. IV. [Wholo No. Vol. XXH. No. 146.] 

Toronto 1887. The Copp. Clark Company, limited. 

Der 4. Band, bestehend aus 2 Heften, enthält die in 21 Sitznugen 
gehaltenen Vorträge. Keiner derselben berührt mathematische oder 
physikalische Gegenstände. U. 



Bulletin de la Soci^t^ Mnth^matiqne de France. Publie par Ica 
SecritaircB. (Red. G. Humbert.} Tome XV. Paris 1867. Au si£ge 

de la Sociätä. 

Der 15. Band enthält folgende Abhaudlungcn. 

0. Callandroan: Ueber die Entwickelung der Functionen in 
Reihen nach der Maclaurin'schen Formel im Falle einer roelleo 
Variabein. 

Demartres: Ueber die Totalk rOmmung der FIftchen. — UafctT j 
einen Punkt der Flttchenthcorie. 



LitlBrarüchtr Bericht XXIV. 48 

Jamet: Ucber das aDliarmoniBche Verb&ltaiBS einer Curve 3. 
OrdnuDg. 

A.-C. Laisant: ErQmniuiigsradieD ia den isogonalen TraDH- 

forraationen. — Neuer Beweis des FuudamentalsatzcB der Theorie 
der GleichoDgeu. — Ueber die nicLt-iaogonaiea ebenen Transfor- 
mationen. — TrigonometriscLe Siltze. 

L. Neu: Ärtienlirtea System um zu einer gegebenen Carve bo- 
zOglich auf eine Axe die symmetriBche zu zeichnen. 

R, Per r in; Uebcr das System von 4 simultanen binäron For- 
men, deren 2 linear, 2 quadratisch. 

A.-E. Pellet: Ahhandluiig Über die algebraische Theorie 
der Gleicbniigen. 

£. Goursat: Note über einige pseudo-elliptische Integrale. 

A.-H. Anglin: Sätze über die Determinanten. — Ueber die 
Coefficienten des allgemeinen Gliedes in gewissen Entwickolungen. 

M. d'Ocague; Ueber eine Quelle von Identitäten. — Integration 
einer recnrrentoü Reihe, welche in einer Wahrachcinl ich be iisaufgab ö 
auftritt. — Ueber einen in der Algebra and Aaalysis nützlichen 

£. Collignon: Eine graphische Uethodo der Integration. 

G. Fouret: Bemerknng Qber gewisse numerische Determinanten. 

£. Ficard: Uebcr die byperfucbsischen Functionen, welche aus 
den hypergeometrischen Reihen mit 2 Variabein hervorgehen. — 
Bemerkung über die linearen Gruppen endlicher Ordnung mit 3 
Variabel n. 

Carvallo: Darlegung einer Caspary'achen Metbodo der Untor- 
Buchung von Curven im Räume. - Note Über die vom Duhamel 
nud Lam^ erhaltenen Ausdrücke für den Uebergang von Wärme in 
nicht-isotrope Körper. 

Lerch: Neuer Beweis der Fundamentaleigenschaft des euler'- 
schcn Integrals 1. Gattung. 

de Preslc: Beweis des Trägheitsgesetzes der quadratischen 
Formen. — Entwickolung der Jacobi'scheu Functionen Ö und H in 
Producte und Untersuchung der Functions werte bei Division der 
Periode durch eine ganze Zahl. 

Desirä Andre: Satz über die quadratischen Formen. 

II. Poincarä: Ueber die fundamentalen Hypothesen der Geo- 
metrie. U. 



Matbcsis, rcciicil math^matique ä l'usage des 6co!es speciales et 
des ätablisscmeuls d'instruction moyenne. Pnblie par P. Mansion, 
Profosaeur ordinaire ii l'Univeraitfi de Gand, Correapondent de l'Ac»- 
dfimie royale de Belgicjue, etc., etJ. Neuberg, Professeur Ä l'Uni- 



ris, Gaa- 



StriAt XXIV. 

verEit^ de Liige, Membre de la Sociät6 royalo des acieuces de Liögo, 
avcc la collaboration de plusieurs I'rofesBeurs beiges ot itrangcrs. 
Tonic Beptiime, ann^e 1887. Gand 1887. Ad. Hoste. Paris, Gaa- 
thier-Villars. 

Der 7. Baod enthält folgeodo Aufsätze. 

Mieter; Eigenschaften der Agneai'schen Carven. 

E. Vigarii: Uebor die complementarea Punkt». 

Tücher: Ueber den tri plicatori sehen Kreis. 

J. Casey; Eigenschaften dreier ähnlichen Figuren. 

Cesaro: Bemerkungen zur infinitesimalen Geometrie 

P. H. Schonte: lieber die Normalen des Winkels o 

B. Catalan: Ueber die Dividirbarkeit der Zahlen. 

E. Lncas! lieber die nennte vollkommene Zahl. 

L ai s a n t : Verschiedene Formulimngen einer einzigen Eigeiu 

A. Servia: Ueber die Umkehrbarkcit der linearen Transfor- 
mation. ^ Geometrische Interpretation der qnadratiscben birationalen 
Transformation. — Geometrische luterprotation der speciellen qua- 
dratischen biratioualen Transformation. — Ueber die vollkommenen 
Zahlen. 

G. de Longchamps: Ueber die Rectification einiger bemerkeiiB> 
werten Curven. ^H 

C. Bergmans: Sätze aber die Parabel. ^^^ 
J. Nenberg: Roherts'sche Eagel. ~ Transmatatioaen ^^| 

Dreiecks. ^^ 

M. d'Ocagnei Die cyklischen Coordinaten. Einige Eigen- 
schaften des Dreiecks. 

Van Dorsten: Anwendung ijer Eigenschaften dreier ähnlichen 
Figuren. 

M'Cay: Ueber die Kiepcrt'scLe Hyperbel. 

P. Mansion: Weicrstrass'sche stetige Function ohne Differen- 
tial. (Auszog.) 

Fr. Derayts: Lineare Erzeugung einiger Curven zu vielfachen 
Elementen. 

Emmerich: Constrnctionsprobleme beztlglich anf die Geometrie 
des Brocard'schen Kreises. 

Seboentjes: Ueber eine Erzeugungewoise der hyperbolischen 
Spirale. 

Hierzu kommen zahlroicbo Lösungen in diesem Journal g 
Aufgaben. 



J gestolf^H 



Atü dejla Reale Accadcmia dei Lincei. Anno CCLXXXIV. 1887. 
Serie quarta. Keudiconti pubblicati per cnra dot Segretari. VtriRBM 
m. Roma 1887. V. Salvucci. 



Litttrariiehtr Bericht XXIV. 



Der 3. Band enhält folgende matbematische Arbeit«D. 

Bicci: Ueber die covariante Derivation za einer quadrati- 
schen Differential-FoFin. 

Visalli: lieber die Correlationea {in 2 Räumen von 3 Di mens io- 
neii), welche 12 Etomentar- Bedingungen gentigen. — Uebor die von 
2 FnndamentalformGU 2. Gattung erzeugten Pigaren, unter denen 
eine vielfache Correspoudenz beateht. 

Fieri: lieber das Correspondenz-Princip in einem beliebigen 
linearen n dimensionalcn Räume. 

BrioBchi: lieber die hyperolüptiacben Functionen a. 

Bianchi: ücber die doppelt uucndlichen Strahlen Systeme. — 
Ueber Weingarten's Systeroe iu den Räumen conatanter Krümmung. 

Pincherlc: Construction neuer geeigneter analytischer Aua- 
drDcke zur Darstellung von Functionen durch eine uuondliche An- 
zahl einzelner Punkte. — Ueber die Vergloichnng der Singularit&ten 
zweier analytischen Fuuctioueu. 

Vollerra: Ueber die liuoareu Differentialgleichungen. —Ueber 
die Functionen, welche von anderen Functionen abhangen. — Ueber 
eine Erweiterung der Riomann'achen Theorie der Functionen com- 
pleier Yariabclu. 

Abetti: Begriffe der christlichen Küpbten und AbeBsinior vom 
Kalender. 

Cantoni; Conjoclnren über die Wirkung in die Ferne. 

Segre: Ueber die algebraischen Mannichfaltigkeiten, die von 
einer einfach unendlichen Reihe von Räumen gebildet werden. 

Bcsao: Einige partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung. 

Siacci: Ueber die Winkel des weitesten Wurfes (bei Luft- 
widerstand). II. 



Transactions of the Wagner Free Institnto of Science of Phila- 
delphia. Published ander the direction of the Facnity. Vol. I, 
Philadelphia 1887. 

Diese neue Zeitschrift ist der Erforschung des Inlandes in Hin- 
sicht auf Zoologie, Botanik und Geologie gewidmet. Das Institut ist 
1U55 von William Wagner (gestorben im Jan. 188Ö) gegründet und 
wird verwaltet von einem Curatoriura und einer Facultat bestehend 
aus 4 Professoren, die seit 1885 regelmässig Vorlesnngeu fUr freies 
Publicnm halten. H. 



Annoaire poor l'an 1886, publik par l 
Avec des notices scientiffqoes. Prix: 1 
Gantbier-Villars et Fila. 



Bureau des Longitndes. 
fr. 50 c. Paris 1888. 



51 Lüterarischer Berieht XXIV. 

Depnis le 7 messidor an III, le Bureaa des Longitndes n'a 
jamais laiss^ passer nne ann6e sans pnblier son AnDuaire. Oatre 
les doDDÖes pratiqaes qni forment le fonds invariable de ce recaeil, 
celoi qni vient de paraitre contiont des articles beauconp plus ^tendas, 
de vöritables Trait^s, snr les Monnaies, la Statistique, la Mineralogie, 
la M^tdorologie, etc. H renferme de plns nne ^loqnente et magistrale 
6tnde de M. Janssen snr T Age des 6toiles ; nne Notice dans laqnelle 
M. TAmiral Monchez, Directenr de TObservatoire , a r6uni tous les 
ronseignements relatifs k Pex^cntion de la Carte photographiqne da 
Ciel, dont il a 6te le promotenr; dos Notes de M. Cornn snr les 
Calendriers et snr la Constrnction des cadrans solaires; enfin, le 
captivant r6cit d'un voyage accompli par M. d'Abbadie en Orient, 
ponr mesnrer des coordonn^es magn^tiqnes, en d6pit des ignorances 
et des manvais vonloirs rencontr^s dans cette lointaine exp6dition. 

Gaathier-Yillars et Fils. 



Teil Jß 



Tafl. 




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